Relatório de Atividades 2008
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Relatório de Atividades 2008

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Relatório de Atividades 2008 Document Transcript

  • 1. relatório DeAtividades 2008
  • 2. “Ai daqueles que pararem com sua capacidadede sonhar, de invejar, sua coragem de anunciare denunciar. Ai daqueles que, em lugar devisitar de vez em quando o amanhã peloprofundo engajamento com o hoje, com o aquie o agora, se atrelarem a um passado deexploração e rotina”. Paulo Freire
  • 3. RESUMO O presente documento tem a finalidade de apresentar o trabalhorealizado pelo Grupo de Estudo sobre Jogos Matemáticos no ano de 2008. Dandocontinuidade às atividades realizadas em 2007, além de atividades expositivas,como o evento “Venha nos Conhecer”, o grupo teve a oportunidade de mostrar oresultado da iniciativa da inserção dos jogos como ferramenta complementar aoensino de matemática através da participação em eventos científicos, na própriauniversidade e fora dela. Deste modo foi possível comprovar a importância de talrealização, uma vez que todos os trabalhos científicos submetidos, num total de25, foram publicados. Sendo assim, o presente relatório será composto pelorelato da participação do grupo na atividade expositiva que ocorreu na própriaunidade, pela análise do desempenho do grupo, pela apresentação dos trabalhospublicados no ano de 2008, e pela avaliação do projeto como um todo.Palavras-chave: Jogos Matemáticos, Modificação no Ensino, Formação de Educadores.
  • 4. SUMÁRIOINTRODUÇÃO 1PROPOSTA 1DESENVOLVIMENTO DO TRABALHO 2AVALIAÇÃO DO DESEMPENHO DO GRUPO 9RESULTADOS 10APÊNDICE 11
  • 5. INTRODUÇÃO A utilização de jogos matemáticos, como instrumento facilitador doprocesso de ensino e aprendizagem, exige que seus objetivos pedagógicos sejambem claros e que seja priorizada a qualidade. Além de ser um objeto socioculturalem que a Matemática está presente, o jogo é uma atividade natural nodesenvolvimento dos processos psicológicos básicos; supõe um fazer semobrigação externa e imposta, embora demande exigências, normas e controle. PROPOSTA O trabalho realizado durante todo o tempo de atividade do grupo, alémde propor a visão dos jogos matemáticos como ferramenta complementar aoensino de matemática, apresentando a contribuição pedagógica que a inserçãodo jogo apresenta durante o processo de ensino/aprendizagem realizado nasescolas de ensino infantil e fundamental; inovou em possibilitar aos acadêmicosdo curso de Licenciatura em Matemática da Feis – Unesp, um “primeiro contato”com a atividade na qual está sendo formado para desenvolver e isso desde o anoem que ingressa no curso. Assim, abordando o uso de ferramentas alternativas epodendo experimentá-las, mesmo durante sua formação, o estudante do cursode Licenciatura em Matemática (futuro professor de matemática) se torna melhorhabilitado a contribuir com um ensino de qualidade. Portanto, os jogos, quandotratado da maneira correta, traz grande benefícios para o ensino de matemáticae, ao formar professores capacitados ao trabalho com jogos a universidade 1
  • 6. mostra mais uma vez seu compromisso com a responsabilidade social. Alémdisso, merece enfoque à submissão de trabalho científico a eventos vários, emdecorrência da pesquisa e experimentação realizada durante o processo. DESENVOLVIMENTO DO TRABALHO Além de alguns dos alunos da formação anterior (ano de 2007), em2008 outros alunos foram agregados ao grupo. Deste modo os alunos do curso deLicenciatura em Matemática que fizeram parte do “Grupo de Estudo sobre JogosMatemáticos” no ano de 2008 foram: • Aline Gomes da Motta • Aline Jardim da Silva • Deleon Monteiro de Alvarenga • Edcarlos Lopes Ferreira dos Santos • Geison Fernando Medeiros Queiroz • Gustavo Carvalho Molina • Jonatas Estevan Soares da Silva • Nathália Mantovanelli Bevilaqua • Silvio Riva Junior • Tiago Henrique Pereira da Silva • Vinicius Arthur dos Santos Guissi 2
  • 7. Neste ano, do mesmo modo que no anterior, o grupo esteve sobcoordenação da professora Dalva Maria de Oliveira Villarreal, e supervisão dasprofessoras Alessandra Bonato Altran e Mara Lúcia Martins Lopes. Além da abordagem dos jogos trabalhados anteriormente, Cubo Soma,Kakuro, Quadrado Mágico e Sudoku, tornou-se foco de estudo os jogos Tangram eTorre de Hanói, culminando na inserção e aplicação dos mesmos nas atividadesexpositivas realizadas pelo grupo. Além disso, foi iniciada a pesquisa sobre novosjogos, tais como, Nikoli, Poliminós, Hitori, Cubo Mágico, Mancala, Quatro quatros,Cubo Bedlan, entre outros, porém, não houve tempo hábil de iniciar a fase deaplicação dos mesmos. No ano de 2008 o grupo realizou apenas uma apresentação expositiva,que ocorreu no evento “Venha nos Conhecer”, que tem por finalidade aapresentação dos cursos à comunidade, contribuindo na escolha da profissão porparte dos vestibulandos. Como nos anos anteriores foram disponibilizados dois“stands” para o curso de Matemática; neles foram expostos vários jogos do LEMe, na medida em que eram visitados, os componentes do grupo apresentavamcada jogo. O evento realizou-se em dois dias e contou com a visitação de alunosdas escolas da região e da comunidade acadêmica em geral. Como o grupo já dispunha de bastante resultados, apostou-se nainiciativa de fazer com que os alunos do grupo tivessem a possibilidade dedesenvolver trabalhos acadêmicos para participação em eventos científicos. Essanova fase foi bastante trabalhosa uma vez que era o primeiro contato com essetipo de atividade. A produção dos textos a serem submetidos aos eventos foiacompanhada diretamente pelas professoras supervisoras e pela orientadora do 3
  • 8. grupo, proporcionando assim, um aprendizado mais direcionado em relação àsnormas de submissão, de apresentação, ou seja, a toda formalidade que éexigida. Deste modo, todo o trabalho árduo do grupo levou a participação domesmo em cinco eventos, abaixo relacionado. Encontro Regional de Matemática Aplicada e Computacional – ERMAC Este evento foi realizado na cidade de Bauru-SP, durante o período de18 a 20 de julho de 2008, sendo publicados pelo grupo cinco trabalhos, que são:1 ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL, Dalva Maria de Oliveira, LOPES, Mara Lúcia Martins. Atividades Matemáticas Envolvendo Jogos – Uma Modificação no Ensino. 1º ENCONTRO REGIONAL DE MATEMÁTICA APLICADA E COMPUTACIONAL - ERMAC 2008, Bauru – SP, p.497 - 501, 2008.2 ALVARENGA, Deleon Monteiro; RIVA JUNIOR, Silvio; GUISSI, Vinícius Arthur S., ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL, Dalva Maria de Oliveira, LOPES, Mara Lúcia Martins. Utilização de Jogos no Ensino de Matemática – Sudoku. 1º ENCONTRO REGIONAL DE MATEMÁTICA APLICADA E COMPUTACIONAL - ERMAC 2008, Bauru – SP, p.570 - 570, 2008.3 MOLINA, Gustavo Carvalho; ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL, Dalva Maria de Oliveira, LOPES, Mara Lúcia Martins. Utilização de Jogos no Ensino de Matemática – Cubo Soma. 1º ENCONTRO REGIONAL DE MATEMÁTICA APLICADA E COMPUTACIONAL - ERMAC 2008, Bauru – SP, p.572 – 572, 2008.4 SILVA, Aline Jardim; SANTOS, Edcarlos Lopes Ferreira; SILVA, Jonatas Estevan Soares; ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL, Dalva Maria de Oliveira, 4
  • 9. LOPES, Mara Lúcia Martins. Utilização de Jogos no Ensino de Matemática – Kakuro. 1º ENCONTRO REGIONAL DE MATEMÁTICA APLICADA E COMPUTACIONAL - ERMAC 2008, Bauru – SP, p.571 - 571, 2008.5 SILVA, Tiago Henrique Pereira; ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL, Dalva Maria de Oliveira, LOPES, Mara Lúcia Martins. Utilização de Jogos no Ensino de Matemática – Quadrado Mágico. 1º ENCONTRO REGIONAL DE MATEMÁTICA APLICADA E COMPUTACIONAL - ERMAC 2008, Bauru – SP, p.569 – 569, 2008. XXXI Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional - CNMAC Este evento ocorreu na cidade de Belém-PR, no período de 8 a 11 desetembro de 2008, em que foram publicados mais quatro trabalhos pelo grupo,sendo esses:1 ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL, Dalva Maria de Oliveira, LOPES, Mara Lúcia Martins. Utilização de Jogos Matemáticos como Ferramenta Alternativa à Metodologia Tradicional do Ensino de Matemática. CONGRESSO NACIONAL DE MATEMÁTICA APLICADA E COMPUTACIONAL - XXXI CNMAC, Belém – PA, 2008.2 ALVARENGA, Deleon Monteiro; RIVA JUNIOR, Silvio; GUISSI, Vinícius Arthur dos Santos, ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL, Dalva Maria de Oliveira, LOPES, Mara Lúcia Martins. O Ensino de Matemática Através do Uso do Jogo Sudoku. CONGRESSO NACIONAL DE MATEMÁTICA APLICADA E COMPUTACIONAL - XXXI CNMAC, Belém – PA, 2008.3 MOLINA, Gustavo Carvalho; ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL, Dalva Maria de Oliveira, LOPES, Mara Lúcia Martins. O Uso do Jogo Cubo Soma 5
  • 10. como Instrumento Auxiliar no Ensino de Matemática. CONGRESSO NACIONAL DE MATEMÁTICA APLICADA E COMPUTACIONAL - XXXI CNMAC, Belém – PA, 2008.4 SILVA, Aline Jardim; SANTOS, Edcarlos Lopes Ferreira; SILVA, Jonatas Estevan Soares; ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL, Dalva Maria de Oliveira, LOPES, Mara Lúcia Martins. A Utilização do Jogo Kakuro no Ensino de Matemática. CONGRESSO NACIONAL DE MATEMÁTICA APLICADA E COMPUTACIONAL - XXXI CNMAC, Belém – PA, 2008. IX Encontro Paulista de Educação Matemática – EPEM Tal evento foi realizado na cidade de Bauru-SP, entre os dias 25 e 27 desetembro de 2008, em que o grupo publicou mais seis trabalhos:1 BEVILAQUA, Nathália Mantovanelli; ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL, Dalva Maria de Oliveira, LOPES, Mara Lúcia Martins. O Jogo Tangram como Ferramenta Complementar ao Ensino de Matemática. IX ENCONTRO PAULISTA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA - EPEM, 2008, Bauru - SP, 2008.2 RIVA JUNIOR, Silvio; GUISSI, Vinícius Artur dos Santos; ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL, Dalva Maria de Oliveira, LOPES, Mara Lúcia Martins. O Jogo Sudoku como uma Alternativa no Ensino de Matemática. IX ENCONTRO PAULISTA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA - EPEM, Bauru - SP, 2008.3 SANTOS, Edcarlos Lopes Ferreira, ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL, Dalva Maria de Oliveira, LOPES, Mara Lúcia Martins. O Uso da Torre de Hanói no Ensino de Matemática. IX ENCONTRO PAULISTA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA - EPEM, Bauru - SP, 2008. 6
  • 11. 4 SILVA, Aline Jardim; SILVA, Jonatas Estevan Soares; ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL, Dalva Maria de Oliveira, LOPES, Mara Lúcia Martins. O Kakuro como uma Ferramenta no Aprendizado de Matemática. IX ENCONTRO PAULISTA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA - EPEM, Bauru - SP, 2008.5 SILVA, Jonatas Estevan Soares; MARQUES, Meire Melo; ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL, Dalva Maria de Oliveira; LOPES, Mara Lúcia Martins. O Cubo Soma como uma Ferramenta na Aprendizagem de Matemática. IX ENCONTRO PAULISTA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA - EPEM, Bauru - SP, 2008.6 SILVA, Tiago Henrique Pereira; ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL, Dalva Maria de Oliveira, LOPES, Mara Lúcia Martins. O Jogo Quadrado Mágico como Auxílio ao Ensino Tradicional de Matemática. IX ENCONTRO PAULISTA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA - EPEM, Bauru - SP, 2008. Congresso de Iniciação Científica da Unesp – CIC Evento realizado na cidade de São José dos Campos, no período de 27de outubro a 01 de novembro de 2008, em que também foram publicados seistrabalhos. Estes mesmos trabalhos foram apresentados na Reunião de IniciaçãoCientifica - RIC, realizada em Ilha Solteira, sendo esses:1 BEVILAQUA, Nathália Mantovanelli; ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL, Dalva Maria de Oliveira, LOPES, Mara Lúcia Martins. Matemática Lúdica: O Jogo Tangran. CONGRESSO DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA DA UNESP – XX CIC UNESP, São José dos Campos – SP, 2008.2 GUISSI, Vinícius Arthur dos Santos, ALTRAN ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL, Dalva Maria de Oliveira, LOPES, Mara Lúcia Martins. Sudoku: 7
  • 12. Uma Alternativa no Ensino e Aprendizagem de Matemática. CONGRESSO DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA DA UNESP – XX CIC UNESP, São José dos Campos – SP, 2008.3 SANTOS, Edcarlos Lopes Ferreira; ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL, Dalva Maria de Oliveira, LOPES, Mara Lúcia Martins. O Uso da Torre de Hanói no Ensino da Matemática. CONGRESSO DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA DA UNESP – XX CIC UNESP, São José dos Campos – SP, 2008.4 SILVA, Aline Jardim; ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL, Dalva Maria de Oliveira, LOPES, Mara Lúcia Martins. O Jogo Kakuro: Uma Proposta de Auxílio no Aprendizado de Matemática. CONGRESSO DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA DA UNESP – XX CIC UNESP, São José dos Campos – SP, 2008.5 SILVA, Jonatas Estevan Soares; ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL, Dalva Maria de Oliveira; LOPES, Mara Lúcia Martins. O Cubo Soma como Ferramenta na Aprendizagem da Matemática. CONGRESSO DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA DA UNESP – XX CIC UNESP, São José dos Campos – SP, 2008.6 SILVA, Tiago Henrique Pereira; ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL, Dalva Maria de Oliveira, LOPES, Mara Lúcia Martins. Atividades Matemáticas Envolvendo Jogos – O Quadrado Mágico como Recurso no Complemento da Aprendizagem. CONGRESSO DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA DA UNESP – XX CIC UNESP, São José dos Campos – SP, 2008. 16o Simpósio Internacional de Iniciação Científica da USP - SIICUSP Este evento se realizou na cidade de São Paulo – SP, no período de 3 a 5de novembro de 2008, neste evento o grupo publicou mais quatro trabalhos, queforam: 8
  • 13. 1 BEVILAQUA, Nathália Mantovanelli; ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL, Dalva Maria de Oliveira, LOPES, Mara Lúcia Martins. O Jogo Tangran no Ensino de Matemática. SIMPÓSIO INTERNACIONAL DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA – SIICUSP 2008, São Paulo – SP, 2008.2 GUISSI, Vinícius Arthur dos Santos, ALTRAN ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL, Dalva Maria de Oliveira, LOPES, Mara Lúcia Martins. O Jogo Matemático Sudoku como Ferramenta no Ensino e Aprendizagem de Matemática. SIMPÓSIO INTERNACIONAL DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA – SIICUSP 2008, São Paulo – SP, 2008.3 SILVA, Jonatas Estevan Soares; ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL, Dalva Maria de Oliveira; LOPES, Mara Lúcia Martins. O Cubo Soma como Ferramenta na Aprendizagem de Matemática. SIMPÓSIO INTERNACIONAL DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA – SIICUSP 2008, São Paulo – SP, 2008.4 SILVA, Tiago Henrique Pereira; ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL, Dalva Maria de Oliveira, LOPES, Mara Lúcia Martins. Jogos no Ensino de Matemática – O Quadrado Mágico como Recurso de Aprendizagem. SIMPÓSIO INTERNACIONAL DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA – SIICUSP 2008, São Paulo – SP, 2008. AVALIAÇÃO DO DESEMPENHO DO GRUPO Por ser já ter ocorrido um processo longo de pesquisa, ambientação,aplicação em sala de aula no ano de 2007, durante o ano de 2008 o grupoapresentou um bom desempenho em relação às atividades propostas, inclusivena fase da confecção dos trabalhos científicos, que era uma experiência nova para 9
  • 14. o grupo, isso se deu devido o fato de já terem adquirido maturidade em relaçãoao esquema de trabalho proposto pelas supervisoras. RESULTADOS Ao final de mais um ano de trabalho pode-se dizer que o resultadonovamente superou as expectativas. Além das atividades de costume, o grupo sesaiu muito bem na proposta de disseminação da idéia da utilização de materiallúdico, através dos trabalhos científicos. Vale ressaltar, novamente, a grandiosa contribuição que o projetotrouxe a comunidade como um todo. Os alunos integrantes do grupo tiveram umamadurecimento significativo com a atividade na qual desenvolveram, tanto comos alunos das escolas quanto na questão expositiva dos trabalhos científicos;adquiriram a habilidade da pesquisa, do trabalho em grupo, da organização dotempo, do comprometimento e formalização de trabalho científico. A atividade com jogos matemáticos, mais uma vez proporcionou amodificação na estrutura educacional, visando o ensino de qualidade tanto nauniversidade, permitindo aos alunos a oportunidade de conhecer de perto aprofissão que escolheram, contribuindo assim para sua formação, quanto nasescolas de ensino infantil, fundamental e médio, modificando a realidade doensino, principalmente de matemática, tornando-o mais atrativo através dautilização jogos matemáticos como ferramentas educacionais alternativas. 10
  • 15. APÊNDICE• Considerações Finais – Mensagem da profa Alessandra.• Produção Científica (Artigos Publicados).• Registro das Apresentações Realizadas. 11
  • 16. ÚLTIMAS PALAVRAS Cá estou eu, mais uma vez findando um trabalho que me orgulho muitoem poder divulgar através desse simples documento. Para muitos pareça ser algopouco significante, para mim é um ato de fundamental importância, pois, relataro trabalho realizado, e arduamente, o torna mais real, e possibilita aos leitoreslibertar as amarras quanto a uma iniciativa que muitas vezes ficam apenas navontade de ter... Quem sabe meu exemplo não o deixe mais motivado a tentar; comodisse no relatório anterior (2007), trabalhar com esse grupo foi um desafio que setornou numa grande batalha. Não foi fácil trabalhar no que não se podetrabalhar, ou, melhor dizendo, não é fácil trabalhar às escuras apenas porque oregimento da universidade não permite a um professor substituto, que é minhacondição, desenvolver outra atividade que não seja o ensino (em sala de aula).Falando em ensino, está aí outro problema que se enfrenta numa faculdade deengenharia em que os cursos de licenciatura ainda estão “engatinhando” e sendoaceitos como licenciatura, não foi fácil... É, mesmo com várias restrições o fato de eu ter conseguido levar adiante essa idéia, cujo resultado foi muito bem aceito por pessoas de mérito naárea (comprovado com a publicação dos 25 trabalhos), só mostra o quanto vale apena investir na educação. Assim, quero deixar registrado meu imenso orgulho pelo trabalho dogrupo como um todo, para o qual me dediquei de coração, e ainda, agradecer
  • 17. pela oportunidade de poder contribuir com a formação de bons profissionais daeducação, pois, é isso que espero dos alunos que acompanhei. Espero, ainda, que esse trabalho não pare por aí, há muito a se fazer, hámuito chão para percorrer, há muitas crianças para educar, há muitos professorespara se formar... E, um trabalho grandioso como este, não pode mais ficar fora dopapel, é preciso investir e investir pesado na formalização deste projeto, esse é oapelo que deixo registrado aqui. Invistam na formação de bons professores, deprofessores que sejam capazes de estar em constante aprendizagem, buscandosempre ferramentas para tornar o aprendizado prazeroso. “Acredito que um tal sistema educativo permitirá o mais alto desenvolvimento da mente e da alma. É preciso, porém, que o trabalho manual não seja ensinado apenas mecanicamente, como se faz hoje, mas cientificamente, isto é, a criança deveria saber o porquê e o como de cada operação (Mahatma Gandhi)”. Portanto, como eu sempre digo, você pode fazer a diferença, mas issonão depende mais de mim, o que eu podia fazer para mudar sua condição eu jáfiz, contei minha experiência, e com muito orgulho, agora cabe a você subir no“palco” e dar o seu “show”. Por fim, como não poderia deixar de fazer, parabenizo o grupo pelobelo trabalho desenvolvido e deixo meus agradecimentos àqueles quecontribuíram de alguma forma com a realização das atividades e à prof. Dalva
  • 18. que, mesmo não podendo ser presença constante, devido suas várias atribuiçõesfrente à universidade, sempre deu suporte ao grupo, principalmente nas questõesburocráticas, o que foi fundamental para que os alunos pudessem ser deslocadosda universidade para as escolas, durante a atividade em sala de aula, e para oseventos nos quais foram apresentados os artigos publicados (ressaltando aliberação do recurso financeiro para tanto), e na questão da integridade do grupoquanto a não-aceitação por parte de alguns de nossos colegas de trabalho... Porcausa dela, “Tiveram que nos engolir.” Enfim, sem qualquer modéstia somos vitoriosos, pois, como segundoFreire: “A educação sozinha não transforma a sociedade, sem ela tão pouco a sociedade muda. Não é no silêncio que os homens se fazem, mas na palavra, no trabalho, na ação-reflexão”. Alessandra
  • 19. “ENCONTRO REGIONAL DEMATEMÁTICA APLICADA ECOMPUTACIONAL - ERMAC” Bauru – SP 18 a 20 de Junho de 2008
  • 20. Atividades Matemáticas Envolvendo Jogos – Uma Modificação no Ensino Alessandra B. Altran, Dalva M. O. Villarreal, Mara L. M. Lopes Depto de Matemática, FEIS, UNESP 15385-000, Ilha Solteira, SP E-mail: lealtran@mat.feis.unesp.br, dalva@mat.feis.unesp.br, mara@mat.feis.unesp.br O objetivo deste trabalho é relatar a jogo para a vida da criança, do jovem e doexperiência da utilização de jogos adulto [2].matemáticos como uma alternativa à Este tipo de formação é inexistentemetodologia tradicional do ensino de nos currículos oficiais dos cursos de formaçãomatemática. Para tanto, será apresentado o de educadores, entretanto, algumasdesenvolvimento do trabalho envolvendo, experiências mostram sua validade; e não sãotanto os alunos do curso de Licenciatura em poucos que afirmam ser a ludicidade aMatemática, da Unesp de Ilha Solteira, quanto alavanca da educação para o terceiro milênioos alunos da rede municipal de ensino do [7]. Porém, vale ressaltar que a utilização dosmunicípio de Ilha Solteira (SP) e Selvíria jogos não é uma novidade no processo(MS). Serão apresentadas, ainda, as educacional. A literatura mostra que nacontribuições dessa atividade em relação às antiguidade essa ferramenta já era utilizada.escolas de ensino fundamental e, Muitos são os registros da contribuição daprincipalmente, ao estudante universitário, atividade lúdica, mais especificamente, osatravés da experiência prática adquirida com a jogos. Porém, ainda hoje, é pouco comumatividade na qual está sendo formado para encontrar escolas que fazem uso desse recurso,desenvolver. mesmo estando em destaque nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN). Segundo osIntrodução PCN, não existe um caminho único e melhor para o ensino da Matemática, veja o trecho a A atividade lúdica é, essencialmente, seguir:um grande laboratório em que ocorrem Finalmente, um aspecto relevante nosexperiências inteligentes e reflexivas, jogos é o desafio genuíno que eles provocampropiciando a aquisição de conhecimento. no aluno, que gera interesse e prazer. Por isso,Assim, ocorre a preocupação de complementar é importante que os jogos façam parte dao processo educativo dos futuros educadores, cultura escolar, cabendo ao professor analisarou seja, deseja-se fazer com que os alunos do e avaliar a potencialidade educativa doscurso de Licenciatura em Matemática, desde o diferentes jogos e o aspecto curricular que seinicio do curso, tenham contato com as deseja desenvolver [8].ferramentas pedagógicas alternativas. Assim, de forma a modificar essa A formação lúdica possibilita o realidade, objetiva-se a utilização dos jogosdesenvolvimento de certas habilidades matemáticos como ferramenta facilitadora deimprescindíveis para o aprendizado de aprendizagem; considerando que, conhecer asMatemática e para a resolução de problemas possibilidades de trabalho em sala de aula éem geral, tais como, organização, atenção e fundamental para que o professor construa suaconcentração [1]. Existem jogos que encerram prática. Portanto, esta é uma proposta queem suas soluções lições valiosas, muito atinge tanto o educando, quanto o futurosemelhantes à resolução sistemática de educador.problemas. Além disso, a atividade lúdica leva o Iniciativaeducador a conhecer-se como pessoa, saber desuas possibilidades, desbloquear resistências e Em 2006, ocorreu a primeira propostater uma visão clara sobre a importância do de estudo sobre jogos matemáticos. Para tanto,
  • 21. foi organizado um grupo, composto por alunos composto por doze alunos, do curso dedo primeiro ano do curso de Matemática. Licenciatura em Matemática (ingressantes emForam estudados alguns jogos que o LEM 2007) e por três professores do departamento(Laboratório de Ensino de Matemática) de Matemáticadispunha; tais como, Torre de Hanói, A primeira etapa do trabalho foiQuadrado Mágico e Tangram. Porém, tal composta pela realização do levantamento dospesquisa foi realizada de forma bastante jogos que o LEM dispunha, e a seleção desuperficial, pois, os alunos ainda apresentavam quais seriam abordados, já que a primeiradificuldades nos conceitos matemáticos proposta era a apresentação do referidoenvolvidos. O resultado dessa pesquisa inicial evento. Foram selecionados quatro jogosfoi apresentado na Oficina “Jogos matemáticos: Quadrado Mágico, Kakuro,Matemáticos”, na V Semana da Matemática Sudoku e Cubo Soma, com mostra a Figura 1.desta instituição. Em 2007, essa proposta foi retomada Quadrado Mágico Kakuroquando as disciplinas Álgebra Elementar (1osemestre) e Fundamentos de MatemáticaElementar (2o semestre), reformuladas demodo a cumprir a exigência do MEC deintroduzir aulas teórico-práticas em algumasdisciplinas, fez uso dos jogos matemáticospara evidenciar a aplicação da teoria estudada. Sudoku Cubo Soma A princípio, a prática aplicada nasdisciplinas só tinha o propósito de cumprir ospreceitos determinados pelo MEC. Porém, umconvite realizado pela coordenação do cursode Licenciatura em Matemática em oferecer,em um evento promovido pelo própriodepartamento, uma oficina que abordasse Figura 1 – Jogos escolhidos para desenvolvimento dajogos matemáticos, levou à formação do atividade“Grupo de Estudo sobre Jogos Matemáticos”.Desta vez, o trabalho se deu de forma bem Assim, houve a necessidade de dividirelaborada, uma vez que os alunos já o grupo de forma a abordar os quatro temas,apresentavam maior domínio das teorias formando assim, subgrupos de três alunos.envolvidas, pelo fato de terem sido tratadas Apesar de cada grupo ter ficado responsávelnas disciplinas. por apenas um jogo, exigiu-se que os mesmos, através dos demais, tomassem conhecimento dos outros jogos, ou seja, de qualquer formaDesenvolvimento da Proposta todos os alunos deveriam conhecer os quatro jogos. O trabalho objetivou a abordagem A primeira tarefa proposta ao grupoapurada dos jogos matemáticos, como foi realizar o levantamento bibliográfico sobrealternativa à metodologia tradicional do ensino a teoria envolvida e o estudo do método dede matemática, ou seja, além de propor ao resolução de cada jogo. Os alunos utilizaramgrupo a pesquisa sobre a funcionalidade de os livros da biblioteca do campus e a internet.cada jogo; propôs-se também, a abordagem de Durante esse processo surgiu idéia detoda a fundamentação teórica e pedagógica levar o grupo ao atendimento direto aos alunosenvolvida. do ensino fundamental. Para tanto, foi Com já mencionado anteriormente, o necessário fazer com que cada grupo tivessetrabalho teve início com a formação do grupo, condições de confeccionar os jogos, pois, comcujos alunos foram selecionados através da a livre manipulação de materiais variados, aanálise de seu desempenho nas atividades de criança passa a reconstituir e reinventar asprática de ensino das disciplinas tratadas coisas, o que já exige uma adaptação maisacima, ou seja, que apresentaram bom completa [3]. Assim, os alunos desenvolveramdesempenho e maior habilidade de expressão, uma pesquisa que os levou a estarem aptos àcolocação e didática. Assim, o grupo foi confecção de cada jogo. Durante esse processo
  • 22. de experimentação, foram utilizados os Segunda atividademateriais que o LEM dispunha. “Venha nos Conhecer” Terminada a fase de preparação, os (28 e 29 de setembro de 2007 - Feis/Unesp)alunos estavam prontos para “irem a campo”.Assim, foram realizadas quatro apresentações, Tal evento tem a finalidade desendo duas em eventos da própria apresentar à comunidade um pouco do queuniversidade e duas em escolas de ensino cada profissão pode agregar, facilitando assim,fundamental. A descrição detalhada de cada a escolha por parte dos vestibulandos. Pelouma das quatro atividades desenvolvidas será fato deste evento ter uma característicafeita no que segue. expositiva, fez-se necessário a apresentação de uma variedade maior de jogos, levando os Primeira atividade integrantes do grupo a conhecerem a “VI Semana da Matemática” metodologia de cada jogo. Contou-se com a (20 e 21 de setembro de 2007 - Feis/Unesp) disponibilização de dois “stands” para o curso de Matemática; neles foram expostos vários Como dito anteriormente, essa foi à jogos do LEM, como mostra a figura 3.primeira apresentação realizada e,conseqüentemente, a atividade que mais deutrabalho. Devido o tipo de evento foinecessário formalizar melhor a teoriamatemática e a aplicação pedagógica dosjogos, pois, o público alvo eram alunos daprópria universidade e professores do ensinofundamental e médio. Para essa atividade foinecessária a confecção de vários materiais,pois, não era apenas uma apresentaçãoinformativa, mas sim, participativa, em que,abordaram-se os quatro jogos citados, quepodem ser vistos através da figura 2. Figura 3 – Fotos do Venha nos conhecer Cada grupo apresentou o tema no qualfoi designado, apesar de poucos, houve Dessa forma, os alunos explicavaminteração com os participantes, que sobre os jogos à medida que grupos dedesenvolveram as atividades propostas. visitantes passavam pelo “stand”. O evento realizou-se em dois dias e contou com a visitação de alunos das escolas da região e da comunidade acadêmica em geral. Essa apresentação abriu portas para o grupo de estudos, muitos foram os interessados em conhecer tal atividade. Foi durante a realização deste trabalho que os alunos tiveram um grande reconhecimento e, a partir daí, o grupo recebeu o convite do colégio Anglo para demonstração dos jogos matemáticos em suas dependências. Terceira atividade “Escola Municipal Prof. Nelson Duarte Rocha” (14 de novembro de 2007 - Selvíria/MS) O convite feito pela escola “Prof. Nelson Duarte Rocha”, para surpresa de todos, foi intermediado por uma professora de Figura 2 – Fotos da IV Semana da Matemática Língua Portuguesa, que mostrou grande
  • 23. comprometimento com seu ambiente de A atividade foi desenvolvida atravéstrabalho. da exposição dos jogos do LEM, da mesma A apresentação foi realizada de forma forma que ocorreu na segunda atividade,muito parecida à da primeira atividade, porém, dispostos em uma sala de aula, comotambém foram abordados os jogos Cubo mostra a figura 5.Soma, Kakuro, Sudoku e Quadrado Mágico,porém, adaptados aos alunos de cada série, no Resultadoscaso quarto e sexto ano, veja a figura 4. A atividade envolvendo jogos matemáticos trouxe muitos benefícios, pois, foi possível comprovar que o jogo possibilita a aproximação do sujeito ao conteúdo científico, através da linguagem, informações, significados culturais, compreensão de regras, imitação, bem como pela ludicidade inerente ao próprio jogo, assegurando assim, a construção de conhecimentos mais elaborados e interação social [5], [6]. Em relação aos alunos participantes do grupo, por serem alunos do primeiro ano do curso de Licenciatura em Matemática, levou- se em consideração que os mesmos estavam em fase de aprendizado e adaptação com as atividades acadêmicas, assim, a interferência da coordenação foi fundamental para o bom Figura 4 – Fotos da visita à escola municipal Nelson Duarte rocha desenvolvimento das atividades. Assim, durante todo o processo, os Quarta Atividade alunos iam vencendo barreiras. Na primeira “Colégio Anglo – Iha Solteira” etapa a maior dificuldade apontada por eles (19 de novembro de 2007 - Ilha Solteira/SP) era encontrar material para fundamentar cada jogo, já que esse tipo de abordagem não é Como dito acima, após tomar muito usual. Já na segunda etapa, como eraconhecimento do trabalho desenvolvido pelo esperado, os alunos esbarraram nogrupo, o colégio Anglo fez um convite para preconceito, pois, a idéia de aprendizadoparticipação em uma atividade expositiva que voltado ao ensino, ainda não é uma das maisenvolvia pais, alunos e funcionários do próprio bem aceitas dentro de um ambiente cujocolégio. contexto é voltado simplesmente à aprendizagem do conteúdo, apesar de o curso ser Licenciatura. No geral, todos se comportaram muito bem, atenderam às expectativas. Por ser um primeiro contato com a atividade de pesquisa e de docência, apresentaram certa insegurança, que foi sendo minimizada ao passo que as apresentações vinham ocorrendo. Vale ressaltar que o modo com o qual os alunos colocaram os jogos na tentativa de seduzir os alunos, de forma a introduzir a teoria matemática envolvida, foi surpreendente Assim, foi notório o amadurecimento e crescimento individual que essa atividade provocou nesses alunos. Agora, em relação aos alunos do ensino fundamental, pouco se pode dizer, pois, Figura 5 – Fotos da visita ao colégio Anglo - ISA foram realizadas apenas duas visitas e, em
  • 24. locais diferentes, mas, mesmo assim foi Perspectivas Futuraspossível observar o grande contentamento quetal atividade trouxe aos alunos, comprovando Para o ano de 2008 a proposta é dara afirmação de Guzmán, que reforça que a continuidade ao trabalho, pois, ainda há muitautilização de jogos no ensino de Matemática contribuição a ser dada. Como as atividadesnão tem função apenas de divertir, mas sim, de nas escolas agradaram bastante, o grupoextrair das atividades, materiais suficientes recebeu o convite de mais três escolas para apara gerar conhecimento, interesse e fazer com apresentação do trabalho com jogos.que os estudantes pensem com certa Sendo assim, objetiva-se realizar omotivação [4]. atendimento a esses convites, de forma a Pode-se dizer, ainda, que a atividade continuar contribuindo com sistema ensino;e,provocou mudança na forma de pensar dos absorver os alunos do curso de matemática,próprios professores das escolas, pois, como ingressantes em 2008, dando oportunidade,permaneciam na sala durante a atividade, aos mesmos, de colaborarem com sua própriapassaram a repensar melhor sobre sua prática formação.docente. ReferênciasConclusão [1] A. M. Boavida, Resolução de problemas: Ao final de, praticamente, seis meses Que rumos para a educação matemática?de trabalho, pode-se dizer que o resultado foi em “Educação Matemática - Temas demaravilhoso, superando as expectativas. Este Investigação” (M. Brown, D. Fernandes, J.foi um grupo que começou sem nenhuma F. Matos & J. P. Ponte, eds.), pp. 105 -perspectiva, mas com esperanças que 114, Lisboa: IIE/SPCE, 1992.pudessem mudar a opinião preconceituosasobre a prática de ensino. [2] J. Borin. “Jogos e resolução de Nesse pouco tempo foi possível problemas: uma estratégia para as aulas deperceber a grandiosa contribuição que o matemática”, São Paulo: IME-USP,projeto trouxe a comunidade como um todo. 1996.Os alunos integrantes do grupo tiveram umamadurecimento significativo com a atividade [3] J. Piaget. “Estudos Sociológicos”. Rio dena qual desenvolveram; adquiriram a Janeiro: Forense, 1973.habilidade da pesquisa, do trabalho em grupo, [4] M. Guzmán. Tendencias actuales de lada organização do tempo, do enseñanza de la matemática, Studiacomprometimento, e mais, o “choque” com a Paedagogica, Revista de Ciencias de larealidade fez com que eles pudessem “sentir Educación, vol.21, pp 19 - 26, (1989).na pele” o que realmente é a profissão queescolheram, e o que podem fazer para [5] M. O. Moura. A séria busca no jogo: domelhorar a situação precária na qual se lúdico na matemática, A Educaçãoencontra o ensino público. Matemática em Revista, SBEM, n.3, Essa atividade foi o passo inicial para 1994.a modificação na estrutura educacional,visando o ensino de qualidade em todos os [6] R. P. Brenelli, “O jogo como espaço paraníveis; na universidade, permitindo aos alunos pensar: a construção de noções lógicas ea oportunidade de conhecer de perto a aritméticas”. Campinas, São Paulo:profissão que escolheram, contribuindo assim Papirus, 1996.para sua formação; nas escolas de ensinofundamental e médio, modificando a realidade [7] S. M. P. Santos. “O lúdico na formaçãodo ensino, principalmente de matemática, do educador”, Petrópolis, Rio de Janeiro:tornando-o mais atrativo, através da utilização Vozes, 1997.jogos matemáticos como ferramentas [8] ____Secretaria da Educação Fundamental.educacionais alternativas; e “Parâmetros Curriculares Nacionais”,conseqüentemente, modificando a comunidade Brasília: MEC/SEF, pp. 48 - 49, 1997.como um todo.
  • 25. Utilização de Jogos no Ensino de Matemática – Cubo Soma Gustavo Carvalho Molina Universidade Estadual Paulista “Julio de Mesquita Filho” 15385-000, Campus de Ilha Solteira, SP E-mail: gustavo_carvalhomolina@hotmail.com Alessandra B. Altran, Dalva M. O. Villarreal, Mara L. M. Lopes Depto de Matemática, FEIS, UNESP 15385-000, Ilha Solteira, SP E-mail: lealtran@mat.feis.unesp.br, dalva@mat.feis.unesp.br, mara@mat.feis.unesp.br RESUMOA utilização de jogos pode constituir umferramental auxiliar no ensino e aprendizagemda matemática. Os jogos matemáticos tornamo aprendizado mais prazeroso e descontraído,saindo da rotina maçante de conteúdos em salade aula para uma atividade mais prática edinâmica. Assim, foi formado um grupo dealunos para estudar tais jogos, com afinalidade de levá-los às escolas Figura 2: Formas criadasproporcionando uma maneira diferente deensinar matemática. As atividades com jogos matemáticos contam com um grupo de 12 alunos do curso deA intenção central do estudo foi fazer com que Licenciatura em Matemática. Inicialmenteos alunos do ensino Fundamental e Médio fazemos pesquisa aprofundada paraadquirissem alguns conceitos matemáticos que conhecermos cada jogo, em seguidanão ficavam bem esclarecidos em sala de aula procuramos formas de confeccionar os jogoscomo, por exemplo, noção de área, volume, e, após várias apresentações para o grupo,componentes de um sólido geométrico (tais fazemos apresentações nas escolas públicas decomo, aresta, faces, vértices). Também ensino Fundamental e Médio. A partir dessepossibilitar a manipulação de objetos e as trabalho podemos organizar os jogos detentativas de encaixamentos para construções maneira a buscar resultados específicos nousando policubos (peças componentes do aprendizado dos alunos.Cubo Soma), um cubo maior 3x3x3 unidades. O trabalho com jogos matemáticos é muito interessante no que diz respeito à construção de conhecimento dos alunos, já que os mesmos ficam mais motivados em relação a fazer descobertas e pesquisas sobre assuntos referentes a tais jogos. Referências Figura 1: Peças do Cubo Soma. [1] http://www.espacociencia.pe.gov.br/areas/Em determinadas séries, os alunos podem matematica/cubo.phptentar desenhar, criar outras formas com as Acesso em: 22/03/2008.peças do Cubo Soma, como sofás, poltronas,mesas, fatos que tornam a atividade com o [2] http://pt.wikipedia.org/wiki/CuboSomaCubo Soma ainda mais divertida e Acesso em: 22/03/2008.desafiadora.
  • 26. Utilização de Jogos no Ensino de Matemática – Kakuro Aline J. Silva, Edcarlos L. F. Santos, Jonatas E. S. Silva Universidade Estadual Paulista “Julio de Mesquita Filho” 15385-000, Campus de Ilha Solteira, SP E-mail: aline71142@aluno.feis.unesp.br, edcarlos71125@aluno.feis.unesp.br, jonatas71179@aluno.feis.unesp.br Alessandra B. Altran, Dalva M. O. Villarreal, Mara L. M. Lopes Depto de Matemática, FEIS, UNESP 15385-000, Ilha Solteira, SP E-mail: lealtran@mat.feis.unesp.br, dalva@mat.feis.unesp.br, mara@mat.feis.unesp.br RESUMOO Kakuro foi criado no Japão, porém, sua O objetivo de levar o Kakuro para sala de aulapropagação foi dada nos Estados Unidos e na se baseia no fato de grande parcela dos alunosInglaterra na década de 90. O jogo é rejeitarem a disciplina de matemática; e nós,constituído por uma tabela contendo números como educadores, temos a responsabilidade denaturais, de um a nove (excluindo assim o criar, inovar e tornar a aula mais dinâmica, azero), tendo como objetivo fazer com que a fim de atender aos anseios de nossos alunos. Osoma de cada linha seja igual ao número Kakuro é um passatempo que exige lógica emostrado à esquerda, e a soma de cada coluna conhecimento matemático, podendo assim, serseja igual ao número mostrado no topo, como levado para dentro da sala de aula. Em [3],mostra a figura 1. POSSANI afirma que “O jogo Kakuro é um jogo tipíco para usar em atividades escolares, pois, une estética, gosto pelo desafio e conteúdo matemático específico”. Quando utilizado em sala de aula, o Kakuro pode ser aplicado em todas as séries, ou seja, é possível trabalhar com o Kakuro com alunos de diversas idades, estabelecendo-se o mesmo objetivo, visando o raciocínio lógico, noções de soma e combinação de números, porém, Figura 1. Representação da soma. adaptados de acordo com as séries.Porém, como mostra a figura 2, os números No projeto de divulgação de Jogosutilizados não podem ser repetidos tanto nas Matemáticos do Laboratório de Ensino delinhas, quanto nas colunas, ou seja, numa Matemática da Unesp de Ilha Solteira, váriasmesma linha, ou coluna, não podem ter situações de aplicação de jogos para crianças,números repetidos. têm sido vivenciadas nas escolas da região. Referências [1] http://pt.wikipedia.org/wiki/Kakuro Acesso em: 22/03/2008. [2] http://rachacuca.com.br/kakuro Acesso em: 22/03/2008. [3] http://revistaepoca.globo.com/Revista/Epo Figura 2. Representação de repetição não ca/0,,EDR73605-6014,00.html permitida. Acesso em: 22/03/2008.
  • 27. Utilização de Jogos no Ensino de Matemática – Quadrado Mágico Tiago Henrique Pereira da Silva Universidade Estadual Paulista “Julio de Mesquita Filho” 15385-000, Campus de Ilha Solteira, SP E-mail: tiagohenrique.mat@aluno.feis.unesp.br Alessandra B. Altran, Dalva M. O. Villarreal, Mara L. M. Lopes Depto de Matemática, FEIS, UNESP 15385-000, Ilha Solteira, SP E-mail: lealtran@mat.feis.unesp.br, dalva@mat.feis.unesp.br, mara@mat.feis.unesp.br RESUMOSegundo a história da Matemática o Quadrado mais avançadas, fizemos uma introdução aoMágico foi descoberto pelos chineses há mais hexágono mágico.de 3.000 anos antes de Cristo. Conta-se que oprimeiro registro de um quadrado mágico - de A apresentação dos jogos despertou grandeorigem antiga, mas desconhecida - foi curiosidade nas crianças, contribuindo para osupostamente trazido para os homens por uma aprendizado de matemática; sentimos que ostartaruga do rio Lo, nos dias do lendário professores, mesmo possuindo oimperador Yii, considerado um engenheiro conhecimento dos jogos, ficam inseguros comhidráulico. Evidentemente, a forma dos o novo método que acaba tornando a aula maisalgarismos não era igual aos que estão no dinâmica e atrativa, otimizando acasco da tartaruga, mas os valores, sim. aprendizagem.O Quadrado Mágico consiste em uma matriz O ensino/aprendizagem de matemáticanumérica quadrada, em que, as somas das constitui um grande problema na atuallinhas, das colunas e das duas diagonais situação educacional que enfrentamos. Aprincipais são as mesmas. Por exemplo, o mudança de postura em sala de aula deve serQuadrado Mágico 3 x 3, é formado pelos nove uma das tentativas dos educadores na intençãodígitos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, dispostos em de despertar o interesse de seus aprendizestrês linhas e três colunas, neste caso, as somas para a beleza do estudo da matemática, ounos sentidos horizontais, verticais e diagonais, seja, o educador é a peça chave no processo dasão constantes e iguais a 15. reforma educacional. Referências [1] http://pt.wikipedia.org/wiki/Quadrado_má gico Acesso em: 22/03/2008. [2] http://www.jogosboole.com.br/tutoriais_m Figura 1- Quadrado Mágico ostra.asp?id=19 Acesso em: 22/03/2008.O Quadrado Mágico foi apresentado em duasescolas da cidade de lha Solteira e em uma [3] http://galileu.globo.com/edic/92/desafio1.escola da cidade de Selvíria (MS), através de htmaulas teórico-expositivas, assim, optamos pela Acesso em: 22/03/2008.divisão em níveis, já que foram atendidosalunos de séries diferentes e, para as séries
  • 28. Utilização de Jogos no Ensino de Matemática – Sudoku Deleon M. Alvarenga, Silvio R. Junior, Vinicius A. S. Guissi Universidade Estadual Paulista “Julio de Mesquita Filho” 15385-000, Campus de Ilha Solteira, SPE-mail: deleon71070@aluno.feis.unesp.br, silvio71015@aluno.feis.unesp.br, vinnyguissi@hotmail.com Alessandra B. Altran, Dalva M. O. Villarreal, Mara L. M. Lopes Depto de Matemática, FEIS, UNESP 15385-000, Ilha Solteira, SP E-mail: lealtran@mat.feis.unesp.br, dalva@mat.feis.unesp.br, mara@mat.feis.unesp.br RESUMOO trabalho enfatiza a utilização de jogos símbolos, formas, cores e letras, que podemmatemáticos, neste caso específico o jogo ser usados sem alterar as regras.Sudoku, no ensino de matemática. Autilização de jogos traz um grande estímulo ao Em nosso trabalho, foram atendidas escolas deaprendizado, pois, além de motivar os alunos, ensino fundamental e médio (públicas eexigem aumento da concentração e disciplina. particulares), por esse motivo, houve a necessidade de abordar o Sudoku nas diversasSuuji wa dokushin ni kagiru, uma grande frase formas e níveis, de acordo com a série na qualpara nomear um jogo matemático, conhecido seria abordado. A intenção foi proporcionar ocomo Sudoku; a tradução da frase pode ser aumento do aproveitamento dos alunos dentroentendida como: os dígitos devem permanecer de sala de aula, estimulando a memória, aúnicos. O jogo Sudoku é constituído por uma manipulação de informações, e o raciocíniograde 9x9 dividida em sub-grades 3x3, que lógico dos alunos. Outros jogos foramsão chamadas de regiões (ou ainda, caixas, abordados em complementação ao Sudoku,blocos, quadrantes). Cada local onde se coloca por exemplo, o Kakuro, estimulando tambémo número é chamado de célula. Algumas o cálculo aritmético.células já contêm os chamados “númerosdados” que, dependendo da dificuldade, Com a introdução dos jogos matemáticosvariam de quantidade. O objetivo do jogo é percebemos um grande interesse dos alunoscompletar todas as células com números de 1 a nessas atividades; quando a matemática9, de maneira que nenhum número se repita existente em cada jogo foi exposta de maneiranas linhas, colunas e regiões. Veja a figura a formal, notamos certa curiosidade, eseguir. disposição dos alunos em entender e vencer o jogo a eles proposto. Sendo assim, foi possível diversificar a forma de ensino mostrando aos professores novas opções de trabalho. Referências [1] http://www.abril.com.br/sudoku Acesso em: 22/03/2008. [2] www.jjx.com.br/sudoku Acesso em: 22/03/2008. Figura 1- Sudoku [3] www.wikipedia.org/SudokuPorém, existem várias formas de Sudoku: o Acesso em: 22/03/2008.numérico (o mais usado), combinação de
  • 29. “CONGRESSO NACIONAL DEMATEMÁTICA APLICADA ECOMPUTACIONAL - ERMAC” Belém – PA 08 a 11 de Setembro de 2008
  • 30. Utilização de Jogos Matemáticos como Ferramenta Alternativa à Metodologia Tradicional do Ensino de Matemática Alessandra B. Altran, Dalva M. O. Villarreal, Mara L. M. Lopes Depto de Matemática, FEIS, UNESP, 15385-000, Ilha Solteira, SP E-mails: lealtran@mat.feis.unesp.br, dalva@mat.feis.unesp.br, mara@mat.feis.unesp.br RESUMOO objetivo deste trabalho é relatar a Portanto, pode-se dizer tal proposta foi o passoexperiência do uso pedagógico dos jogos inicial para a modificação na estruturadurante as aulas de Matemática, em escolas de educacional, visando o ensino de qualidade emensino fundamental. Por outro lado, trabalho todos os níveis; na universidade, permitindoainda tem o propósito de evidenciar a aos alunos a oportunidade de conhecer deimportância da inserção da abordagem dos perto a profissão que escolheram, contribuindojogos matemáticos durante processo de assim para sua formação; nas escolas deformação de educadores, ou seja, comprovar o ensino fundamental e médio, modificando avalor da utilização dessa ferramenta realidade do ensino, principalmente dealternativa através da experiência prática matemática, tornando-o mais atrativo, atravésadquirida com a atividade na qual está sendo da utilização jogos matemáticos comoformado para desenvolver. ferramentas educacionais alternativas; e conseqüentemente, modificando a comunidadeAssim, para o desenvolvimento dessa como um todo.atividade de extensão, foi formado o “Grupode Estudo sobre Jogos Matemáticos”, Referênciascomposto por doze alunos do curso deLicenciatura em Matemática e três professores [1] A. M. Boavida, Resolução de problemas:da UNESP de Ilha Solteira, que têm como Que rumos para a educação matemática?principal objetivo a divulgação da em “Educação Matemática - Temas demetodologia de utilização de jogos no ensino Investigação” (M. Brown, D. Fernandes,de matemática, como alternativa à postura J. F. Matos & J. P. Ponte, eds.), pp. 105 -tradicional do professor. 114, Lisboa: IIE/SPCE, 1992.O processo de experimentação se deu em duas [2] J. Borin. “Jogos e resolução deescolas da rede municipal de ensino dos problemas: uma estratégia para as aulasmunicípios de Ilha Solteira (SP) e Selvíria de matemática”, São Paulo: IME-USP,(MS), desse modo, foi possível observar que 1996.tal atividade provocou certo contentamento [3] J. Piaget. “Estudos Sociológicos”. Rio depor parte dos alunos e uma modificação na Janeiro: Forense, 1973.forma de pensar dos próprios professores dasescolas. [4] M. Guzmán. Tendencias Actuales de la Enseñanza de la Matemática, StudiaEm relação aos alunos integrantes do grupo, Paedagogica, Revista de Ciencias de lapode-se dizer que os mesmos tiveram um Educación, vol.21, pp 19 - 26, (1989).amadurecimento significativo com a atividade [5] M. O. Moura. A séria busca no jogo: dona qual desenvolveram; adquiriram a lúdico na matemática, A Educaçãohabilidade da pesquisa, do trabalho em grupo, Matemática em Revista, SBEM, n.3,do comprometimento, e mais, o “choque” com 1994.a realidade fez com que eles pudessem “sentirna pele” o que realmente é a profissão que [6] ____Secretaria da Educaçãoescolheram, e o que podem fazer para Fundamental. “Parâmetros Curricularesmelhorar a situação precária na qual se Nacionais”, Brasília: MEC/SEF, pp. 46 -encontra o ensino público. 47, 1998.
  • 31. O uso do jogo Cubo Soma como instrumento auxiliar no ensino de Matemática Gustavo Carvalho Molina Universidade Estadual Paulista “Julio de Mesquita Filho” 15385-000, Campus de Ilha Solteira, SP E-mail: gustavo_carvalhomolina@hotmail.com Alessandra B. Altran, Dalva M. O. Villarreal, Mara L. M. Lopes Depto de Matemática, FEIS, UNESP 15385-000, Ilha Solteira, SP E-mail: lealtran@mat.feis.unesp.br, dalva@mat.feis.unesp.br, mara@mat.feis.unesp.br RESUMONa tentativa de fazer do ensino de matemáticauma atividade prazerosa, apostou-se nautilização de ferramentas alternativas, taiscomo, os jogos matemáticos. A utilização dosjogos em sala de aula propicia um maioraprendizado saindo da rotina maçante deconteúdos para uma atividade mais prática e Figura 2: Formas criadas com os Policubos.dinâmica. Deste modo, o objetivo da análisedo jogo Cubo Soma, foi buscar uma O trabalho foi iniciado com a pesquisaferramenta que possibilitasse a aquisição, por aprofundada do jogo, destacando notaçãoparte dos alunos do ensino Fundamental e histórica, fundamentação matemática,Médio, de conceitos matemáticos que não contribuição pedagógica, e ainda, a confecçãoficavam bem esclarecidos em sala de aula do Cubo Soma. Após várias apresentaçõescomo, por exemplo, noção de área, volume, para o próprio grupo, foram feitascomponentes de um sólido geométrico (tais apresentações nas escolas públicas de ensinocomo, aresta, faces, vértices). Fundamental e Médio.O cubo soma é um quebra-cabeça criado em Portanto, foi possível observar a contribuição1936 pelo poeta e matemático dinamarquês que esse tipo de atividade proporciona,Piet Hein. O objetivo é usar os sete policubos principalmente, no que diz respeito à(peças formadas por pequenos cubos unitários) construção de conhecimento dos alunos, já quepara montar um cubo de 3x3x3 unidades. os mesmos ficam mais motivados em relação aExistem 240 maneiras distintas de montar o fazer descobertas e pesquisas sobre assuntoscubo soma, sem contar rotações e reflexões. referentes a tais jogos. Referências [1] A. H. Ferrari, M. C. C. S. Carvalho e P. Furtado,“Conhecendo o Cubo Soma”, Anais do X Simpósio Multidisciplinar da Figura 1: Os Policubos e o Cubo Soma. USJT, 2004.As peças também podem ser usadas para [2] http://www.espacociencia.pe.gov.br/areas/montar uma variedade de formas matematica/cubo.phptridimensionais interessantes, como poltronas, Acesso em: 29/04/2008.mesas e cadeiras, fatos que tornam a atividadecom o Cubo Soma ainda mais divertida e [3] http://pt.wikipedia.org/wiki/CuboSomadesafiadora. Acesso em: 29/04/2008.
  • 32. A utilização do jogo Kakuro no ensino de Matemática Aline J. Silva, Edcarlos L. F. Santos, Jonatas E. S. Silva Universidade Estadual Paulista “Julio de Mesquita Filho” 15385-000, Campus de Ilha Solteira, SP E-mail: aline71142@aluno.feis.unesp.br, edcarlos71125@aluno.feis.unesp.br, jonatas71179@aluno.feis.unesp.br Alessandra B. Altran, Dalva M. O. Villarreal, Mara L. M. Lopes Depto de Matemática, FEIS, UNESP 15385-000, Ilha Solteira, SP E-mail: lealtran@mat.feis.unesp.br, dalva@mat.feis.unesp.br, mara@mat.feis.unesp.br RESUMOA utilização de jogos no ensino de matemática O Kakuro é um passatempo que exige lógica eé uma prática freqüente nas escolas municipais conhecimento matemático podendo, assim, serde ensino infantil e fundamental do município levado para dentro da sala de aula. Comode Ilha Solteira, resultado de uma atividade grande parte dos alunos rejeita a disciplina daintensa de pesquisa e experimentação do matemática, optou-se por utilizar o jogogrupo de estudo formado por alunos do curso Kakuro de modo a tornar a aula maisde Licenciatura em Matemática da UNESP de dinâmica, a fim de atender aos anseios dosIlha Solteira. alunos. Em [3], POSSANI afirma que “O jogo Kakuro é um jogo tipíco para usar emUm dos jogos abordados é o Kakuro. O atividades escolares, pois, une estética, gostoKakuro, criado no Japão, é um jogo pelo desafio e conteúdo matemáticoconstituído por uma tabela contendo números específico”.naturais, de um a nove (excluindo assim ozero), cujo objetivo é fazer com que a soma de Na escola, a abordagem do Kakuro podecada linha seja igual ao número mostrado à ocorrer em todas as séries, ou seja, o Kakuroesquerda, e a soma de cada coluna seja igual pode ser trabalhado com alunos de diversasao número mostrado no topo. idades, estabelecendo-se o mesmo objetivo, visando o raciocínio lógico, noções de soma e combinação de números, porém, adaptados de acordo com as séries. No projeto de divulgação de Jogos Matemáticos do Laboratório de Ensino de Matemática da UNESP de Ilha Solteira, várias situações de aplicação de jogos para crianças, têm sido vivenciadas nas escolas da região. Figura 1. Representação da soma.Porém, numa mesma linha, ou coluna, não Referênciaspode haver números repetidos. [1] http://www.kakuro.com/howtoplay.php Acesso em: 29/04/2008. [2] http://rachacuca.com.br/kakuro Acesso em: 29/04/2008. [3] http://revistaepoca.globo.com/Revista/Epo ca/0,,EDR73605-6014,00.html Acesso em: 29/04/2008. Figura 2. Representação de repetição não [4] http://pt.wikipedia.org/wiki/Kakuro permitida. Acesso em: 29/04/2008.
  • 33. O ensino de Matemática através do uso do jogo Sudoku Deleon M. Alvarenga, Silvio R. Junior, Vinicius A. S. Guissi Universidade Estadual Paulista “Julio de Mesquita Filho” 15385-000, Campus de Ilha Solteira, SPE-mail: deleon71070@aluno.feis.unesp.br, silvio71015@aluno.feis.unesp.br, vinnyguissi@hotmail.com Alessandra B. Altran, Dalva M. O. Villarreal, Mara L. M. Lopes Depto de Matemática, FEIS, UNESP 15385-000, Ilha Solteira, SP E-mail: lealtran@mat.feis.unesp.br, dalva@mat.feis.unesp.br, mara@mat.feis.unesp.br RESUMOA utilização de jogos matemáticos no ensinoproporciona um grande estímulo aoaprendizado, pois, além de motivar os alunos,exigem aumento da concentração e disciplina.Dessa forma, um grupo estudos sobre jogosmatemáticos, composto por alunos do curso de Figura 2- Variações do SudokuLicenciatura em Matemática da Unesp de IlhaSolteira, foi formado a fim estudar toda a Como são atendidas escolas de ensinoteoria sobre jogos, possibilitando levá-lo para fundamental e médio, ocorre à necessidade dea sala de aula. Logo, esse trabalho mostra a abordar o Sudoku nas diversas formas eutilização do jogo Sudoku, no ensino de níveis, de acordo com a série na qual ématemática. abordado. O objetivo maior é proporcionar o aumento do aproveitamento dos alunos dentroO jogo Sudoku é constituído por uma grade de sala de aula, estimulando a memória, a9x9 dividida em sub-grades 3x3, que são manipulação de informações, e o raciocíniochamadas de regiões (ou ainda, caixas, blocos, lógico dos alunos.quadrantes). Cada local onde se coloca onúmero é chamado de célula. Algumas células Portanto, com a introdução dos jogosjá contêm os chamados “números dados” que, matemáticos foi possível perceber o grandedependendo da dificuldade, variam de interesse dos alunos nessas atividades; quandoquantidade. O objetivo do jogo é completar a matemática existente em cada jogo foitodas as células com números de 1 a 9, de exposta de maneira formal, notou-se certamaneira que nenhum número se repita nas curiosidade e disposição dos alunos emlinhas, colunas e regiões. entender e vencer o jogo a eles proposto. Sendo assim, foi possível diversificar a forma de ensino mostrando aos professores novas opções de trabalho. Referências [1] T. Davis, “The Mathematics of Sudoku”, http://www.geometer.org/mathcircles, 2007. Figura 1- Sudoku [2] www.jjx.com.br/sudokuPorém, existem várias formas de Sudoku: o Acesso em: 29/04/2008.numérico (o mais usado), combinação desímbolos, formas, cores e letras, que podem [3] www.wikipedia.org/Sudokuser usados sem alterar as regras. Acesso em: 29/04/2008.
  • 34. “IX ENCONTRO PAULISTA DEEDUCAÇÃO MATEMÁTICA – IX EPEM” Bauru – SP 25 a 27 de Novembro de 2008
  • 35. SILVA, J. E. S., MARQUES, M. M., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. eLOPES, M. L. M. O Cubo Soma como uma Ferramenta na Aprendizagem de Matemática,Comunicação Científica. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IXEPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-. (ISBN 978-85-98092-07-2)Eixo Temático: Formação de Professores O CUBO SOMA COMO UMA FERRAMENTA NA APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA Jonatas Estevan Soares da Silva – UNESP / FEIS (jonatas71179@aluno.feis.unesp.br) Meire de Melo Marques – UNESP / FEIS (meire750@yahoo.com.br) Alessandra Bonato ALTRAN – FEIS / UNESP (lealtran@mat.feis.unesp.br) Dalva Maria de Oliveira VILLARREAL – FEIS / UNESP (dalva@mat.feis.unesp.br) Mara Lúcia Martins LOPES – FEIS / UNESP (mara@mat.feis.unesp.br)Resumo: A atividade lúdica é, essencialmente, um grande laboratório no qual ocorremexperiências inteligentes e reflexivas que propiciam a aquisição de conhecimento. Aparticipação em jogos permite a conquista cognitiva, emocional, moral e social para oestudante, que poderão agir como produtores de seu conhecimento, tomando decisões eresolvendo problemas, o que se torna um estímulo para o desenvolvimento da competênciamatemática e da formação de verdadeiros cidadãos. O desinteresse e o desenvolvimentocaótico de grande parte dos alunos na disciplina de matemática é fator altamentepreocupante, principalmente, para uma sociedade em que a política educacional tem comoprincipal objetivo a educação para todos, em outras palavras, a educação é um direito detodos. Assim, na tentativa de buscar métodos alternativos para proporcionar um ensino dequalidade surge à proposta de utilização de materiais lúdicos em sala de aula, maisespecificamente, jogos matemáticos. Tal proposta foi desenvolvida pelo Grupo de Estudossobre Jogos Matemáticos, composto por alunos do curso de Licenciatura em Matemática,da UNESP de Ilha Solteira ao longo dos dois últimos anos. A utilização dos jogos comoferramenta auxiliar para o ensino de matemática é a principal atividade desenvolvida pelogrupo onde são abordados vários jogos no qual a meta principal é fazer com que os alunosaprendam matemática “brincando”. Neste trabalho será dado enfoque ao jogo Cubo Somaque é um jogo muito versátil, podendo ser abordado em vários níveis, dependendo doobjetivo a ser alcançado. O Cubo Soma propicia, também, o desenvolvendo do raciocíniológico matemático de maneira interessante, aguçando a curiosidade e a busca peloaprendizado. Portanto, este trabalho tem como objetivo a apresentação da proposta dautilização dos jogos matemático, mais especificamente o jogo Cubo Soma, abordando suanotação histórica, conceitos fundamentais, métodos de resolução e os resultados obtidos nasapresentações realizadas.Palavras – chave: Jogos Matemáticos, Cubo Soma, Atividade Lúdica, Modificação noEnsino.
  • 36. 2SILVA, J. E. S., MARQUES, M. M., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. eLOPES, M. L. M. O Cubo Soma como uma Ferramenta na Aprendizagem de Matemática,Comunicação Científica. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IXEPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-11. (ISBN 978-85-98092-07-2)INTRODUÇÃO Incentivados pela necessidade de modificar a forma de como são ministrados osconteúdos em sala de aula, foi proposta a formação do Grupo de Estudos sobre JogosMatemáticos (UNESP/FEIS), cuja finalidade é divulgar a metodologia do uso de jogos noensino de Matemática, ou seja, apresentar uma alternativa à postura tradicional do professorno ensino de Matemática, através da utilização de jogos. O trabalho com jogos matemáticos vem sendo desenvolvido ao longo desses doisúltimos anos, sendo que, primeiramente foi realizado um estudo aprofundado do jogo CuboSoma, tais como: • Notação histórica; • Definições e regras que levam à resolução do jogo; • Fundamentação matemática; • Abordagem pedagógica; • Contribuição ao ensino. Após ser realizado este estudo foi possível levar o jogo para a prática dentro da salade aula com alunos do ensino fundamental. Assim, no trabalho que segue será realizada a apresentação do jogo Cubo Somailustrado pela Figura 1, como ferramenta complementar ao ensino de matemática, bemcomo o relato das experiências vividas envolvendo alunos e professores.ORIGEM DO CUBO SOMA Criado em 1936 pelo poeta dinamarquês Piet Hein, muito conhecido no mundo dosjogos e quebra-cabeças (é de sua autoria o jogo Hex), o jogo Cubo Soma pode sercomparado a um quebra-cabeça.
  • 37. 3SILVA, J. E. S., MARQUES, M. M., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. eLOPES, M. L. M. O Cubo Soma como uma Ferramenta na Aprendizagem de Matemática,Comunicação Científica. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IXEPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-11. (ISBN 978-85-98092-07-2) A idéia de montar este quebra-cabeça surgiu quando Piet, engenheiro com grandesconhecimentos em Física, assistia uma palestra do físico alemão Werner Heisenberg, sobreMecânica Quântica, quando este descrevia um espaço dividido em células cúbicas. Combase nestes princípios Hein começou a desenhar alguns sólidos formados por móduloscúbicos unidos face a face. Pela ordem, ele foi construindo todos os sólidos diferentes que se podiam formarcom, sucessivamente, um, dois, três e quatro módulos. Depois, percebeu que eles podiamser divididos em dois grupos - os côncavos e os convexos. Eliminando-se estes últimos, o conjunto ficava com os sete elementos mostrados.Apenas a peça número 1 tem três módulos, todas as demais têm quatro. Elas são diferentesentre si, embora as de número 5 e 6 sejam imagens espelhadas uma da outra. EnquantoHeisenberg falava, Piet teve uma intuição. Talvez inconscientemente inspirado no famosoTangran, quebra-cabeça em que sete figuras planas formam um quadrado pressentiu que assete peças recém-desenhadas podiam unir-se para gerar um cubo. Depois de algumas rabiscadas, o criativo dinamarquês foi vendo suas suspeitas seacentuarem. Entusiasmado com a perspectiva da descoberta, Piet esperou o término dapalestra e correu para casa para construir um modelo. Surpreso, verificou que sua hipóteseconfirmou-se plenamente. Convém esclarecer que o quebra-cabeça foi batizado com o nome de Soma Cube(Cubo Soma), e como tal patenteado e comercializado em várias partes do mundo,tornando-se bastante popular nos países escandinavos.DEFINIÇÃO DO CUBO SOMA O Cubo Soma consiste em um conjunto de oito peças tridimensionais, formadas pelaunião de pequenos cubos, combinadas de forma a criar um cubo maior. A essas peçasformadas pela união dos cubos, de forma irregular, dá-se o nome de policubo. Formar essas peças não é uma tarefa muitos simples, como se pressupõe a primeiravista. Apesar de existirem 240 soluções distintas para o arranjo das peças no Cubo, sem
  • 38. 4SILVA, J. E. S., MARQUES, M. M., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. eLOPES, M. L. M. O Cubo Soma como uma Ferramenta na Aprendizagem de Matemática,Comunicação Científica. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IXEPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-11. (ISBN 978-85-98092-07-2)contar as simetrias, espelhamentos e rotações de peças que elevam o número total desoluções para mais de um milhão, muitas vezes acaba-se com uma peça na mão que nãoencaixa. Na Figura 2, é possível verificar que o as peças do Cubo Soma, os policubos sãodivididos em seis tetracubos (peças formadas pela união de quatro cubos) e um tricubo(peça formada pela união de três cubos), a sexta peça é a imagem especular da quinta peçana Figura 3, daí o motivo de algumas abordagens apresentarem somente sete peças para oCubo Soma.COMO MONTAR O CUBO SOMA A montagem do Cubo Soma parece ser algo bem complicado, porém, o objetivoprincipal é montar um cubo 3x3x3 sendo que a única exigência para tanto é a utilização detodas as peças (policubos), ou seja, para montar o Cubo Soma é necessário utilizar todos ostetracubos irregulares e o tricubo irregular (Figura 3). Uma forma de resolução do CuboSoma pode ser vista através da Figura 4. Depois do cubo, que é um dos problemas mais fáceis, pode-se tentar montar apoltrona e o sofá (Figura 5). Ao longo dos anos, muitos entusiastas têm criado centenas dearranjos como esses, reproduzindo esquematicamente uma variedade de objetos e animais.Assim, a grande virtude do Cubo Soma é de não se restringir à solução inicial. Assim comono Tangram, em que além de se formar um quadrado com as peças também podem serformadas uma infinidade de figuras, com o conjunto tridimensional do Cubo Soma podemser criados verdadeiras esculturas, ainda mais quando se combinam mais de um jogo depeças. Em um livreto que acompanhava o jogo produzido pela Parker Brothers, da décadade 50, apareciam inúmeras formas para serem montadas. Portanto, conforme o aprendiz for ganhando desenvoltura com o Cubo, mais sesentirá tentado a incluir nesse acervo algumas criações próprias. A respeito do que já foi feito, há coleções com mais de 2000 montagens(http://www.fam-bundgaard.dk/SOMA/SOMA.HTM), ainda há campo para a imaginação.A Figura 6 mostra algumas dessas montagens.
  • 39. 5SILVA, J. E. S., MARQUES, M. M., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. eLOPES, M. L. M. O Cubo Soma como uma Ferramenta na Aprendizagem de Matemática,Comunicação Científica. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IXEPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-11. (ISBN 978-85-98092-07-2) Com a prática, desenvolve-se certa habilidade para saber o lugar que certas peçasocupam, ou que não podem ocupar, numa determinada figura. Com isso, abandona-se oprocesso da simples tentativa e erro e o tempo de solução diminui.CONTRIBUIÇÕES PEDAGÓGICAS O Cubo Soma pode ser utilizado com alunos de várias séries. Sua abordagemdependerá dos objetivos a serem alcançados. Por exemplo, no jardim de infância, os alunosjá podem, brincando, se habituarem a manipular as peças, observá-las, contar os cubos,evidenciar a simetria, encontrar nomes para cada forma, tentar encaixamentos com algumaspeças etc. Mais tarde, eles podem tentar reconstruir o cubo, ou pelo menos terminá-lo, ouimitar algumas formas. Alunos maiores podem treinar também para reconstruir o cubo, desenhá-lo, construircubos imagens um do outro em tal simetria ou rotação indicada. Para qualquer nível, estequebra-cabeça contribui o desenvolvimento da representação espacial e da percepção deorientação no espaço tridimensional.DESENVOLVIMENTO DA ATIVIDADE O jogo Cubo Soma foi parte integrante de todas as atividades realizadas pelo gruponestes dois últimos anos. A primeira atividade se deu através da Oficina “AtividadesMatemáticas envolvendo Jogos”, na VI Semana da Matemática (2007), evento do próprioCampus da UNESP de Ilha Solteira, cujo público alvo era alunos dos cursos de licenciaturae professores da rede de ensino (Figura 7). Logo em seguida foi realizada outra apresentação no evento “Venha nos Conhecer”(2007), também do Campus, com caráter apenas expositivo, conta com a visitação dasescolas da cidade e região (Figura 8). Em seguida o Cubo Soma foi abordado em sala de aula e tal apresentação ocorreu na“Escola Municipal de Educação Infantil e Ensino Fundamental Prof. Nelson Duarte
  • 40. 6SILVA, J. E. S., MARQUES, M. M., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. eLOPES, M. L. M. O Cubo Soma como uma Ferramenta na Aprendizagem de Matemática,Comunicação Científica. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IXEPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-11. (ISBN 978-85-98092-07-2)Rocha”, na cidade de Selvíria - MS, mediante o convite da coordenadora pedagógica daescola. O jogo foi apresentado em apenas duas séries, quarto e sexto anos devido o curtointervalo de tempo para atividade, porém, o grupo está convidado a retornar à escola parapermitir a outras séries o contato com o jogo (Figura 9). A próxima atividade, ainda em 2007, foi uma apresentação, nos moldes do Venha nosConhecer, ou seja, caráter apenas expositivo, no colégio “Anglo” da cidade de Ilha Solteira.Esse evento contou com a participação de alunos, pais e funcionários da própria escola(Figura 10). Já a última atividade a apresentação no “Venha nos Conhecer” deste ano (2008),ocorrendo do mesmo modo que no ano anterior.FORMAÇÃO DOS PROFESSORES Segundo Vieira e Carneiro este crescente interesse por estudos sobre o lúdico foipresenciado a partir da metade do século XX e tem testemunhado sua importância comomeio de expressão, fator de desenvolvimento e atividade intrinsecamente motivada eprazerosa. A proposta de introduzir a metodologia do lúdico visa contribuir para diminuir ofracasso escolar e o desinteresse pela matemática e formar profissionais que tenham umapostura reflexiva diante de sua prática docente. Os jogos lúdicos não têm o propósito de suprimir o método de ensino tradicional, massim de modificá-lo e torná-lo mais presente à compreensão dos alunos. É comprovado queduas metodologias aplicadas juntas tendem a funcionar melhor do que uma sozinha. Nestesentido, os jogos matemáticos são maneiras alternativas da abstração de conhecimento quetendem a consolidar a teoria proposta pelo ensino tradicional. Os professores desde já não têm apenas a função de ensinar, mas sim aresponsabilidade de verificar se o conteúdo a ser absorvido realmente foi assimilado porparte dos alunos. O interessante é que dessa forma o professor se torna, neste contexto, um
  • 41. 7SILVA, J. E. S., MARQUES, M. M., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. eLOPES, M. L. M. O Cubo Soma como uma Ferramenta na Aprendizagem de Matemática,Comunicação Científica. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IXEPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-11. (ISBN 978-85-98092-07-2)educador, no qual a preocupação não seria apenas passar a matéria, mas sim verificar ograu de aceitação desta no dia a dia dos alunos. Portanto, os professores devem ser profissionais adeptos às mudanças educacionais econscientes da importância do seu trabalho na formação dos alunos, desenvolvendo acapacidade de criar algo novo e interessante, ministrando os conteúdos de matemática demaneira com que os alunos possam fazer uma conexão plausível com o cotidiano e essapostura deve ser desenvolvida para diferentes faixas etárias. O jogo Cubo Soma vem a ser uma ferramenta interessante de auxílio ao professor, jáque este jogo pode explorar uma enorme variedade de situações. O aluno pode serenvolvido inicialmente na construção do jogo, que não é algo muito difícil de ser feito, eestimula o aluno na utilização de material reciclado e até sucata na confecção. Durante o processo de construção o professor pode estimular as formas geométricasenvolvidas durante o processo. Após o jogo ser finalizado ele está apto a ser usado naíntegra pelo professor. Este jogo é de fácil acesso, portanto, basta o professor lembrar queum dia foi criança e utilizar sua criatividade.CONSIDERAÇÕES FINAIS O trabalho com jogos é uma ótima alternativa educacional desde que, utilizada deforma consciente e bem estruturada, levando em consideração a análise prévia de cadajogo, visando o estímulo à conquista cognitiva, emocional, moral e social do indivíduo. Os jogos matemáticos também têm o objetivo de fazer com que os alunos atuamcomo produtor do seu próprio conhecimento, tomando decisões e resolvendo problemas,estimulando, assim, o desenvolvimento da competência matemática e a formação deverdadeiros cidadãos. Com as apresentações realizadas foi possível observar o grande interesse, por partedos alunos, em aprender matemática de uma maneira divertida. Assim, o trabalho comjogos dentro da sala de aula é de uma facilidade imensa e provoca grande satisfação tantono aprendiz, como no docente.
  • 42. 8SILVA, J. E. S., MARQUES, M. M., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. eLOPES, M. L. M. O Cubo Soma como uma Ferramenta na Aprendizagem de Matemática,Comunicação Científica. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IXEPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-11. (ISBN 978-85-98092-07-2) A vantagem de trabalhar com o Cubo Soma é a possibilidade de abordá-lo semrestrições de idade e série, sem tornar o aprendizado cansativo, despertando o interesse dosalunos em montar o Cubo Soma novamente, porém de maneira diferente. Portanto, a utilização do jogo Cubo Soma é de suma importância, pois, pelo caráterdesafiador proporciona uma idéia de divisão de espaço, noções de figuras geométricasvisão tridimensional. Assim o aluno irá montar o Cubo Soma com idéia de diversão, mas naverdade estará adquirindo vários benefícios produzidos pelo jogo.REFERÊNCIASSILVA, F. e KODAMA, H. M. Y. Jogos no Ensino da Matemática, II Bienal daSociedade Brasileira de Matemática, UFBA, 2004.SERRENTINO, R. H. e MOLINA, H. Arquitectura Modular Basada en la Teoría dePolicubos, Proceedings of the 6th Iberoamerican Congress of Digital Graphics, Caracas -Venezuela, 2002, p. 264-267.GUZMÁN, M. Tendencias Actuales de la Enseñanza de la Matemática, StudiaPaedagogica, Revista de Ciencias de la Educación, vol.21, 1989, p 19-26.VALLE, L. H. R.; BOMBANATTO, Q. e MALUF, M. I. Temas Interdisciplinares naEducação, Editora Wak, vol.2.ZORZAL, E. R.; BUCCIOLI, A. A. B. e KIRNER, C. Usando Realidade Aumentada noDesenvolvimento de Quebra-cabeças Educacionais. In: SVR2006 - VII Symposium onVirtual Reality, Porto Alegre - Sociedade Brasileira de Computação - SBC, 2006, p. 221-232.SANTOS, G. S. A. Utilização de jogos no ensino matemático: Os objetivos, os valores eas mudanças do ensino da matemática, UNIMESP - Centro Universitário Metropolitanode São Paulo, 2006, p. 1-5.
  • 43. 9SILVA, J. E. S., MARQUES, M. M., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. eLOPES, M. L. M. O Cubo Soma como uma Ferramenta na Aprendizagem de Matemática,Comunicação Científica. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IXEPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-11. (ISBN 978-85-98092-07-2)ANEXO Figura 1 - Cubo Soma. Figura 2 - Policubos (peças que compõem do Cubo Soma). Figura 3 - Tetracubos e Tricubo irregular, respectivamente.
  • 44. 10SILVA, J. E. S., MARQUES, M. M., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. eLOPES, M. L. M. O Cubo Soma como uma Ferramenta na Aprendizagem de Matemática,Comunicação Científica. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IXEPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-11. (ISBN 978-85-98092-07-2) Figura 4 - Uma solução para o Cubo Soma. Figura 5 - Poltrona e sofá, figuras formadas com os policubos. Figura 6 - Algumas das cerca de 2000 figuras montadas com o Cubo Soma.
  • 45. 11SILVA, J. E. S., MARQUES, M. M., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. eLOPES, M. L. M. O Cubo Soma como uma Ferramenta na Aprendizagem de Matemática,Comunicação Científica. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IXEPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-11. (ISBN 978-85-98092-07-2) Figura 7 - Oficina realizada na Semana da Matemática 2007. Figura 8 - Venha nos Conhecer 2007. Figura 9 - Visita a escola “Prof. Nelson Duarte Rocha” (Selvíria - MS). Figura 10 - Visita ao Colégio Anglo (Ilha Solteira - SP).
  • 46. SILVA, A. J., SILVA, J. E. S., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. e LOPES,M. L. M. O kakuro como uma Ferramenta no Aprendizado de Matemática, Relato deExperiência. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM.Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-8. (ISBN 978-85-98092-07-2)Eixo-temático: Ensino Fundamental: Ciclos III e IV O KAKURO COMO UMA FERRAMENTA NO APRENDIZADO DE MATEMÁTICA Aline J. SILVA – FEIS / UNESP (aline71142@aluno.feis.unes.br) Jonatas E. S. da SILVA – FEIS / UNESP (jonatas71179@aluno.feis.unes.br) Alessandra B. ALTRAN – FEIS / UNESP (lealtran@mat.feis.unesp.br) Dalva M. O. VILLARREAL – FEIS / UNESP (dalva@mat.feis.unesp.br) Mara L. M. LOPES – FEIS / UNESP (mara@mat.feis.unesp.br)Resumo: Devido o prazer propiciado e o desafio alucinante, o gosto por jogos torna ohomem um verdadeiro “jogador”, o chamado “Homo Ludens”. Nos dias atuais ohomem joga constantemente e pode-se dizer que o próprio ato de viver torna-se um“jogo”, pois, em diversas fases da vida sucede-se o fato de estar enfrentando um jogo noqual, automaticamente, estão subentendido as suas regras onde os mais fortes epreparados possuem a chance de se sobressair. São vários os exemplos de ambientesonde ocorre a inserção dos jogos, é possível perceber que eles também foram seintensificando dentro de sala de aula. O uso alternativo dos jogos lúdicos favorece aoaluno uma aprendizagem de fácil assimilação, ou seja, o aluno tem a possibilidade deaprender o conteúdo de uma forma mais simples e agradável. O jogo Kakuro teve suacriação no Japão, todavia sua propagação se deu nos Estados Unidos da América e naInglaterra, na década de 90, sendo assim conhecido na língua inglesa por Cross Sumsque significa “Somas Cruzadas”. O objetivo deste trabalho é analisar e apresentar o jogoKakuro com a possibilidade de sua inserção dentro de sala de aula. O estudo aquiapresentado focaliza a forma lúdica do aprendizado que foi proporcionado pelo jogoKakuro, apesar de não internalizado nos âmbitos profissionais, mas com fortesexpectativas a partir da experiência formativa. Jogar o Kakuro é embarcar em umdesafio repleto de obstáculos fabulosos que propiciará ao jogador uma verdadeiraginástica cerebral. O Kakuro, além de exercitar a mente através do raciocínio lógico,tem a finalidade de estimular o gosto pela Matemática e consolidar o aprendizado dasquatro operações aritméticas. POSSANI [LEAL, 2006] afirma que “O jogo Kakuro éum jogo típico para usar em atividades escolares, pois, une estética, gosto pelo desafioe conteúdo matemático específico”.Palavras-chave: Kakuro, Jogos Lúdicos, Raciocínio Lógico, AprendizagemMatemática.
  • 47. 2SILVA, A. J., SILVA, J. E. S., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. e LOPES,M. L. M. O Kakuro como uma Ferramenta no Aprendizado de Matemática, Relato deExperiência. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM.Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-8. (ISBN 978-85-98092-07-2)INTRODUÇÃO O crescente desinteresse no ensino, principalmente na área de matemática, fazcom que o educador se comprometa em pesquisar novas técnicas de aprendizado.Portanto, fazer com que os alunos sintam vontade de aprender e prazer de realizar atarefa proposta, vêm sendo nos dias de hoje, um grande desafio. O professor tem então a função, não apenas de transmitir o conhecimento, mas defazer com que ele seja inteiramente absorvido pelo aluno de forma concreta. Essa tarefanão é fácil, já que para que esta etapa seja realizada ocorre à necessidade de se quebrarbarreiras e tabus. Uma proposta é introduzir, em sala de aula, a técnica de abordar os problemasatravés de jogos lúdicos. Eles permitem o desenvolvimento de formas diferentes depensar e agir, induzindo os alunos a terem incentivo, comunicação, questionamento,raciocínio lógico, inferência, reflexão e exploração. O Grupo de Estudo sobre Jogos Matemáticos, compostos por alunos delicenciatura do curso de Matemática da UNESP de Ilha Solteira, se fundamenta nodesenvolvimento da aprendizagem matemática através de jogos lúdicos. O objetivodeste grupo é fazer com que os alunos ingressantes tenham um convívio direto com osalunos do ensino fundamental, para que possam identificar e solucionar as dificuldadesque os estes encontram com relação à matemática. Um dos jogos abordados pelo grupo foi o jogo Kakuro, que é um jogo queestimula muito a lógica matemática. O jogo possui uma malha de linhas e colunas, queutiliza a combinação dos elementos através de uma operação matemática (adição,subtração, multiplicação ou divisão). O Kakuro é um jogo que desenvolve, não apenas oraciocínio lógico, mas emprega a destreza mental, concentração, prática matemática epaciência. O Kakuro convencional aborda apenas, em sua concepção, o desenvolvimentoaritmético da adição. Porém, pode-se ter uma diversificação nesta abordagem; asoperações realizadas podem ser: adição, subtração, multiplicação e divisão. Tem-se que
  • 48. 3SILVA, A. J., SILVA, J. E. S., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. e LOPES,M. L. M. O Kakuro como uma Ferramenta no Aprendizado de Matemática, Relato deExperiência. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM.Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-8. (ISBN 978-85-98092-07-2)esse jogo, além de desenvolver o raciocínio lógico, faz com que o aluno comece a teruma maior intimidade com as operações aritméticas. Dessa forma, o que para o aluno éum trabalho difícil e desgastante agora, através do Kakuro, se torna mais prazeroso.CONSTRUÇÃO DO KAKURO De origem japonesa, resulta da palavra adição com a palavra inglesa cross, queem português significa cruzar. Pode ser entendido como a transliteração matemática daspalavras cruzadas, sendo por isso conhecido nos Estados Unidos da América comoCross Sums, ou seja, Somas Cruzadas. Para ilustrar a resolução de um Kakuro é necessário, primeiramente, apontar asprincipais regras do jogo e estas serão descritas abaixo e utilizadas na resolução de umKakuro tem a “adição” como operação aritmética (SIMONIS, 2007): • A principal regra de resolução do Kakuro é sumarizada da seguinte maneira: cada célula só pode ser preenchida por números de 1 a 9, sem repeti-los; • Um número é dividido em uma soma de dois ou mais números menores, dispostos em células, sendo que cada célula é apropriada para um número específico de tal forma que satisfaça a grade geral do jogo. Para se efetuar a soma dos elementos do jogo Kakuro existe uma regra que estáintimamente ligada ao termo “somas cruzadas”, que é semelhante à usada parapreencher jogos de palavras cruzadas. São elas: 1. No número que aparecer a direita na subdivisão do quadrado sua soma deverá ser preenchido na linha como mostrado na Figura 1; 2. No número que aparecer a esquerda na subdivisão do quadrado sua soma deverá ser preenchida na coluna indicado na Figura 1; 3. Nenhum número deve aparecer mais de uma vez na mesma célula como apresenta a Figura 2, a não ser que estejam em células diferentes.
  • 49. 4SILVA, A. J., SILVA, J. E. S., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. e LOPES,M. L. M. O Kakuro como uma Ferramenta no Aprendizado de Matemática, Relato deExperiência. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM.Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-8. (ISBN 978-85-98092-07-2) O Kakuro pode ser auxiliado pelas chamadas “seqüências chaves”, ilustradas naTabela 1. Ela fornece uma lista de seqüências que auxilia na eliminação de possíveiscombinações no preenchimento de uma determinada célula. Os procedimentos para aresolução do Kakuro são descritos abaixo: • Através da Figura 3, nota-se que existe apenas uma combinação para compor o número 4 com dois números que são os números 1 e 3 e uma combinação de dois números cuja soma gerará o número 3, que são os números 1 e 2; • Uma dica é fixar um número e a partir dele, encontrar os outros cuja soma estará completando as células, lateral e abaixo, respectivamente, indicada na Figura 4; • O preenchimento das células deve ser feito através de uma análise minuciosa, pois, a posição ideal dos números não pode interferir na das demais células. Através da Figura 5, pode-se observar como este processo de análise deve ser efetuado; • O Kakuro, além de trabalhar com a matemática, induz a lógica para tentar descobrir as posições ideais de cada número não quebrando as regras do jogo. A Figura 6 indica possíveis situações que ocorrem durante o desenvolvimento do jogo que devem ser analisados criteriosamente;EXPERIÊNCIA DENTRO DE SALA DE AULA Os alunos do Grupo de Estudos sobre Jogos Matemáticos usufruíram do prazer deapreciar as experiências inesquecíveis vividas dentro da sala de aula. O Kakuro foiconfeccionado pelo Grupo de Jogos, Figura 7, no qual o material utilizado parapreparação do jogo foi pincel atônico, isopor, EVA, etc. Inicialmente, os alunos foram convidados pela Escola Municipal de EducaçãoInfantil e Ensino Fundamental Selvíria “Prof. Nelson Duarte Rocha” conforme mostraa Figura 8. O Kakuro foi desenvolvido no quarto e sexto anos do ensino fundamental eo objetivo principal é fazer com que os alunos tenham a visão de que a Matemática éaplicada no seu cotidiano e, portanto, aprender esta ciência é um passo importante naformação de cada um. Logo, a finalidade do jogo é utilizar a teoria apresentada dentro
  • 50. 5SILVA, A. J., SILVA, J. E. S., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. e LOPES,M. L. M. O Kakuro como uma Ferramenta no Aprendizado de Matemática, Relato deExperiência. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM.Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-8. (ISBN 978-85-98092-07-2)de sala de aula aplicada no desenvolvimento do Kakuro. Desta forma, os alunos sãocontagiados e a Matemática que antes era vista como um desafio agora se torna maisdivertida e prazerosa. A segunda experiência vivida pelo grupo foi no colégio Anglo de Ilha Solteira,onde puderam expor o Kakuro para os alunos, pais e funcionários do colégio, ilustradona Figura 9. A fundamentação do ensino de matemática através de jogos lúdico como oKakuro favorece em demasia, pois, é possível trabalhar sem restrições, levar o jogo adiferentes idades, culturas, intelectualidades, pensamentos e costumes.CONSIDERAÇÕES FINAIS Os Jogos de Desafio podem oferecer certo prazer ou satisfação que pode levar oeducando ao aprofundamento do estudo de lógica matemática (MELLO, 2006). Combase em idéias de Vygotsky é possível definir os jogos lúdicos como auxiliares do saberna escola, por isso, pode-se tomar o jogo não como referência, mas como auxílioproeminente para aprendizagem dos menores educando. Desde muito tempo, sabe-se que uma grande parcela dos alunos rejeita adisciplina de matemática, e cabe aos educadores lutar pela melhoria da aprendizagem. Éevidente, que as formas alternativas de propor aprendizado vêm se destacando e umadelas é o tratamento da matemática através de jogos lúdicos. A meta primordial considerada foi levar o jogo Kakuro para a sala de aula, e estase mostrou um procedimento de extrema importância. É bom lembrar que a formalúdica do aprendizado da matemática, através do jogo Kakuro, propiciará ao aprendiz,além da fundamentação teórica das operações aritméticas, o seu emprego na prática,sendo esta associação essencial, sem falar que utilizar um jogo lúdico com o nível dojogo Kakuro exercitará o cérebro do jogador. Os resultados apontam as diferenças expressivas tornando possível apresentar aosalunos o conteúdo teórico, onde será feita a análise, a abordagem e o entendimento damatéria com o auxílio do Jogo Kakuro. O emprego do jogo Kakuro na prática, permiteao educando uma visão palpável da matéria transmitida. Essa associação vem a ser vital
  • 51. 6SILVA, A. J., SILVA, J. E. S., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. e LOPES,M. L. M. O Kakuro como uma Ferramenta no Aprendizado de Matemática, Relato deExperiência. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM.Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-8. (ISBN 978-85-98092-07-2)para a saúde mental do aluno e preparação psicológica do professor, pois, o retorno virácom o prazer do aprender e a gratificação do docente por ter sua missão cumprida.REFERÊNCIASSIMONIS, H. Kakuro as a Constraint Problem, University College Cork, ComputerScience Department, 2007, pp. 1-15.LEAL, R. A. Matemática virou POP: Por que o Sudoku e suas Variantes causaTamanha Fascinação, Revista Época, edição No. 410, 2006, pp. 1-3.MELLO, V. M. C. e SANTOS, M. L. S. F. S. Jogos Lógicos, Projeto Teia do Saber,Programa de Formação Continuada de Professores, UNESP – Faculdade de Engenhariade Guaratinguetá, São Paulo, 2006, pp. 1-20.ANEXOS Tabela 1 - Quadro de Somas Possíveis. Soma Número de Casas Combinação 3 2 12 4 2 13 5 2 23 6 2 15 6 2 24 14 2 68 14 2 59 10 4 1234 Figura 1 - Combinação para gerar o número à direita e esquerda da subdivisão.
  • 52. 7SILVA, A. J., SILVA, J. E. S., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. e LOPES,M. L. M. O Kakuro como uma Ferramenta no Aprendizado de Matemática, Relato deExperiência. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM.Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-8. (ISBN 978-85-98092-07-2) Figura 2 - Ilustração da regra de repetição de um número na mesma célula. Figura 3 - Combinações possíveis para linha e coluna, respectivamente. Figura 4 - Fixação de um número para o preenchimento das células. Figura 5 - Análise de preenchimento das células.
  • 53. 8SILVA, A. J., SILVA, J. E. S., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. e LOPES,M. L. M. O Kakuro como uma Ferramenta no Aprendizado de Matemática, Relato deExperiência. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM.Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-8. (ISBN 978-85-98092-07-2) Figura 6 - Exemplos de células que não obedeceram às regras do Kakuro. Figura 7 - Kakuros confeccionados pelo Grupo de Estudo sobre Jogos Matemáticos. Figura 8 - Apresentação do Kakuro na Escola Prof. Nelson Duarte Rocha - Selvíria. Figura 9 - Apresentação do Kakuro no Colégio Anglo - Ilha Solteira.
  • 54. SILVA, T. H. P., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. e LOPES, M. L. M. OJogo Quadrado Mágico como Auxílio ao Ensino Tradicional de Matemática, Relato deExperiência. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM.Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-8. (ISBN 978-85-98092-07-2)Eixo-temático: Ensino Fundamental: Ciclo I e II. O JOGO QUADRADO MÁGICO COMO AUXÍLIO AO ENSINO TRADICIONAL DE MATEMÁTICATiago Henrique P. SILVA – FEIS / UNESP (tiagohenrique.mat@aluno.feis.unesp.br) Alessandra Bonato ALTRAN – FEIS / UNESP (lealtran@mat.feis.unesp.br) Dalva M. Oliveira VILLARREAL – FEIS / UNESP (dalva@mat.feis.unesp.br) Mara Lúcia Martins LOPES – FEIS / UNESP (mara@mat.feis.unesp.br)Resumo: A mudança de postura em sala de aula deve ser uma das tentativas doseducadores na intenção de despertar o interesse de seus alunos para matemática. Comouma possível alternativa a esta mudança o Grupo de Jogos Matemáticos, da UNESP deIlha Solteira, tem promovido a utilização de jogos em sala de aula, desenvolvendoatividades teóricas e práticas, em escolas da rede de ensino pública e particular. Osjogos lúdicos vêm sendo utilizados, de forma intensiva, como uma alternativa parasolucionar problemas que envolvem o ensino. Dentre outros jogos, utilizou-se oQuadrado Mágico, que consiste de uma matriz numérica quadrada, em que as somas daslinhas, das colunas e das diagonais, principal e secundária, são as mesmas. O QuadradoMágico possibilita atividades lúdicas que exercitam o raciocínio lógico e o cálculomental. Portanto, o objetivo do Grupo de Jogos Matemáticos foi utilizar essa técnicacom alunos do Ensino Fundamental, pois, este tipo de atividade possibilita ao alunouma melhor representatividade, principalmente, na área de Matemática. Váriasatividades foram programadas dentre elas: visitas as escolas de Ensino Fundamental eexposições a alunos, professores e pais. As apresentações nas escolas foram planejadasem atividade de níveis distintos levando em consideração o grau de dificuldade e faixaetária dos alunos. O quadrado mágico foi manuseado pelas turmas do 4ª e 6ª ano doEnsino Fundamental. Pretende-se estender a aplicação do Quadrado Mágico a toda aeducação básica, visando propiciar uma abordagem matemática mais prazerosa. Pode-seobservar que as apresentações expositivas despertaram um enorme interesse não só porparte dos alunos, mas também com relação aos pais que se mostraram preocupados como aprendizado de seus filhos. A apresentação dos jogos despertou grande curiosidadenas crianças e ficou claro que os professores, mesmo possuindo o conhecimento dosjogos, ficam inseguros com o novo método.Palavras-chave: Matemática, Ensino, Jogos, Quadrado Mágico..
  • 55. 2SILVA, T. H. P., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. e LOPES, M. L. M. OJogo Quadrado Mágico como Auxílio ao Ensino Tradicional de Matemática, Relato deExperiência. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM.Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-13. (ISBN 978-85-98092-07-2)INTRODUÇÃO O Grupo de Estudo sobre Jogos Matemáticos tem como meta abordar, através deapresentações nas escolas, a utilização de jogos em sala de aula, com o objetivo de fazercom que a matemática seja transmitida de uma maneira que proporcione maioraceitação, aumentando o aproveitamento dos alunos e tornando o ensino mais aplicável. O grupo é composto por alunos do curso de licenciatura de Matemática da FEIS-UNESP, que tem for finalidade a formação de novos profissionais, com habilidade dautilização de ferramentas alternativas para resolução de problemas presenciados na áreado ensino. As apresentações têm sido feitas em escolas da rede pública e particular deensino. A dificuldade de assimilação do conhecimento é um problema que deve seratacado e cabe ao professor, neste caso, educador, tentar solucioná-lo. Nos dias atuais existem vários estudos que tentam suprir estas dificuldades euma das maneiras alternativas utilizadas são os jogos lúdicos. Portanto, o objetivo doGrupo de Jogos é fazer com que os alunos venham a sentir prazer de aprenderbrincando. É evidente que um jogo é muito mais que uma brincadeira, pois, é possívelobservar, em cada um deles, conceitos matemáticos importantes que acabam sefundamentando. Uma vez, que os jogos são simples, a sua confecção através de sucata,pode-se tornar um primeiro passo do desenvolvimento do jogo, estimulando assim ointeresse do aluno. Dentre os jogos escolhidos está o Quadrado Mágico, que consiste de uma matriznumérica quadrada, em que as somas das linhas, das colunas e das duas diagonaisprincipais são as mesmas. O jogo foi apresentado para alunos, 40 e 60 anos, do EnsinoFundamental e para professores e pais que participaram de uma amostra expositiva. Este jogo foi utilizado para despertar o interesse dos alunos pela matemática,uma disciplina que, na maioria das vezes, é tida como tediosa e sem aplicações nocotidiano. Assim, a complementação do conteúdo programático com a utilização demateriais lúdicos, visa propiciar o desenvolvimento do raciocínio lógico e o cálculomental, proporcionando a redução dos problemas no ensino atual.
  • 56. 3SILVA, T. H. P., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. e LOPES, M. L. M. OJogo Quadrado Mágico como Auxílio ao Ensino Tradicional de Matemática, Relato deExperiência. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM.Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-13. (ISBN 978-85-98092-07-2)ORIGEM DO QUADRADO-MÁGICO Pouco se conhece, ainda hoje, sobre a história primitiva do Quadrado Mágico,porém, sua origem parece situar-se na China. Segundo a história da matemática, osmesmos surgiram há cerca de 3000 anos antes de Cristo (Boyer, 1974). Os QuadradosMágicos são arranjos quadrados de numerais em que, a soma das linhas, colunas ediagonais, têm o mesmo valor. O nome Quadrado Mágico foi dado a este tipo especialde arranjo geométrico porque se acreditava que os mesmos tivessem poderes especiais. O exemplo da Figura 1 é atribuído ao imperador e engenheiro Yu, o Grande(2200 a.C.). De acordo com a lenda, quando Yu estava observando o rio Amarelo,surgiu uma tartaruga divina, em cujo dorso estava o símbolo que hoje é conhecido peloo nome de lo shu (lo significa “rio” e shu é “livre”). Por isto, há muitos e muitos anos oschineses acreditavam que quem possuísse um quadrado mágico teria sorte e felicidadepara toda a vida. Os Quadrados Mágicos foram se propagando, chegando posteriormente aoJapão, Índia e Oriente Médio, locais ligados ao misticismo. Somente no século XV quea Europa conheceu o jogo através do escritor Manuel Moschopoulos, que os citou emsua obra intitulada "Tratado de Quadrados-Mágicos". No século XVII, a teoria matemática da construção dos Quadrados Mágicos foiestudada na França, mas somente no final do século XIX, ele foi utilizado na resoluçãode problemas de probabilidade e análise. Logo, o jogo era utilizado como meropassatempo, mas acabou se tornando uma parte importante da matemáticacontemporânea.CONSTRUÇÃO DE QUADRADOS MÁGICOS O Quadrado Mágico consiste em uma matriz numérica quadrada, em que assomas das linhas, das colunas e das duas diagonais principais são as mesmas. Pode-sedizer, ainda, que um Quadrado Mágico é um arranjo de números que vai de 1 até n2,numa matriz n x n, em que, cada número ocorre apenas uma vez, e este arranjo é tal que
  • 57. 4SILVA, T. H. P., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. e LOPES, M. L. M. OJogo Quadrado Mágico como Auxílio ao Ensino Tradicional de Matemática, Relato deExperiência. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM.Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-13. (ISBN 978-85-98092-07-2)a soma dos números existentes em uma linha deve ser igual à soma dos númerosexistentes em qualquer coluna, como também em qualquer das diagonais (PASLES,2004). Por exemplo, o quadrado mágico de ordem 3 é formado pelos nove dígitos: 1, 2,3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, dispostos em três linhas e três colunas, sendo que as somas sãoconstantes e iguais a 15, sendo este valor denominado como “constante mágica”(CARLSON, 2001; XIN, 2004). As construções de Quadrado Mágico começam a partir do quadrado de ordem 3.Os Quadrados de ordem 1 ou 2 são inexistentes para a maioria dos estudiosos damatemática, ou seja, não o aceitam como sendo um Quadrado Mágico válido. Para oQuadrado Mágico de ordem 2, é possível verificar a inexistência de números distintosque preencham as condições impostas para sua existência. Segundo o médico e matemático Cornélio Agripa (1486-1535), O Quadrado deordem 1 simbolizava a eternidade e o Quadrado de ordem 2 o mundo material com osquatro elementos, ar, terra, fogo e água, e pelas imperfeições desses elementos, oQuadrado Mágico não poderia ter constante certa. Ao construir os Quadrados Mágicos, verifica-se que existe um mecanismoválido para todos de ordem ímpar e uma técnica que vale para o Quadrado Mágico dequarta ordem e seus múltiplos (8, 12, 16, 20, 24, ...). No entanto, até hoje não se sabeum mecanismo “preciso” para construir Quadrados Mágicos de ordem 6 + 4r, r ∈ N.a) Construção de Quadrados Mágicos de ordem ímpar Primeiramente, se constrói ao redor do Quadrado Mágico de ordem n (n ímpar)um novo quadrado com ordem 2n, sendo que o quadrado original ficará dispostoconforme a Figura 2. Inicia-se colocando o número 1 na casa central da primeira linha do quadradooriginal e caminha-se (n–1)/2 casas para cima, e uma para a direita, para colocar osnúmeros seguintes. Se um número cair fora do quadrado original, ficando nosquadrados construídos, volta-se com o número na casa correspondente no quadradooriginal. Se a casa correspondente estiver ocupada, escreve-se, então, o número na casa
  • 58. 5SILVA, T. H. P., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. e LOPES, M. L. M. OJogo Quadrado Mágico como Auxílio ao Ensino Tradicional de Matemática, Relato deExperiência. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM.Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-13. (ISBN 978-85-98092-07-2)abaixo do número anterior e continua-se com a regra inicial. Ao terminar de preencher oQuadrado Mágico, será obtida uma soma n∗(n²+1)/2 em todas as linhas, colunas ediagonais.b) Construção de Quadrados Mágicos de ordens múltiplas de 4 Preenche-se a primeira linha colocando os vinte e cinco por cento do total denúmeros do quadrado, da esquerda para a direita. Em seguida, colocam-se os cinqüentapor cento do total dos números, em ordem crescente, da direita para a esquerda.Finalmente, colocam-se os vinte e cinco por cento restantes, novamente da esquerdapara a direita. Agora, deve-ser trocar os vinte e cinco por cento centrais das linhas, obtendo oQuadrado Mágico procurado como ilustra as Figuras 2 e 3.UTILIZAÇÃO DO QUADRADO MÁGICO DENTRO DE SALA DE AULA A construção proposta aos alunos foi de forma mais simples possível,salientando que, nas séries em que se encontram, não possuem a estrutura cognitivasuficiente para entender conceitos que costumam ser vistos somente no Ensino Médio.Logo, os conceitos matemáticos foram abordados de forma acessível a todos, de formaque a atividade, lúdica, fosse um instrumento complementar no ensino de matemática. Para facilitar o desenvolvimento da atividade, foram confeccionados umQuadrado Mágico de ordem 3 e outro de ordem 4 utilizando isopor, E.V.A., cartolinascoloridas e percevejos (taxinhas), conforme Figura 5. Além disso, nas atividadesrealizadas nas escolas, foram distribuídos os Quadrados Mágicos em papel para osalunos preencherem. O objetivo do Grupo de Jogos Matemáticos foi utilizar essa técnica em alunos doEnsino Fundamental, pois este tipo de atividade possibilita ao aluno uma melhorrepresentatividade principalmente na área de Matemática.
  • 59. 6SILVA, T. H. P., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. e LOPES, M. L. M. OJogo Quadrado Mágico como Auxílio ao Ensino Tradicional de Matemática, Relato deExperiência. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM.Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-13. (ISBN 978-85-98092-07-2) O Quadrado Mágico foi apresentado em duas escolas da cidade de Ilha Solteira eem uma escola da cidade de Selvíria (MS), como ilustra as fotos indicadas na Figura 4,através de aulas teóricas e exposições a alunos, professores e pais. A apresentação dos jogos despertou grande curiosidade nas crianças,contribuindo para o aprendizado de matemática. O trabalho com jogos lúdicos, nestecaso o quadrado mágico, vem a ser um método alternativo que acaba tornando a aulamais dinâmica e atrativa favorecendo a aprendizagem. Os alunos, sem perceber, tiveram contato e trabalharam com rigor as relaçõesmatemáticas presentes no Quadrado Mágico. A maneira no qual é gerada a constantemágica foi apresentada aos alunos no intuito de que ficasse claro não só as regras dojogo, mas também a origem e forma em que ele se processa.CONSIDERAÇÕES FINAIS A atividade proporcionou uma nova concepção de educação matemática,mostrando que é possível ensinar conceitos considerados “complexos” às crianças.Basta utilizar formas alternativas como ferramentas complementares ao ensinotradicional, levando ao desenvolvimento da aprendizagem. Pode-se afirmar que além dos governantes e professores, os pais estãodiretamente envolvidos com a qualidade do ensino. Portanto, devem “estar” presentes e“ser” presentes, sempre que possível, nas atividades escolares dos filhos. O fato de“estar” presente não implica na participação, daí a importância de “ser” presente. O fato de o ensino e a aprendizagem de Matemática ser um grande problemapara o sistema educacional vigente, propõe-se a modificação das aulas tradicionais,através da utilização de ferramentas lúdicas, na tentativa de despertar o interesse dosalunos para a beleza do estudo da matemática. Sendo assim, o educador é a peça chaveno processo da reforma educacional. “O conhecimento é transmitido de diferentesformas, basta que haja a compreensão da informação”.REFERÊNCIAS
  • 60. 7SILVA, T. H. P., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. e LOPES, M. L. M. OJogo Quadrado Mágico como Auxílio ao Ensino Tradicional de Matemática, Relato deExperiência. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM.Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-13. (ISBN 978-85-98092-07-2)BOYER, C. B. História da Matemática, São Paulo, Edgar Blücher, 1974.PASLES, P. C. Some Magic Squares of Distinction, Math Horizons, 2004, pp 10-12.CARLSON, J. Magic Squares and Modular Arithmetic, Department of Mathematics,University of Utah, 2001, pp. 10.XIN, G. Constructing all Magic Squares of Order Three, Department ofMathematics, Brandeis University, 2004, pp.1-7.ANEXO Figura 1 – Quadrado Mágico na notação moderna. Figura 2 – Método usado na construção de Quadrados Mágicos de ordem ímpar (neste caso, de ordem 5).
  • 61. 8SILVA, T. H. P., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. e LOPES, M. L. M. OJogo Quadrado Mágico como Auxílio ao Ensino Tradicional de Matemática, Relato deExperiência. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM.Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-13. (ISBN 978-85-98092-07-2) Figura 3 – Procedimento utilizado na construção de Quadrados Mágicos de ordens múltiplas de 4 (neste caso, de ordem 4). Figura 4 – Apresentação do Quadrado Mágico nas escolas. Figura 5 – Quadrados Mágicos confeccionados pelo Grupo de Estudo sobre Jogos Matemáticos.
  • 62. RIVA, S. J., GUISSI, V. A. S., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. e LOPES,M. L. M. O Jogo Sudoku como uma Alternativa no Ensino de Matemática, Relato deExperiência. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM.Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-8. (ISBN 978-85-98092-07-2)Eixo-temático: Ensino Fundamental: Ciclos III e IV O JOGO SUDOKU COMO UMA ALTERNATIVA NO ENSINO DE MATEMÁTICA Sílvio RIVA Júnior – FEIS / UNESP (silvio_riva@yahoo.com.br) Vinicius Arthur dos Santos GUISSI – FEIS / UNESP (vinnyguissi@hotmail.com) Alessandra Bonato ALTRAN – FEIS / UNESP (lealtran@mat.feis.unesp.br) Dalva Maria Oliveira VILLARREAL – FEIS / UNESP (dalva@mat.feis.unesp.br) Mara Lúcia Martins LOPES – FEIS / UNESP (mara@mat.feis.unesp.br)Resumo: O ensino de matemática vem sendo, ao longo dos anos, uma das maiorespreocupações para todos, principalmente professores da área, devido o fato de, namaioria das escolas, as médias das notas dos alunos nesta disciplina serem as maisbaixas de toda a grade escolar. Mas, se não bastasse, há outro fato preocupante que é acrescente falta de dedicação e o desinteresse cada vez maior por parte dos alunos emrelação ao estudo da matemática. Devido à grande preocupação foram realizadosestudos sobre as possíveis e diferentes maneiras de abordar a matemática de forma atorná-la mais prazerosa perante os alunos. Uma das metodologias que vem sedestacando são os jogos matemáticos a qual vem proporcionando resultados relevantes.Piaget e Vygotsky foram grandes pesquisadores sobre a construção do conhecimentohumano, e para eles o homem é um ser ativo que está sempre em busca de respostaspara as dúvidas e paradoxos que o mundo lhe traz e o conhecimento se daria através dainteração entre homem/meio (www.centrorefeducacional.com.br/piaget.html;www.centrorefeducacional.com.br/vygotsky). Os jogos matemáticos são atividadeslúdicas desafiadoras que proporcionam uma interação aluno/meio, da qual o discente iráformular seu próprio conhecimento. Fazer com que os próprios alunos tomem ainiciativa de propor “caminhos” e decisões rápidas e corretas na resolução dos jogos eproblemas, torna o estudo e aprendizado matemático mais dinâmico e menos árduo, jáque eles serão construtores de grande parte do conhecimento adquirido. Em busca damelhoria do ensino e aprendizagem de matemática, foi criado o Grupo de Estudo sobreJogos Matemáticos, formado por alunos do curso de licenciatura em matemática daUNESP de Ilha Solteira que exploraram a utilização do Sudoku no Ensino Fundamental.A experiência foi realizada com alunos do Ensino Fundamental, 40 e 60 anos, e comexposições à professores e pais de alunos.Palavras-chave: Jogos, Ensino, Aprendizagem Matemática, Diversificação, Sudoku.
  • 63. 2RIVA, S. J., GUISSI, V. A. S., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. e LOPES,M. L. M. O Jogo Sudoku como uma Alternativa no Ensino de Matemática, Relato deExperiência. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM.Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-8. (ISBN 978-85-98092-07-2)INTRODUÇÃO Os alunos do 1º ano (atualmente 2º ano) do curso de Licenciatura emMatemática tiveram a experiência de elaborar seminários de jogos matemáticos devido ànecessidade da atividade prática da disciplina álgebra elementar, imposta pelo novocurrículo. Durante algumas atividades propostas aos alunos (relatórios, seminários, etc.)notou-se que alguns deles possuíam mais desenvoltura e facilidade em trabalhar na áreada educação. Assim, propôs-se, a esses alunos, o convite da formação de um grupo depesquisa relacionado a jogos matemáticos. O Grupo de Estudos sobre Jogos Matemáticos, assim chamado, tem o âmbito defazer com que a matemática seja passada de uma maneira que gere mais aceitações,aumentando o aproveitamento dos alunos dentro da sala de aula tornando-a maisprazerosa entre eles. Dentre os jogos escolhidos está o Sudoku cujo nome é a abreviação japonesapara a frase: “Suuji wa do kushin ni kagiru” que significa “os dígitos devem permanecerúnicos”. Ao contrário do que muitos pensam o jogo não é de origem japonesa, já que foicriado por um arquiteto aposentado chamado Howard Garns, de 74 anos, cujainspiração para a criação do jogo veio, provavelmente, do quadrado latino do suíçoLeonard Euler. Suas primeiras publicações ocorreram nos Estados Unidos no final doano de 1970 na revista Math Puzzles and logic Problems, da editora Dell Magazines. O Sudoku é composto de uma matriz quadrada (n x n) de números sendo que emalgumas posições contem números pré-fixados. O desafio do jogo é preencher o restanteda matriz de forma que toda linha, coluna, ou bloco contenha um e apenas um númerode cada. Para tal preenchimento utilizam-se números que vão de 1 até n, sendo n igual adimensão da grade. A Figura 1 ilustra dois tipos diferentes de Sudoku: Sudoku 4x4 eSudoku 9x9. O Sudoku apresenta duas técnicas de resolução: Tentativa e erro que consiste empreencher a grade de uma maneira aleatória, sem estudo da matriz dada, o que acarretaem vários erros aumentando o tempo de resolução. Já o segundo método chama-se
  • 64. 3RIVA, S. J., GUISSI, V. A. S., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. e LOPES,M. L. M. O Jogo Sudoku como uma Alternativa no Ensino de Matemática, Relato deExperiência. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM.Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-8. (ISBN 978-85-98092-07-2)“Varredura”, cujo princípio é percorrer toda a matriz estudando as possibilidades de umnúmero poder ou não ocupar um determinado local na grade mostrado pela Figura 2.Essa “varredura” é feita seguindo as regras do jogo, há uma dica para os iniciantes queseria começar essa análise com os números que estão em maior quantidade. Dentro doprocesso de análise do Sudoku é estabelecida uma regra primordial: os números nãopodem ser repetidos em células de suas respectivas grades menores, nas linhas e colunascomo mostrado na Figura 3 (DAVIS, 2007). O grau de dificuldade do jogo Sudoku é estabelecido pelo tamanho da grade,quanto menos, mais fácil e também pela quantidade de números que sãopredispostamente dados no inicio da resolução.EXPERIÊNCIA DENTRO DE SALA DE AULA Os alunos que fazem parte do Grupo de Estudos sobre Jogos Matemáticostinham a tarefa de confeccionar o jogo Sudoku para então aplicá-lo na prática de ensinodentro de sala de aula. Para a confecção dos jogos utilizou-se pincel atônico, lousabranca de diversos tamanhos, e as grades foram feitas com fitas coloridas para umamelhor visualização como mostra a Figura 4. A utilização do jogo Sudoku como método de ensino para a aprendizagem dematemática é uma alternativa que visa melhorar as expectativas quanto à assimilação deconhecimento na área de matemática. Uma vez que esta área possui um grau dedificuldade de aceitação com relação aos alunos, ocorre à necessidade da utilização detécnicas que supram os métodos tradicionais. O Sudoku foi apresentado para os alunos do ensino fundamental de escolaspúblicas e particulares, levando em conta que na escola particular o jogo foi colocado demaneira expositiva, no qual alunos, professores e pais tinham o livre acesso ao jogo.Portanto, devido o fato do jogo ser colocado para turmas diferentes, surgiu anecessidade de utilizar níveis de dificuldades e formas de apresentação do jogodistintas.
  • 65. 4RIVA, S. J., GUISSI, V. A. S., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. e LOPES,M. L. M. O Jogo Sudoku como uma Alternativa no Ensino de Matemática, Relato deExperiência. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM.Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-8. (ISBN 978-85-98092-07-2) Para apresentação do Sudoku no Ensino Fundamental, foi necessário realizaralgumas modificações essenciais no jogo. Por exemplo, para os alunos do EnsinoFundamental, 40 ano, houve a substituição dos números por figuras coloridas, comomostra a Figura 5, no intuito de despertar um maior interesse das crianças e fazer comque focassem o jogo de uma maneira mais intensa. Devido à diversidade de formas de apresentações em salas de níveis escolaresdiferentes, indicada pela Figura 6, o grupo se deparou com algumas dificuldades. Noinício o mais difícil foi saber lidar com a insegurança já que nada desse tipo havia sidofeito e tinha-se certo receio por não saber como lidar e o que esperar diante de umaclasse cheia de alunos. Porém, com o passar de cada experiência os membros do grupo puderamvivenciar o que é ser professor, adquirindo uma experiência em sala de aula dando-lhesconfiança para lidar com as possíveis situações em classe proporcionando um maiorpreparo para as demais apresentações. Assim o trabalho tem proporcionado aosmembros do Grupo de Jogos a vontade de serem professores e lutarem por umamelhoria significativa na aprendizagem e ensino. Após presenciar e participar de todas as atividades do Grupo de Estudos sobreJogos Matemáticos, os responsáveis pela elaboração e apresentações do jogo Sudokupuderam avaliar e concluir que o jogo em questão foi de grande valia e obteveresultados ótimos.COLOCAÇÕES FINAIS Uma das maiores dificuldades encontradas pelos professores está na extremafacilidade com que os alunos dispersam a atenção fazendo com que não consigam seconcentrar por período maior. Outro problema apontado é a falta de interesse queacarreta em desistências decorrentes de qualquer dificuldade encontrada, seja ela qualfor. Por experiências vividas dentro de sala de aula, pôde-se observar que com aintrodução do Sudoku ocorreu uma maior interatividade entre alunos e professores,
  • 66. 5RIVA, S. J., GUISSI, V. A. S., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. e LOPES,M. L. M. O Jogo Sudoku como uma Alternativa no Ensino de Matemática, Relato deExperiência. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM.Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-8. (ISBN 978-85-98092-07-2)dinamizando a aula. Também foi visível o aumento do interesse pelo que estava sendoapresentado, já que até aquele momento, eles não conheciam o jogo proposto e para elesera uma maneira alternativa de aprender matemática. Os alunos, de maneira geral, não se abateram diante das dificuldadesencontradas, muito pelo contrário, elas serviram de estímulo para que todos seempenhassem e saíssem como “vencedores” o que fez com que o grupo avaliasse não sóo desempenho e velocidade, de cada aluno, na resolução do jogo, mas também o grau deinteresse e disposição. Este empenho maior é responsável por melhoras no raciocíniológico, na memória, na tomada de decisões corretas e na manipulação de informações. Sempre em busca de melhores resultados há o grande interesse em usar ainformática como ferramenta (RUIZ, 2006). Trabalhos envolvendo jogos matemáticos einformática vem sendo realizados com êxito na inserção de idosos no mundo digital(SEBBEN et al., 2007). Portanto, apesar da resistência por parte de alguns, o Sudoku e outros váriosjogos podem, sem dúvida alguma, entrarem não só nas salas de aula, mas em qualquermeio para tornar o ensino de Matemática algo mais atrativo e interessante com o papelde ferramenta ou até mesmo como método de avaliação (NINA, 2007), gerandomelhores resultados e desmistificando a história em que a aprendizagem da matemáticase submeteria somente a cálculos e problemas abstratos.REFERÊNCIASRUIZ, D. Jogos Pedagógicos Matemáticos, São Paulo: UNIMESP – CentroUniversitário Metropolitano de São Paulo, 2006, pp. 1-4.NINA, C. Um Olhar Matemático para o Jogo de Sudoku, IX ENEM - EncontroNacional de Educação Matemática, 18 a 21 Julho, Belo Horizonte, 2007, pp. 1-10.SEBBEN, N.; GUEDES, A. L.; GUEDES, F. L. Desenvolvimento de Jogos para aTerceira Idade, VI Simpósio Brasileiro de Jogos para Computador e EntretenimentoDigital, 2007, pp. 1-4.DAVIS, T. The Mathematics of Sudoku, 2007, pp. 1-34.
  • 67. 6RIVA, S. J., GUISSI, V. A. S., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. e LOPES,M. L. M. O Jogo Sudoku como uma Alternativa no Ensino de Matemática, Relato deExperiência. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM.Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-8. (ISBN 978-85-98092-07-2)www.centrorefeducacional.com.br/piaget.htmlwww.centrorefeducacional.com.br/vygotsky.htmlANEXO Figura 1 - Sudoku 4x4 e Sudoku 9x9. Figura 2 - Método da “varredura”.
  • 68. 7RIVA, S. J., GUISSI, V. A. S., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. e LOPES,M. L. M. O Jogo Sudoku como uma Alternativa no Ensino de Matemática, Relato deExperiência. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM.Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-8. (ISBN 978-85-98092-07-2) Figura 3 - Grades menores, Colunas e Linhas do Sudoku. Figura 4 - Sudoku confeccionado. Figura 5 - Sudoku de figuras 4x4.
  • 69. 8RIVA, S. J., GUISSI, V. A. S., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. e LOPES,M. L. M. O Jogo Sudoku como uma Alternativa no Ensino de Matemática, Relato deExperiência. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM.Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-8. (ISBN 978-85-98092-07-2) Figura 6 - Apresentações do Grupo.
  • 70. NIZA, C. D., BEVILAQUA, N. M., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. eLOPES, M. L. M. O Tangram como Ferramenta Complementar ao Ensino deMatemática, Relato de Experiência. Anais do IX Encontro Paulista de EducaçãoMatemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-8. (ISBN 978-85-98092-07-2)Eixo-temático: Ensino Fundamental : Ciclos I e II.O JOGO TANGRAM COMO FERRAMENTA COMPLEMENTAR AO ENSINO DE MATEMÁTICA Carla Daniela NIZA – FEIS / UNESP (carladanielaniza@hotmail.com) Nathália M. BEVILAQUA – FEIS / UNESP (nathalia.m.bevilaqua@gmail.com) Alessandra B. ALTRAN – FEIS / UNESP (lealtran@mat.feis.unesp.br) Dalva M. O. VILLARREAL – FEIS / UNESP (dalva@mat.feis.unesp.br) Mara L. M. LOPES – FEIS / UNESP (mara@mat.feis.unesp.br)Resumo: O Tangram é um quebra cabeça de origem chinesa muito antiga, formado porsete peças (dois triângulos isósceles grandes, dois triângulos isósceles pequenos; umtriângulo isóscele médio; um quadrado e um paralelogramo). As peças podem serchamadas de Tans e, posicionando-as corretamente em sua apresentação clássica,forma-se um quadrado. Além desta forma, diversas outras podem ser obtidas desde que,utilizando todas as peças, uma peça não seja colocada sobre a outra. Seu nome originalé ch i ch iaô tu, que em português significa “7 tabuas da sabedoria” ou “7 peçasinteligentes”. Conta a lenda que, um dia na China, o imperador Tan partiu o seu espelhoquadrado quando o deixou cair ao chão. O espelho partiu-se em sete partes. Tan, apesarde aborrecido com a perda do espelho, descobriu uma forma de se entreter, foiconstruindo várias figuras usando sempre as sete peças, sem as sobrepor. Com o passardo tempo foram surgindo vários tipos de Tangram, como o Tangram Pitagórico, oPentagonal, o Circular, o Oval, o Cardiotangram, o de Quatro Peças, o de Cinco Peças,entre outros. O quebra-cabeça Tangram, e muitos outros tipos de quebra-cabeçasbidimensionais similares, tornaram-se bastante populares no final do século XVIII e noinicio do século XX. O Tangram expandiu-se com muita rapidez, principalmente pelaEuropa e Estados Unidos tornando-se muito popular, e tem servido de inspiração paracriação de muitos outros jogos com as mesmas características. Assim como otradicional jogo de origem chinesa, Tangram possui como filosofia criar inúmerasvisões a partir de suas peças, gerando infinitas possibilidades. O que se sabe narealidade é que ele ajuda a desenvolver as inteligências lógico-matemática, espacial eintrapessoal. Assim, este trabalho trata da apresentação dos resultados da iniciativa daproposta de utilização do Tangram como instrumento auxiliar ao ensino de matemática.Palavras-chave: Tangram, Jogos, Ensino, Criatividade, Lógica Matemática.
  • 71. 2NIZA, C. D., BEVILAQUA, N. M., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. eLOPES, M. L. M. O Tangram como Ferramenta Complementar ao Ensino deMatemática, Relato de Experiência. Anais do IX Encontro Paulista de EducaçãoMatemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-12. (ISBN 978-85-98092-07-2)INTRODUÇÃO Investindo na possibilidade de reorientar o ensino da matemática de modo a torná-lo uma experiência de sucesso, promovendo assim, uma visão da matemática comociência em permanente evolução, foi formado o Grupo de Estudo sobre JogosMatemáticos, na UNESP de Ilha Solteira. Para realizar esta tarefa árdua de reorientar o ensino desta ciência, o grupotrabalha com a proposta de introduzir em sala de aula um dos mais variados recursosexistentes na literatura, neste caso, os jogos matemáticos. Assim, a proposta é fazer dos jogos matemáticos uma ferramenta completar para oensino de matemática. Logo, neste trabalho serão apresentadas as atividadesdesenvolvidas pelo grupo abordando um dos jogos trabalhados. Manuseando as peças do quebra-cabeça chinês, como é conhecido o Tangram, osalunos terão condições de elaborar os conceitos do conteúdo sobre Frações, explorando-o com as sete peças que compõem o Tangram. Este, por ser um jogo, prende a atenção epossibilita a aprendizagem de maneira lúdica. As situações do jogo são consideradasparte das atividades pedagógicas, justamente por serem elementos estimuladores dodesenvolvimento. O jogo assume um papel importante na matemática. É através do seu caráterlúdico que facilmente se divulga a matemática e se diminui o peso psicológico etenebroso que esta assume na sociedade, fato este que tem emergido aos olhos doseducadores. Portanto, a iniciativa do grupo em complementar o ensino de matemática atravésda utilização de jogos, neste caso o Tangram, faz da aquisição dos conceitos, umaatividade mais prazerosa que permite ao aluno a aquisição do conhecimento de formamais completa e objetiva. No que segue serão apresentadas as atividades desenvolvidas pelo Grupo deEstudo sobre Jogos Matemáticos, envolvendo o Tangram, nos anos de 2006, 2007 e2008.
  • 72. 3NIZA, C. D., BEVILAQUA, N. M., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. eLOPES, M. L. M. O Tangram como Ferramenta Complementar ao Ensino deMatemática, Relato de Experiência. Anais do IX Encontro Paulista de EducaçãoMatemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-12. (ISBN 978-85-98092-07-2)LENDAS E ORIGEM DO TANGRAM A primeira publicação sobre a origem do Tangram foi em 1813 [LEE, 2003],segundo os registros. Várias lendas contam essa origem de formas diferentes, porém, a definição maisformal diz que o Tangram é um quebra-cabeça de origem chinesa formado por setepeças (Figura 1), e quando colocadas corretamente, forma-se um quadrado. A essas setepeças dá-se o nome de Tans e é possível montar cerca de 1700 figuras com as mesmas(Figura 2) [KALEFF et al., 2002].REGRAS E MANIPULAÇÃO DO JOGO O desafio dos quebra-cabeças é recompor estas formas mudando as sete peças deposições. As duas principais e únicas regras são: usar todas as peças e não sobrepor umasobre a outra. Na matemática pode-se introduzir a geometria de maneira mais adequadaatravés de exposição de sólidos geométricos e da construção do Tangram, para que oaluno venha a ter noção de espaço, comparar e mediar área, estudar amplitudes deângulos e comprimento. Uma maneira interessante de jogar este jogo é colocar os dois jogadores sentadosfrente a frente, onde o primeiro escolhe uma figura simples, dando, ou não, um nome amesma. O segundo jogador não vê a figura e deve, com as peças do quadrado, construí-la segundo as indicações do primeiro jogador, que lhe descreve as peças e as respectivasposições. O segundo jogador só conseguirá reconstruir a figura, se as informações doprimeiro jogador forem suficientemente claras. Pode-se continuar até que o segundojogador consiga terminar o jogo, ou então, limitar-se o tempo.VARIAÇÕES DO TANGRAM A partir do Tangram clássico surgiram vários outros tipos de Tangram, entre eles,o Tangram Pitagórico (Figura 3), através da construção feita pode-se concluir que, num
  • 73. 4NIZA, C. D., BEVILAQUA, N. M., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. eLOPES, M. L. M. O Tangram como Ferramenta Complementar ao Ensino deMatemática, Relato de Experiência. Anais do IX Encontro Paulista de EducaçãoMatemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-12. (ISBN 978-85-98092-07-2)triangulo retângulo a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma dasáreas dos quadrados construídos sobre os catetos. Foi assim que Pitágoras chegou aconclusão de que: a² = b² + c². Conta a lenda que, como prova de gratidão por terdemonstrado esse teorema, Pitágoras sacrificou 100 bois aos deuses. Com o passar do tempo foram surgindo vários outros modelos de Tangram, comoPentagonal, Cardiotangram, Oval, Retangular, Circular, Russo, Triangular, Quatropeças e Cinco peças (Figura 3).CONTRIBUIÇÕES PEDAGÓGICAS O fato de mexer com a imaginação fazem do Tangram um excelente jogo infantile educacional, especialmente se for possível permitir à criança a criação do seu própriojogo. Com o uso do Tangram o professor pode desenvolver, ou aperfeiçoar, com seusalunos, várias capacidades, como identificação de formas geométricas planas, através decores, formas, comparação, descrição, classificação, transformações geométricas atravésde composição e decomposição de figuras, compreensão das propriedades das figurasgeométricas planas, representação e resolução de problemas usando modelosgeométricos, noções de área e frações. O Tangram também possibilita obter algumashabilidades importantes para a aquisição de conhecimento em outras áreas, tais como,visualização, diferenciação, percepção espacial, análise, síntese, desenho, escrita econstrução [LEE, 2003]. O Tangram pode ser usado como material didático nas aulas de educação artísticae matemática, visando à exploração das peças e identificação de suas formas,possivelmente, com a associação de cores. Logo depois, se passa à sobreposição econstrução de figuras dadas, nesse caso, cabe ao aluno reconhecer e interpretar o que sepede, analisar as possibilidades e tentar a construção. Durante todo esse processo, acriança precisa analisar as propriedades das peças do Tangram e da figura que se querconstruir, se detendo ora no todo de cada figura, ora nas partes. Sua filosofia é de que
  • 74. 5NIZA, C. D., BEVILAQUA, N. M., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. eLOPES, M. L. M. O Tangram como Ferramenta Complementar ao Ensino deMatemática, Relato de Experiência. Anais do IX Encontro Paulista de EducaçãoMatemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-12. (ISBN 978-85-98092-07-2)um todo é divisível em partes (as sete peças que compõem o quadrado), as quais podemser reorganizadas em outro todo, com a concepção de Malba Tahan sobre a matemática. Este jogo só exige tempo, paciência, imaginação e, principalmente respeitar asregras.DESENVOLVIMENTO DA ATIVIDADE ENVOLVENDO ALUNOS No que segue, serão relatadas algumas experiências, realizadas pelo Grupo deEstudo sobre Jogos Matemáticos, envolvendo o Tangram, nos anos de 2006, 2007 e2008. No ano de 2006, foi realizada a Oficina de “Jogos Matemáticos”, parte integranteda Semana da Matemática, evento realizado na própria universidade. A oficina contoucom a apresentação de vários jogos matemáticos, entre eles o Tangram, que foi muitobem aceito por todos. Primeiramente foram distribuídos vários quebra-cabeças desmontados, com oobjetivo de montá-los em sua forma clássica, divertindo e chamando a atenção de todosque estavam participando. Depois, feito isso, foram distribuídos vários outros tipos deTangram, como o Cardiotangram, o de Quatro Peças, o de Cinco Peças, o Pitagórico, oOval, entre outros, proporcionando, junto a eles, desafios diferentes para ser montados. No ano seguinte, 2007, os jogos matemáticos se fizeram presentes no “Venha nosConhecer”, evento também realizado na própria universidade (Figura 4). Neste eventofoi possível mostrar como os jogos matemáticos são importantes para odesenvolvimento do raciocínio lógico de um indivíduo, novamente, entre os jogosabordados estava o Tangram que, apesar de ser um jogo com um nível de dificuldademédia, chama muito a atenção por suas cores e formas geométricas, além de sua origeme história. No ano de 2007 ainda, foi ministrada a Oficina “Atividades Matemáticaenvolvendo Jogos”, na Semana da Matemática, para a abordagem do Tangram, foiconfeccionada uma amarelinha (Figura 5), em E. V. A. Já em 2008, o grupo apresentou
  • 75. 6NIZA, C. D., BEVILAQUA, N. M., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. eLOPES, M. L. M. O Tangram como Ferramenta Complementar ao Ensino deMatemática, Relato de Experiência. Anais do IX Encontro Paulista de EducaçãoMatemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-12. (ISBN 978-85-98092-07-2)novamente os jogos, incluindo o Tangram e suas variações no “Venha nos Conhecer”,evento já descrito anteriormente (Figura 4).RESULTADOS O Tangram não possui uma única “solução”, são inúmeras soluções e figuras quepodem ser formadas, no que, residiria um grande atrativo. Sendo assim, o quebra-cabeçachinês permite criar e montar mais de 1.700 figuras entre animais, plantas, pessoas,objetos, letras, números. O Tangram é uma metodologia de ensino de matemática parajovens e adultos com ou sem alfabetização. O jogo, que torna divertida a matemáticarecreativa, pode tomar vários aspectos: um quebra-cabeça a ser resolvido, um jogo decompetição, uma mágica, paradoxo, falácia ou, simplesmente, Matemática com umtoque qualquer de curiosidade ou diversão. Foi possível transmitir, através das atividades desenvolvidas, que o Tangram,além de um jogo divertido, pode ser visto como um material educativo, permitindo aoprofessor trabalhar com o mesmo em sala de aula, e aos alunos o entendimento devários conceitos, tais como, ângulos, área, perímetro, noções espaciais, associação deformas e cores, comparação, descrição, comparação, etc. [TOLEDO e TOLEDO, 1997]. Assim, a apresentação do Tangram como instrumento alternativo à práticaeducacional, despertou grande interesse tanto pelos alunos quando pelos própriosprofessores que participaram das atividades desenvolvidas.REFERÊNCIASLEE, R. Tangram, Editora Isis, LTDA, 2003.KALEFF, A. M.; MONTEIRO REI, D.; GARCIA, S. S. Quebra-cabeças Geométricose formas planas, Editora da Universidade Federal Fluminense - Niterói/RJ, 2002.TOLEDO, M.; TOLEDO, M. Didática da Matemática: como dois e dois: aconstrução da matemática, São Paulo: FTD, 1997.
  • 76. 7NIZA, C. D., BEVILAQUA, N. M., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. eLOPES, M. L. M. O Tangram como Ferramenta Complementar ao Ensino deMatemática, Relato de Experiência. Anais do IX Encontro Paulista de EducaçãoMatemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-12. (ISBN 978-85-98092-07-2)ANEXO Figura 1 - Apresentação Clássica do Tangram. Figura 2 - Exemplos de Aplicações do Tangram.
  • 77. 8NIZA, C. D., BEVILAQUA, N. M., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. eLOPES, M. L. M. O Tangram como Ferramenta Complementar ao Ensino deMatemática, Relato de Experiência. Anais do IX Encontro Paulista de EducaçãoMatemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-12. (ISBN 978-85-98092-07-2) Figura 3 - Variações do Tangram. Figura 4 - Venha nos Conhecer 2007 e 2008. Figura 5 - Amarelinha (Oficina realizada em 2007).
  • 78. SANTOS, E. L. F., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. e LOPES, M. L. M. OUso da Torre de Hanói no Ensino de Matemática, Relato de Experiência. Anais do IXEncontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP,2008, pp. 1-8. (ISBN 978-85-98092-07-2) Eixo-temático: “Ensino Fundamental: Ciclos III e IV”. O USO DA TORRE DE HANÓI NO ENSINO DE MATEMÁTICA Edcarlos L. F. SANTOS – FEIS / UNESP (edcarlos71125@aluno.feis.unesp.br) Alessandra B. ALTRAN – FEIS / UNESP (lealtran@mat.feis.unesp.br) Dalva M. O. VILLARREAL – FEIS / UNESP (dalva@mat.feis.unesp.br) Mara L. M. Lopes – FEIS / UNESP (mara@mat.feis.unesp.br)Resumo: Um dos maiores desafios de um educador, em sala de aula, é obter a atençãototal de seus alunos, principalmente, quando se trata de Matemática. Para isso, se faznecessário a utilização de métodos alternativos, entre eles, o uso de jogos lúdicos. Autilização de jogos no ensino torna mais fácil à comunicação entre os alunos e oeducador, propiciando um aprendizado mais completo. O objetivo, quanto à utilizaçãodessa ferramenta, não é transformar a escola em um grande parque de diversões, massim, aliar esse entretenimento ao ensino. Para que essa proposta seja concretizada énecessário um grande trabalho, na tentativa de encontrar o jogo que melhor se adapte aonível de desenvolvimento em que se encontram os alunos, e ao conteúdo que está sendoabordado. O Grupo de Estudo sobre Jogos Matemáticos, composto por alunos do cursode Licenciatura em Matemática, da UNESP de Ilha Solteira, vem utilizando os jogosmatemáticos no ensino. Através das experiências vividas durante o período de dois anosescolheu-se a Torre de Hanói, por ser um dos jogos que apresentou grandeaceitabilidade por parte dos alunos. Sendo assim, no decorrer do trabalho, será realizadauma apresentação detalhada do jogo, salientando os diversos benefícios que o mesmo,aliado aos métodos tradicionais, pode trazer ao ensino de matemática; além deapresentar os resultados das atividades envolvendo o jogo. O trabalho do grupo não selimita apenas à utilização da Torre de Hanói como ferramenta complementar ao ensinode matemática, vários outros jogos são abordados com mesma finalidade. Portanto, ojogo a ser tratado pode ser considerado um excelente exemplo de passatempo lúdico,além de permitir as mais diversas abordagens, ou seja, a Torre de Hanói é um jogomatemático que pode ser aplicado a todos os níveis de ensino, desde o infantil até ouniversitário.Palavras-chave: Torre de Hanói, Jogos Matemáticos, Ensino de Matemática.
  • 79. 2SANTOS, E. L. F., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. e LOPES, M. L. M. OUso da Torre de Hanói no Ensino de Matemática, Relato de Experiência. Anais do IXEncontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP,2008, pp. 1-8. (ISBN 978-85-98092-07-2)INTRODUÇÃO Buscando uma alternativa aos métodos tradicionais de ensino, o Grupo de Estudossobre Jogos Matemáticos, apostou na iniciativa de utilizar Jogos Matemáticos comoferramenta complementar ao ensino de matemática. Assim, vários jogos servem comoalvo de estudo do grupo, dentre eles destaca-se a Torre de Hanói (Figura 1). O jogo Torre de Hanói pode ser abordado em todos os níveis de ensino, no ensinoinfantil e fundamental, não necessitando de grande habilidade matemática; no ensinomédio e superior, em que é possível explorar o jogo num contexto matemático maisbem elaborado e, ainda, existem relatos da utilização da mesma em ambientesexecutivos, servindo de instrumento cognitivo de avaliação do comportamento dosfuncionários que são submetidos à atividade de transferência dos discos (WELSH andHUIZINGA, 2005). Assim, a proposta é incentivar a utilização de jogos matemáticos no ensino, umavez que a situação do ensino, mais especificamente de matemática, se encontra em umnível um pouco abaixo do esperado. Num primeiro momento, a Torre de Hanói foi abordada de um modo maisinformativo, através da manipulação descompromissada com a fundamentaçãomatemática envolvida, propôs-se apenas a transferência dos discos em si. A opção pela atividade expositiva ocorreu na intenção de promover,cuidadosamente, a aceitação da inserção dos jogos matemáticos no ensino, tanto porparte de professores e alunos das escolas de Ilha Solteira (e região), quanto dos alunos eprofessores dos cursos de licenciatura. Após essa fase de ambientação, a proposta élevar o jogo Torre de Hanói para a sala de aula, no intuito de servir como ferramentacomplementar do ensino de matemática. No que segue será realizada uma apresentação das regras e manipulação do jogo,seguindo com os benefícios por ele apresentados. Será descrito ainda, odesenvolvimento das atividades realizadas envolvendo alunos, nos três últimos anos e,por fim, serão apresentadas as considerações finais sobre o trabalho.
  • 80. 3SANTOS, E. L. F., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. e LOPES, M. L. M. OUso da Torre de Hanói no Ensino de Matemática, Relato de Experiência. Anais do IXEncontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP,2008, pp. 1-8. (ISBN 978-85-98092-07-2)REGRAS E MANIPULAÇÃO DO JOGO A Torre de Hanói é composta por três hastes nas quais são colocados n discos(n = 1, 2, 3, 4....) concêntricos e de tamanhos diferentes, alinhados de forma decrescenteem relação à base. O objetivo do jogo é transferir os discos da haste principal paraqualquer uma das outras hastes seguindo as seguintes regras (CHEDID and MOGI,1996): • Só é permitido movimentar um disco de cada vez; • Nunca colocar um disco de maior diâmetro sobre um de menor diâmetro; • Nunca colocar discos em outro lugar a não ser, em uma das hastes. Obedecendo a todas essas regras objetiva-se utilizar o menor número possível demovimentos, sendo esta quantidade calculada através da relação dada por (PIAGET,1977; CHEDID and MOGI, 1996): M(n) = 2n – 1 (1)Em que n é o número de discos em uso e M(n) é o número mínimo de movimentosnecessários para mover esses n discos (BAIRRAL e CARPI, 2002). As figuras 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, mostram a quantidade mínima de movimentospara uma torre de três discos.BENEFÍCIOS DO JOGO A Torre de Hanói pode, facilmente, ser empregada em todos os níveis escolares,mudando-se, obviamente, o enfoque dado em cada um desses níveis. Em um primeiro momento, a manipulação da Torre pode ajudar na coordenaçãomotora, no reconhecimento de formas e no conceito de ordem crescente e decrescente.Não é necessário que as crianças consigam resolver o “passatempo”, mas é
  • 81. 4SANTOS, E. L. F., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. e LOPES, M. L. M. OUso da Torre de Hanói no Ensino de Matemática, Relato de Experiência. Anais do IXEncontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP,2008, pp. 1-8. (ISBN 978-85-98092-07-2)extremamente recomendável a manipulação, para que os alunos se familiarizem cadavez mais com o jogo, levando-os a resolução natural do problema proposto. Já em um nível mais adiantado, a Torre já pode ser utilizada visando à resoluçãodesta, buscando estratégias de transferências e elaborando uma relação intuitiva entre onúmero de discos e o número mínimo de movimentos necessários para transferi-los(BAIRRAL e CARPI, 2002), essa fase é muito importante para ajudar nodesenvolvimento de um bom raciocínio indutivo. Conceitos já fixados nos níveisanteriores podem se aliar a outros conceitos que ajudarão no estudo mais profundo dojogo, por exemplo, o método de indução finita para comprovar a validade da formulaçãoque antes fora adquirida intuitivamente. A Torre de Hanói não é único jogo que pode ser usado no auxílio ao ensino;existem centenas de jogos tão bons ou melhores que a Torre de Hanói, e é tarefa doeducador, buscar se informar e, sempre que possível, utilizar-se dessas ferramentas tãoúteis ao ensino.DESENVOLVIMENTO DA ATIVIDADE ENVOLVENDO ALUNOS A Torre de Hanói foi apresentada em quatro atividades, sendo três em eventos daprópria Universidade, e a outra em uma escola da cidade. A primeira atividade foi à apresentação da Oficina “Jogos Matemáticos” parteintegrante da “Semana da Matemática” (2006), evento realizado pelo departamento deMatemática da própria instituição, cujo objetivo era disseminar a aplicação damatemática estudada durante o curso, através da utilização dos jogos. A segunda apresentação da Torre de Hanói foi no “Venha nos Conhecer” (2007),um evento realizado pela própria universidade, com a finalidade de apresentar os cursospara os futuros vestibulandos (Figura 10). Como a segunda apresentação conta com a visitação de alunos e professores dasescolas do município e da região, uma professora, que aprovou a iniciativa, fez umconvite para que o grupo participasse de um evento que a escola iria promover. Assim, aterceira apresentação envolvendo a Torre se deu através de um convite do colégio
  • 82. 5SANTOS, E. L. F., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. e LOPES, M. L. M. OUso da Torre de Hanói no Ensino de Matemática, Relato de Experiência. Anais do IXEncontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP,2008, pp. 1-8. (ISBN 978-85-98092-07-2)Anglo, para apresentação dos jogos em uma atividade que envolvia alunos, pais,professores e funcionários da própria escola, também em 2007 (Figura 11). A quarta apresentação da Torre foi realizada já em 2008 no “Venha nosConhecer”, realizado da mesma forma que no ano anterior (Figura 12).CONSIDERAÇÕES FINAIS Através dessas apresentações, e do contato com os alunos, foi possível perceber aaversão que uma parte dos alunos tem pela matemática, e isso faz com que o ensinotorne-se um tanto complicado, entretanto é possível constatar que, com o uso de jogos,essa aversão pode ser contornada permitindo ao educador, romper essa barreira entrealuno e conhecimento. Por outro lado, mostrar uma alternativa ao ensino tradicional, fez com que osprofessores das escolas participantes dos eventos, tomassem a iniciativa decomplementar suas aulas, a fim de despertar o interesse dos seus próprios alunos epromover um ensino mais prazeroso. Outro fato que podemos ressaltar é que essa atividade propicia, aos alunosintegrantes do grupo, um contato direto com a atividade de docência a qual estão sendopreparados para exercer. Esse primeiro contato entre licenciando e alunos é de suma importância para odesenvolvimento do futuro docente, pois estes, como futuros educadores, terão aresponsabilidade de buscar alternativas que auxiliem no desenvolvimento do ensinotradicional. Assim, a utilização dos jogos, nesse caso a Torre de Hanói, é uma boa iniciativaem se tratando, da busca pela melhoria do ensino.REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICASBAIRRAL, M. e CARPI, A. Jogar e Desenvolver Competências em Matemática,Pátio Revista Pedagógica, Porto Alegre, No. 24, 2002, pp. 32-35.
  • 83. 6SANTOS, E. L. F., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. e LOPES, M. L. M. OUso da Torre de Hanói no Ensino de Matemática, Relato de Experiência. Anais do IXEncontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP,2008, pp. 1-8. (ISBN 978-85-98092-07-2)CHEDID, F. B. and MOGI, T. A Simple Iterative Algorithm for the Tower of HanoiProblem, IEEE Transactions on Education, Vol. 39, No. 2, 1996, pp. 274-275.PIAGET, J. A Tomada de Consciência, Melhoramentos e ADUSP, São Paulo, 1977,pp. 172-178.WELSH, M. C. and HUIZINGA, M. Tower of Hanoi Disck-Transfer Task:Influences of Strategy Knowledge and Learning on Performance, Learning andIndividual Differences, Elsevier, Vol. 15, 2005, pp. 283-298.ANEXO Figura 1 - Exemplos da Torre de Hanói cinco, seis e oito discos, respectivamente. Figura 2 - Situação inicial da simulação da movimentação dos discos para uma Torre de três discos. Figura 3 - Primeiro movimento da simulação.
  • 84. 7SANTOS, E. L. F., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. e LOPES, M. L. M. OUso da Torre de Hanói no Ensino de Matemática, Relato de Experiência. Anais do IXEncontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP,2008, pp. 1-8. (ISBN 978-85-98092-07-2) Figura 4 - Segundo movimento da simulação. Figura 5 - Terceiro movimento da simulação. Figura 6 - Quarto movimento da simulação. Figura 7 - Quinto movimento da simulação. Figura 8 - Sexto movimento da simulação. Figura 9 - Sétimo movimento da simulação.
  • 85. 8SANTOS, E. L. F., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. e LOPES, M. L. M. OUso da Torre de Hanói no Ensino de Matemática, Relato de Experiência. Anais do IXEncontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP,2008, pp. 1-8. (ISBN 978-85-98092-07-2) Figura 10 - Exposição realizada no “Venha nos Conhecer” 2007. Figura 11 - Exposição realizada no colégio Anglo – Ilha Solteira. Figura 12 - Exposição realizada no “Venha nos Conhecer” 2008.
  • 86. “CONGRESSO DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA DA UNESP – CIC UNESP” São José dos Campos – SP27 de Outubro a 01 de Novembro de 2008
  • 87. O Cubo Soma como Ferramenta na Aprendizagem da Matemática The Soma Cube as Tool in the Learning of the MathematicsJonatas Estevam Soares da Silva, Alessandra Bonato Altran, Dalva Maria de Oliveira Villarreal, Mara Lúcia Martins Lopes Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, Licenciatura em Matemática, jonatas71179@aluno.feis.unesp.brPalavras – chave: Jogos Matemáticos, Cubo Soma, Atividade Lúdica.Keywords: Mathematical Games, Soma Cube, Playful Activity.INTRODUÇÃO A necessidade de modificar a maneira de transmitir o conhecimento propôs-se a formação doGrupo de Estudos sobre Jogos Matemáticos (UNESP/FEIS), com o objetivo de divulgar o uso de jogoscomo uma metodologia voltada para o ensino de Matemática. A proposta da utilização de jogos lúdicosno ensino de Matemática é uma alternativa à postura tradicional do professor possibilitando ao alunouma diversificação na aprendizagem. A apresentação dos jogos matemáticos como uma alternativa lúdica para o ensino de conceitosmatemáticos vem sendo desenvolvida ao longo desses dois últimos anos. O projeto baseou-se nosseguintes passos: 1. Estudo aprofundado dos jogos, neste caso o Cubo Soma, dando ênfase no surgimento, desenvolvimento e metodologia matemática envolvida para utilização no ensino; 2. Inserção do Cubo Soma na prática dentro da sala de aula, envolvendo alunos do ensino fundamental. No trabalho que segue está inserida a apresentação do jogo Cubo Soma como ferramentacomplementar ao ensino de matemática.ORIGEM E DEFINIÇÃO DO CUBO SOMA Criado em 1936, pelo poeta dinamarquês Piet Hein, o jogo Cubo Soma pode ser comparado a umquebra-cabeça. A idéia de montar este quebra-cabeça surgiu quando Piet, engenheiro com grandesconhecimentos em Física, assistia uma palestra do físico alemão Werner Heisenberg, sobre MecânicaQuântica, quando este descrevia um espaço dividido em células cúbicas logo Piet formulou a seguinteidéia: “Se pegarmos todas as formas irregulares construídas por até quatro cubos de tamanhos iguaisunidos por suas faces, seremos capazes de montar um cubo maior”. Convém esclarecer que o quebra-cabeça foi batizado com o nome de Soma Cube (Cubo Soma) e,como tal, patenteado e comercializado em várias partes do mundo, tornando-se bastante popular nospaíses escandinavos.
  • 88. DEFINIÇÃO DO CUBO SOMA O Cubo Soma consiste em um conjunto de oito peças tridimensionais, formadas pela união depequenos cubos, combinados de modo a formar um cubo maior, mostrado pela figura abaixo. Figura 1 - Cubo Soma. A essas peças formadas pela união dos cubos, de forma irregular, dá-se o nome de policubos(peças que compõem do Cubo Soma). A figura a seguir ilustra cada uma das peças que compõem oCubo Soma. Figura 2 - Policubos (peças que compõem do Cubo Soma). Na Figura 2, é possível verificar que o as peças do Cubo Soma, os policubos, são divididos emseis tetracubos (peças formadas pela união de quatro cubos) e um tricubo (peça formada pela união detrês cubos), mostrados pela Figura 3. A sexta peça é a imagem especular da quinta peça, daí o motivode algumas abordagens apresentarem somente sete peças para o Cubo Soma. Figura 3 - Tetracubos e Tricubo irregular, respectivamente.MONTAGEM DO CUBO SOMA A montagem do Cubo Soma parece ser algo bem complicado, porém, o objetivo principal émontar um cubo 3x3x3 sendo que a única exigência para tanto é a utilização de todas as peças(policubos), ou seja, para montar o Cubo Soma é necessário utilizar todos os tetracubos irregulares e o
  • 89. tricubo irregular (Figura 3). Uma das 240 formas distintas de montar o Cubo Soma é apresentada pelaFigura 4. Figura 4 - Uma solução para o Cubo Soma. A grande virtude do Cubo Soma é de não se restringir à solução inicial. O Cubo Soma funcionacomo um quebra cabeça, portanto, além de se formar um quadrado com as peças também podem serformadas uma infinidade de figuras, com o conjunto tridimensional do Cubo Soma como mostra aFigura 5. Se mais de um jogo de peças forem combinados entre si podem-se verificar a criação deverdadeiras esculturas. Figura 5 - Figuras montadas com o Cubo Soma. O livreto, que acompanhava o jogo produzido pela Parker Brothers, na década de 50, ilustrainúmeras formas de figuras montadas pelas peças do Cubo Soma.DESENVOLVIMENTO DA ATIVIDADE O jogo Cubo Soma foi parte integrante de todas as atividades realizadas pelo grupo nestes doisúltimos anos em eventos e escolas da cidade e região. Uma das experimentações práticas mais importantes ocorreu na “Escola Municipal de EducaçãoInfantil e Ensino Fundamental Prof. Nelson Duarte Rocha”, na cidade de Selvíria - MS, mediante oconvite da coordenadora pedagógica da escola como ilustra a Figura 6. O jogo foi apresentado emapenas duas séries, quarto e sexto anos devido o curto intervalo de tempo para atividade, porém, ogrupo está convidado a retornar à escola para permitir as outras séries o contato com o jogo. Figura 6 - Visita a escola “Prof. Nelson Duarte Rocha” (Selvíria - MS).
  • 90. Outra atividade envolvendo alunos do ensino fundamental ocorreu no colégio “Anglo” da cidadede Ilha Solteira. Esse evento tinha um caráter expositivo e contou com a participação de alunos, pais efuncionários da própria escola, mostrada pela Figura 7. Figura 7 - Visita ao Colégio Anglo (Ilha Solteira - SP).CONSIDERAÇÕES FINAIS O desenvolvimento caótico e o baixo interesse pelo aprendizado de matemática provocam noeducador um despertar pela busca da reformulação de sua aula, para que aconteça uma motivação noaluno e que tenha um resultado benéfico. O ensino escolar não é a única prática educativa e o professor profissional também não é o únicopraticante, a educação existe nas várias sociedades letradas e iletradas, nas zonas rurais e urbanas, elaexiste em cada provo. Com base nesta tese é possível perceber que esta troca de meios será algo desuma importância para o aprendizado do aluno. Portanto, esta inserção de jogos didáticos em sala deaula é válida e terá incríveis resultados. Com as apresentações realizadas foi possível observar o grande interesse, por parte dos alunos,em aprender matemática de uma maneira divertida. Assim, o trabalho com jogos dentro da sala de aulaé de uma facilidade imensa e provoca grande satisfação tanto no aprendiz, como no docente.REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICASSILVA, F. e KODAMA, H. M. Y. Jogos no Ensino da Matemática, II Bienal da Sociedade Brasileirade Matemática, UFBA, 2004.SERRENTINO, R. H. e MOLINA, H. Arquitectura Modular Basada en la Teoría de Policubos,Proceedings of the 6th Iberoamerican Congress of Digital Graphics, Caracas - Venezuela, 2002, p. 264-267.GUZMÁN, M. Tendencias Actuales de la Enseñanza de la Matemática, Studia Paedagogica,Revista de Ciencias de la Educación, vol.21, 1989, p 19-26.ZORZAL, E. R.; BUCCIOLI, A. A. B. e KIRNER, C. Usando Realidade Aumentada noDesenvolvimento de Quebra-cabeças Educacionais. In: SVR2006 - VII Symposium on VirtualReality, Porto Alegre - Sociedade Brasileira de Computação - SBC, 2006, p. 221-232.SANTOS, G. S. A. Utilização de jogos no ensino matemático: Os objetivos, os valores e asmudanças do ensino da matemática, UNIMESP - Centro Universitário Metropolitano de São Paulo,2006, p. 1-5.http://www.fam-bundgaard.dk/SOMA/SOMA.HTMhttp://www.espacociencia.pe.gov.br/areas/matematica/cubo.phphttp://www.jogosboole.com.br/logica_mostra.asp?id=1http://www.geocities.com/mzmikola/jogos/soma/soma.htmhttp://super.abril.com.br/superarquivo/1992/conteudo_113263.shtml
  • 91. O Jogo Kakuro: Uma Proposta de Auxílio no Aprendizado de Matemática The Kakuro Puzzle: A Proposal of Assistance in Learning of Mathematics Aline Jardim da Silva, Alessandra Bonato Altran, Mara Lúcia Martins Lopes, Dalva Maria de Oliveira VillarrealUniversidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, Licenciatura em Matemática, aline71142@aluno.feis.unes.brPalavras chaves: Raciocínio Lógico; Kakuro; Ensino.Keywords: Logical Reasoning, Kakuro, Learning.INTRODUÇÃO O crescente desinteresse no ensino, principalmente na área de matemática, faz com que oeducador se comprometa em pesquisar novas técnicas de aprendizado. Portanto, fazer com que osalunos sintam vontade de aprender e prazer de realizar a tarefa proposta, vêm sendo nos dias dehoje, um grande desafio. O professor tem então, a função não apenas de transmitir o conhecimento, mas de fazer comque ele seja inteiramente absorvido pelo aluno de forma concreta. Essa tarefa não é fácil, já quepara que esta etapa seja realizada ocorre à necessidade de se quebrar barreiras e tabus. Uma proposta é introduzir, em sala de aula, a técnica de abordar os problemas através dejogos lúdicos. Eles permitem o desenvolvimento de formas diferentes de pensar e agir, induzindo osalunos a terem incentivo, comunicação, questionamento, raciocínio lógico, inferência, reflexão eexploração. O Grupo de Estudo sobre Jogos Matemáticos, composto por alunos do curso de Licenciaturaem Matemática, da UNESP de Ilha Solteira, se fundamenta no desenvolvimento da aprendizagemmatemática através de jogos lúdicos. O objetivo é fazer com que os alunos ingressantes tenham umconvívio direto com os alunos do ensino fundamental, para que possam identificar e solucionar asdificuldades que estes encontram com relação à matemática. Um dos jogos abordados pelo grupo foi o jogo Kakuro, que é um jogo que estimula muito alógica matemática. O jogo possui uma malha de linhas e colunas, porém, dispostas de formadiferente do jogo Sudoku. Existem algumas semelhanças entre o Sudoku e o Kakuro, porém, o que os torna diferentesé que o Sudoku se baseia em combinação dos elementos e o Kakuro realiza operações matemáticas(adição, subtração, multiplicação ou divisão) de seus elementos.A ORIGEM DO KAKURO O jogo Kakuro teve sua criação no Japão, todavia sua propagação se deu nos EstadosUnidos da América e na Inglaterra, na década de 90, sendo assim conhecido na língua inglesa porCross Sums que significa “Somas Cruzadas”. O Kakuro é um desafio aliciante para quem aprecia Sudoku. Joga-se igualmente comnúmeros, de 1 a 9, e também não é necessário ser um gênio matemático para saber resolver estespuzzles (quebra-cabeça). Apenas requer perícia, prática e muita paciência. Os puzzles de Kakuroapareceram pela primeira vez, na Inglaterra, no Outono de 2005.
  • 92. REGRAS BÁSICAS DO JOGO O objetivo principal do Kakuro é completar os espaços com números de 1 a 9, sem repeti-los,de tal forma que o resultado da operação matemática desenvolvida, tanto na horizontal, quanto navertical, seja igual ao valor desejado. O Kakuro convencional aborda apenas, em sua concepção, o desenvolvimento aritmético daadição. Porém, pode-se ter uma diversificação nesta abordagem, no qual, as operações realizadaspodem ser: adição, subtração, multiplicação e divisão. Existem Kakuros que abordam apenas umadas operações e Kakuros que abordam mais de uma operação, por exemplo: adição e multiplicação. Tem-se que esse jogo, além de desenvolver o raciocínio lógico, faz com que o aluno comece ater uma maior intimidade com as operações aritméticas. Dessa forma, o que para o aluno é umtrabalho difícil e desgastante, agora, através do Kakuro, se torna mais prazeroso. O Kakuro oferece diversos níveis de complexidade, desta forma, ele proporciona aos alunos ocrescimento e estimula o senso lógico conforme o aumento do grau de dificuldade dos níveis.COMO JOGAR O KAKURO O tipo de jogo Kakuro padrão é jogado em uma grelha composta de células não preenchidas- “pretas e brancas”, respectivamente – geralmente no tamanho 16×16, mas podem variar muitodeste formato. A grelha, assim como nas palavras cruzadas, é dividida em entradas – linhas ortogonais decélulas brancas – e células pretas. As células pretas não são inteiramente sólidas, elas contém umtraço diagonal do canto superior esquerdo ao canto inferior direito e um número em cada uma dasmetades, de tal maneira que cada entrada horizontal tem o seu número correspondente na metade dacélula preta posicionada imediatamente a sua esquerda, e cada entrada vertical tem o seu número nametade da célula preta posicionada imediatamente acima. Estes números, continuando a utilizar aterminologia das palavras cruzadas, são chamados de dicas. O objetivo do passatempo é colocar números de 1 a 9 em cada uma das células brancas, detal maneira que a soma de todos os números em cada entrada seja igual ao número da dica associadaa ela e que nenhum número esteja duplicado em cada entrada. E é esta restrição aos númerosduplicados que faz com que os Kakuros sejam criados com uma única solução possível. A Figura 1ilustra um Kakuro com suas respectivas regras. Figura 1 - Exemplo da resolução de um Kakuro.ATIVIDADES DESENVOLVIDAS Os alunos do Grupo de Estudos sobre Jogos Matemáticos usufruíram do prazer de apreciar asexperiências inesquecíveis vividas dentro da sala de aula. O material utilizado nas apresentações doKakuro nas escolas foi confeccionado pelo próprio grupo, em diversos tipos e níveis como mostra aFigura 2. Para a preparação do Kakuro utilizou-se pincel atônico, isopor, EVA, etc.
  • 93. Figura 2 - Kakuros confeccionados pelo Grupo de Estudo sobre Jogos Matemáticos. Inicialmente, os alunos foram convidados pela Escola Municipal de Educação Infantil eEnsino Fundamental Selvíria “Prof. Nelson Duarte Rocha”. O Kakuro foi desenvolvido no quarto esexto anos do ensino fundamental. O intuito era contagiar as crianças mostrando a elas amatemática através do jogo Kakuro, desta forma, a matemática seria vista de forma mais divertida eprazerosa. A Figura 3 mostra essa atividade. Figura 3 - Apresentação do Kakuro na Escola Prof. Nelson Duarte Rocha - Selvíria. O jogo Kakuro pode ser feito em níveis mais acessíveis a alunos de todas as idades. Portanto,pode-se explorar o jogo com crianças desde a pré-escola e primeira série, Kakuro de cores - quepossui a mesma linha de pensamento, no entanto, terá como elementos cores para seupreenchimento, até as séries mais adiantadas, variando assim, o grau de complexidade conforme oseu desenvolvimento. A segunda experiência vivida pelo grupo foi no colégio Anglo de Ilha Solteira, onde puderamexpor todos os jogos desenvolvidos por eles para os pais, alunos e funcionários do colégio, ilustradapela Figura 4. Figura 4 - Apresentação do Kakuro no Colégio Anglo - Ilha Solteira. Com a propagação dos bons frutos das apresentações e do trabalho desempenhado pelo grupoestão surgindo inúmeros convites para explanação dos jogos em escolas de outros municípios a fimde auxiliar o ensino da matemática. A fundamentação do ensino de matemática através de jogos lúdicos como o Kakuro favoreceem demasia, pois, é possível trabalhar sem restrições, levar o jogo a diferentes idades, culturas,intelectualidades, pensamentos e costumes.
  • 94. CONCLUSÃO Com base em idéias de Vygotsky, é possível definir os jogos lúdicos como instrumentosauxiliares do saber na escola. Pode-se tomar o jogo não como referência, mas como auxílioproeminente para aprendizagem dos menores educando. Desde muito tempo, sabe-se que uma grande parcela dos alunos rejeita a disciplina dematemática, e cabe aos educadores lutar pela melhoria da aprendizagem. É evidente, que as formasalternativas de propor aprendizado vêm se destacando, e uma delas é o tratamento da matemáticaatravés de jogos lúdicos. A meta primordial considerada foi levar o jogo Kakuro para a sala de aula,e esta se mostrou um procedimento de extrema importância. É bom lembrar que a forma lúdica do aprendizado da matemática através do jogo Kakuropropicia ao aprendiz, além da fundamentação teórica das operações aritméticas, o seu emprego naprática, sendo esta associação essencial, sem falar que utilizar um jogo lúdico com o nível do jogoKakuro, exercitará o cérebro do jogador. Os resultados apontam as diferenças expressivas tornando possível apresentar aos alunos oconteúdo teórico, onde será feita a análise, a abordagem e o entendimento da matéria com o auxíliodo jogo Kakuro. O emprego do jogo Kakuro na prática permite ao educando uma visão palpável damatéria transmitida. Essa associação vem a ser vital para a saúde mental do aluno e preparaçãopsicológica do professor, pois, o retorno virá com o prazer do aprender e a gratificação do docentepor ter sua missão cumprida.REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICASPEREIRA, A. M. Resolução de Problemas - “Batalha Final”, Projeto Teia do Saber, Programa deFormação Continuada de Professores, UNESP - Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá, SãoPaulo, 2006.MELLO, V. M. C. e SANTOS, M. L. S. F. S. Jogos Lógicos, Projeto Teia do Saber, Programa deFormação Continuada de Professores, UNESP – Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá, SãoPaulo, 2006.CARDOSO, M, A febre do Sudoku, Ciência Hoje, Ciência, Tecnologia e Empreendedorismo, 2006,p.1-2.LEAL, R. A matemática virou POP: Por que o Sudoku - e suas variantes - causa tamanhafascinação, Revista Época, edição No. 410, 2006, p. 1-3.http://rachacuca.com.br/kakuro/como-jogar/http://pt.wikipedia.org/wiki/Kakuro
  • 95. Atividades Matemáticas Envolvendo Jogos – O Quadrado Mágico como Recurso no Complemento da Aprendizagem Mathematical Activities Involving Games - The Magical Square as Resource in the Complement of the Learning Tiago Henrique Pereira da Silva, Alessandra Bonato Altran, Dalva Maria de Oliveira Villarreal, Mara Lúcia Martins Lopes Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, Licenciatura em Matemática, tiagohenrique.mat@aluno.feis.unesp.brPalavras chaves: Matemática; Ensino; Jogos.Keywords: Mathematics, Learning, Games.INTRODUÇÃO O Grupo de Estudo sobre Jogos Matemáticos, da Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira –UNESP tem sugerido, através de apresentações nas escolas, a inserção de atividades lúdicas, através dautilização de jogos matemáticos, em sala de aula. O objetivo é fazer com que a matemática sejatransmitida de uma maneira que proporcione maior aceitação, aumentando o aproveitamento dosalunos, tornando o ensino mais prazeroso. Dentre os jogos escolhidos está o Quadrado Mágico, que consiste de uma matriz numéricaquadrada, em que as somas das linhas, das colunas e das duas diagonais principais são as mesmas. Estejogo foi utilizado para despertar o interesse dos alunos pela matemática, uma disciplina que, na maioriadas vezes, é tida como tediosa e sem aplicações no cotidiano. Assim, a complementação do conteúdoprogramático com a utilização de materiais lúdicos, propicia o desenvolvimento do raciocínio lógico eo cálculo mental. Até o presente momento, a atividade foi realizada somente em turmas do Ciclo I do EnsinoFundamental. Há a pretensão se estender a todos os níveis de educação, visando trabalhar os conteúdosprogramáticos, em que sejam possíveis a abordagem com o Quadrado Mágico, unindo a matemáticaconvencional à atividade lúdica.DEFINIÇÃO DE QUADRADO MÁGICO O Quadrado Mágico consiste em uma matriz numérica quadrada, em que as somas das linhas,das colunas e das duas diagonais principais são as mesmas. Pode-se dizer, ainda, que um QuadradoMágico é um arranjo de números que vai de 1 até n2, numa matriz n x n, em que, cada número ocorreapenas uma vez, e este arranjo é tal que a soma dos números existentes em uma linha deve ser igual àsoma dos números existentes em qualquer coluna, como também em qualquer uma das diagonais(principal e secundária). Por exemplo, o quadrado mágico de ordem 3 é formado pelos nove dígitos: 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, dispostos em três linhas e três colunas, sendo que as somas são constantes e iguaisa 15, sendo este valor denominado como “constante mágica”, como mostra a Figura 1.
  • 96. Figura 1 - Quadrado Mágico de ordem 3.CONSTRUÇÃO DE QUADRADOS MÁGICOS As construções do Quadrado Mágico começam a partir do quadrado de ordem 3. Os Quadradosde ordem 1 ou 2 são inexistentes para a maioria dos estudiosos da matemática, ou seja, não o aceitamcomo sendo um Quadrado Mágico válido, pois, nem sequer é possível pensar em soma, nesses casos. OQuadrado de ordem 1, segundo Cornélio Agripa (1486-1535), que era médico e matemático,simbolizava a eternidade. É fácil verificar a inexistência do Quadrado Mágico de ordem 2 através da prática, pois, éimpossível encontrar números distintos que preencham as condições impostas para sua existência.Segundo Cornélio Agripa, o Quadrado de ordem 2, com quatro elementos, não poderia existir, pois,esse quadrado iria simbolizar o mundo material com os quatro elementos, ar, terra, fogo e água, e pelasimperfeições desses elementos, o Quadrado Mágico não poderia ter constante certa. Assim, aconstrução dos Quadrados Mágicos se inicia pelo de ordem 3. Ao construir os Quadrados Mágicos, verifica-se que existe um mecanismo válido para todos deordem ímpar e uma técnica que vale para o Quadrado Mágico de ordem quatro e seus múltiplos (8, 12,16, 20, 24, e assim por diante). No entanto, até hoje não se sabe um mecanismo “preciso” paraconstruir Quadrados Mágicos de ordem 6 + 4r (com r sendo um número natural).DESENVOLVIMENTO DA ATIVIDADE Para realização da atividade da utilização do Quadrado Mágico em sala de aula, foramconfeccionados um Quadrado Mágico de ordem 3 e outro de ordem 4 utilizando isopor, E.V.A.,cartolinas coloridas e percevejos (taxinhas), para agilizar o andamento da atividade. Além disso, nasatividades realizadas nas escolas, foram distribuídos os Quadrados Mágicos em papel para os alunospreencherem. A Figura 2 mostra os Quadrados Mágicos confeccionados pelo Grupo de Estudos sobreJogos Matemáticos. Figura 2 - Quadrados Mágicos confeccionados pelo Grupo de Estudo sobre Jogos Matemáticos.
  • 97. A apresentação dos jogos foi realizada em duas escolas da cidade de Ilha Solteira e em umaescola da cidade de Selvíria (MS), através de aulas teórico-expositivas, registradas através das figurasabaixo indicada pela Figura 3. Figura 3 – Apresentação do Quadrado Mágico nas escolas. A construção proposta aos alunos ocorreu da forma mais simples possível, salientando que, nasséries em que se encontram, não possuem a estrutura cognitiva suficiente para entender conceitos quecostumam ser vistos somente no Ensino Médio. Logo, os conceitos matemáticos foram abordados deforma acessível a todos, de forma que a atividade, lúdica, fosse um instrumento complementar noensino de matemática.RESULTADOS Foi possível notar que a atividade realizada despertou grande curiosidade nas crianças,contribuindo para o aprendizado de matemática. Percebeu-se que os professores, mesmo possuindo oconhecimento dos jogos, ficam inseguros com o novo método que acaba tornando a aula mais dinâmicae atrativa, otimizando a aprendizagem. Os alunos, sem perceber, tiveram contato e trabalharam com rigor as relações matemáticaspresentes no Quadrado Mágico. Entre elas, ficou claro que: • A soma dos números existentes no Quadrado Mágico de ordem n, dividida pela ordem do Quadrado Mágico, corresponde à constante mágica; • O termo central do Quadrado de ordem ímpar, sempre assumirá o valor correspondente à divisão entre a constante mágica encontrada e a ordem do Quadrado Mágico; • Existem (n²)! possibilidades de dispor os números em um Quadrado Mágico de ordem n. No Quadrado de ordem 3, é possível notar que, ao montar combinações sem repetição de 3elementos diferentes, somando 15 (constante mágica), o termo central está presente em 4 das 8combinações possíveis, cada um dos termos angulares está presentes em 3 combinações (linha, colunae diagonal) e, cada termo lateral, presente em 2 combinações. Já no Quadrado Mágico de ordem 4, é possível notar que, ao subdividi-lo em 4 quadradospequenos, a soma dos 4 números presentes em cada um dos “novos” quadrados é sempre igual à“constante mágica” (neste caso 34). A atividade proporcionou uma nova concepção de educação matemática mostrando que épossível ensinar conceitos considerados “complexos” às crianças. Basta utilizar formas alternativas
  • 98. como ferramentas complementares ao ensino tradicional, levando ao desenvolvimento daaprendizagem.REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICASBOYER, Carl Benjamin – HISTÓRIA DA MATEMÁTICA, São Paulo, Edgar Blücher, 1974;http://www.jogosboole.com.br/tutoriais_mostra.asp?id=19 (acesso em 28/07/2008);http://www.matematica.com.br/variedades/curiosidades/quadrado_magico.php (acesso em28/07/2008);http://paje.fe.usp.br/~labmat/edm321/1999/racioci/ativ1.html (acesso em 28/07/2008);http://www.testonline.com.br/qmag.htm (acesso em 28/07/2008);http://galileu.globo.com/edic/92/desafio1.htm (acesso em 28/07/2008);http://correcotia.com/heroi/quadmag.htm (acesso em 28/07/2008);http://www.jogosboole.com.br/tutoriais_mostra.asp?id=19 (acesso em 28/07/2008);http://galileu.globo.com/edic/89/desafio1.htm (acesso em 28/07/2008);http://opensadorselvagem.org/blog/mathematikando/a-logica-do-quadrado-magico/ (acesso em28/07/2008);http://www.genealogy.com/users/d/e/f/Antonio-D-De-figueiredo/FILE/0011page.html (acesso em28/07/2008);
  • 99. Sudoku: Uma Alternativa no Ensino e Aprendizagem de Matemática Sudoku: An Alternative in Teaching and Learning Mathematics Vinicius Arthur dos Santos Guissi, Alessandra Bonato Altran, Mara Lúcia Martins Lopes, Dalva Maria de Oliveira VillarrealUniversidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, Licenciatura em Matemática, vinnyguissi@hotmail.comPalavras chaves: Sudoku; Ensino; Matemática.Keywords: Sudoku, Learning, Mathematics.INTRODUÇÃO Por motivos preocupantes estudos e pesquisas vêm sendo realizadas na intenção deidentificar diversas outras maneiras de abordar a matemática de uma maneira menos assustadora emais prazerosa. Os jogos matemáticos são atividades lúdicas que fazem com que os alunos tenhama oportunidade de interagir com o meio do qual eles estão sendo desafiados a resolver os maisvariados problemas. Piaget e Vygotsky afirmam em sua teoria, sobre a construção do conhecimento, que a melhorforma dessa aquisição é através da execução de atividades que estimulam o “ser” a buscar respostaspara suas dúvidas. E isso faz com que haja uma interação com o meio tornando-os ativos naconstrução do próprio conhecimento. A utilização de jogos instiga os alunos a buscarem, com maior interesse e empenho, aresolução e compreensão dos problemas propostos, proporcionando um maior estímulo para aaprendizagem, tornando o ambiente propício para o ensino e estudo de matemática. O Grupo deEstudo sobre Jogos Matemáticos foi criado com a intenção de tornar a matemática uma disciplinamais aceitável e prazerosa gerando melhores resultados. No intuito de possibilitar odesenvolvimento desta proposta utilizou-se o jogo Sudoku como uma técnica alternativa naaprendizagem da Matemática.OBJETIVOS O Grupo de Estudos sobre Jogos Matemáticos tem como metas dinamizar e diversificar oensino de matemática, mostrando aos professores novas formas de se trabalhar conteúdos em salade aula. Através desse dinamismo espera-se conquistar e aumentar o interesse dos discentes peladisciplina e seus conteúdos. Espera-se também, estimular o raciocínio lógico, memória e acapacidade de manipular informações para que decisões corretas sejam tomadas em espaços detempo cada vez menores.FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA O Sudoku é composto de uma matriz de números sendo que, apenas algumas dessasposições contêm números. O desafio do jogo é preencher o restante da matriz de forma que todalinha, coluna, ou bloco contenha um e apenas um número de cada. Deve-se preencher todas ascélulas (posições) da grade (matriz) com números que variam de 1 até n, sendo n igual a dimensãoda grade. Exemplos:
  • 100. • Uma grade 4x4, no qual se devem utilizar números de 1 a 4 (Figura 1); Figura 1 - Sudoku 4x4.• Uma grade 9x9 é utilizado números de 1 a 9 (Figura 2). Figura 2 - Sudoku 9x9. Existem duas técnicas para a resolução do Sudoku. A primeira técnica é Tentativa e erroque se trata de um método pouco eficaz e muito demorado, pois como o próprio nome diz irtentando e apagando a cada erro cometido além de atrasar na resolução não sem tem uma exatidãode onde os números devem ser colocados. A segunda técnica é “Varredura” que consiste em “varrer” todas as possibilidades de umnúmero poder ou não ocupar um determinado local na grade. Essa “varredura” é feita seguindo asregras do jogo e uma dica para os iniciantes seria começar essa análise com os números que estãoem maior quantidade. A Figura 3 mostra essa técnica. Figura 3 - Método da Varredura.
  • 101. ATIVIDADE DESENVOLVIDA Devido o fato de, o jogo ter sido apresentado em diferentes níveis escolares, tanto nasescolas de ensino fundamental, como na própria universidade, o grupo teve a necessidade de utilizarníveis de dificuldades diferentes, e também modificar algumas apresentações, buscando variaçõespara o jogo Sudoku. Uma dessas variações foi a substituição dos números por figuras coloridas,chamando mais a atenção e despertando um maior interesse nas séries mais infantis. Esse Sudokupode ser visto através da Figura 4. Figura 4 - Sudoku de Bolinhas Coloridas. Existem outros Sudokus alternativos, uma possibilidade é substituir os números por letras(Figura 5), ou ainda, por e muitos outros objetos sem perder suas características e eficiência. Figura 5 - Sudoku de Letras. Foram realizadas diversas apresentações envolvendo o jogo Sudoku, que envolveu alunos detodos os níveis de ensino, além de pais e professores. Alguns registros dessas atividades podem servistos através da Figura 6. Figura 6 - Apresentações do Jogo Sudoku nas atividades desenvolvidas.
  • 102. RESULTADOS Após todas as experiências, o grupo pôde perceber que todos os objetivos propostos foramalcançados com êxito. O jogo foi muito bem aceito por todos os alunos, cuja disposição ecuriosidade em resolver os jogos dados, os impulsionaram a um maior interesse por aprendermatemática e tratá-la de uma maneira natural. Pôde-se perceber também, que as decisões eramtomadas cada vez mais rápidas conforme o aumento na interatividade entre discentes e os jogos.DISCUSSÃO A educação, de maneira geral, vem passando por períodos difíceis, onde é cada vez maiscomum ver professores se queixarem da falta de interesse e comprometimento dos alunos e afacilidade com que os mesmos se dispersam em sala de aula. Para os professores de matemática asituação é um pouco pior já que, na grande maioria das escolas, a média dos alunos nessa disciplinafica entre as piores de toda a grade escolar. Em busca de reverter essa situação são pesquisadas diversas formas alternativas, sendo umadelas a utilização de jogos no ensino, não só de matemática, mas em diversas outras áreas. Apesarde pesquisas e outras atividades que tiveram jogos como ferramenta se mostrarem bastanteseficazes, ainda há certo receio e preconceito por parte de pais, e até mesmo de profissionais da área,que ainda vêem jogos como uma simples forma de diversão e não percebem os muitos benefícios noaprendizado gerado por “simples brincadeiras”.CONCLUSÃO Diante do cumprimento de todas as atividades propostas, que se mostraram muitoprodutivas, e diante das pesquisas comprovaram a eficiência do uso de atividades lúdicas para aconstrução de conhecimento em qualquer área e para qualquer idade. Desta forma, espera-seimplantá-la de uma maneira mais sólida no ensino, acarretando aulas mais dinâmicas, tornando oestudo e aprendizagem de matemática mais prazerosa com resultados cada vez melhores econseqüentemente, através destes, melhores resultados na educação.REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICASRUIZ, D. Jogos Pedagógicos Matemáticos, São Paulo: UNIMESP – Centro UniversitárioMetropolitano de São Paulo, 2006. p. 1-4.SEBBEN, N; GUEDES, A. L; GUEDES, F. L. Desenvolvimento de Jogos para a Terceira Idade,Vi simpósio brasileiro de jogos para computador e entretenimento digital PP. 1-4, 2007NINA, C. Um Olhar Matemático Para o Jogo de Sudoku, IX ENEM - Encontro Nacional deEducação Matemática, Comunicação Cientifica, 18 a 21 Julho - Belo Horizonte, 2007, p. 1-9.BÖGER, D. S; BODEMÜLER, R; KOHLER, J. G. Implementação de métodos de busca:Solução do Sudoku, 2006, p. 1-3.DAVIS, T. The Mathematics of Sudoku, 2007, p. 1-34.http://www.geometer.org/mathcircleswww.centrorefeducacional.com.br/piaget.htmlwww.centrorefeducacional.com.br/vygotsky.htmlhttp://acorngamez.blog.com/2007/6/www.sudoku-gratuit.fr/en/grids-sudoku-4x4-9x9-16x16.htm
  • 103. Matemática Lúdica: O Jogo Tangram Playful Mathematics: The Tangram Game Nathália Mantovanelli Bevilaqua, Alessandra Bonato Altran, Dalva Maria de Oliveira Villarreal, Mara Lúcia Martins Lopes Universidade Estadual Paulista“Júlio de Mesquita Filho”, Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, Licenciatura em Matemática, nathalia.m.bevilaqua@gmail.comPalavras Chaves: JogoTangram; Desenvolvimento; Lógica-Matemática.Keywords: Tangram,Game, Development, Mathematical Logic.INTRODUÇÃO A Matemática ainda não conseguiu se desvencilhar do estigma de “bicho de sete cabeças”,de monstruosidade, ou mesmo, da sua superioridade e, para não acontecer o “divórcio” dos alunoscom a matemática, os professores estão tentando trazer cada vez mais para dentro da sala de aula,atividades extracurriculares que ajudem na motivação do aprendizado. Uma dessas atividades são os jogos matemáticos como o Tangram, Sudoku, Kakuro, Torrede Hanói, Cubo Soma, entre outros. O objetivo deste trabalho é a apresentação do jogo Tangram, bem como sua funcionalidade,vantagens de utilização, habilidades de comunicação e formulação de hipótese.LENDAS DO TANGRAM A seguir, serão apresentadas algumas lendas sobre o surgimento do Tangram. Uma daslendas conta que um jovem discípulo chinês despedia-se de seu mestre para fazer uma grandevigem pelo mundo afora, o mestre lhe entregou um espelho quadrado e disse para registrar naqueleespelho tudo que ele visse durante a viagem, o jovem ficou sem entender como seria possívelguardar alguma coisa com um simples espelho; antes de sair para sua viagem o discípulo deixoucair o espelho no chão e o espelho se partiu em sete pedaços, então, o mestre lhe falou que comaqueles cacos ele poderia montar figuras para ilustrar tudo que ele visse durante a viagem. Outralenda conta que um mensageiro estava levando uma pedra muito preciosa quadrada ao seuimperador e, no meio do caminho, ele a derrubou e a pedra se partiu em sete pedaços, o mensageironão conseguiu remontar a pedra, enquanto ele tentava, ele viu que era possível formar várias figurasdiferentes, como plantas, animais, pessoas, letras, números, etc... A lenda mais famosa, mencionada no resumo, conta que um dia na China, o imperador Tanpartiu seu espelho, quando deixou-o cair no chão, apesar de aborrecido com a perda do espelho, Tanachou um jeito de se distrair e passar seu tempo construindo figuras com os cacos. A primeirapublicação cujo registro data de 1813, foi de um livro que foram recuperadas muitas figuras feitascom o Tangram, mas tudo indica que o Tangram é muito mais antigo, Sam Lloyd (um especialistaamericano), dizia que o jogo já tinha sido criado há mais de 4000 anos pelo imperador Tan.O JOGO E SUA ORIGEM Consta na literatura que o Tangram é de origem chinesa; ele é formado por sete peças, sendoelas, dois triângulos isósceles grandes, dois triângulos isósceles pequenos; um triângulo isóscelemédio; um quadrado e um paralelogramo, e quando montando corretamente na sua forma originalforma-se um quadrado como mostra a Figura 1.
  • 104. Figura 1 - Apresentação Clássica do Tangram. As peças podem ser chamadas de Tans e com essas peças é possível montar mais de 1700figuras diferentes. Há 130 atrás, na China, uma mulher (a qual seu nome é desconhecido), escreveuuma enciclopédia, que é composta por 6 volumes e contém mais de 1700 problemas. Na Figura 2 épossível, ver algumas aplicações do Tangram. Figura 2 - Exemplos de Aplicações do Tangram. A Figura 3 é um exemplo muito interessante, são as mesas de madeiras que, juntas eposicionadas corretamente, formam um Tangram. As mesmas foram descobertas na China quedatam o século XIX. Figura 3 - Tangram feito por Mesas de Madeira.
  • 105. REFERÊNCIA MAIS ANTIGA E SEU NOME A referência mais antiga que existe, é de um painel de madeira, de 1780, de Utamaro, com aimagem de duas senhoras chinesas resolvendo um Tangram, em chinês é escrito ch i ch iaô tu, quesignifica “Quadrado Mágico”, “Tabela da Sabedoria”, “Tabela da Sagacidade”, “As 7 PeçasInteligentes” ou “As 7 Tábuas da Sabedoria”. Atualmente, o jogo é muito utilizado em todo omundo, principalmente por professores, portanto têm surgido várias lendas diferentes, mas todasconcordam que sua origem é chinesa.AS REGRAS DO JOGOO jogo é provido de duas regras: 1ª regra: Usar todas as peças; 2ª regra: Não sobrepor uma sobre a outra.VARIAÇÕES DO TANGRAM Nas figuras abaixo (Figura 4) é possível observar alguns dos Tangrans que surgiram a partirdo Tangram clássico. Através da construção do Tangram Pitagórico, pode-se concluir que, numtriangulo retângulo a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dosquadrados construídos sobre os catetos. Foi assim que Pitágoras chegou à conclusão de que:a² = b² + c². Com o passar do tempo foram surgindo vários outros modelos de Tangram, comoPentagonal, Cardiotangram, Oval, Retangular, Circular, Russo, Triangular, Quatro peças e Cincopeças. Figura 4 - Variações do Tangram.CONTRIBUIÇÕES PEDAGÓGICAS Os jogos servem como instrumentos para exercitar e estimular o aluno a desenvolver seuconhecimento. Na Matemática pode ser introduzida a geometria, de maneira mais adequada, atravésda exposição de sólidos geométricos e da montagem do Tangram. A atividade lúdica incentiva arealização de experiências inteligentes e propicia a aquisição de conhecimento, permite a conquista
  • 106. cognitiva, emocional, moral e social para o aluno, consiste um estímulo para o desenvolvimento dacompetência matemática e da criatividade. Os educadores poderiam explorar mais os jogos lúdicos, pois, é uma maneira gostosa deaprender e, ao mesmo tempo em que aprende o aluno também se diverte. O professor também podeaperfeiçoar várias capacidades dos alunos, como identificação de formas geométricas planas,através de cores, formas, comparação, descrição, classificação e transformações geométricas,através de composição e decomposição de figuras, compreensão das propriedades das figurasgeométricas planas, representação e resolução de problemas utilizando modelos geométricos,noções de área e frações. O Tangram também proporciona a obtenção de algumas habilidades importantes para aaquisição de conhecimento em outras áreas, tais como, visualização, diferenciação, percepçãoespacial, análise, síntese, desenho, escrita e construção. O Tangram não exige nenhuma habilidadede quem pratica e pode ser utilizado com alunos de vários níveis, dependendo dos objetivos a seremalcançados.REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICASLEE, Roger. Tangram. Editora Isis.KALEFF, Ana Maria; Monteiro Rei; Dulce; Garcia; Simone dos Santos. Quebra-cabeçasGeométricos e formas planas. Editora da Universidade Federal Fluminese – Niterói, Rio deJaneiro: 2002.TOLEDO, Marília e Mauro. Didática da Matemática: como dois e dois: a construção damatemática. São Paulo, São Paulo: FTD, 1997.CONWAY, J.H, On Numbers And Games, Academic Press, Nova Iorque: 1979.GARDNER, M. Divertimentos Matemáticos. Tradução de Bruno Mazza. São Paulo: IRASA,1967. Título original: Mathematical DiversionsGERÔNIMO, J. R., Franco, V. S., Simetrias no Plano: uma abordagem geométrica e algébrica,2002.KODAMA, H.Y, Silva, A. F. Poliminós, Interciência- Ciências Exatas, no. 2, p.95-102, 2004.LIMA, E. L. Isometrias, Coleção do Professor de Matemática, SBM: 1996.http://www.uco.es/ma1fegan/recursos-matematicos/Tangram.htmlhttp://www.cemicro.com.br/htmls/tangram.htmhttp://www.tangram.i-p.com/http://www.redesc.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/mate3z.htmhttp://www.geocities.com/tania1974pt/http://www.obm.org.br/eureka/artigos/hanoi.pdfhttp://www.edicoesgil.com.br/criancahttp://www.cooldictionary.com/words/Tower_of_Hanoi.wikipediahttp://www.matematica.br/programas/hanoi/
  • 107. O Uso da Torre de Hanói no Ensino da Matemática The Use of the Tower of Hanoi in the Teaching of MathematicsEdcarlos Lopes Ferreira dos Santos, Alessandra Bonato Altran, Dalva Maria de Oliveira Villarreal, Mara Lúcia Martins LopesUniversidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, Licenciatura em Matemática, edcarlos71125@aluno.feis.unesp.brPalavras chave: Torre de Hanói; Jogos Matemáticos; Ensino de Matemática.Keywords: Tower of Hanói, Mathematical Games, Teaching of Mathematics.INTRODUÇÃO Um dos maiores desafios de um educador dentro da sala de aula é obter a atenção total deseus ouvintes e, para isso, utiliza-se de diversos métodos. Um deles é o uso de jogos lúdicos em salade aula. A aplicação de jogos lúdicos no ensino de matemática já é uma realidade há algum tempo ea sua utilização dentro da sala de aula, torna mais fácil à comunicação entre alunos e o educador. Aintenção, no entanto, não é transformar a escola em um grande parque de diversões, mas sim, aliaresse entretenimento com o ensino. Entre os diversos jogos lúdicos que podem ser aplicados dentro da sala de aula destacamos aTorre de Hanói, que será apresentada no decorrer desse trabalho.OBJETIVO Ao aliar jogos e ensino, o educador tem como objetivo principal a melhoria e a facilitação daaprendizagem, permitindo que alunos e professores interajam de maneira mais produtiva eagradável. A Torre de Hanói, em especifico, permite que o professor trabalhe em diferentes níveisde aprendizagem, desde o ensino infantil até o ensino superior, mudando-se, evidentemente, oenfoque dado em cada um desses níveis escolares. Em um nível inicial, a manipulação da Torre de Hanói pode ajudar na coordenação motora,no reconhecimento de formas e no conceito de ordem crescente e decrescente. Nessa fase oprincipal objetivo é familiarizar a criança com esse tipo de passatempo. Já em um nível mais adiantado, a Torre de Hanói já pode ser usada visando à resoluçãodesta, buscando estratégias de transferências e elaborando uma relação intuitiva entre o número dediscos e o número mínimo de movimentos necessários para movê-los. Essa fase é muito importantepara ajudar no desenvolvimento de um bom raciocínio indutivo. Em um nível superior, os conceitos já fixados nos níveis anteriores, podem se aliar a outrosconceitos que ajudarão no estudo mais profundo do jogo.FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA A Torre de Hanói foi desenvolvida pelo matemático francês Edouard Lucas em 1883, e é umdos jogos matemáticos mais disseminados no mundo. Segundo a história, Edouard Lucas teria seinspirado em uma velha lenda indiana, segundo a qual o criador (Deus) havia construído uma torre(A torre de Bhrama), com três hastes de diamantes, sendo que, em uma delas, a chamada hasteprincipal, havia 64 discos concêntricos de ouro e de tamanhos distintos, sobrepostos em ordem
  • 108. decrescente em relação à base, ou seja, disco maior tocando a base. Foi ordenado aos sacerdotesdessa Torre, que transferissem esses 64 discos da haste principal para qualquer uma das outras duashastes, obedecendo a três regras básicas: 1 - Movimentar um disco de cada vez; 2 - Nunca sobrepor a um dos discos um disco de maior diâmetro; 3 - Nunca colocar os discos em outro lugar que não fosse em uma das hastes. Ainda diz a lenda que ao fim desse processo o mundo acabaria. E é nessa lenda que sebaseia a Torre de Hanói. Ela é composta por três hastes nas quais são colocados n discos(n = 1, 2, 3, 4....) concêntricos e de tamanhos diferentes, alinhados de forma decrescente em relaçãoa base, como mostra a Figura 1. Figura 1 - Torre de Hanói de cinco, seis e oito discos, respectivamente. O objetivo do jogo é transferir os discos da haste principal para outra haste (qualquer umadas outras), seguindo as mesmas regras da lenda, acima mencionada, utilizando o menor númeropossível de movimentos. A relação de números de movimentos possíveis pode ser calculada daseguinte maneira M(n) = 2 n - 1sendon = o número de discos em uso;M(n) = o número de movimentos necessários para mover esses n discos. A grande questão da Torre de Hanói está em desenvolver um método de resolução queutilize o menor numero de movimentos, e encontrar umas formula que dado o número de discosatribua um número mínimo de movimentos ( M(n) = 2 n – 1 ). Não é de grande dificuldade encontrar uma relação entre o número de discos e o númeromínimo de movimentos para transferi-los, vejamos: • Nota-se que para movimentar um número k de discos, usamos o dobro acrescido de uma unidade, de movimentos utilizados para mover k-1 discos, ou seja: M(k)=2 x M(k-1) + 1 • Basta imaginar uma Torre com k discos sendo que os k-1 discos formam uma “sub-torre” uniforme, e o k-ésimo disco é o disco da base (disco maior), como mostra a Figura 2. Figura 2 - Resolução da Torre, passo 1. • Para movimentar o k-ésimo disco deve-se, inicialmente, mover os k-1 discos para outra haste, utilizando para isso M(k-1) movimentos (Figura 3).
  • 109. Figura 3 - Resolução da Torre, passo 2. • Em seguida, com 1 (um) movimento transfere-se o k-ésimo disco para a outra haste vazia como ilustra a Figura 4. Figura 4 - Resolução da Torre, passo 1. • Finalmente, move-se a “sub-torre”, com k-1 discos, para a haste onde se encontra o k-ésimo disco, como mostra a Figura 5. Figura 5 - Resolução da Torre, passo 1. • Utilizando para isso M(k-1) movimentos, ou seja: M(k) = 2 x M (k-1) + 1 • Obtêm-se assim, uma relação que para cada número k de discos, expressa o número mínimo de movimentos M(k), baseado no número mínimo de movimentos utilizados para transferir k-1 discos. Mas esta fórmula não é facilmente manipulável para um número muito grande de discos,para isso, é necessária uma fórmula que não dependa do número de movimentos anteriores. SendoM(n) o número mínimo de movimentos necessários pra transferir n discos de uma haste para aoutra, tem-se que M(n) é “quase” 2 x M(n-1). Seja: A(n) = M(n) + 1, e A(n) = 2 x A (n-1) Então:A(n) = 2 x A(n-1) = 2 x [2 x A(n-2)] = 2² x A(n-2) = 2² x 2 x A(n-3) = 2³ x A(n-3) = ... = 2n-1 x A(1) Como A(1) = M(1) + 1, então, A (1) = 1 + 1 = 2. Assim: A(n) = 2n-1 x 2 => A(n) = 2n E, como:
  • 110. A(n) = M(n) + 1=> 2n = M(n) + 1 => M(n) = 2 n – 1 Assim, é possível comprovar a validade da relação: M(n) = 2n – 1DESENVOLVIMENTO DE ATIVIDADE A Torre de Hanói foi parte integrante das apresentações realizadas pelo Grupo de Estudosobre Jogos Matemáticos, da UNESP de Ilha Solteira, durante os anos de 2006, 2007 e 2008. Foramrealizadas várias apresentações. Em tais apresentações foi possível deixar o participante em contatodireto com a Torre de Hanói. Algumas dessas atividades podem ser vistas através da Figura 6. Figura 6 - Atividades realizadas envolvendo a Torre de Hanói. Todas as atividades que envolviam a Torre de Hanói tiveram caráter expositivo, o quepossibilitou a participação de estudantes de todos os níveis de ensino, além de pais e professores.CONCLUSÃO A utilização de jogos no ensino de matemática, já é uma realidade há algum tempo, e éinegável que o uso de métodos como esse, só vem a contribuir com o aprendizado, além de ser umexcelente instrumento para contornar a aversão que alguns alunos têm pela matemática,possibilitando a interação entre aluno, professor e conhecimento. Logo, tem-se que os jogos lúdicos,contribuem para um aprendizado mais completo e prazeroso.REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICASBOYER, Carl Benjamin – HISTÓRIA DA MATEMÁTICA, São Paulo, Edgar Blücher, 1974.BAIRRAL, M. e CARPI, A. Jogar e Desenvolver Competências em Matemática, Pátio RevistaPedagógica, Porto Alegre, n.24, 2002., p.32-35.http://bevilaqua.wordpress.com/2008/04/25/solucao-do-problema-da-torre-de-hanoi/http://ccet.ucs.br/eventos/outros/egem/minicursos/mc37.pdfwww.obm.org.br/eureka/artigos/hanoi.pshttp://www2.mat.ua.pt/rosalia/cadeiras/ADA/THpaper.pdfhttp://www.dot-com-lliance.org/brazil/publicfiles/weeklyupdate/WeeklyUpdate031121- por.pdfhttp://www.ime.usp.br/http://www.scielo.br/pdf/jbpsiq/v56n2/a10v56n2.pdfhttp://www.reniza.com/matematica/novidades/0210.htm
  • 111. “SIMPÓSIO INTERNACIONAL DEINICIAÇÃO CIENTÍFICA DA USP – SIICUSP” São Paulo – SP 03 a 05 de Novembro de 2008
  • 112. O Cubo Soma como Ferramenta na Aprendizagem de MatemáticaJonatas Estevam Soares da Silva1, Alessandra Bonato Altran1, Dalva Maria de Oliveira Villarreal1, Mara Lúcia Martins Lopes11Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, Departamento de Matemática 1. Objetivos Existem 240 maneiras distintas de montar o Cubo Soma, além disso, suas peças tambémA falta de interesse e o desenvolvimento podem ser usadas para montar inúmerascaótico em relação à aprendizagem do ensino formas tridimensionais como, por exemplo,da matemática geram preocupações e motiva poltronas, mesas e cadeiras, sem contar asos educadores a buscar uma forma lúdica e de rotações e reflexões, fatos estes que tornam afácil entendimento. Com este intuito foi levado atividade com o Cubo Soma ainda maisa sala de aula o trabalho com jogos. O divertida e desafiadora.emprego de jogos no aprendizado dematemática é benéfico, pois, proporciona ao 3. Resultados e Discussãoaprendiz, o desenvolvimento de seu raciocíniológico, inovando e propiciando um aprendizado Ao levar o jogo Cubo Soma para dentro da salasignificativo. de aula, percebeu-se que o mesmo pode ser trabalhado em qualquer série, desde que 2. Material e Métodos adaptado, propiciando o desenvolvimento do raciocínio lógico, a noção da operação deO Cubo Soma (Figura 1) é um quebra-cabeça adição e combinação de números, entre outros.criado em 1936 pelo poeta e matemáticodinamarquês Piet Hein, e consiste em um 4. Conclusõesconjunto de oito peças tridimensionais,formadas pela união de pequenos cubos, O trabalho com jogos é uma ótima alternativacombinadas de forma a criar um cubo maior. educacional se utilizado de forma adequada e consciente, iniciando com a analise prévia do jogo, visando a conquista cognitiva, emocional, moral e social do indivíduo. Com as apresentações realizadas foi possível observar o grande interesse, por parte dos alunos, em aprender matemática de uma maneira lúdica, possibilitando um melhor aprendizado. Figura 1: Cubo Soma. 5. Referências BibliográficasA essas peças formadas pela união dos cubos,de forma irregular, dá-se o nome de policubos FERRARI, H., CARVALHO M.C.C.S. e(Figura 2). FURTADO, P., Conhecendo o Cubo Soma, Anais do X Simpósio Multidisciplinar da USJT, 2004. SERRENTINO, R. H. e MOLINA, H. Arquitectura Nodular Basa em la Teoria de Policubos, Proceedings of the 6th Iberoamerican Congresso f Digital Graphics, Caras Venezuela, 2002, pp. 264-267. Figura 2: Policubos. http://www.fam-fundgaard.dk/SOMA/SOMA
  • 113. Jogos no Ensino de Matemática – O Quadrado Mágico como Recurso de Aprendizagem Tiago Henrique Pereira da Silva1, Alessandra Bonato Altran1, Dalva Maria de Oliveira Villarreal1, Mara Lúcia Martins Lopes11Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, Departamento de Matemática 1. Objetivos 3. Resultados e DiscussãoO estudo e a aplicação do Quadrado Mágico A apresentação dos jogos despertou grandenas escolas de Ensino Fundamental têm como curiosidade nas crianças, contribuindo para oprincipal meta fazer com que a matemática seja aprendizado de matemática. Percebeu-se,transmitida de uma maneira que proporcione também, que os professores, mesmomaior aceitação, aumentando o aproveitamento possuindo o conhecimento dos jogos, ficamdos alunos, tornando o ensino mais prazeroso. inseguros com o novo método que acabaEste tipo de atividade possibilita ao aluno uma tornando a aula mais dinâmica e atrativa,melhor representatividade de conceitos, otimizando a aprendizagem.principalmente no estudo de Matemática. A atividade proporcionou uma nova concepção de educação matemática mostrando que é 2. Material e Métodos possível ensinar conceitos considerados “complexos” às crianças. Basta utilizar formasO Grupo de Estudo sobre Jogos Matemáticos, alternativas como ferramentas complementaresda UNESP de Ilha Solteira, têm inserido a ao ensino tradicional, levando aoutilização de jogos em sala de aula, em escolas desenvolvimento da aprendizagem.da rede de ensino pública e particular. Entre osjogos abordados está o Quadrado Mágico 4. Conclusões(Figura 1). A utilização do Quadrado Mágico como ferramenta complementar no ensino de matemática foi muito bem aceita, modificando a realidade do ensino e despertando grande interesse por parte dos alunos, o que acarretou um maior rendimento destes em sala de aula. Figura 1: Quadrado Mágico (de ordem 3). Conseqüentemente, essa modificação causou melhoria na educação como um todo.Para realização da atividade nas escolas,foram confeccionados um Quadrado Mágico deordem 3 e outro de ordem 4. Além disso, foram 5. Referências Bibliográficasdistribuídos os Quadrados Mágicos em papelpara os alunos preencherem (Figura 2). BOYER, C. B. História da Matemática, São Paulo, Edgar Blücher, 1974. CARLSON, J. Magic Squares and Modular Arithmetic, Department of Mathematics, University of Utah, 2001, pp. 10. PASLES, P. C. Some Magic Squares of Distinction, Math Horizons, 2004, pp 10-12. XIN, G. Constructing all Magic Squares of Order Three, Department of Mathematics,Figura 2: Aplicação do Quadrado Mágico em sala de Brandeis University, 2004, pp.1-7. aula.
  • 114. O Jogo Matemático Sudoku como Ferramenta Auxiliar para o Ensino e Aprendizagem de MatemáticaVinícius Arthur dos Santos Guissi1, Alessandra Bonato Altran1, Dalva Maria de Oliveira Villarreal1, Mara Lúcia Martins Lopes11Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, Departamento de Matemática 1. ObjetivosA utilização dos jogos matemáticos em sala deaula é uma atividade lúdica, na qual o alunotem a possibilidade de desenvolver estratégias,formular seu próprio conhecimento, entreoutros benefícios. O Grupo de Estudo sobre Figura 2 – Aplicação do Sudoku em sala de aula.Jogos Matemáticos da UNESP de Ilha Solteirafoi criado com o propósito de modificar o ensino 3. Resultados e Discussãode matemática através da inserção dos jogosmatemáticos, neste caso, o Sudoku, como Observou-se que a utilização do Sudoku emferramenta complementar. sala de aula, torna o ambiente mais propício à aprendizagem de matemática, uma vez que os conceitos matemáticos transmitidos aos alunos 2. Material e Métodos são reforçados através da manipulação do jogo. Com isso, é possível fazer com que osO Sudoku é um jogo composto de uma matriz conteúdos considerados de difícil assimilação,quadrada (nxn), contendo números pré-fixados sejam absorvidos com mais facilidade, devido àem algumas posições (Figura 1). O desafio do forma agradável em que são colocados.jogo é preencher o restante da matriz de formaque, toda linha, coluna, ou bloco contenha 4. Conclusõesnúmeros de 1 até n, sendo n igual a dimensãoda grade, desde que todos os números sejam Portanto espera-se que, com a comprovaçãoutilizados, sem que haja repetição. da eficácia da utilização dos jogos matemáticos em sala de aula, seja abolido o receio por parte de alguns educadores, e que esta ferramenta seja usufruída constantemente, buscando sempre, a melhoria da educação como um todo. 5. Referências Bibliográficas SEBBEN, N.; GUEDES, A. L.; GUEDES, F. L. Figura 1 - Sudoku. Desenvolvimento de Jogos para a Terceira Idade, VI Simpósio Brasileiro de Jogos paraForam realizadas várias apresentações (Figura Computador e Entretenimento Digital, 2007, pp.2) e, como o público alvo era bastante 1-4.heterogênio, houve a necessidade de NINA, C. Um Olhar Matemático para o Jogodiversificar o Sudoku tradicional, através da de Sudoku, IX ENEM - Encontro Nacional deproposta de diversificação do tamanho das Educação Matemática, 18 a 21 Julho, Belogrades e inserção de figuras coloridas. Horizonte, 2007. pp. 1-10.
  • 115. O Jogo Tangram no Ensino de Matemática Nathália Mantovanelli Bevilaqua1, Alessandra Bonato Altran1, Dalva Maria de Oliveira Villarreal1, Mara Lúcia Martins Lopes11Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, Departamento de Matemática 1. Objetivos Este jogo pode ser confeccionado a partir de uma folha de sulfite, através de dobraduras eA utilização de jogos matemáticos em sala de recortes da folha, pode também ser feito deaula é o principal alvo de estudo do Grupo de E.V.A., plástico, entre outros.Estudo sobre Jogos Matemáticos da UNESPde Ilha Solteira. A utilização do jogo Tangram 3. Resultados e Discussãoem sala de aula proporciona um melhoraprendizado, desenvolvendo, além das A manipulação do Tangram em sala de aulahabilidades matemáticas, a aquisição de mostrou-se como uma atividade prazerosa,conhecimento em outras áreas, tais como, pois, culminou numa maior interação entre osvisualização, diferenciação, percepção alunos, despertando a curiosidade pelaespacial, análise, síntese, desenho, escrita e resolução do quebra-cabeça, além de estimularconstrução. o reconhecimento geométrico das figuras e o cálculo, tanto da área quanto do perímetro, 2. Material e Métodos quebrando o tabu de que a matemática é um “bicho de sete cabeças”.O Tangram é um quebra-cabeça de origemchinesa, composto por sete peças 4. Conclusõesdecompostas de um quadrado (Figura 1). Através da utilização do Tangram comprova-se que, além de ser um jogo divertido, também é um ótimo material educativo, que possibilita ao professor, trabalhar melhor o conteúdo em sala de aula, e aos alunos, o entendimento de vários conceitos. Figura 1 - Apresentação Clássica do Tangram. 5. Referências BibliográficasCom as peças do Trangram é possível formarmais de 1700 figuras diferentes.A partir do Tangram, em sua forma clássica, GARDNER, M. Divertimentos Matemáticos.surgiu o Tangram Pentagonal, o Tradução de Bruno Mazza. São Paulo: Ibraza,Cardiotangram, o Oval, o Retangular, o 1998.Circular, o Russo, o Triangular, o Quatro peças, GERÔNIMO, J. R., FRANCO, V. S., Simetriaso Cinco peças, entre outros (Figura 2). no Plano: Uma Abordagem Geométrica e Algébrica, 2002. LEE, R. Tangram. Editora Isis, LTDA, 2003 KALEFF, A. M.; MONTEIRO REI, D.; GARCIA, S. S. Quebra-cabeças Geométricos e Formas Planas. Editora da Universidade Federal Fluminense – Niterói/RJ, 2002. LIMA, E. L. Isometrias, Coleção do Professor de Matemática, SBM, 1996. Figura 2 - Variações do Tangram.