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  • Topicos de Logica Matematica

PARTE_01_PROF_JAIME PARTE_01_PROF_JAIME Presentation Transcript

  • Jaime Edmundo Apaza Rodriguez (UNESP) Por vezes claro... e por vezes vago... que é a Matemática? ( Lakatos, 1922-74)
  • O que é Matemática?
    • Tanto para eruditos quanto para leigos não é a Filosofia, mas a experiência ativa na própria Matemática que unicamente pode responder à questão: o que é a Matemática?
    • R. Courant & H. Robbins (1941)
    Matemática : Objeto de pesquisa da Filosofia
    • Lógica
    • Teoria do conhecimento
    • Metafísica
    • Filosofia da Matemática
  • Algumas definições de dicionários
      • Ciência que investiga relações entre entidades definidas abstrata e logicamente (Aurélio)
      • Ciência que lida com relações e simbolismos de número e grandezas e que inclui operações quantitativas e soluções de problemas quantitativos (Enc. Britânica)
      • Ciência que estuda objetos abstratos (números, figuras e funções) e as relações entre eles, procedendo por método dedutivo (Houaiss)
  • Etimologia
      • Mathema (greg. 
        • tudo o que é objeto de aprendizagem
        • a coisa apreendida, quem a aprende e o modo de aprender - Sexto Empírico (150-220)
      • Escola Pitagórica
        • mathematikoi – círculo interno de seguidores
        • escutar – fazer perguntas – expor idéias
      • Matematica (séc. XVI) - greg. Mathematike – a ciência matemática
    • (...) a investigação matemática, por si própria, devido a seu caráter especial, sua certeza e severidade, leva a mente humana a uma proximidade maior com o divino do que pode ser atingido por meio de qualquer outro recurso. A matemática é a ciência do infinito , seu objetivo a compreensão simbólica do infinito com meios humanos, portanto finitos. (Hermann Weyl, 1885-1955)
    • A Matemática é a Rainha das Ciências e a Aritmética a Rainha da Matemática (Gauss, 1777-1855)
    • A Matemática é a honra do espírito humano
    • (Leibniz, 1646-1716)
    Algumas definições especiais
  • Problema interessante 1 1 2, 2, 2, 2, ...
  • Matemática e Filosofia
    • Quatro grupos de definições
    • M. como ciência da quantidade
    • M. como ciência das relações
    • M. como ciência do possível
    • M. como ciência das construções possíveis
  • Matematica como ciência da quantidade
    • A primeira definição
      • Aristóteles( 384-322a.C .) & Platão ( 427-347a.C .) ( implícita )
      • Pitagóricos – a Matemática é A ciência
        • (ciência dos números e das figuras geométricas)
    • Mundo antigo e Renascimento
      • Séc. XIX - torna-se insuficiente
      • Comte (1798-1857)
  • Definição de Aristóteles
    • O matemático constrói sua teoria por meio da abstração; prescinde de todas as qualidades sensíveis, como peso e leveza, dureza e seu contrário, calor e frio, e das outras qualidades opostas, limitando-se a considerar apenas a quantidade e a continuidade , ora em uma só dimensão, ora em duas, ora em três, bem como os caracteres dessas entidades, na medida em que são quantitativas e continuativas, deixando de lado qualquer outro aspecto delas. Consequentemente, estuda as posições relativas e o que é inerente a elas: comensurabilidade ou incomensurabilidade e proporções.
  • Definição de Comte (1798-1857)
    • Matemática é a ciência que tem por objeto a medida das grandezas (...) A arte elementar do raciocínio decisivo (...) só a Matemática pode convenientemente desenvolver.
  • Matematica como ciência das relações
    • Estreitamente ligada à Lógica ou parte desta
    • Logicismo
    • Leibniz (1646-1716)
      • Mathesis Universalis - sistema geral; uma linguagem para fundamentação do raciocínio em todas as ciências
    • Frege (1848-1925) x Psicologismo
      • O conceito de razão pertence (...) ao campo da lógica pura. Aqui não interessa o conteúdo especial da relação, mas exclusivamente a sua forma lógica. Se algo pode ser afirmado sobre ela, a verdade desse algo é analítica e reconhecida a priori .
    • B. Russel (1872-1970)
    • - Matemática coincide com a Lógica
    • Wittgenstein (1889-1951)
      • A Matemática é um método lógico . As proposições da Matemática são equações, portanto pseudoproposições. A proposição matemática não exprime pensamento algum. De fato, nunca precisamos de proposições matemáticas na vida , mas as empregamos apenas com o fim de, a partir de proposições que não pertencem à Matemática, tirar conclusões que se expressam em proposições que tampouco lhe pertencem.
      • (...) As equações da Matemática correspondem às tautologias da Lógica e, como estas, nada dizem.
    • Carnap (1891-1970)
      • Os cálculos constituem um gênero particular de cálculos lógicos, distinguindo-se deles pela maior complexidade. Os cálculos geométricos são um gênero particular de cálculos físicos.
    • Tese Logicista
      • Construir uma Lógica exata
      • Definir todos os conceitos da M. em termos dos conceitos da Lógica
      • Deduzir todos teoremas da M. a partir dessas definições e por meio dos princípios da Lógica
    • C. S. Peirce (1839-1914)
      • Matemática ~ Lógica . Mas ...
      • (...) enquanto a Matemática é a ciência que infere conclusões necessárias, a lógica é a ciência do modo de inferir conclusões necessárias.
  • Matematica como ciência do possível
    • Hilbert (1862-1943)
      • A Matemática pode ser construída como simples cálculo sem exigir interpretação alguma.
      • Sistema axiomático
        • Enumerar conceitos básicos e relações básicas;
        • Enumerar os axiomas e destes deduzir todos os outros enunciados a partir das relações básicas.
    • Formalismo
    Possível ~ aquilo que não implica contradição
    • Bourbaki (1939 /1816-97)
      • Matemática é simplesmente o estudo de estruturas abstratas ou padrões formais de associação
    • T. de Gödel (1906-78)
      • exclui a possibilidade da Matemática como sistema único e total
    • De fato, pode-se construir uma máquina que seja capaz de resolver determinado problema, mas não uma máquina que seja capaz de resolver todos os problemas (E. Nagel – G.R. Newmann)
  • Matematica como ciência das construções possíveis
    • Kant (1724-1804) – Matemática como construção de conceitos
    • Poincaré (1854-1912) – polêmicas antiformalistas
    • Intuicionismo
      • A construção de que o intuicionismo fala é conceitual e não se refere a fatos empíricos
    • Brouwer (1839-1914)
      • A Matemática identifica-se com a parte exata do pensamento humano e por isso não pressupõe ciência alguma, nem a lógica, mas exige uma intuição que permita apreender a evidência dos conceitos e das conclusões.
    • Ponto de vista de Brouwer
      • A Matemática Pura é uma criação livre do espírito e não tem relação alguma com os fatos de experiência.
      • A simples constatação de um fato de experiência sempre contém a identificação de um sistema matemático.
      • O método das ciências da natureza consiste em reunir os sistemas matemáticos contidos nas experiências isoladas em um sistema puramente matemático construído com este fim.
  • ...e agora José ?
    • J. Ferrater Mora (1912-91)
      • Para o Logicismo, (...), a M. se reduz à Lógica. Para o formalismo, (...), a M. pode ser formalizada por completo; (...). Para o intuicionismo, (...), pode-se falar de entes matemáticos tão somente se podemos construí-los mentalmente. Cada uma destas posições enfrenta dificuldades peculiares (...). Cada uma destas posições, por outro lado, alcançou grandes triunfos e impulsionou sobremaneira o progresso na matemática. Não se pode prever que teoria triunfará definitivamente; o mais provável é que seja preciso manter as partes mais fecundas de cada uma delas.
    • Nicola Abbagnano (1971)
      • E já que é difícil ignorar a importância do aspecto linguístico da Matemática, que serviu de base para o logicismo, o pensamento matemático conteponrâneo é dominado por certo ecletismo .
  • Relação entre a Matemática e outras Ciências
    • Matemática: Ciência ou Linguagem?
    • Para alguns... Linguagem Universal
    • Leibniz (1646-1716) - Mathesis Universalis
      • sistema geral; uma linguagem para fundamentação do raciocínio em todas as ciências
  • A matemática é a linguagem com a qual Deus escreveu o Universo Galileu (1564-1643 )
  • O Positivismo – Comte (1798-1857)
    • Sistema comteano (1844):
    • Matemática – Astronomia – Física – Química – Biologia – Sociologia
      • “ [...] a primeira necessariamente o ponto de partida exclusivo e a última o fim único e essencial [...] o conjunto desta fórmula enciclopédica, exatamente conforme as verdadeiras afinidades dos estudos correspondentes [...] permite enfim a cada inteligência renovar à sua vontade a história geral do espírito positivo, ao passar, de modo quase insensível, das mais insignificantes idéias matemáticas aos mais altos pensamentos sociais.”
  • O Construtivismo
    • Piaget (1896-1980) - O Círculo Piagetiano
      • Pretende fundar uma teoria do conhecimento científico que conduza “das mais elementares atividades psicofisiológicas do sujeito aos mais altos pensamentos científicos”.
      • Ponto de partida: a Matemática e a Lógica . Seguem-se: a Física, a Biologia e por, último, a Psicologia Experimental e a Sociologia (unificadas com o nome de Psico-Sociologia)
    • Vygotsky (1896-1934 )
    • “ A correção absoluta só se consegue para lá da linguagem natural, na Matemática”
  • Enciclopédia Francesa
    • D’Alembert (1717-83) e Diderot (1713-84)
    • “ Discurso Preliminar”
    • O conhecimento é constituído por três raízes
    • Memória , Razão e Imaginação
    • (História) (Filosofia) (Poesia)
    • A Lógica - lugar de destaque – engloba as funções da Língua.
    • A Matemática - terreno das ciências naturais .
  • Ciência ou Linguagem?
    • Dicionário de Filosofia (Nicola Abbagnano, 1971 )
    • Ciência
      • Conhecimento que inclua, em qualquer forma ou medida, uma garantia da própria validade.
    • Linguagem
      • Em geral, o uso de signos intersubjetivos, que são os que possibilitam a comunicação.
  • A árvore cartesiana
    • a condição de possibilidade do conhecimento (a seiva)
      • Descartes (1596-1650, Discurso sobre o método)
    Astronomia, Medicina, etc. Metafísica (incluindo a religião) Física (Filosofia Natural)
  • N.J.Machado (1995)
    • (...) a Língua e a Matemática constituem os dois sistemas básicos de representação da realidade. (...) São instrumentos de expressão e de comunicação e, conjuntamente, são uma uma condição de possibilidade do conhecimento em qualquer área. O par Língua/Matemática compõem uma linguagem mista, imprescindível para o ensino e com as características de um degrau necessário para alcançar-se as linguagens específicas das disciplinas particulares.
  • Algumas referências curiosas...
    • Prometo àqueles meus professores desiludidos que na próxima vida eu vou ser um grande matemático. Porque a Matemática é o único pensamento sem dor (M. Quintana, 1906-94)
    • Tenho capacidades e talentos muito restritos. Nenhum para as Ciências Naturais, nenhum para a Matemática, nada para as coisas quantitativas (S. Freud, 1856-1939)
    • Está praticamente fora de questão que eu escreva artigos. A única ocupação que me permite conservar a necessária paz de espírito é a Matemática (K. Marx, 1818-83)
    • O princípio criador reside na Matemática; sua certeza é absoluta, enquanto se trata da Matemática abstrata, mas diminui na razão direta de sua concretização (Einstein, 1879-1955)
  • Na Matemática, para saborear com prazer o fruto é preciso conhecer bem as suas raízes .
    • Malba Tahan ( 1895 a 1974 )
    • Júlio César de Mello e Souza
  • Ecletismo
    • Reunião de elementos doutrinários de origens diversas que não chegam a se articular em uma unidade sistemática consistente.