Lista de integração

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  • 1. ¸˜ 2a LISTA DE MEDIDA E INTEGRACAO(PARTE 1) (1) Seja µ uma medida com valores em [0, +∞] e f uma fun¸˜o mensur´vel. Ent˜o, f ∈ L1 (µ) se, ca a a e somente se, a fun¸˜o t → µ (x : |f (x)| > t) sobre (0, +∞) ´ integr´vel com rela¸˜o a medida de ca e a ca Lebesgue. Al´m disso, vale que e ∞ |f (x)| dµ(x) = µ (x : |f (x)| > t) dm(t). X 0 (2) Seja A ⊂ Rn um conjunto de medida de Lebesgue maior que 1. Prove que existe dois pontos distintos x, y ∈ A tais que o vetor x − y tem coordenadas inteiras. (3) Prove que todo conjunto convexo em Rn ´ Lebesgue mensur´vel. e a (4) Seja F uma classe de fun¸˜es reais sobre um conjunto X. A menor σ-´lgebra com rela¸˜o a qual co a ca todas fun¸˜es em F s˜o mensur´veis ´ chamada de σ-´lgebra gerada pela classe F e ´ denotada por co a a e a e σ(F). Seja F uma classe finita de fun¸˜es sobre um conjunto n˜o vazio X. Mostre que toda fun¸˜o co a ca g mensur´vel com rela¸˜o a σ(F) ´ da forma: a ca e g(x) = ψ(f1 (x), · · · , fn (x)), onde fi ∈ F e ψ ´ uma fun¸˜o boreliana sobre Rn . e ca (5) Seja f : Rn → Rm uma fun¸˜o boreliana. Prove que seu gr´fico ´ um boreliano de Rn+m . ca a e (6) Seja 0 ≤ f ∈ L1 (µ). Prove que ∞ f dµ = lim rn µ x : rn ≤ f (x) < rn+1 . r→1 n=−∞ (7) Seja (X, M, µ) um espa¸o de probabilidade e fn fun¸˜es mensur´veis. Prove que as seguintes c co a condi¸˜es s˜o equivalentes: co a (a) Existe uma subsequˆncia fnk convergindo para 0 µ-q.t.p. e (b) Existe uma sequˆncia de numeros tn tais que e ∞ lim sup |tn | > 0 e tn fn (x) converge q.t.p. n→∞ n=1 (c) Existe uma sequˆncia de numeros tn tais que e ∞ ∞ |tn | = ∞, |tn fn (x)| < ∞, n=1 n=1 para q.t.p. x ∈ X. (8) Seja f ∈ L1 (0, 1) e α ∈ (0, 1). Suponha que a integral de f sobre qualquer conjunto de medida α ´e zero. Prove que f = 0 q.t.p. (9) Construa um conjunto compacto totalmente desconexo K ⊂ R tal que m(K) > 0.(10) Mostre que todo compacto de R ´ o suporte de uma medida boreliana. e(11) Seja f uma fun¸˜o real Lebesgue mensur´vel sobre Rk . Prove que existe fun¸˜es borelianas g e h ca a co tais g(x) = h(x) para m-q.t.p. x e g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) para todo x ∈ Rk .(12) Suponha que V ⊂ Rk ´ um aberto e que µ ´ uma medida boreliana positiva sobre Rk . A fun¸˜o e e ca x → µ(V + x) ´ cont´ e ınua? Semicont´ınua inferiormente? Semicont´ınua superiormente? 1
  • 2. 2 ¸˜ 2A LISTA DE MEDIDA E INTEGRACAO(PARTE 1) (13) Uma fun¸˜o degrau ´, por defini¸˜o, uma combina¸˜o linear finita de fun¸˜es caracter´ ca e ca ca co ısticas de intervalos limitados. Prove que as fun¸˜es degrau s˜o densas em L1 (R). Prove tamb´m que para co a e toda f ∈ L1 (R) vale que lim f (x) cos(nx) dm(x) = 0. n→∞ R (14) Prove a seguinte vers˜o do teorema de Lusin: Seja f : Rn → R uma fun¸˜o Lebesgue mensur´vel. a ca a Ent˜o, ∀ > 0, ∃ fechado F ⊂ Rn tal que f ´ cont´ a e ınua em F e m(Rn − F ) < , onde m ´ a medida e de Lebesgue em Rn . (15) Seja µ uma medida de probabilidade sobre R. Prove que se para alguma fun¸˜o estritamente convexa ca f : R → R vale que f (x) dµ(x) = f (x0 ), R para algum x0 ∈ R, ent˜o, µ = δx0 . a (16) Seja µ uma medida positiva finita sobre um espa¸o mensur´vel X. Uma sequˆncia de fun¸˜es c a e co mensuraveis fn : X → Rm ´ dita convergir em medida para uma fun¸˜o mensur´vel f : X → Rm se e ca a dado > 0 vale que lim µ ({x : |fn (x) − f (x)| > }) = 0. n→∞ Prove que: (a) Se fn (x) → f (x) q.t.p. x, ent˜o fn → f em medida. a (b) Se fn ∈ Lp (X) para algum 1 ≤ p ≤ ∞ e fn − f p → 0, ent˜o fn → f em medida. a (c) Se fn → f em medida, ent˜o {fn } tem uma subsequˆncia que converge para f q.t.p. a e (17) Uma fun¸˜o f ∈ L1 (Rm ) se f ∈ L1 (K) para todo compacto K ⊂ Rm . Seja f ∈ L1 (Rm ). Defina ca loc loc 1 M (f ) := lim f (x) dm(x), r→∞ (2r)m [−r,r]m se o limite existe. Seja µ uma medida boreliana finita sobre Rm . Fa¸a os seguintes itens: c (a) Se f ∈ Lp (Rm ) ou lim|x|→∞ f (x) = 0, ent˜o, M (f ) = 0. A rec´ a ıproca vale? Aqui, 1 ≤ p < ∞. 1 (b) Se f ∈ L1 (R) ´ tal que f (x + 1) = f (x) para q.t.p. x, ent˜o M (f ) = 0 f (x) dm(x). loc e a (c) Se f (x) = Rm eix·y dµ(y), ent˜o f ´ uniformemente cont´ a e ınua e M (f ) = µ({0}). (18) Seja f ∈ Lp (Rm ) para algum 1 ≤ p < ∞. Defina a fun¸˜o g : Rm → Lp (Rm ) por g(y) := f (· + y). ca Prove que g ´ uniformemente cont´ e ınua. (19) Seja µ uma medida positiva sobre um espa¸o mensur´vel X e fn , f ∈ L1 (X) para todo n. Se c a µ lim inf n→∞ fn ≥ f, para µ-q.t.p. e lim supn→∞ X fn (x) dµ(x) ≤ X f dµ, ent˜o, fn → f em L1 (X). a µ