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Calculo eleccion de un deposito de agua
 

Calculo eleccion de un deposito de agua

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    Calculo eleccion de un deposito de agua Calculo eleccion de un deposito de agua Document Transcript

    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 1 ÍNDICECAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN............................................................................... 9 1.1.- Antecedentes ............................................................................................................................. 9 1.2.- Objetivos .................................................................................................................................. 11 1.3.- Método seguido ...................................................................................................................... 12CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO EN EL CÁLCULO DE DEPÓSITOS DE AGUA .................................................................. 16 2.1.- Introducción............................................................................................................................. 16 2.2.- Elementos de cálculo y diseño preliminares .................................................................. 18 2.2.1.- Exposición ambiental y recubrimiento ......................................................... 18 2.2.1.1.- Exposición ambiental ........................................................................... 18 2.2.1.2.- Recubrimiento ...................................................................................... 19 2.2.2.- Clase de hormigón y armaduras ................................................................... 19 2.2.2.1.- Clase de hormigón................................................................................ 19 2.2.2.2.- Clase de armaduras............................................................................... 20 2.2.3.- Acciones a considerar en el cálculo de la pared ........................................... 21 2.2.3.1.- Depósitos de hormigón armado ........................................................... 23 2.2.3.2.- Depósitos de hormigón pretensado ...................................................... 24 2.2.4.- Preliminares al cálculo de la solera .............................................................. 25 2.2.5.- Acciones a considerar en el cálculo de la solera .......................................... 26 2.2.6.- Estado Límite de Servicio de fisuración....................................................... 28 2.2.6.1.- Cálculo de la abertura característica de fisura wk ................................ 29 2.2.6.2.- Evaluación de la abertura máxima de fisura permitida wmáx ............... 31
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 2 2.2.6.2.1.- Abertura máxima de fisura permitida wmáx en la pared de depósitos de hormigón armado..................................................... 32 2.2.6.2.2.- Abertura máxima de fisura permitida wmáx en la pared de depósitos de hormigón pretensado ................................................ 32 2.2.6.2.3.- Abertura máxima de fisura permitida wmáx en la solera de depósitos ....................................................................................... 33 2.2.6.3.- Particularidades del Estado Límite de Servicio de Fisuración en los depósitos ............................................................................................... 33 2.2.7.- Armaduras mínimas en depósitos................................................................. 34 2.2.8.- Elementos de diseño en depósitos de agua................................................... 36 2.2.8.1.- Diseño de las paredes ........................................................................... 36 2.2.8.2.- Diseño de la solera ............................................................................... 36 2.2.8.3.- Diseño de la cubierta ............................................................................ 38 2.2.8.4.- Otros elementos de diseño ................................................................... 39 2.3.- Depósitos rectangulares de hormigón armado .............................................................. 40 2.3.1.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de flexión ............................. 40 2.3.1.1.- Determinación del momento flector..................................................... 40 2.3.1.2.- Cálculo de la armadura de flexión........................................................ 41 2.3.2.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de esfuerzo cortante ............. 42 2.3.3.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de tracción simple ................ 42 2.3.4.- Comprobación de la pared en Estado Límite de fisuración.......................... 43 2.3.5.- Disposición de las armaduras en la pared del depósito ................................ 45 2.3.5.1.- Armadura de la pared en la posición vertical interior .......................... 45 2.3.5.2.- Armadura de la pared en la posición vertical exterior ......................... 45 2.3.5.3.- Armadura de la pared en la posición horizontal interior...................... 45 2.3.5.4.- Armadura de la pared en la posición horizontal exterior ..................... 46 2.3.5.5.- Armadura de cortante ........................................................................... 46 2.4.- Depósitos cilíndricos de hormigón armado .................................................................... 53 2.4.1.- Campo de desplazamientos y esfuerzos en la pared..................................... 53 2.4.2.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de flexión ............................. 56 2.4.2.1.-Determinación del momento flector...................................................... 57 2.4.2.2.- Cálculo de la armadura de flexión........................................................ 58 2.4.3.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de esfuerzo cortante ............. 59
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 3 2.4.3.1.- Determinación del esfuerzo cortante.................................................... 59 2.4.3.2.- Cálculo de la armadura de cortante:..................................................... 60 2.4.4.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de tracción simple ................ 60 2.4.5.- Comprobación de la pared en Estado Límite de Servicio de fisuración....... 61 2.4.6.- Disposición de las armaduras en la pared del depósito ................................ 61 2.4.6.1.- Armadura de la pared en la posición vertical interior .......................... 61 2.4.6.2.- Armadura de la pared en la posición vertical exterior ......................... 62 2.4.6.3.- Armadura de la pared en la posición horizontal interior...................... 62 2.4.6.4.- Armadura de la pared en la posición horizontal exterior ..................... 63 2.4.6.5.- Armadura de cortante ........................................................................... 63 2.5.- Depósitos cilíndricos pretensados ..................................................................................... 64 2.5.1.- Unión pared-solera ....................................................................................... 64 2.5.1.1.- Unión monolítica.................................................................................. 64 2.5.1.2.- Unión articulada flexible...................................................................... 65 2.5.1.3.- Unión articulada fija............................................................................. 66 2.5.2.- Función óptima de pretensado...................................................................... 67 2.5.2.1.- Definición de la Función Hidrostática de Pretensado (FHP) ............... 68 2.5.2.2.- Definición de la Función Uniforme de Pretensado (FUP) ................... 69 2.5.3.- Eficacia del pretensado................................................................................. 71 2.5.4.- Pérdidas del pretensado ................................................................................ 73 2.5.4.1.- Pérdidas instantáneas............................................................................ 73 2.5.4.1.1.- Pérdidas de fuerza por rozamiento ................................................ 73 2.5.4.1.2.- Pérdidas por penetración de cuñas ................................................ 74 2.5.4.1.3.- Pérdidas por acortamiento elástico del hormigón..........................67 2.5.4.2.- Pérdidas diferidas ................................................................................. 75 2.5.5.- Optimización de la secuencia de tesado ....................................................... 77 2.5.6.- Optimización del número de contrafuertes................................................... 77 2.5.7.- Posición de los tendones de pretensado........................................................ 78 2.5.8.- Comprobación de la pared en Estado Límite de Servicio (armadura activa horizontal) .................................................................................................... 79 2.5.9.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de flexión (armadura pasiva vertical) ........................................................................................................ 80 2.5.9.1.- Determinación del momento flector..................................................... 80
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 4 2.5.9.2.- Cálculo de la armadura de flexión........................................................ 81 2.5.10.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de esfuerzo cortante ........... 82 2.5.10.1.- Determinación del esfuerzo cortante.................................................. 82 2.5.10.2.- Cálculo de la armadura de cortante .................................................... 83 2.5.11.- Comprobación de la pared en Estado Límite de Servicio de fisuración..... 83 2.5.12.- Disposición de las armaduras en la pared del depósito .............................. 84 2.5.12.1.- Armadura activa de la pared en la posición horizontal ...................... 84 2.5.12.2.- Armadura pasiva de la pared en la posición vertical interior............. 84 2.5.12.3.- Armadura pasiva de la pared en la posición vertical exterior ............ 85 2.5.12.4.- Armadura pasiva de la pared en la posición horizontal ..................... 85 2.5.12.5.- Armadura de cortante ......................................................................... 85 2.5.13.- Análisis de la interacción pared-solera-terreno en uniones monolíticas .... 86 2.5.14.- Cálculo del campo de desplazamientos y esfuerzos en la pared en uniones monolíticas con análisis de interacción pared-solera-terreno: ................... 88 2.6.- Análisis de la solera .............................................................................................................. 90 2.6.1.- Cálculo de la solera en estado Límite Último de flexión ............................. 90 2.6.1.1.- Determinación del momento flector..................................................... 90 2.6.1.2.- Cálculo de la armadura de flexión........................................................ 92 2.6.2.- Cálculo de la solera en estado Límite Último de esfuerzo cortante ............. 92 2.6.3.- Cálculo de la solera en Estado Límite Último de tracción simple................ 92 2.6.4.- Comprobación de la solera en Estado Límite de Servicio de fisuración ...... 93 2.6.5.- Disposición de las armaduras en la solera del depósito................................ 93 2.6.5.1.- Soleras rectangulares............................................................................ 93 2.6.5.1.1.- Armadura de la solera en la cara superior ..................................... 93 2.6.5.1.2.- Armadura de la solera en la cara inferior.......................................95 2.6.5.1.3.- Armadura de cortante .................................................................... 94 2.6.5.2.- Soleras circulares ................................................................................. 95 2.6.5.2.1.- Armadura radial de la solera en la cara superior........................... 95 2.6.5.2.2.- Armadura radial de la solera en la cara inferior ............................ 95 2.6.5.2.3.- Armadura circunferencial de la solera en la cara superior............97 2.6.5.2.4.- Armadura circunferencial de la solera en la cara inferior ............. 96 2.6.5.2.5.- Armadura de cortante .................................................................... 96
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 5CAPÍTUL0 3. HERRAMIENTAS PARA FACILITAR EL CÁLCULO DE DEPÓSITOS CILÍNDRICOS ......................................................... 97 3.1.- Introducción............................................................................................................................. 97 3.2.- Pared solicitada por el empuje hidrostático.................................................................... 98 3.2.1.- Unión monolítica .......................................................................................... 99 3.2.2.- Unión articulada flexible .............................................................................. 99 3.2.3.- Unión articulada fija ................................................................................... 101 3.3.- Pared solicitada por empuje de tierras con Ht = H ..................................................... 103 3.3.1.- Unión monolítica ........................................................................................ 103 3.3.2.- Unión articulada flexible ............................................................................ 104 3.3.3.- Unión articulada fija ................................................................................... 105 3.4.- Pared solicitada por empuje de tierras con Ht < H ..................................................... 107 3.4.1.- Unión monolítica ........................................................................................ 107 3.4.2.- Unión articulada flexible ............................................................................ 109 3.4.3.- Unión articulada fija ................................................................................... 110 3.5.- Pared solicitada por el pretensado................................................................................... 113 3.5.1.- Unión monolítica ........................................................................................ 113 3.5.2.- Unión articulada flexible ............................................................................ 115 3.5.3.- Unión articulada fija ................................................................................... 116CAPÍTULO 4. EJEMPLOS DE CÁLCULO DE DEPÓSITOS ............................ 119 4.1.- Introducción........................................................................................................................... 119 4.2.- Ejemplo de cálculo de la pared de un depósito rectangular de hormigón armado .................................................................................................................................... 120 4.2.1.- Enunciado ................................................................................................... 120 4.2.2.- Datos preliminares...................................................................................... 121 4.2.3.- Acciones a considerar en el cálculo de la pared ......................................... 122 4.2.4.- Armaduras mínimas en las paredes ............................................................ 122 4.2.5.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de flexión ........................... 122 4.2.6.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de esfuerzo cortante ........... 126 4.2.7.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de tracción simple .............. 127
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 6 4.2.8.- Comprobación de la pared en Estado Límite de fisuración........................ 127 4.2.9.- Disposición de armaduras en la pared del depósito.................................... 131 4.3.- Ejemplo de cálculo de la pared de un depósito cilíndrico de hormigón armado.............................................................................................................. 133 4.3.1.- Enunciado ................................................................................................... 133 4.3.2.- Datos preliminares...................................................................................... 134 4.3.3.- Características mecánicas ........................................................................... 135 4.3.4.- Acciones a considerar en el cálculo de la pared ......................................... 135 4.3.5.- Armaduras mínimas en las paredes ............................................................ 135 4.3.6.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de flexión ........................... 135 4.3.7.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de esfuerzo cortante ........... 138 4.3.8.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de tracción simple .............. 139 4.3.9.- Comprobación de la pared en Estado Límite de fisuración........................ 140 4.3.10.- Disposición de las armaduras en la pared del depósito ............................ 141 4.4.- Ejemplo de cálculo de la pared de un depósito cilíndrico de hormigón pretensado ............................................................................................................................. 143 4.4.1.- Enunciado ................................................................................................... 143 4.4.2.- Datos preliminares...................................................................................... 144 4.4.3.- Características mecánicas ........................................................................... 145 4.4.4.- Acciones a considerar en el cálculo de la pared ......................................... 145 4.4.5.- Armaduras mínimas en las paredes ............................................................ 146 4.4.6.- Cálculo de la armadura activa de la pared en la posición horizontal ......... 146 4.4.7.- Pérdidas del pretensado .............................................................................. 147 4.4.8.- Posición en altura de los tendones de pretensado....................................... 149 4.4.9.- Cálculo de los coeficientes reductores en la interacción pared-solera-terreno ................................................................................... 150 4.4.10.- Cálculo del campo de esfuerzos en la pared............................................. 152 4.4.11.- Comprobación de los axiles anulares ....................................................... 154 4.4.12.- Secuencia de tesado .................................................................................. 154 4.4.13.- Comprobación de la pared del depósito en Estado Límite de Servicio (armadura activa horizontal) .................................................................... 154 4.4.14.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de flexión (armadura pasiva vertical) ......................................................................................... 155
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 7 4.4.15.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de esfuerzo cortante: ........ 157 4.4.16.- Comprobación de la pared en Estado Límite de fisuración...................... 158 4.4.17.- Disposición de las armaduras en la pared del depósito ............................ 161 4.5.- Ejemplo de cálculo de la solera de un depósito rectangular de hormigón armado .................................................................................................................................... 162 4.5.1.- Enunciado ................................................................................................... 162 4.5.2.- Datos preliminares...................................................................................... 163 4.5.3.- Acciones a considerar en el cálculo de la solera ........................................ 164 4.5.4.- Armaduras mínimas en la solera ................................................................ 164 4.5.5.- Discretización de la solera.......................................................................... 164 4.5.6.- Cálculo de la solera en Estado Límite Último de flexión........................... 166 4.5.7.- Cálculo de la solera en Estado Límite Último de esfuerzo cortante........... 168 4.5.8.- Cálculo de la solera en Estado Límite Último de tracción simple.............. 169 4.5.9.- Comprobación de la solera en Estado Límite de fisuración ....................... 169 4.5.10.- Disposición de las armaduras en la solera del depósito............................ 171CAPÍTULO 5. ELECCIÓN ÓPTIMA DE UN DEPÓSITO DE AGUA ............... 172 5.1.- Introducción........................................................................................................................... 172 5.2.- Precios de mercado adoptados ......................................................................................... 175 5.3.- Análisis de paredes y solera en la muestra de depósitos .......................................... 178 5.3.1.- Depósitos rectangulares de hormigón armado............................................ 178 5.3.2.- Depósitos cilíndricos de hormigón armado ................................................ 180 5.3.3.- Depósitos cilíndricos pretensados con hormigón moldeado. ..................... 182 5.3.4.- Depósitos cilíndricos pretensados con hormigón proyectado .................... 183 5.3.5.- Depósitos prefabricados ............................................................................. 185 5.4.- Análisis de los pilares y zapatas interiores en la muestra de depósitos................ 185 5.4.1.- Pilares interiores ......................................................................................... 185 5.4.2.- Zapatas interiores........................................................................................ 186 5.5.- Análisis de la cubierta en la muestra de depósitos ..................................................... 186 5.5.1.- Placas de cubierta ....................................................................................... 186 5.5.2.- Vigas principales de cubierta...................................................................... 187 5.6.- Resumen de la muestra de depósitos analizados ........................................................ 187
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 8 5.7.- Relaciones D/Hω óptimas en depósitos cilíndricos .................................................... 196 5.8.- Estudio del número de contrafuertes óptimo ............................................................... 197 5.9.- Estudio del campo de validez para las fórmulas simplificadas en depósitos cilíndricos .............................................................................................................................. 197CAPÍTULO 6. CONCLUSIONES ............................................................................ 199 6.1.- Introducción........................................................................................................................... 199 6.2.- Conclusiones relativas al cálculo .................................................................................... 200 6.3.- Conclusiones relativas a la elección óptima de un depósito de agua.................... 203 6.4.- Conclusiones específicas...................................................................................208 6.4.1.- Relaciones D/Hω óptimas en depósitos cilíndricos......................................208 6.4.2.- Estudio del número de contrafuertes óptimo...............................................209 6.4.3.- Estudio del campo de validez para las fórmulas simplificadas en depósitos cilíndricos.....................................................................................209CAPÍTULO 7. BIBLIOGRAFÍA .............................................................................. 210
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 9 CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN1.1.- ANTECEDENTESLos depósitos de agua son unas estructuras habituales en nuestra geografía, debido a sumisión reguladora de caudal y de presión en las redes de abastecimiento de agua apoblaciones y regadíos.En cuanto a su forma geométrica distinguiremos los depósitos rectangulares y loscilíndricos. En el caso rectangular, su comportamiento estructural espredominantemente de flexión vertical. Por su parte, en el caso cilíndrico, la estructuraes más flexible, al tener un comportamiento combinado según dos direcciones y con laposibilidad de pretensar la pared del depósito según la dirección circunferencial.
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 10En cuanto al proceso constructivo podemos distinguir entre los depósitos armados y lospretensados. Y dentro de los pretensados, los de hormigón moldeado in situ y los dehormigón proyectado. Por otra parte, también existen los depósitos prefabricados.Pueden existir innumerables combinaciones entre todos los tipos mencionados, pero ennuestra latitud, lo más habitual, es tener: - Depósitos rectangulares de hormigón armado moldeado. - Depósitos cilíndricos de hormigón armado moldeado. - Depósitos cilíndricos de hormigón pretensado moldeado. - Depósitos cilíndricos de hormigón pretensado proyectado. - Depósitos rectangulares prefabricados de hormigón armado. - Depósitos circulares prefabricados de hormigón pretensado.Los depósitos podrán tener cubierta (abastecimiento de agua) o no tenerla (regadío ydepuración). En caso de tenerla, es habitual en nuestro país que esta sea plana y que elcontacto de la cubierta con la pared sea mediante un apoyo flexible, de manera que seindependizan los movimientos de ambos elementos estructurales en el punto de unión.Por otro lado, para la unión entre la pared y la solera existe una mayor variedad desoluciones, que se distinguen por la capacidad de movimientos (desplazamiento radial ygiro meridional) de la primera con respecto a la segunda. Estas soluciones son: - Unión monolítica, en la que la que el movimiento radial y el giro meridional del pie de la pared son iguales a los del perímetro de la solera. De uso habitual en depósitos rectangulares y cilíndricos de hormigón armado y también cilíndricos pretensados de volumen inferior a 10.000 m3. - Unión articulada flexible, definida con apoyos de neopreno, y que permite un movimiento relativo del pie de la pared con respecto a la solera. De uso habitual y muy aconsejado en depósitos cilíndricos pretensados de más de 10.000 m3. - Unión articulada fija, con el desplazamiento radial de la base de la pared impedido.
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 11La revisión del estado del conocimiento refleja que el número de normas ypublicaciones dedicadas a estas estructuras es muy inferior al correspondiente a otrostipos estructurales, como pueden ser los puentes y los edificios. Las normas específicaspara depósitos más conocidas pertenecen a países de influencia anglosajona, como elReino Unido, USA y Nueva Zelanda. A nivel nacional, no hay en estos momentosnormas ni recomendaciones específicas para depósitos. La vigente Instrucción deHormigón Estructural EHE (1999) tampoco contempla el caso particular de losdepósitos.Este vacío normativo ha contribuido a crear una aureola de confusión y complejidad a lahora de calcular un depósito de agua. A ello se suma la particularidad de que en elcálculo de un depósito se une la metodología de cálculo en Estado Límite Último(flexión y cortante), en Estado Límite de Servicio de fisuración, que en general, serámás restrictivo, y también el método clásico de emplear una tensión admisible del aceromuy reducida (tracción).Por otro lado, no existe una colección amplia de depósitos que permita dar laposibilidad a una persona sin conocimientos ingenieriles a hacer la elección óptima deldepósito que más se adecue a sus necesidades particulares.1.2.- OBJETIVOSEl presente trabajo se centra en el ámbito de los depósitos para almacenamiento de aguano elevados, es decir, aquellos que apoyan superficialmente sobre el terreno, o bien,aquellos que están total o parcialmente enterrados. En concreto, se han estudiado losdepósitos rectangulares de hormigón armado, los cilíndricos de hormigón armado ytambién los cilíndricos de hormigón pretensado.Este estudio se ha dirigido hacia la consecución de dos objetivos principales, los cualesse exponen seguidamente:
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 12 i) Facilitar al técnico las herramientas necesarias para que pueda calcular un depósito de agua de manera totalmente satisfactoria, tanto en la tipología armada como pretensada, al amparo de los principales estudios y recomendaciones realizados hasta el momento, y adaptándonos a la vigente Instrucción de Hormigón Estructural EHE (1999). ii) Facilitar a la persona sin conocimientos ingenieriles las herramientas necesarias para que pueda escoger de manera sencilla y cómoda aquella tipología de depósito que más se acomode a sus necesidades particulares; que en general, será la búsqueda de la tipología más competitiva a nivel económico.1.3.- MÉTODO SEGUIDOPara conseguir los objetivos propuestos se han desarrollado distintos trabajos, los cualesdan contenido a los diferentes capítulos de esta tesina. A continuación se describebrevemente el método seguido en cada uno de ellos.En el capítulo 2 se presenta una revisión exhaustiva del estado del conocimiento en elcálculo de depósitos de agua. Destacamos la importancia de ordenar las acciones aconsiderar en el cálculo de la pared de un depósito de agua, la manera de combinarlas ylos coeficientes parciales de seguridad a emplear. Es básico seguir la metodología delEstado Límite Último y el Estado Límite de Servicio de fisuración que establece EHE.Conocer de una manera clara el tratamiento de los esfuerzos de flexión y cortante,combinado con la tracción y también la limitación en la abertura de las fisuras es de unaenorme trascendencia. Todo ello nos lleva a plantear la mejor manera de disponer lasarmaduras en las paredes y solera del depósito.Uno de los elementos básicos sobre el que se edifica toda la teoría de depósitos es la
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 13abertura máxima de fisura permitida wmáx. Desgraciadamente no hay normativa queevite la siempre peligrosa subjetividad. Pero haciendo un compendio de toda lainformación disponible en el estado del conocimiento hemos podido establecer losvalores más idóneos que deben emplearse en cada caso.También resaltamos la peculiaridad en el tratamiento de los depósitos de hormigónarmado, al buscar de manera independiente las armaduras de flexión y de tracción porcaminos totalmente diferentes para al final sumarlas.Las paredes de los depósitos rectangulares de hormigón armado se tratan como placastriempotradas, en la solera y en las dos paredes laterales, y con el borde superior libre,con lo que aparecen esfuerzos en las direcciones vertical y horizontal. Por contra, lasparedes de los depósitos cilíndricos van acompañadas por toda la teoría de láminascirculares cilíndricas.En cuanto a los depósitos cilíndricos de hormigón pretensado se empieza centrando allector en un tema tan básico como es la unión pared-solera, que sin duda condiciona losesfuerzos sobre la pared. También se ha buscado ordenar de manera sencilla todos susaspectos de cálculo y diseño más importantes, a fin de que cualquier técnico se puedaenfrentar a un depósito de hormigón pretensado sin problemas. También se hanadaptado a los parámetros de la vigente Instrucción EHE, siendo especialmentemeticulosos en la mejor manera de limitar tanto la fisuración vertical, de la que se ocupala armadura activa circunferencial, como la también muy peligrosa fisuraciónhorizontal, de la que se ocupa la armadura pasiva.Finalmente, para el cálculo de la solera de un depósito precisamos de un sencilloprograma de pórticos que nos permita discretizarla en un conjunto de nudos y barras,que apoyada sobre un lecho elástico que simula el terreno se encuentra sometida a lasacciones que la solicitan.En el capítulo 3 se ha realizado un enorme esfuerzo encaminado a facilitar la resoluciónde los sistemas de ecuaciones lineales que cubren todas las posibilidades de uniónpared-solera, y necesarios para poder encontrar el campo de esfuerzos en una pared
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 14cilíndrica.En el capítulo 4 se presentan cuatro ejemplos de aplicación de los distintos criteriosempleados en el cálculo de depósitos de agua, a fin de reforzar y clarificar al máximotodo lo expuesto en los capítulos anteriores. Se calcula de manera detallada y con todoslos pasos necesarios la pared de un depósito rectangular de hormigón armado, la paredde un depósito cilíndrico de hormigón armado, la pared de un depósito cilíndrico dehormigón pretensado, y finalmente la solera de un depósito rectangular.En el capítulo 5 ya se entra en la segunda parte de la tesina, que consiste en dar laposibilidad a una persona sin conocimientos ingenieriles a que pueda escoger aqueldepósito que más se adecue a sus necesidades particulares. Para ello se estudia unapoblación de 672 depósitos diferentes (la mitad con cubierta y la otra mitad sin ella),repartidos en un amplio espectro de volúmenes, desde 100 hasta 50.000 m3, y conalturas de agua muy habituales comprendidas entre los 2,0 y los 8,0 m.En la muestra no se ha incluido el estudio de los depósitos cilíndricos pretensados conhormigón proyectado y tampoco los depósitos prefabricados, por entender que su preciopresenta oscilaciones en función de condicionantes de mercado de unas pocas empresasque a ello se dedican; y también porque parece más lógico que una vez se conozcan lasdimensiones óptimas del depósito, se consulte el precio en las dos tipologíasmencionadas y se compare con otras ofertas disponibles.En el capítulo 6 se exponen las conclusiones que se derivan de los distintos estudiosdesarrollados a lo largo de la tesina. Las conclusiones responden al cumplimiento de losobjetivos principales que han guiado el desarrollo de la misma. Por una parte, dándoleal técnico todo lo necesario para que calcule el depósito con la confianza de estaramparado por las principales normativas, recomendaciones y estudios realizados hastael momento, con la seguridad de estar siguiendo la misma filosofía de cálculo de lavigente Instrucción de Hormigón Estructural EHE (1999) y también con la tranquilidadde estar diseñando una estructura que no tendrá problemas de funcionalidad odurabilidad con el tiempo. Y por otra parte, dándole facilidades a la persona sinconocimientos ingenieriles para que pueda escoger el depósito que más se acomode a
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 15sus necesidades particulares.En la parte final de este capítulo se llega a conclusiones específicas, como son lasrelaciones D/Hω óptimas en depósitos cilíndricos, el número de contrafuertes óptimo oel campo de validez para las fórmulas simplificadas en el cálculo de la pared de undepósito cilíndrico.Por último, en el capítulo 7 se recogen las referencias más significativas consultadas alo largo del desarrollo de este trabajo.
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 16 CAPÍTULO 2 ESTADO DEL CONOCIMIENTO EN EL CÁLCULO DE DEPÓSITOS DE AGUA2.1.- INTRODUCCIÓNLos depósitos de agua son unas estructuras muy habituales debido al importante papelque desempeñan en temas tan trascendentales como son el abastecimiento de aguapotable a las poblaciones. A pesar de ello, la revisión del estado del conocimientorefleja que el número de normas y publicaciones dedicadas a estas estructuras es muyinferior al correspondiente a otros tipos estructurales, como pueden ser los puentes y losedificios. La falta de normas y recomendaciones específicas para depósitos a nivelnacional, provoca una situación de cierta confusión para los técnicos que quierenabordar su cálculo.
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 17En el presente capítulo se ha buscado ordenar los diferentes criterios y recomendacionesque existen en el estado del conocimiento de cálculo de depósitos, adaptandolos a lavigente Instrucción de Hormigón Estructural EHE (1999), a fin de que el técnico puedaabordar el cálculo de un depósito de manera sencilla y sin problemas.Independientemente de que este sea rectangular o cilíndrico, y de hormigón armado opretensado.En la primera parte del capítulo se situa al depósito dentro de un contexto de exposiciónambiental, recubrimiento y clase de hormigón y armaduras que preconiza la InstrucciónEHE. Seguidamente se analizan las acciones que deben considerarse en el cálculo deldepósito y especialmente la manera de combinarlas a fin de poder cumplir con el EstadoLímite Último y también, con el en general más restrictivo, Estado Límite de Serviciode fisuración. Se exponen los criterios a emplear en un tema tan sensible como es laabertura máxima de fisura permitida en el depósito. Así como las armaduras mínimasque debemos considerar con objeto de prevenir posibles fisuraciones debidas aretracción del fraguado, variaciones de temperatura y otras acciones no contempladas enel cálculo. También se exponen diferentes criterios y recomendaciones para el diseñoque conviene tener en cuenta al proyectar el depósito, ya que sin duda van a revertir enuna mejor funcionalidad y durabilidad del mismo.Seguidamente se aborda el cálculo de la pared de depósitos rectangulares de hormigónarmado. La manera de evaluar los esfuerzos de flexión, cortante y tracción combinadoscon la fisuración, para al final, poder disponer las armaduras de manera correcta.Después los depósitos cilíndricos de hormigón armado. En este caso la evaluación delos esfuerzos de la pared es más compleja, ya que nos encontramos frente una láminacircular cilíndrica, dónde la solución del campo de desplazamientos y esfuerzos llevaimplicita la necesidad de encontrar el valor de cuatro constantes de integración quedependen de las condiciones de contorno. Para dar el máximo de facilidades al técnicohemos dedicado todo el tercer capítulo a plantear los sistemas de cuaciones que en cadacaso han de permitir encontrar estas constantes de integración. Ahora bien, también escierto que en muchos casos prácticos de depósitos cilíndricos de hormigón armado sedan las condiciones suficientes para poder simplificar el cálculo, cosa que también
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 18planteamos detalladamente.Los depósitos de hormigón pretensado presentan nuevas dificultades. A la complejidadya comentada de estar frente una lámina cilíndrica, se une la necesidad de tratarcorrectamente la armadura activa circunferencial, a fin de evitar a toda costa lafisuración vertical de la pared. Pero también, otro tema de enorme trascendéncia, comoson los esfuerzos verticales de flexión, originados por los propios tendones depretensado, presión hidrostática y fenomenos reológicos, que originan una fisuraciónhorizontal que también debe tratarse correctamente.Y finalmente se explica la mejor manera de calcular la solera de un depósito, ya sea enel caso rectangular o en el caso cilíndrico; empleando unos criterios y un desarrollototalmente análogos a los casos dedicados al estudio de las paredes.2.2.- ELEMENTOS DE CÁLCULO Y DISEÑO PRELIMINARES2.2.1.- Exposición ambiental y recubrimiento2.2.1.1.- Exposición ambientalLa vigente Instrucción de Hormigón Estructural EHE (1999), en su apartado 8.2. nosmuestra la necesidad de identificar el tipo de ambiente que defina la agresividad a la queva a estar sometido cada elemento estructural. Para los depósitos de agua, al estar en unambiente de grado de humedad alto y con gases de cloro, adoptaremos una clase generalde exposición del tipo IV.En determinados casos, será necesario asignar también una clase específica deexposición. Así por ejemplo, en el caso de que el depósito se encuentre ubicado enzonas de alta montaña adoptaremos el tipo IV+H; y en el caso de que el líquido
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 19contenido por el depósito sea químicamente agresivo adoptaremos el tipo IV+Q (con elsubíndice a, b ó c).2.2.1.2.- RecubrimientoEl recubrimiento de hormigón es la distancia entre la superficie exterior de la armadura(incluyendo cercos) y la superficie del hormigón más cercana. En un depósitoconvencional de agua, dado que la clase de exposición es del tipo IV, se prescribe(según EHE) un valor nominal del recubrimiento en las armaduras pasivas de: - Elementos “in situ”: 40 mm. - Elementos prefabricados: 35 mm.En el caso de las armaduras postesas adoptaremos como recubrimiento el siguientevalor: - Mín (40 mm; diámetro de la vaina).2.2.2.- Clase de hormigón y armaduras2.2.2.1.- Clase de hormigónUna forma de garantizar la durabilidad del hormigón, así como su colaboración a laprotección de las armaduras frente a la corrosión, consiste en obtener un hormigón conuna permeabilidad reducida. Es esencial obtener in situ una compactación completa sinsegregación. Para ello, la Instrucción EHE fija unos valores de calidad del hormigón,que adaptados al caso de depósitos de agua quedan expresados según la tabla 2.1.En cuanto al tipo de cemento, se recomienda utilizar cementos de bajo calor dehidratación. Proponemos el uso de CEM I para depósitos de hormigón armado y CEMII/A-D cuando el depósito sea de hormigón pretensado, con la característica adicionalBC (bajo calor de hidratación) siempre que no se hormigone con tiempo frío. Seutilizaran áridos con coeficientes de expansión térmica bajos, y evitando el uso de
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 20áridos que puedan presentar retracción. TIPO DE MÁXIMA MÍN. CONTENIDO MÍN. RESISTENCIA HORMIGÓN RELACIÓN A/C DE CEMENTO CARACTERÍSTICA H. armado 0,50 325 kg/m3 30 N/mm2 H. pretensado 0,45 325 kg/m3 35 N/mm2Tabla 2.1.- Valores fijados por EHE adaptados al caso de depósitos de agua.2.2.2.2.- Clase de armadurasLas armaduras pasivas a utilizar serán barras corrugadas del tipo: - B 400 S de límite elástico fyk = 400 N/mm2. - B 500 S de límite elástico fyk = 500 N/mm2.Siendo más habituales las B 500 S, por ser las más fáciles de encontrar en el mercado.En cuanto a las armaduras activas, en general se emplearan cordones de 7 alambrestrenzados, existiendo en el mercado de muy diferentes tipos, tal y como se pone demanifiesto en la tabla 2.2.El conjunto de un determinado número de cordones constituye el tendón. La vaina es elconducto del tendón donde se alojan los cordones a lo largo de todo su trazado. Permiteque los cordones deslicen en su interior durante el enfilado y el tesado y permite,también, su inyección con lechada de cemento u otro material. La vaina más común esla corrugada cilíndrica y metálica con espesores de pared entre 0,3 mm. y 0,4 mm. Sudiámetro interior va de los 51 mm. (en el caso de tendones de 3 a 5 cordones) hasta 130mm. (en el caso de tendones de 37 cordones).Los valores más habituales que proponen los fabricantes de armaduras activas para el
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 21coeficiente de fricción angular µ (rad-1) y para el coeficiente de fricción parásito k (m-1)se exponen en la tabla 2.3.Por otro lado, en los tendones lubrificados el cordón de pretensado se imprime congrasa, mientras que en los llamados tendones “unbonded” es cada uno de los 7 alambrestrenzados del cordón que se imprime con grasa.Finalizado el tesado de un tendón, se procede al clavado hidráulico de cuñas, que altomar la fuerza del tendón, se introducen unos milímetros más adentro de susalojamientos, hasta lograr un equilibrio de tensiones y deformaciones. Dichodesplazamiento se conoce como “penetración de cuña” y tiene un valor de 4 a 6 mm. CORDÓN DIÁMETRO SECCIÓN MASA fpmáxk fpk P0 s/EHE (mm) (mm2) (g/m) (N/mm2) (N/mm2) (kN) Y 1860S7 16,0 (0,6”) 150 1.170 1.860 ~ 1.674 209,3 Y 1860S7 15,2 (0,6”) 140 1.095 1.860 ~ 1.674 195,0 Y 1860S7 13,0 (0,5”) 100 781 1.860 ~ 1.674 139,5 Y 1770S7 15,7 (0,6”) 150 1.180 1.770 ~ 1.593 198,8Tabla 2.2.- Características de los cordones de pretensado más corrientes. TIPO DE TENDÓN µ (rad-1) K (m-1) Tendones sin lubrificar 0,22 0,0025 Tendones lubrificados 0,15 0,0018 Tendón tipo “unbonded” 0,07 0,0007Tabla 2.3.- Valores más habituales de los coeficientes µ y k para las armaduras activas2.2.3.- Acciones a considerar en el cálculo de la paredLas acciones básicas que solicitan la pared de un depósito de agua son las siguientes:
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 22 - Empuje hidrostático. - Empuje de tierras. - Pretensado. - Acción térmica, sismo, viento y efectos diferidos (retracción, fluencia y relajación).El empuje hidrostático qh (x) actúa sobre el lado interior del muro y sobre la solera. Lapresión sobre la pared es triangular, con un máximo en la base de valor: qh (x=0) = γω·Hω (2.1)siendo γω el peso específico del agua y Hω la altura del agua. Yges (1991) aconsejaadoptar la carga hidrostática en toda la altura del muro, suponiendo que por fallos en elsistema de aliviaderos nos quedamos sin el resguardo (que en general, será del orden de0,50 m.). Aunque en realidad, esta hipótesis al tener un carácter accidental y estaracompañada de un coeficiente de mayoración de las acciones unitario, en general, serámenos desfavorable que tener el nivel de agua en la posición normal.El empuje de tierras qt (x) se aplica exclusivamente sobre el lado exterior de la pared.La ley de cargas es triangular, con el máximo en la base de valor: qt (x=0) = γt·tg2(45º-ø/2)·Ht (2.2)siendo γt el peso específico natural de las tierras, Ht la altura de tierras y ø el ángulo derozamiento interno de las mismas.El pretensado horizontal tiene como misión comprimir circunferencialmente la pared,de manera que se compensen parcial o totalmente las tracciones originadas por la cargade agua y, en menor medida, las debidas a otras solicitaciones (gradiente térmico,retracción...). Se materializa con armaduras postesas ancladas en los contrafuertes. Setrata de un conjunto discreto de cargas puntuales de valor Pk/Rtendón, situadasrespectivamente a una altura xi de la solera, y siendo Pk la fuerza total de pretensado enuna sección y Rtendón el radio de la circunferencia que describe el tendón de pretensado.
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 23Debido al hecho de llevar a cabo la operación de pretensado de forma puntual ydiscreta, aparecen momentos flectores verticales y esfuerzos cortantes adicionales.La acción térmica, el sismo, el viento y los efectos diferidos, en general no secalcularan, y solo se tendrán en cuenta adoptando mayores cuantías geométricas de lasarmaduras, o bien, incrementando la compresión anular de la pared con más pretensado.De acuerdo con la Instrucción EHE, la clasificación de acciones será la siguiente: - Empuje hidrostático: acción permanente, dado que se admite el nivel del líquido prácticamente constante. - Empuje de tierras: acción permanente de valor no constante. - Pretensado y sus efectos: acción de pretensado.En cuanto a los coeficientes parciales de seguridad, se deben escoger en función delnivel de control adoptado. En el caso de depósitos de hormigón armado, en los que esmuy posible que sean contratados a constructores locales, adoptaremos un control deejecución de nivel normal. En cambio, en el caso de depósitos pretensados, dónde sehace necesaria una tecnología mucho más compleja, impondremos un control deejecución de nivel intenso.La combinación de acciones, según la Instrucción EHE, quedará de la siguiente manera:2.2.3.1.- Depósitos de hormigón armadoi) Cálculo de la pared del depósito en Estado Límite Último de flexión y de esfuerzo cortante:C1: 1,50x(Empuje hidrostático)C2: 1,60x(Empuje de tierras)Estamos considerando que con el depósito lleno de agua no actúa el empuje de tierras,
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 24lo cual nos deja en una posición conservadora, pero en la misma línea propuesta porJiménez Montoya et al (1987) y la norma británica BS 8007 (1987).ii) Cálculo de la pared del depósito en Estado Límite Último de tracción simple:C3: 1,00x(Empuje hidrostático)No se mayora la acción debido a que se adopta una tensión en el acero de tan sólo σs =130 ó 100 N/mm2.iii) Comprobación de la pared del depósito en Estado Límite de Servicio de fisuración:C4: 1,00x(Empuje hidrostático)C5: 1,00x(Empuje de tierras)Dado que la determinación del ancho de fisura en elementos sometidos al mismo tiempoa flexión y tracción no está resuelta de manera satisfactoria, sólo se calculará lafisuración provocada por la flexión, y al final sumaremos la armadura necesaria portracción.2.2.3.2.- Depósitos de hormigón pretensadoi) Comprobación de la pared del depósito en Estado Límite de Servicio (armadura activa horizontal):C6: 1,10x(Pretensado a tiempo inicial)C7: 0,90x(Pretensado a tiempo final) + 1,00x(Empuje hidrostático-tracción simple)Es necesario garantizar que se cumple este Estado Límite de Servicio preconizado por laInstrucción EHE.
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 25ii) Cálculo de la pared del depósito en Estado Límite Último de flexión (armadura pasiva vertical) y de esfuerzo cortante:C8: 1,35x(Empuje hidrostático) + 1,00x(Esfuerzos adicionales debidos al pretensado a tiempo inicial ó a tiempo final)C9: 1,50x(Empuje de tierras) + 1,00x(Esfuerzos adicionales debidos al pretensado a tiempo inicial ó a tiempo final)Interesa que los esfuerzos adicionales de pretensado en el tesado de cada uno de lostendones no superen el valor final de los mismos al terminar la fase de tesado. De ahí lanecesidad de tener una buena secuencia de tesado.iii) Comprobación de la pared del depósito en Estado Límite de Servicio de fisuración:C10: 1,00x(Empuje hidrostático) + 1,00x(Esfuerzos adicionales debidos al pretensado a tiempo inicial ó a tiempo final)C11: 1,00x(Empuje de tierras) + 1,00x(Esfuerzos adicionales debidos al pretensado a tiempo inicial ó a tiempo final).2.2.4.- Preliminares al cálculo de la soleraEl modelo más simple de comportamiento de la solera es el elástico formulado porWinkler, según el cual, se adopta la hipótesis de que la flecha en un punto esproporcional a la carga actuando sobre el terreno, e independiente de las cargasaplicadas en otras zonas, y donde el coeficiente de proporcionalidad es el módulo debalasto del terreno k. Ello nos permite tratar el suelo como si fueran unos muelles deconstante de rigidez vertical Kx = k·A, siendo k el módulo de balasto del terreno y A elárea de influencia del muelle.Para poder analizar la solera considerando su interacción con el terreno, deberemosdiscretizarla en una estructura de nudos y barras apoyada sobre unos muelles, y para
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 26simplificar el problema proponemos: - Cuando la solera sea rectangular, hacer dos discretizaciones, una para el lado largo, y la otra para el lado corto, adoptando una anchura de cálculo unidad. - Cuando la solera sea circular, hacer una única discretización, tomando como longitud el diámetro y la anchura de cálculo unidad. Luego extender los resultados obtenidos al resto de la solera.Por su parte, Girkmann estudió el comportamiento de una placa circular de radio Rdescansando sobre un medio indeformable, solicitada por una carga uniforme q en todasu superficie y por un momento Ms y un axil de tracción Ns en su perímetro. Observóque ante este estado de carga, la placa tiende a despegarse del medio indeformablesegún un anillo perimetral de radio interior B. Es decir, que solo un anillo central dediámetro 2·B queda apoyado sobre el terreno, y su valor es: Ms 2·B = 2·R − 4· (2.3) q2.2.5.- Acciones a considerar en el cálculo de la soleraLas acciones básicas que solicitan la solera de un depósito de agua son las siguientes: - Peso propio de la solera. - Carga hidrostática y empuje hidrostático contra la pared. - Empuje de tierras contra la pared. - Pretensado de la pared. - Acción térmica, sismo y efectos diferidos (retracción y fluencia). - Subpresión del agua.El peso propio es una parte de la carga uniforme q que recibe la solera. Su valor es de: qs = γhormigón·hs (2.4)
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 27siendo γhormigón el peso específico del hormigón, de valor 25 KN/m3, y hs el espesor de lasolera.La carga hidrostática es la otra parte de la carga uniforme q que recibe la solera. Suvalor es de: qh(x=0) = qω = γω·Hω (2.5)siendo γω el peso específico del agua y Hω la altura de agua. Por otro lado, el empujehidrostático que solicita la pared provoca un momento flector de eje vertical en su baseque se transmite a la solera, y el esfuerzo cortante también se transmite a la solera enforma de axil de tracción. Proponemos la siguiente nomenclatura: Mx(x=0) provocado por el empuje hidrostático = Msh Qx(x=0) provocado por el empuje hidrostático = NshEl empuje de tierras que solicita la pared también produce un momento flector en subase que se transmite a la solera. Igualmente el esfuerzo cortante en la base debido alempuje de tierras se transmite a la solera en forma de axil de compresión. Proponemosla siguiente nomenclatura: Mx(x=0) provocado por el empuje de tierras = Mst Qx(x=0) provocado por el empuje de tierras = NstEl pretensado horizontal de la pared también provoca esfuerzos adicionales de flexión ycortante en la base del muro que se transmiten a la solera. En este caso, proponemos lasiguiente nomenclatura: Mx(x=0) provocado por el pretensado horizontal de la pared = Msp Qx(x=0) provocado por el pretensado horizontal de la pared = NspIgual como pasaba en el cálculo de la pared del depósito, solo vamos a considerar laacción térmica, el sismo y los efectos diferidos en la solera adoptando mayores cuantías
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 28geométricas de las armaduras.Finalmente respecto la subpresión del agua, se adoptarán las medidas más convenientespara evitar que las filtraciones del depósito pasen al terreno de cimentación y generennuevos esfuerzos sobre la solera.En cuanto a los coeficientes parciales de seguridad de la solera, al tratarse siempre de unelemento de hormigón armado y del que es susceptible no ser especialmente meticulosoen su construcción, proponemos adoptar un control de ejecución de nivel normal.La combinación de acciones, según EHE, quedará de la siguiente manera:i) Cálculo de la solera del depósito en Estado Límite Último de flexión y de esfuerzo cortante:C12: 1,50x(Peso propio) + 1,50x(Carga hidrostática) + 1,50x(Msh) + 1,00x(Msp)C13: 1,50x(Peso propio) + 1,60x(Mst) + 1,00x(Msp)ii) Cálculo de la solera del depósito en Estado Límite Último de tracción simple:C14: 1,00x(Nsh) + 1,00x(Nsp)iii) Comprobación de la solera del depósito en Estado Límite de Servicio de fisuración:C15: 1,00x(Peso propio) + 1,00x(Carga hidrostática) + 1,00x(Msh) + 1,00x(Msp)C16: 1,00x(Peso propio) + 1,00x(Mst) + 1,00x(Msp)2.2.6.- Estado Límite de Servicio de fisuraciónSe trata de un Estado Límite de Servicio, que en el caso de los depósitos adquiere unaenorme trascendencia, ya que de su correcto cumplimiento depende la funcionalidad ydurabilidad del mismo.
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 29Respecto a la fisuración por solicitaciones normales, la Instrucción EHE nos imponeque las tensiones de compresión en el hormigón cumplan: σc ≤ 0,60 fckj (2.6)siendo fckj la resistencia característica a j días (edad del hormigón en el momentoconsiderado).Respecto a la fisuración por solicitaciones de tracción, EHE nos obliga a satisfacer lainecuación: wk ≤ wmáx (2.7)siendo:wk la abertura característica de fisura.wmáx la abertura máxima de fisura permitida.2.2.6.1.- Cálculo de la abertura característica de fisura wkLa abertura característica de fisura se calculará mediante la siguiente expresión: wk = β·sm·εsm (2.8)siendo: β: coeficiente del cuantil 95% en la distribución gaussiana de anchos de fisura, que vale 1,64 sm: separación media entre fisuras, en mm: φ . Ac , eficaz sm = 2·c + 0,2·s + 0,4·k1· (2.9) As , eficaz con:
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 30 c: espesor del recubrimiento, en mm. s: separación entre ejes de barras, en mm. Si s>15ø se introduce en la fórmula s=15ø. (2.9.a) k1: coeficiente que vale 0,125 para flexión simple. ø: diámetro de las barras en mm. Si se emplean barras de distintos diámetros, se toma el diámetro de la mayor. Ac,eficaz: área de hormigón allí donde las barras influyen en la abertura de fisuras: Si s≤15ø, entonces Ac,eficaz = b(ancho unitario) · h/4 (2.9.b) Si s>15ø, entonces Ac,eficaz = 15ø · h/4 (2.9.c) As,eficaz: área total de las armaduras situadas dentro del área Ac,eficaz. εsm: alargamiento medio de las armaduras: σs   σsr   2 σs εsm = 1 − k 2   ≥ 0,4 (2.10) Es    σs    Es con: Mk σs = (2.10.a) 0,88·d · As Es: módulo de deformación longitudinal de las barras de acero; Es = 200.000 N/mm2. k2: coeficiente de valor 0,5 (pues las cargas son de larga duración). b·h 2 fctm σsr = · (2.10.b) 6 0,9·d · As con: Mk: momento flector por unidad de anchura bajo la combinación para la que se comprueba la fisuración. d: canto útil de la sección; d = h – c – ø/2 (2.10.b.1) As: área total de la armadura de tracción existente en el
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 31 ancho unitario de cálculo. b: ancho unitario de la sección. h: canto total de la sección. fctm: resistencia media a tracción del hormigón, en N/mm2; fctm = 0,30· 3 fck 2 (2.10.b.2)2.2.6.2.- Evaluación de la abertura máxima de fisura permitida wmáxEl ancho máximo de fisura permitido por la Instrucción EHE en los casos deestanqueidad no está contemplado. Se hace necesario seguir las recomendaciones quefiguran en la mayor parte de tratados de depósitos y preconizadas por los especialistasen el tema.Así, para Jiménez Montoya et al (1987), en los depósitos de hormigón armadosometidos a alternancias humedad-sequedad, o expuestos a heladas o agentes agresivos,la abertura máxima de fisuras debe limitarse a wmáx = 0,1 mm. En depósitospermanentemente sumergidos puede admitirse wmáx = 0,2 mm.Para la norma británica BS 8007 (1987), cuando la superficie del depósito de hormigónarmado esté expuesta a unas condiciones muy severas debe diseñarse para una aberturamáxima de fisura de 0,2 mm. Mientras que en los casos de apariencia estética crítica,donde se consideren inaceptables la eflorescencia y oxidación de la superficie, seadoptará una abertura máxima de fisura de 0,1 mm.Vilardell (1990) basando su estudio en criterios tensionales y constructivos en depósitosde hormigón pretensado con unión pared-solera monolítica, acepta que la pared fisure,limitando el máximo ancho de fisura a 0,2 mm. para la cara exterior y a 0,1 mm. para lacara interior de la pared.Todo ello, nos lleva a plantear las siguientes consideraciones:
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 322.2.6.2.1.- Abertura máxima de fisura permitida wmáx en la pared de depósitos de hormigón armadoi) Cara exterior de la pared:Si el depósito se encuentra enterrado, o bien es superficial, pero está protegido de laradiación solar directa con árboles u otro sistema, y no son de esperar heladasimportantes, entonces adoptaremos para la cara exterior de la pared wmáx = 0,2 mm.Si el depósito es superficial con la cara exterior de la pared claramente expuesta aagentes climáticos severos. O se quiere evitar por razones estéticas el que no hayaningún tipo de fluorescencia, entonces adoptaremos wmáx = 0,1 mm.ii) Cara interior de la pared:Si el depósito se encuentra tapado con una cubierta, que además con una capa de gravareflectante minimiza los efectos térmicos, y el líquido contenido no es químicamenteagresivo, entonces adoptaremos para la cara interior de la pared wmáx = 0,2 mm.Si el depósito no tiene cubierta y hay numerosas variaciones de nivel con una claraexposición a unas acciones climáticas severas. O bien, el líquido contenido esquímicamente agresivo o de elevada temperatura, entonces adoptaremos para la carainterior de la pared wmáx = 0,1 mm.2.2.6.2.2.- Abertura máxima de fisura permitida wmáx en la pared de depósitos de hormigón pretensadoPara depósitos de hormigón pretensado, la pared debe estar permanentementecomprimida anularmente, e incluso con una tensión de compresión residual mínima σres,que en general se fija entre 0,5 i 2,0 N/mm2, una vez desarrolladas todas las pérdidas depretensado y con el depósito lleno. Con ello se quiere evitar a toda costa la fisuraciónvertical de la pared.
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 33Por su parte, los esfuerzos verticales de flexión en las paredes (debidos a la acción delos tendones de pretensado, presión hidrostática del agua y fenómenos reológicos)originan una fisuración horizontal, que debe solucionarse con armadura pasiva vertical.En este último caso, se exige un ancho de fisura que seguirá los mismos criterios quehemos establecido para el caso anterior de depósitos de hormigón armado.2.2.6.2.3.- Abertura máxima de fisura permitida wmáx en la solera de depósitosi) Cara superior de la solera:En la cara superior de la solera se adoptará un valor de la abertura máxima de fisura dewmáx = 0,2 mm, a no ser que, por diferentes razones, la solera se encuentre expuesta aacciones climáticas severas, o el líquido contenido sea químicamente agresivo o deelevada temperatura, que entonces adoptaremos wmáx = 0,1 mm.ii) Cara inferior de la solera:En la cara inferior de la solera se adoptará un valor de la abertura máxima de fisura dewmáx = 0,2 mm, a no ser, que el terreno de cimentación sea químicamente agresivo, queentonces adoptaremos wmáx = 0,1 mm.2.2.6.3.- Particularidades del Estado Límite de Servicio de Fisuración en los depósitosLa determinación de la abertura de fisura en elementos superficiales sometidos almismo tiempo a flexión y tracción, como es el caso de las paredes y solera de undepósito, no está satisfactoriamente resuelta. Por esta causa, la abertura de fisuras sedetermina solamente considerando la flexión simple, aplicando las fórmulas delapartado 2.2.6.1 anterior.En depósitos de hormigón armado y en concordancia con la norma británica BS 8007
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 34(1987), se determina independientemente las armaduras de flexión y tracción simple, yse suman. La armadura de flexión se determina en función del Estado Límite Último yde la abertura máxima admitida para la fisura; y la de tracción simple, adoptando unvalor muy bajo para la tensión admisible del acero, que se fija en: - σs = 100 N/mm2 para el caso de wmáx = 0,1 mm. - σs = 130 N/mm2 para el caso de wmáx = 0,2 mm.En depósitos de hormigón pretensado las armaduras activas horizontales son lasencargadas de absorber los esfuerzos de tracción simple; mientras que las armaduraspasivas verticales deben absorber los esfuerzos de flexión que también se determinan enfunción del Estado Límite Último y con los criterios de máxima abertura de fisurapermitida, que ya han sido expuestos anteriormente.2.2.7.- Armaduras mínimas en depósitosLlombart y Antón (1985) exponen claramente que muchos fallos de estanquidad en losdepósitos con costosas impermeabilizaciones “a posteriori” se deben a la existencia defisuras horizontales en las paredes. Y haciendo un riguroso análisis estructural llegan amostrar que diferentes efectos no tenidos en cuenta pueden ocasionar esfuerzos deflexión del orden de tres veces superiores a los que se determinan con la solaconsideración de la presión que el agua ejerce sobre la pared.De ahí la necesidad de disponer unas cuantías mínimas de las armaduras con objeto deprevenir posibles fisuraciones debidas a la retracción del fraguado, variaciones detemperatura e incluso otras acciones que en general no serán contempladas en el cálculodel depósito.Nada dice la Instrucción EHE sobre armaduras mínimas en depósitos, de ahí queseguiremos las recomendaciones expuestas por Jimenez Montoya et al (1987) parahacer la siguiente propuesta de cuantías mínimas, siempre referidas a la sección total dehormigón :
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 35 - Paredes en depósitos de hormigón armado: o Para armadura vertical con wmáx = 0,1 mm; ρmín,flexión = 0,0020 o Para armadura vertical con wmáx = 0,2 mm; ρmín,flexión = 0,0015 o Para armadura horizontal con wmáx = 0,1 mm; ρmín,flexión = 0,0020 o Para armadura horizontal con wmáx = 0,2 mm; ρmín,flexión = 0,0015 - Paredes en depósitos cilíndricos de hormigón armado: o Para armadura vertical con wmáx = 0,1 mm; ρmín,flexión = 0,0020 o Para armadura vertical con wmáx = 0,2 mm; ρmín,flexión = 0,0015 o Para armadura horizontal con wmáx = 0,1 mm; ρmín = 0,0020 o Para armadura horizontal con wmáx = 0,2 mm; ρmín = 0,0015 - Paredes en depósitos cilíndricos de hormigón pretensado: o Para armadura vertical con wmáx = 0,1 mm; ρmín,flexión = 0,0020 o Para armadura vertical con wmáx = 0,2 mm; ρmín,flexión = 0,0015 o Para armadura horizontal con wmáx = 0,1 mm; ρmín = 0,0008 o Para armadura horizontal con wmáx = 0,2 mm; ρmín = 0,0008 - Solera en cualquier tipo de depósito: o Para armadura superior con wmáx = 0,1 mm; ρmín,flexión = 0,0020 o Para armadura superior con wmáx = 0,2 mm; ρmín,flexión = 0,0015 o Para armadura inferior con wmáx = 0,1 mm; ρmín,flexión = 0,0020 o Para armadura inferior con wmáx = 0,2 mm; ρmín,flexión = 0,0015En depósitos pretensados la pared debe estar permanentemente comprimidaanularmente, de ahí que la armadura horizontal mínima que hemos reflejado sea de unvalor mucho menor, y coincidente con la que figura en EHE para murosconvencionales.
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 362.2.8.- Elementos de diseño en depósitos de agua2.2.8.1.- Diseño de las paredesReferente al espesor de pared a considerar en un depósito de hormigón armado, JiménezMontoya et al (1987) aconseja que en los casos más frecuentes de altura de agua Hω ≤6,0 m, se adopte un valor en el entorno de: - Para depósitos rectangulares: h = 0,10·Hω (2.11) - Para depósitos cilíndricos h = 0,05·Hω+0,01·R (2.12)En cualquier caso, se desaconseja por razones constructivas que este espesor sea menorde 30 cm, ya que de otra manera no entraría el tubo de la bomba de hormigonado.Referente al espesor de pared a considerar en un depósito cilíndrico de hormigónpretensado, Vilardell (1994) expone los valores más habituales de proyecto: - Cuando la unión es monolítica y el volumen comprendido entre 2.000 y 15.000 m3: 15 cm ≤ h ≤ 30 cm. - Cuando la unión es articulada flexible o articulada fija, y el volumen comprendido entre 15.000 y 60.000 m3: 30 cm ≤ h ≤ 45 cm.Aunque en el caso de hormigón moldeado, también debe mantenerse el mínimoconstructivo de 30 cm. para poder entrar la bomba de hormigonado. Por contra, en elcaso de hormigón proyectado, el espesor acostumbra a oscilar entre los 18 y los 22 cm.2.2.8.2.- Diseño de la soleraRealizada la excavación para la solera, pondremos una capa de 10 cm. de hormigón delimpieza del tipo HM-15. Para evitar las subpresiones del agua del terreno sobre lasolera, previamente al hormigón de limpieza habremos dispuesto una capa de gravas o
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 37zahorra drenante protegidas con geotextil de 20 cm. de espesor, colocando en dichacapa unos tubos dren con salida de los mismos a la arqueta de llaves.Sobre el hormigón de limpieza se hormigonará la solera, que como mínimo tendrá 20cm. de espesor y estará armada con dos capas de armadura en forma de malla.A la solera se le debe dar una pendiente de al menos el 1% hacia la arqueta de llavespara facilitar las limpiezas. Esta pendiente se debe dar con el hormigón de la solera y noechando un mortero posteriormente.En depósitos rectangulares y cilíndricos de hormigón armado, con la unión pared-soleramonolítica, tenemos tres opciones diferentes para solucionar la solera: - Solera de espesor constante. Es una solución habitual cuando la solera es de pequeñas dimensiones y no existen pilares centrales. En general se adoptará: hs≈0,10-0,12·Hω (2.13) - Muros perimetrales del depósito y pilares centrales con zapata independiente del resto de la solera. Se dispondrá una junta de dilatación y estanqueidad entre zapata y solera. Se adoptaran las siguientes medidas: el canto de la zapata hz expuesto en (2.13) y el espesor de la solera hs=0,20 m. - Muros perimetrales del depósito y pilares centrales con zapata unida solidariamente al resto de la solera. Se evita la junta de estanqueidad. La continuidad se materializa por medio de una cuña estructural dispuesta a 30º que permite pasar del mayor canto de la zapata al menor espesor de la solera.En depósitos de cualquier tipo con la unión pared-solera articulada flexible o articuladafija, se dispondrá una solera de espesor constante hs=20 cm. En el caso de que existanpilares centrales, estos tendrán una zapata de canto el valor mencionado en (2.13), y sepodrá independizar o no del resto de solera.
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 38En la junta de hormigonado existente entre la solera y el arranque del muro, sedispondrá una junta de estanqueidad tipo “water-stop”, así como dos elementoshidroexpansivos a ambos lados de la junta, a fin de evitar al máximo la pérdida de aguapor este punto débil.2.2.8.3.- Diseño de la cubiertaExisten varios tipos de cubierta de uso extendido en depósitos de agua, que puedenclasificarse principalmente según tres grupos:i) Cubiertas constituidas por forjados unidireccionales:Se apoyan en el contorno superior de la pared del depósito y en pilares interiores. Launión de las jácenas con la pared se suele materializar con un apoyo elástico, queindependiza en gran medida el comportamiento de la cubierta del de la pared. Existenasimismo referencias sobre depósitos con apoyo directo de la jácena sobre la pared.ii) Cubiertas constituidas por losas continuas:Estas losas pueden ser armadas o pretensadas. Las condiciones de sustentación suelenser parecidas a las indicadas para el caso anterior. El reparto de las cargas según dosdirecciones permite reducir el número de pilares.iii) Cubiertas laminares de hormigón armado:Cuando el radio del depósito no es muy grande, se suele disponer una sola cúpula(usualmente de tipo esférico o cónico) que únicamente se apoya en el contorno superiorde la pared.Así, en función entre otros del diámetro del depósito, del proceso constructivo y de lascondiciones térmicas, la unión entre la cubierta y la pared puede diseñarse con un apoyoflexible o bien monolítica, incorporándose muchas veces un anillo de borde pretensado
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 39para controlar la tensión circunferencial y minimizar los efectos de flexión de borde.Cuando la cubierta es un forjado plano, su análisis se suele llevar a cabo según la teoríade vigas o de placas. En el caso de cubierta laminar, su análisis es más complejo.Cuando la cubierta sea de pequeñas dimensiones, podrá apoyar exclusivamente sobrelos muros perimetrales del depósito. En el caso de grandes cubiertas, será necesariodisponer unas vigas principales soportadas por pilares interiores, con un cerramiento abase de un forjado, que por ejemplo, puede resolverse con placas prefabricadas.Yges (1991) propone por razones económicas disponer los pilares interiores separadosuna distancia de 10 m. Unir su cabeza con unas vigas principales, y mediante otras vigassecundarias y unas losas armadas de 3,0 m. de luz solucionar la cubierta. El mismoautor recomienda emplear una sobrecarga para el cálculo de la cubierta de 4,0 KN/m2.Lo que en todos los casos será muy importante es minimizar la expansión térmica de lacubierta mediante grava reflectante u otra protección contra la radiación solar.2.2.8.4.- Otros elementos de diseñoConviene disponer juntas de retracción (con armadura pasante y junta de estanqueidadtipo “water-stop”) cada 7,50 m, tanto en el alzado de los muros como en la solera.También conviene disponer juntas de dilatación (con armadura interrumpida y junta deestanqueidad) aproximadamente cada 20 ó 25 m, a fin de facilitar los movimientos de laestructura. En los depósitos cilíndricos, uno de los esfuerzos predominantes debidos a lapresión el líquido es el esfuerzo horizontal de tracción. Por motivos estructurales, laarmadura horizontal deberá ser continua en las juntas verticales.En los depósitos cerrados es obligatoria la existencia de accesos para que el personalpueda realizar las tareas de limpieza, inspecciones y pruebas. Los registros tienen queser lo suficientemente grandes como para que pueda entrar el personal sin problemas(por ejemplo, 600x900 mm).
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 40También pueden acumularse gases nocivos o inflamables, y por ello deben instalarse losdispositivos de ventilación adecuados para limitar hasta niveles aceptables posiblesacumulaciones peligrosas.2.3.- DEPÓSITOS RECTANGULARES DE HORMIGÓN ARMADO2.3.1.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de flexión2.3.1.1.- Determinación del momento flectorTrataremos la pared del depósito como una placa triempotrada, en la solera y en las dosparedes laterales, y con el borde superior libre. Aparecen momentos flectores en lasdirecciones vertical y horizontal, y para determinar sus leyes proponemos hacer uso delas tablas de placas de Bares (1970) que adjuntamos al final del presente apartado.Para resolver la primera combinación de acciones C1: 1,50x(Empuje hidrostático), yamencionada en el anterior apartado 2.2.3.1, usaremos la tabla 2.5, y procederemos así: - Hallar el valor de γ función de los lados de la placa. - Calcular el valor de la máxima carga mayorada en la base: qhd = γf·qh = 1,50·γω·Hω (2.14) - Buscar en la tabla, los momentos flectores horizontales, tanto los máximos negativos (Mx1d, Mx7d), como los máximos positivos (Mx6d, Mx10d). - Buscar en la tabla, los momentos flectores verticales, tanto los máximos negativos (My28d), como los máximos positivos (My14d,My18d).Que no nos confunda el distinto criterio de ejes y signos empleado, claramente distinto
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 41al del resto de la tesina, y que no se ha cambiado para facilitar el correcto uso de lastablas.Para resolver la segunda combinación de acciones C2: 1,60x(Empuje de tierras),usaremos las tablas 2.5, 2.6 ó 2.7, en función de cuál sea la altura de tierras, yprocederemos igual que en el caso anterior, pero dónde el máximo valor de la base será: qtd = γf·qt = 1,60·γt·tan2(45-ø/2)·Ht (2.15)2.3.1.2.- Cálculo de la armadura de flexiónPara conocer la armadura de flexión en la posición vertical interior, se busca laenvolvente de la ley de momentos flectores verticales del lado interior en la unión de lascombinaciones C1 y C2 (dado que ambas pueden dejar una parte de su ley en el ladointerior), y se calcula la armadura necesaria Av1 con el método parábola rectángulo.Para conocer la armadura de flexión en la posición vertical exterior, se busca laenvolvente de la ley de momentos flectores verticales del lado exterior en la unión delas combinaciones C1 y C2 (dado que ambas pueden dejar una parte de su ley en el ladoexterior), y se calcula la armadura necesaria Av3 con el método parábola rectángulo.Para conocer la armadura de flexión en la posición horizontal interior, se busca laenvolvente de la ley de momentos flectores horizontales del lado interior en la unión delas combinaciones C1 y C2 (dado que ambas pueden dejar una parte de su ley en el ladointerior), y se calcula la armadura necesaria Ah1 con el método parábola rectángulo.Finalmente, para conocer la armadura de flexión en la posición horizontal exterior, sebusca la envolvente de la ley de momentos flectores horizontales del lado exterior en launión de las combinaciones C1 y C2 (dado que ambas pueden dejar una parte de su leyen el lado exterior), y se calcula la armadura necesaria Ah4 con el método parábolarectángulo.
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 422.3.2.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de esfuerzo cortanteEmplearemos los mismos criterios y tablas de Bares (1970) del caso anterior, buscandolos valores máximos para Rxd y Ryd.Adoptaremos el criterio de que el máximo esfuerzo cortante pueda ser absorbido por lacontribución del hormigón Vcu, sin necesidad de disponer ningún tipo de cerco oarmadura de cortante. Lógicamente, ello nos va a permitir acotar inferiormente elespesor de pared del depósito.Recordemos que la contribución del hormigón a la resistencia a esfuerzo cortante es,según EHE: ( ) Vcu = 0,12.ξ .3 100.ρ l . f ck .b0 .d (en N/m) (2.16)siendo: 200 ξ = 1+ siendo d el canto útil de la sección en mm. (2.16.a) d As ρl: cuantía geométrica armadura long traccionada; ρl = (< 0,02) (2.16.b) b0 ·d fck: resistencia característica expresada en N/mm2. b0: ancho unitario de la sección en mm. d: canto útil en mm.2.3.3.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de tracción simpleSe trata de resolver el Estado Límite Último de tracción simple, recogido en lacombinación C3: 1,00x(Empuje hidrostático).De una forma simplificada puede admitirse que los esfuerzos de tracción que seoriginan en las paredes del depósito, como consecuencia de la presión hidrostática son:
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 43 2 Napd = 1,00.βp.1/2.γω· H ω .b, en la pared de lado a. (2.17) 2 Nbpd = 1,00.βp.1/2.γω. H ω .a, en la pared de lado b. (2.18)y se distribuyen según los porcentajes βp indicados en la tabla 2.4 propuesta por JiménezMontoya et al (1987).Tabla 2.4.- Valores del coeficiente de distribución del esfuerzo de tracción en depósitos rectangulares (Jiménez Montoya et al, 1987)También se expuso que la no mayoración de esta acción se debe al hecho de adoptar unatensión en el acero de tan solo σs = 130 ó 100 N/mm2.Con todo ello obtendremos una armadura de: N apd óN bpd Ah3 = (2.19) σ s ·H ω2.3.4.- Comprobación de la pared en Estado Límite de fisuraciónSe trata de resolver este Estado Límite de Servicio, según las combinaciones C4:1,00x(Empuje hidrostático) y C5: 1,00x(Empuje de tierras), que ya hemos mencionado
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 44en el anterior apartado 2.2.3.1.Para resolver la combinación de acciones C4: 1,00x(Empuje hidrostático) usaremos losmismos momentos flectores horizontales y verticales que ya hemos encontrado en lacombinación C1, pero en este caso, sin mayorar.Análogamente, para resolver la combinación de acciones C5: 1,00x(Empuje de tierras)usaremos los momentos flectores horizontales y verticales sin mayorar de lacombinación C2.Para conocer la armadura de fisuración en la posición vertical interior, se busca laarmadura Av2 necesaria para que la envolvente de momentos flectores verticales dellado interior en la unión de las combinaciones C4 y C5 produzca una abertura de fisurawk ≤ 0,2 ó 0,1 mm. según el criterio de fisuración adoptado.Para conocer la armadura de fisuración en la posición vertical exterior, se busca laarmadura Av4 necesaria para que la envolvente de momentos flectores verticales del ladoexterior en la unión de las combinaciones C4 y C5 produzca una abertura de fisura wk ≤0,2 ó 0,1 mm. según el criterio de fisuración adoptado.Para conocer la armadura de fisuración en la posición horizontal interior, se busca laarmadura Ah2 necesaria para que la envolvente de momentos flectores horizontales dellado interior en la unión de las combinaciones C4 y C5 produzca una abertura de fisurawk ≤ 0,2 ó 0,1 mm según el criterio de fisuración adoptado.Finalmente, para conocer la armadura de fisuración en la posición horizontal exterior, sebusca la armadura Ah5 necesaria para que la envolvente de momentos flectoreshorizontales del lado exterior en la unión de las combinaciones C4 y C5 produzca unaabertura de fisura wk ≤ 0,2 ó 0,1 mm. según el criterio de fisuración adoptado.
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 452.3.5.- Disposición de las armaduras en la pared del depósito2.3.5.1.- Armadura de la pared en la posición vertical interior1) La armadura necesaria por flexión es Av1.2) Con la armadura Av2 se garantiza una abertura de fisura wk ≤ 0,2 ó 0,1 mm según el criterio de fisuración adoptado.3) La armadura mínima Avmín1 cumple la cuantía establecida de ρmín,flexión = 0,0015 ó 0,0020 según el criterio de fisuración adoptado.Entonces, la armadura vertical que deberemos disponer en la cara interior será elmáx(Av1;Av2;Avmín1).2.3.5.2.- Armadura de la pared en la posición vertical exterior1) La armadura necesaria por flexión es Av3.2) Con la armadura Av4 se garantiza una abertura de fisura wk ≤ 0,2 ó 0,1 mm. según el criterio de fisuración adoptado.3) La armadura mínima Avmín2 cumple la cuantía establecida de ρmín,flexión = 0,0015 ó 0,0020 según el criterio de fisuración adoptado.Entonces, la armadura vertical que deberemos disponer en la cara exterior será elmáx(Av3;Av4;Avmín2).2.3.5.3.- Armadura de la pared en la posición horizontal interior1) La armadura necesaria por flexión es Ah1.
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 462) Con la armadura Ah2 se garantiza una abertura de fisura wk ≤ 0,2 ó 0,1 mm. según el criterio de fisuración adoptado.3) La armadura mínima Ahmín1 cumple la cuantía establecida de ρmín,flexión = 0,0015 ó 0,0020 según el criterio de fisuración adoptado.4) La armadura necesaria por tracción simple es Ah3.Entonces, la armadura horizontal que deberemos disponer en la cara interior será elmáx(Ah1;Ah2;Ahmín1) + Ah3/2.2.3.5.4.- Armadura de la pared en la posición horizontal exterior1) La armadura necesaria por flexión es Ah4.2) Con la armadura Ah5 se garantiza una abertura de fisura wk ≤ 0,2 ó 0,1 mm. según el criterio de fisuración adoptado.3) La armadura mínima Ahmín2 cumple la cuantía establecida de ρmín,flexión = 0,0015 ó 0,0020 según el criterio de fisuración adoptado.4) La armadura necesaria por tracción simple es Ah3.Entonces, la armadura horizontal que deberemos disponer en la cara exterior será elmáx(Ah4;Ah5;Ahmín2) + Ah3/2.2.3.5.5.- Armadura de cortanteSe tomará un espesor de pared que nos garantice que tan sólo con la contribución delhormigón ya se puede absorber el esfuerzo cortante sin necesidad de disponer cercos.
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 47
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 48Tabla 2.5.- Tabla de Bares (1970) para distribución hidrostática en toda la altura
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 49
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 50Tabla 2.6.- Tabla de Bares (1970) para distribución hidrostática en 2/3 de la altura
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 51
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 52Tabla 2.7.- Tabla de Bares (1970) para distribución hidrostática en 1/3 de la altura
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 532.4.- DEPÓSITOS CILÍNDRICOS DE HORMIGÓN ARMADO2.4.1.- Campo de desplazamientos y esfuerzos en la paredTal como plantea Timoshenko y Woinowsky-Krieger (1959) todos los problemas dedeformación simétrica de láminas circulares cilíndricas se reducen a la integración de laecuación: d2  d 2ω  E·h  D 2  + 2 ·ω = Z  dx  R (2.20) dx 2  La aplicación más sencilla de esta ecuación se obtiene cuando el espesor h de la láminaes constante. En este caso la ecuación anterior toma la forma: d 4ω ( x ) Z ( x) 4 + 4λ4ω ( x) = (2.21) dx Dsiendo: ω(x): ley de corrimientos radiales. λ: constante llamada coeficiente cilíndrico de forma, en m-1; λ= 4 E·h = 4 ( 3· 1 − ν 2 ) (2.21.a) 4·R 2 ·D R 2 ·h 2 con: E: módulo de deformación longitudinal del hormigón, en N/mm2; E = 8500.3 f ck + 8 (2.21.a.1) h: espesor de la pared. R: radio interior del depósito. ν: coeficiente de Poisson, que en el hormigón es de valor medio 0,20.
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 54 E·h 3 D: rigidez a flexión de la lámina, en N.m; D = (2.21.a.2) ( 12· 1 − ν 2 ) Z(x): presión de revolución que solicita a la pared.La solución general de la ecuación (2.21) es:ω(x) = C1.eλx.cos(λx) + C2.eλx.sin(λx) + C3.e-λx.cos(λx) + C4.e-λx.sin(λx) + f(x) (2.22)dónde C1, C2, C3 y C4 son constantes de integración que dependen de las condiciones decontorno, y f(x) es una solución particular, que cuando Z(x) es una ley rectangular, Z ( x)·R 2triangular o trapecial vale: f(x) = ; y en el caso de: E·h − γ ω ·( H ω − x)·R 2 - empuje hidrostático: f(x) = (2.22.a) E·h γ t ·tg 2 (45º −φ / 2)·( H t − x)·R 2 - empuje de tierras: f(x) = (2.22.b) E ·hUna vez conocida la ley de desplazamientos radiales ω(x), se determinan fácilmente laley de giros θx(x) y las leyes de esfuerzos en la lámina mediante las expresiones:i) En el caso de empuje hidrostático (con el nivel de agua Hω coincidente con la altura total de la pared H): dω ( x )θx(x) = = C1.λ.eλx.(cos(λx)-sin(λx)) + C2.λ.eλx.(cos(λx)+sin(λx)) + dx γ ω ·R 2 C3.λ.e-λx.(-cos(λx)-sin(λx)) + C4.λ.e-λx.(cos(λx)-sin(λx)) + (2.23) E ·h − E ·h·ω ( x)  − E·h  λx λx -λxNφ(x) = =  · [C1.e .cos(λx) + C2.e .sin(λx) + C3.e .cos(λx) + R  R 
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 55 γ ω ·( H ω − x)·R 2 C4.e-λx.sin(λx) - ] (2.24) E·h d 2ω ( x )Mx(x) = -D· 2 = 2.D.λ2.[C1.eλx.sin(λx) – C2.eλx.cos(λx) – C3.e-λx.sin(λx) + dx C4.e-λx.cos(λx)] (2.25)Mφ(x) = ν.Mx(x) (2.26) d 3ω ( x )Qx(x) = -D· = 2.D.λ3.[C1.eλx.(cos(λx)+sin(λx)) + C2.eλx.(-cos(λx)+sin(λx)) + dx 3 C3.e-λx.(-cos(λx)+sin(λx)) + C4.e-λx.(-cos(λx)-sin(λx))] (2.27)ii) Y en el caso de empuje de tierras (con el nivel de tierras Ht coincidente con la altura total de la pared H): dω ( x )θx(x) = = C1.λ.eλx.(cos(λx)-sin(λx)) + C2.λ.eλx.(cos(λx)+sin(λx)) + C3.λ.e-λx. dx γ t ·tg 2 (45º −φ / 2)·R 2 (-cos(λx)-sin(λx)) + C4.λ.e-λx.(cos(λx)-sin(λx)) - (2.28) E·h − E ·h·ω ( x)  − E·h  λx λx -λxNφ(x) = =  · [C1.e .cos(λx) + C2.e .sin(λx) + C3.e .cos(λx) + R  R  γ t ·tg 2 (45º −φ / 2)·( H t − x)·R 2 C4.e-λx.sin(λx)+ ] (2.29) E ·hMx(x), Mφ(x) y Qx(x) tendrán la misma expresión que para el caso de empujehidrostático. Todo ello con el convenio de signos de la figura 2.1Por otra parte conviene aclarar que en el caso de tener el nivel de agua o el nivel detierras por debajo la coronación de la pared, el problema se complica con la resoluciónde un sistema lineal de dies ecuaciones con dies incógnitas, que desarrollamos en eltercer capítulo de la tesina.
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 56Figura 2.1.- Esfuerzos actuantes en una lámina con simetría de revolución y criterio de signos adoptado (Timoshenko et al, 1959)2.4.2.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de flexiónPara calcular los esfuerzos que solicitan la pared de un depósito cilíndrico tendremosque encontrar, en primer lugar, las constantes de integración C1, C2, C3 y C4, quedependen de las condiciones de contorno. Ello nos conduce a un sistema lineal de cuatroecuaciones con cuatro incógnitas que desarrollamos ampliamente en el capítulo 3.Seguidamente tendremos que sustituir los valores obtenidos en las ecuaciones delapartado anterior.Ahora bien, en algunos casos prácticos podremos simplificar enormemente la resolucióndel problema haciendo nulas las constantes C1 y C2. Ello será posible solo cuando el
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 57espesor de la pared sea pequeño en comparación tanto con el radio como con la alturadel depósito y podamos considerar la lámina como infinitamente larga. No hemosencontrado en el estado del conocimiento una acotación clara que nos permita saber enque casos podremos hacer esta simplicación con errores despreciables, y en que casosconviene no hacerla. Es por ello, que uno de los resultados de la presente tesina seráconocer de manera precisa el campo de validez para la hipótesis anterior.Y suponiendo además que el borde inferior de la pared está empotrado en unacimentación absolutamente rígida, que es lo habitual en depósitos de hormigón armado,las otras dos constantes son:i) En el caso de empuje hidrostático: γ ω ·R 2 ·H ωC3 = (2.30) E·h γ ω ·R 2 1C4 = ·( H ω − ) (2.31) E·h λii) En el caso de empuje de tierras: γ t ·tg 2 (45º −φ / 2)·R 2 ·H tC3 = − (2.32) E·h γ t ·tg 2 (45º −φ / 2)·R 2 1C4 = ·( − H t ) (2.33) E·h λ2.4.2.1.-Determinación del momento flectorPara resolver la primera combinación de acciones C1: 1,50x(Empuje hidrostático) yamencionada en el anterior apartado 2.2.3.1, podemos hacer uso de la ley de momentos
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 58flectores (2.25) y las constantes C3 y C4 que ya conocemos, obteniendo: h 2 ·λ2 ·γ ω ·R 2 1Mxd(x) = 1,50· ·(− H ω ·e −λx ·sin(λx) + ( H ω − )·e −λx ·cos(λx)) (2.34) 6·(1 − ν ) 2 λy su valor máximo que se da en el empotramiento vale: h 2 ·λ2 ·γ ω ·R 2 1Mxdmáx = Mxd(x=0) = 1,50· ·( H ω − ) (2.35) 6·(1 − ν ) 2 λPara resolver la segunda combinación de acciones C2: 1,60x(Empuje de tierras),procederemos de forma análoga: h 2 ·λ2 ·γ t ·tg 2 (45º −φ / 2)·R 2 1Mxd(x)=1,60· ·( H t ·e −λx ·sin(λx) + ( − H t )·e −λx ·cos(λx)) (2.36) 6·(1 − ν ) 2 λy su valor máximo que se da en el empotramiento vale: h 2 ·λ2 ·γ t ·tg 2 (45º −φ / 2)·R 2 1Mxdmáx = Mxd(x=0) = 1,60· ·( − H t ) (2.37) 6·(1 − ν 2 ) λ2.4.2.2.- Cálculo de la armadura de flexiónPara conocer la armadura de flexión en la posición vertical interior, se busca laenvolvente de la ley de momentos flectores verticales del lado interior en la unión de lascombinaciones C1 y C2 (dado que ambas pueden dejar una parte de su ley en el ladointerior), y haciendo uso de las ecuaciones (2.34) y (2.36) que nos proporcionan losdiferentes valores de Mxd(x), se calcula la armadura necesaria Av1 con el métodoparábola rectángulo.Para conocer la armadura de flexión en la posición vertical exterior, se busca laenvolvente de la ley de momentos flectores verticales del lado exterior en la unión de
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 59las combinaciones C1 y C2 (dado que ambas pueden dejar una parte de su ley en el ladoexterior), y haciendo uso de las mismas ecuaciones (2.34) y (2.36) que nosproporcionan los diferentes valores de Mxd(x), se calcula la armadura necesaria Av3 conel método parábola rectángulo.2.4.3.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de esfuerzo cortante2.4.3.1.- Determinación del esfuerzo cortantePara resolver la primera combinación de acciones C1: 1,50x(Empuje hidrostático),podemos hacer uso de la ley de esfuerzos cortantes (2.27) y las constantes C3 y C4 queya conocemos, obteniendo:Qxd(x) = 1,50·Qx(x) = (2.38) h 2 ·λ3 ·γ ω ·R 2 1=1,50· ·( H ω ·e −λx ·(− cos(λx) + sin(λx)) + ( − H ω )·e −λx ·(cos(λx) + sin(λx))) 6·(1 − ν ) 2 λy su valor máximo que se da en el empotramiento vale: h 2 ·λ3 ·γ ω ·R 2 1Qxdmáx = Qxd(x=0) = 1,50· ·( − 2 H ω ) (2.39) 6·(1 − ν 2 ) λPara resolver la segunda combinación de acciones C2: 1,60x(Empuje de tierras),procederemos de forma análoga:Qxd(x) = 1,60·Qx(x) = (2.40) h 2 ·λ3 ·γ t ·tg 2 (45º −φ / 2)·R 2 11,60· ·( H t ·e −λx ·(cos(λx) − sin(λx)) + ( H t − )·e −λx ·(cos(λx) + sin(λx))) 6·(1 − ν ) 2 λy su valor máximo que se da en el empotramiento vale:
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 60 h 2 ·λ3 ·γ t ·tg 2 (45º −φ / 2)·R 2 1Qxdmáx = Qxd(x=0) = 1,60· ·(2 H t − ) (2.41) 6·(1 − ν ) 2 λ2.4.3.2.- Cálculo de la armadura de cortanteEn depósitos cilíndricos también adoptaremos el criterio de que el máximo esfuerzocortante pueda ser absorbido por la contribución del hormigón Vcu, con lo que no seránecesario disponer cercos, y además, acotaremos inferiormente el espesor de la pared.2.4.4.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de tracción simpleSe trata de resolver el Estado Límite Último de tracción simple, recogido en lacombinación C3: 1,00x(Empuje hidrostático).Podemos hacer uso de la ley de esfuerzos de tracción (2.24) y las constantes C3 y C4 queya conocemos, obteniendo:   sin(λx)  Nφd (x) = 1,00·γ ω .R·e −λx · − H ω ·(cos(λx) + sin(λx) ) + ( H ω − x) (2.42)   λ  Démonos cuenta que justo en el empotramiento el valor del esfuerzo de tracción esnulo, y en general, el valor máximo se dará algo por debajo la mitad de la pared deldepósito.Empleando una tensión en el acero de σs = 100 ó 130 N/mm2 obtendremos unaarmadura de: N ϕd Ah1 = (2.43) σs
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 612.4.5.- Comprobación de la pared en Estado Límite de Servicio de fisuraciónSe trata de resolver este Estado Límite de Servicio, según las combinaciones C4:1,00x(Empuje hidrostático) y C5: 1,00x(Empuje de tierras), que ya hemos mencionadoen el anterior apartado 2.2.3.1Para resolver la combinación de acciones C4: 1,00x(Empuje hidrostático) usaremos losmismos momentos flectores verticales que ya hemos encontrado en la combinación C1,pero en este caso, sin mayorar.Análogamente, para resolver la combinación de acciones C5: 1,00x(Empuje de tierras)usaremos los momentos flectores verticales sin mayorar de la combinación C2.Para conocer la armadura de fisuración en la posición vertical interior, se busca laarmadura Av2 necesaria para que la envolvente de momentos flectores verticales del ladointerior en la unión de las combinaciones C4 y C5 produzca una abertura de fisura wk ≤0,2 ó 0,1 mm. según el criterio de fisuración adoptado.Para conocer la armadura de fisuración en la posición vertical exterior, se busca laarmadura Av4 necesaria para que la envolvente de momentos flectores verticales del ladoexterior en la unión de las combinaciones C4 y C5 produzca una abertura de fisura wk ≤0,2 ó 0,1 mm. según el criterio de fisuración adoptado.2.4.6.- Disposición de las armaduras en la pared del depósito2.4.6.1.- Armadura de la pared en la posición vertical interior1) La armadura necesaria por flexión es Av1.2) Con la armadura Av2 se garantiza una abertura de fisura wk ≤ 0,2 ó 0,1 mm. según el criterio de fisuración adoptado.
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 623) La armadura mínima Avmín1 cumple la cuantía establecida de ρmín,flexión = 0,0015 ó 0,0020 según el criterio de fisuración adoptado.Entonces, la armadura vertical que deberemos disponer en la cara interior será elmáx(Av1;Av2;Avmín1).2.4.6.2.- Armadura de la pared en la posición vertical exterior1) La armadura necesaria por flexión es Av3.2) Con la armadura Av4 se garantiza una abertura de fisura wk ≤ 0,2 ó 0,1 mm. según el criterio de fisuración adoptado.3) La armadura mínima Avmín2 cumple la cuantía establecida de ρmín,flexión = 0,0015 ó 0,0020 según el criterio de fisuración adoptado.Entonces, la armadura vertical que deberemos disponer en la cara exterior será elmáx(Av3;Av4;Avmín2).2.4.6.3.- Armadura de la pared en la posición horizontal interior1) La armadura necesaria por tracción simple es Ah1.2) La armadura mínima Ahmín1 cumple la cuantía establecida de ρmín = 0,0015 ó 0,0020 según el criterio de fisuración adoptado.Entonces, la armadura horizontal que deberemos disponer en la cara interior será elmáx(Ah1/2; Ahmín1).
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 632.4.6.4.- Armadura de la pared en la posición horizontal exterior1) La armadura necesaria por tracción simple es Ah1.2) La armadura mínima Ahmín2 cumple la cuantía establecida de ρmín = 0,0015 ó 0,0020 según el criterio de fisuración adoptado.Entonces, de manera análoga al caso anterior, la armadura horizontal que deberemosdisponer en la cara exterior será el máx(Ah1/2; Ahmín2).2.4.6.5.- Armadura de cortanteDefiniremos un espesor de pared tal que los valores del esfuerzo cortante Qxd(x) que nosproporcionan las ecuaciones (2.38) y (2.40) sean inferiores a la contribución delhormigón, y por tanto, evitemos disponer cercos.
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 642.5.- DEPÓSITOS CILÍNDRICOS PRETENSADOS2.5.1.- Unión pared-soleraUno de los aspectos principales que debe plantearse el ingeniero durante el proyecto dedepósitos cilíndricos de hormigón es el diseño de la unión entre la pared y la solera. Elcomportamiento estructural del depósito está muy relacionado con el diseño de estaunión. La elección del tipo de unión depende de la experiencia del proyectista, de latradición constructiva del país, de la geometría y de las acciones actuantes.2.5.1.1.- Unión monolíticaEs una solución ampliamente aceptada en depósitos, donde la unión se caracteriza por lacontinuidad de movimientos (desplazamiento radial y giro meridional) entre el bordeinferior de la pared y el perímetro de la solera.Ventajas de la unión monolítica: - Facilidad constructiva: de la que, por ejemplo, se aprovechan los depósitos de hormigón proyectado, al poder hormigonar de manera continua la unión. - Estabilidad: rigidez ante acciones horizontales como terremotos o fuertes vientos. - Importantes garantías de estanqueidad. - Poco mantenimiento: se evitan las operaciones de control de los aparatos de apoyo.Inconvenientes de la unión monolítica: - A partir de ciertas alturas de pared, la fuerza necesaria de pretensado y los esfuerzos de flexión vertical empiezan a ser importantes.
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 65 - Poca eficacia del pretensado de los tendones próximos a la unión, donde la fuerza de pretensado apenas comprime anularmente a la pared. - Unión muy sensible a las acciones indirectas: acción térmica, retracción y fluencia, con lo que pueden aparecer fisuras a cortas edades en la zona de la lámina cercana a la base.Recomendaciones de su uso: - Se recomienda usar la unión monolítica pared-solera para depósitos con capacidades V < 10.000 m3. - También se podría usar en el rango comprendido entre 10.000 m3 < V < 15.000 m3, si empleamos unos criterios de tensión de compresión residual mínima menos exigentes (del orden de σres= 0,5 N/mm2), y una función de pretensado óptima.2.5.1.2.- Unión articulada flexibleLa pared descansa sobre la solera por medio de unos apoyos de neopreno, que puedenestar centrados o desdoblados. Permite un movimiento relativo del pie de la pared conrespecto a la solera.Ventajas de la unión articulada flexible: - Comportamiento estructural óptimo: los esfuerzos de flexión no son relevantes y la fuerza de pretensado se traduce casi íntegramente en comprimir anularmente a la pared. - Se requiere poca armadura: es una consecuencia del punto anterior.Inconvenientes de la articulada flexible: - Mayor complejidad constructiva. - Falta de tradición y experiencia, especialmente en el caso de constructores
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 66 locales. - No puede contener líquidos que por sus características químicas pudieran degradar a los aparatos de apoyo. - Necesidad de un control y mantenimiento de los aparatos de apoyo para garantizar la estanqueidad del depósito.Recomendaciones de su uso: - La unión articulada flexible es la solución más recomendable cuando la capacidad del depósito supera la barrera de los 25.000 m3.2.5.1.3.- Unión articulada fijaLa pared se introduce en una muesca de la solera con lo que tiene coartado sudesplazamiento horizontal.Ventajas de la unión articulada fija: - Comportamiento estructural superior a la unión monolítica, aunque por debajo de la articulada flexible. - Menor coste global que la unión articulada flexible. - Facilidad para adaptarse a los depósitos cilíndricos prefabricados. - Recomendable para almacenar fluidos a altas o bajas temperaturas.Inconvenientes de la articulada fija: - Mayor complejidad constructiva que la unión monolítica. - Falta de tradición y experiencia.Recomendaciones de su uso: - La unión articulada fija es la solución más recomendable cuando la
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 67 capacidad del depósito supera la barrera de los 10.000-15.000 m3, pero siempre por debajo de los 25.000 m3.2.5.2.- Función óptima de pretensadoLa carga de agua genera un estado de tracciones en la pared del depósito, que ya hemosvisto anteriormente sigue la función (2.24), con las constantes de integración C1, C2, C3y C4 que se obtienen resolviendo el sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas queplanteamos en el tercer capítulo de la tesina.Por su parte, el pretensado horizontal tiene por misión principal comprimircircunferencialmente la pared, a fin de compensar las tracciones originadas por la cargade agua, reduciendo así su fisuración vertical.Ahora bien, no existe una relación biunívoca entre la ley de tracciones y la fuerza depretensado Pk aplicada. Es decir, si en un determinado tramo de pared, la integral de laley Nφ(x) vale N0, no se compensarán totalmente las tracciones solo por el hecho deadoptar Pk= N0. No olvidemos que los tendones más bajos son poco eficaces paracomprimir la pared, y por tanto, se requiere un volumen de pretensado superior a laintegral de los axiles anulares hidrostáticos.Llegado a este punto, se hace necesario definir una función óptima de pretensado, esdecir, una función que defina el mínimo volumen de pretensado necesario para obtenerel estado de tensiones anulares deseado. Para ello, seguiremos las recomendaciones deVilardell (1994), que propone descomponer la función óptima de pretensado en dosfunciones: - Función Hidrostática de Pretensado (FHP): es aquella función que compensa las tracciones anulares hidrostáticas en toda la pared y durante la vida útil de la estructura. - Función Uniforme de Pretensado (FUP): es aquella función que genera
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 68 adicionalmente una tensión de compresión circunferencial mínima en la pared (llamada σres), con el objeto de evitar, cuando el depósito está lleno, fisuración vertical debida a otras acciones, tales como las reológicas, la acción térmica o el sismo.2.5.2.1.- Definición de la Función Hidrostática de Pretensado (FHP)La fuerza de pretensado total en la función FHP, independientemente del tipo de uniónen la base, es: γ ω ·R·H ω 2 Ptot,FHP = (2.44) 2siendo γω el peso específico del fluido, R el radio interior del depósito, y Hω la alturalibre de agua.La forma que tiene esta función FHP es:i) En el caso de unión monolítica y unión articulada fija:Es un trapecio truncado verticalmente en su base. La base inferior mide B, la basesuperior mide c1·B, y la altura del tramo inferior truncado mide (1-e1)·Hω. El área detoda esta figura será precisamente Ptot,FHP. Los valores de los coeficientes c1 y e1, seobtienen de la tabla 2.8.ii) En el caso de unión articulada flexible:Es un trapecio normal. La base inferior mide B, la base superior mide c1·B, la altura deltrapecio es lógicamente Hω y su área Ptot,FHP. El valor del coeficiente c1 se obtiene de latabla 2.9.
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 69 UNIÓN VOLUMEN (m3) c1 e1 Monolítica 2.000 0,01 0,75 Monolítica 5.000 0,01 0,78 Monolítica 8.000 0,01 0,81 Monolítica 15.000 0,01 0,86 Articulada fija 15.000 0,01 0,82 Articulada fija 25.000 0,01 0,86 Articulada fija 40.000 0,01 0,89 Articulada fija 60.000 0,01 0,91Tabla 2.8.- Valores propuestos por Vilardell (1994) para los parámetros c1 y e1 de la F.H.P en unión monolítica y articulada fija. TIPO DE UNIÓN VOLUMEN (m3) c1 Articulada flexible 15.000 0,04 Articulada flexible 25.000 0,02 Articulada flexible 40.000 0,02 Articulada flexible 60.000 0,01Tabla 2.9.- Valores propuestos por Viulardell (1994) para el parámetro c1 de la F.H.P en unión articulada flexible.2.5.2.2.- Definición de la Función Uniforme de Pretensado (FUP)La fuerza de pretensado total en la función FUP es: Ptot,FUP = β·σres·h·Hω (2.45)siendo β un coeficiente corrector, σres la tensión de compresión circunferencial adicionalmínima, h el espesor de la pared y Hω la altura libre de agua.
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 70Hay que tener en cuenta que cuando la unión en la base es fija, no es posible obtener unestado uniforme de tensiones, debiéndose definir un tramo inicial de pared de alturaHinf, en la que se admiten compresiones inferiores a σres. Con todo ello, se recomiendanlos valores de la tabla 2.10. UNIÓN DOMINIO VOLUMEN σres Hinf: COEFICIENTE 3 2 (m ): (N/mm ): β: Monolítica 3 ≤ D/Hω ≤ 7 < 2.000 1,0 0,05·Hω 0,53·(D/Hω) + 0,15 Monolítica 3 ≤ D/Hω ≤ 7 2.000 a 0,5 0,05·Hω 0,53·(D/Hω) + 8.000 0,15 Monolítica 3 ≤ D/Hω ≤ 7 8.000 a 1,0 0,10·Hω 0,28·(D/Hω) + 15.000 0,38 Articulada fija 3 ≤ D/Hω ≤ 9 < 2.000 1,0 0,05·Hω 0,42·(D/Hω) + 0,12 Articulada fija 3 ≤ D/Hω ≤ 9 2.000 a 0,5 0,05·Hω 0,42·(D/Hω) + 8.000 0,12 Articulada fija 3 ≤ D/Hω ≤ 9 8.000 a 1,0 0,10·Hω 0,17·(D/Hω) + 15.000 0,62 Articulada fija 3 ≤ D/Hω ≤ 9 > 15.000 0,5 0,10·Hω 0,17·(D/Hω) + 0,62 Articulada 3 ≤ D/Hω ≤ 9 Cualquiera 0,5 a 2,0 0 0,03·(D/Hω) + flexible 0,96Tabla 2.10.- Diferentes valores propuestos por Vilardell (1994) para la función F.U.P.En las uniones articuladas flexibles el rango de validez para la tensión residual se mueveentre 0,5 y 2,0 N/mm2; aunque como criterio general se adopta un valor de la tensiónresidual de σres = 1,0 N/mm2, aumentandose en el caso de prever gradientes térmicosimportantes.La forma que tiene esta función FUP es:
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 71i) En el caso de unión monolítica y unión articulada fija:Es un rectángulo en el tramo superior de pared y un triangulo en el tramo inferior, de talmanera que la función es nula en el pie de la pared. La base total del triangulo mide B’,y su altura a1·Hω; mientras que el rectángulo tiene un ancho de a5·B’. El área de toda estafigura será Ptot,FUP. Los valores de los coeficientes a1 y a5, se obtienen de la tabla 2.11. UNIÓN DOMINIO Hinf: a1 : a5 : Monolítica 3 ≤ D/Hω ≤ 5 0,10·Hω 0,27 0,21 Monolítica 5 ≤ D/Hω ≤ 7 0,10·Hω 0,32 0,15 Monolítica 3 ≤ D/Hω ≤ 5 0,05·Hω 0,15 0,06 Monolítica 5 ≤ D/Hω ≤ 7 0,05·Hω 0,17 0,04 Articulada fija 3 ≤ D/Hω ≤ 5 0,10·Hω 0,25 0,28 Articulada fija 5 ≤ D/Hω ≤ 7 0,10·Hω 0,31 0,21 Articulada fija 7 ≤ D/Hω ≤ 9 0,10·Hω 0,38 0,17 Articulada fija 3 ≤ D/Hω ≤ 5 0,05·Hω 0,17 0,11 Articulada fija 5 ≤ D/Hω ≤ 7 0,05·Hω 0,20 0,08 Articulada fija 7 ≤ D/Hω ≤ 9 0,05·Hω 0,23 0,06Tabla 2.11.- Valores propuestos por Vilardell para los parámetros a1 y a5 de la F.U.P enunión monolítica y articulada fija.ii) En el caso de unión articulada flexible:Es un rectángulo con una ligera concentración de fuerza de pretensado cerca del apoyo.En concreto, a 0,03·Hω se dispone un valor de 0,15·Ptot,FUP; en el resto del rectángulodispondremos 0,85·Ptot,FUP.2.5.3.- Eficacia del pretensadoEl empuje hidrostático del agua genera un estado de tracciones en la pared del depósito
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 72que sigue la ley Nφ(x) (ecuación 2.24). Para hacer frente a ella, aplicamos fuerzaspuntuales de pretensado, cuya magnitud y distribución vendrán fijadas por la funciónóptima de pretensado. Esta función óptima determina un volumen total de pretensadode: Ptot,FHP + Ptot,FUP, que siempre será superior a la integral de Nφ(x).Por su parte, cuando se aplica una fuerza de pretensado Pk en la ordenada xi, se generaun estado de esfuerzos de compresión en la pared del depósito, que sigue una leyanáloga a Nφ(x); en concreto, sigue las leyes Nφ(x)=Nφ1(x) ∪ Nφ2(x) que exponemos enel apartado 3.5 del tercer capítulo. Repitiendo la misma operación para cada tendón ysuperponiendo los resultados, podremos encontrar la ley de axiles anulares decompresión originados por el pretensado, que llamaremos Nφpret(x).Llamamos eficacia del pretensado a la relación entre la integral de los axiles anulares decompresión originados por el pretensado y la fuerza total de pretensado aplicada, o sea: Eficacia = ∫ Nϕ pret ( x)dx (2.46) Ptot , FHP + Ptot , FUPA mayor eficacia, más se garantiza que el pretensado se invierta en comprimiranularmente la pared y menor será el comportamiento de flexión de la misma, que endefinitiva, es lo que interesa.Se ha encontrado una relación entre la eficacia y la esbeltez D/Hω del depósito. Cuantomayor es la esbeltez de un depósito, menor es la eficacia. De ahí, la necesidad de limitarla esbeltez a valores de D/Hω ≤ 7 en el caso de unión monolítica, y D/Hω ≤ 9 en el casode unión articulada fija y unión articulada flexible.Boixereu (1988) ha encontrado las siguientes relaciones D/Hω que minimizan el costedel depósito: - Para depósitos de V=1.000 m3 el valor óptimo de D/Hω es aproximadamente de 3,7.
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 73 - Para depósitos de V=4.000 m3 el valor óptimo de D/Hω es aproximadamente de 4,5. - Para depósitos de V=7.000 m3 el valor óptimo de D/Hω es aproximadamente de 5,5.Por otra parte, los máximos valores de la eficacia se encuentran claramente en losdepósitos con unión articulada flexible.2.5.4.- Pérdidas del pretensadoSupongamos un tendón de pretensado situado en la ordenada xi. Si los cordones son deltipo Y 1860S7 se le puede tirar con una fuerza máxima de P0 = (209,3 ó 195,0 ó139,5)·n KN; mientras que si los cordones son del tipo Y 1770S7, la fuerza máxima seráde P0 = 198,8·n KN, siendo n el número de cordones que constituyen el tendón.Ahora bien, esta fuerza no se mantiene indefinida en el tiempo, pues existen pérdidasque rebajan su valor, y que debemos ser capaces de evaluar correctamente. Para elloseguiremos la vigente Instrucción EHE.2.5.4.1.- Pérdidas instantáneasLas pérdidas instantáneas son aquellas que se producen durante la operación de tesado yen el momento del anclaje de las armaduras activas.2.5.4.1.1.- Pérdidas de fuerza por rozamientoSe deben al rozamiento de los cordones con la vaina. Suelen ser las pérdidas másimportantes, y se evaluan con la siguiente expresión: ∆P1(α) = P0 ·(1 − e − µ ·α − k ·α · R ) (2.47)
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 74siendo: P0: fuerza de tesado en el anclaje. µ: coeficiente de fricción angular, en rad-1. Para una orientación sobre sus valores ver la tabla 2.3. α: valor del ángulo girado por el tendón entre el anclaje y la sección considerada, en rad. k: coeficiente de fricción parásito, en m-1. Para una orientación sobre sus valores ver la tabla 2.3. R: radio de la circunferencia descrita por el tendón ≈ radio del depósito, en m.2.5.4.1.2.- Pérdidas por penetración de cuñasAparecen al liberar la fuerza del gato y transferir la tensión del acero al hormigónmediante el elemento de anclaje. La transferencia produce, inevitablemente, un ciertodeslizamiento de éste (penetración de cuña), que provoca una distensión en el tendón.Se trata de un triangulo de pérdida de fuerza situado en el anclaje, cuya base mide: ( ∆P2(α=0) = 2· P0 · 1 − e − µ ·α p − k ·α p · R ) (2.48)y cuya altura es R·αp, o sea, la longitud de influencia de la penetración de cuña.Y precisamente el valor de αp, se obtiene de manera iterativa de la siguiente ecuación: ∆P2 ·R·α p a= (2.49) 2·E p · A psiendo: a: penetración de la cuña. Se adopta entre 4 y 6 mm. Ep: módulo de deformación longitudinal de la armadura activa; Ep = 190.000
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 75 N/mm2. Ap: sección de la armadura activa.2.5.4.1.3.- Pérdidas por acortamiento elástico del hormigónSon pérdidas debidas al acortamiento elástico de la lámina al dar tensión sucesivamentea los tendones. Se pueden estimar mediante la siguiente expresión que figura en laInstrucción EHE: n − 1 A p ·E p ∆P3 = σ cp · · (2.50) 2·n E cjAunque en general, como valor medio se puede adoptar: ∆P3 = 0,025·P0. (2.51)2.5.4.2.- Pérdidas diferidasLas pérdidas diferidas surgen como consecuencia del comportamiento reológico de losmateriales en el tiempo, interviniendo en su valoración parámetros de difícilcuantificación. Se evalúan con la siguiente expresión de EHE: n·ϕ ·σ cp + E p ·ε cs + 0,8·∆σ pr ∆Pdif = · Ap (2.52) Ap  Ac · y 2  1 + n· ·1 + ·(1 + χ ·ϕ ) p  Ac  Ic  Al estar frente un elemento estructural con atmósfera húmeda (que se traduce en menorretracción y fluencia), y al hecho de que hasta el momento de puesta en tensión de lostendones ya se ha desarrollado una parte de la retracción; en general, como valor mediose puede adoptar: ∆Pdif = 0,10·(P0 - (∆P1 ∪ ∆P2) - ∆P3) (2.53)
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 76Figura 2.2.- Variación de la fuerza de pretensado en un tendónSi a la fuerza de tesado en el anclaje P0 le restamos las pérdidas instantáneas,obtendremos la que llamaremos fuerza de pretensado inicial Pki. De ella nos interesa suvalor más grande. O sea, Pki = P0 - mín(∆P1 ∪ ∆P2) - ∆P3 (2.54)Es fácil comprobar que el valor de mín(∆P1 ∪ ∆P2) coincide con el valor de ∆P1 (α=αp).Y si a la fuerza de tesado en el anclaje P0 le restamos las pérdidas instantáneas y laspérdidas diferidas, obtendremos la que llamaremos fuerza de pretensado final Pk∞. Deella nos interesa su valor más pequeño. O sea, Pk∞ = 0,90 · [P0 - máx(∆P1 ∪ ∆P2) - ∆P3] (2.55)En general, se cumplirá que el valor de máx(∆P1 ∪ ∆P2) coincide con el valor de ∆P1 enla sección más alejada del anclaje.A la ley de compresiones anulares que genera la fuerza de pretensado inicial en la
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 77superposición de todos los tendones le llamaremos Nφpret,i(x), y a la generada por lafuerza de pretensado final Nφpret,∞(x).2.5.5.- Optimización de la secuencia de tesadoDurante el proceso de tesado de los tendones circunferenciales, puede darse lacircunstancia de que los esfuerzos máximos de flexión generados superen el valor finalde los mismos al final de la fase de tesado. Este fenómeno puede ocasionar diferenciasostensibles entre el valor crítico de los esfuerzos durante la construcción y el valor finalde los mismos en servicio.Llombart y Antón (1985) definen un criterio óptimo generalizado, consistente en tesarinicialmente el tendón más próximo al borde superior. A continuación, proponen tesarel tendón en cuya sección el momento flector vertical acumulado sea mínimo. Ahorabien, este criterio se suele incumplir con frecuencia en la práctica, debido a laincomodidad que representa para los operarios.Boixereu (1988) refleja que en depósitos de pequeña capacidad (entre 500 y 8.000 m3)con unión monolítica, el orden de tesado que minimiza los momentos flectoresverticales y las operaciones de tesado, consiste en tesar al 100% de arriba a abajo en uncontrafuerte y posteriormente en el otro.De todas formas, el tesado óptimo será aquel que en ninguna fase de tesado se superenlos esfuerzos máximos alcanzados en la fase de tesado total del depósito. Para ellodeberemos analizar cuidadosamente las leyes de esfuerzos Mx(x)=Mx1(x) ∪ Mx2(x),Qx(x)=Qx1(x) ∪ Qx2(x) generadas por cada una de las fuerzas puntuales de pretensadoque exponemos en el apartado 3.5 del siguiente capítulo.2.5.6.- Optimización del número de contrafuertesEl trazado en planta de los tendones tiene que presentar el suficiente número de anclajes
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 78para evitar pérdidas excesivas en la fuerza de pretensado. Es por ello que el número decontrafuertes (recrecido localizado de la pared donde se anclarán los tendones) sueleaumentar con el diámetro del depósito.Los depósitos pequeños, de hasta 1.000 m3 de volumen, suelen ejecutarse con 1 solocontrafuerte donde se anclan todos los tendones. Boixereu (1988) sugiere que endepósitos de pequeña capacidad (entre 500 y 8.000 m3) se dispongan dos contrafuertescon trazado de los tendones de 360º, y anclajes alternos entre alturas consecutivas. Paradepósitos de mayor capacidad, una solución ampliamente aceptada consiste en disponercuatro contrafuertes, con el trazado de los tendones a 180º y alternando los anclajes enalturas consecutivas.Figura 2.3.- Diferentes posibilidades de disposición de los contrafuertes y trazado de los tendones de pretensado2.5.7.- Posición de los tendones de pretensadoSiempre deberemos disponer los tendones de pretensado lo más al exterior del núcleocentral de la pared que sea posible. Ello es para minimizar los efectos del llamado
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 79empuje al vacío que podrían romper el recubrimiento de hormigón. Así pues, el valor de“e”, o sea, la distancia entre el c.g. de las armaduras activas y el c.g. de la sección,vendrá acotado por el Estado Límite de Servicio, que analizaremos en el siguienteapartado.Por otra parte, no se aceptaran separaciones entre tendones adyacentes superiores altriple del espesor de la pared.2.5.8.- Comprobación de la pared en Estado Límite de Servicio (armaduraactiva horizontal)En este apartado abordaremos la resolución de la combinación de acciones C6 y C7 queya mencionamos en 2.2.3.2Gracias a la función óptima de pretensado podemos determinar el volumen total depretensado a disponer en la pared del depósito: Ptot,FHP + Ptot,FUP.Ahora bien, para cada uno de los tendones de la pared, se deberá garantizar que secumple el Estado Límite de Servicio preconizado por la Instrucción EHE. Así pues: 1,10·N ϕpret ,i ( x = xi ) 1,10·6· N ϕpret ,i ( x = xi )·eσ(x=xi) = + > -0,60·fckj (2.56) h h2 0,90·N ϕpret ,∞ ( x = xi ) 0,90·6·N ϕpret ,∞ ( x = xi )·e N ϕ ( x = xi )σ(x=xi) = − + <0 (2.57) h h2 hsiendo: σ(x = xi): valor de la tensión en la pared del depósito en la posición del tendón situado en la ordenada x=xi. Nφpret,i(x = xi): valor del axil de compresión generado por la superposición de las fuerzas de pretensado inicial Pki, en el tendón de ordenada xi.
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 80 Nφpret,∞(x = xi): valor del axil de compresión generado por la superposición de las fuerzas de pretensado final Pk∞, en el tendón de ordenada xi. Nφ(x = xi): valor del axil de tracción generado por el empuje hidrostático, en el tendón de ordenada x = xi. h: espesor de la pared. e: distancia del c.g. de las armaduras activas al c.g. de la sección. fckj: resistencia característica del hormigón para la edad j correspondiente al momento de puesta en carga de las armaduras activas.Y en el caso que no se cumpla el Estado Límite de Servicio tendremos que incrementarel volumen de pretensado respecto a lo marcado por la función óptima con sus valoresde Ptot,FHP + Ptot,FUP.De esta manera podremos encontrar el valor más adecuado de “e”, y por tanto,determinar la posición de los tendones de pretensado en el sentido radial.2.5.9.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de flexión (armadurapasiva vertical)Los esfuerzos verticales de flexión en las paredes, así como los esfuerzos de cortante,son debidos a la acción de los tendones de pretensado, presión hidrostática del agua yfenómenos reológicos. Originan una fisuración horizontal, que debe solucionares conarmadura pasiva vertical.2.5.9.1.- Determinación del momento flectorPara resolver la combinación de acciones C8: 1,35x(Empuje hidrostático) +1,00x(Esfuerzos adicionales debidos al pretensado a tiempo inicial ó a tiempo final) yamencionada en el anterior apartado 2.2.3.2, procederemos así:
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 81 nMxd(x) = 1,35·Mx(x) del apartado 3.2 + ∑ i =1 1,00·Mx(x) del apartado 3.5 para los ntendones tesados con Pki, o bien tesados con Pk∞ (según sea más desfavorable) (2.58)Para resolver la combinación de acciones C9: 1,50x(Empuje de tierras) +1,00x(Esfuerzos adicionales debidos al pretensado a tiempo inicial ó a tiempo final)procederemos de forma análoga:i) En el caso de tener el nivel de tierras Ht = H: nMxd(x) = 1,50·Mx(x) del apartado 3.3 + ∑ i =1 1,00·Mx(x) del apartado 3.5 para los ntendones tesados con Pki, o bien tesados con Pk∞ (según sea más desfavorable) (2.59)ii) En el caso de tener el nivel de tierras Ht < H: nMxd(x) = 1,50·Mx(x) del apartado 3.4 + ∑ 1,00·Mx(x) del apartado 3.5 para los n i =1tendones tesados con Pki, o bien tesados con Pk∞ (según sea más desfavorable) (2.60)2.5.9.2.- Cálculo de la armadura de flexiónPara conocer la armadura de flexión en la posición vertical interior, se busca laenvolvente de la ley de momentos flectores verticales del lado interior en la unión de lascombinaciones C8 y C9 (dado que ambas pueden dejar una parte de su ley en el ladointerior), y haciendo uso de las ecuaciones (2.58) y (2.59) ó (2.60) que nos proporcionanlos diferentes valores de Mxd(x), se calcula la armadura necesaria Av1 con el métodoparábola rectángulo.Para conocer la armadura de flexión en la posición vertical exterior, se busca laenvolvente de la ley de momentos flectores verticales del lado exterior en la unión delas combinaciones C8 y C9 (dado que ambas pueden dejar una parte de su ley en el lado
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 82exterior), y haciendo uso de las mismas ecuaciones (2.58) y (2.59) ó (2.60) que nosproporcionan los diferentes valores de Mxd(x), se calcula la armadura necesaria Av3 conel método parábola rectángulo.2.5.10.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de esfuerzo cortante2.5.10.1.- Determinación del esfuerzo cortantePara resolver la combinación de acciones C8: 1,35x(Empuje hidrostático) +1,00x(Esfuerzos adicionales debidos al pretensado a tiempo inicial ó a tiempo final),procederemos así: nQxd(x) = 1,35·Qx(x) del apartado 3.2 + ∑i =1 1,00·Qx(x) del apartado 3.5 para los ntendones tesados con Pki, o bien tesados con Pk∞ (según sea más desfavorable) (2.61)Para resolver la combinación de acciones C9: 1,50x(Empuje de tierras) +1,00x(Esfuerzos adicionales debidos al pretensado a tiempo inicial ó a tiempo final)procederemos de forma análoga:i) En el caso de tener el nivel de tierras Ht = H: nQxd(x) = 1,50·Qx(x) del apartado 3.3 + ∑i =1 1,00·Qx(x) del apartado 3.5 para los ntendones tesados con Pki, o bien tesados con Pk∞ (según sea más desfavorable) (2.62)ii) En el caso de tener el nivel de tierras Ht < H: nQxd(x) = 1,50·Qx(x) del apartado 3.4 + ∑ 1,00·Qx(x) del apartado 3.5 para los n i =1tendones tesados con Pki, o bien tesados con Pk∞ (según sea más desfavorable) (2.63)
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 832.5.10.2.- Cálculo de la armadura de cortanteEn depósitos cilíndricos pretensados también adoptaremos el criterio de que el máximoesfuerzo cortante pueda ser absorbido por la contribución del hormigón Vcu, con lo queno será necesario disponer cercos, y además, acotaremos inferiormente el espesor de lapared.Recordemos que la contribución del hormigón a la resistencia a esfuerzo cortante es,según EHE:  P  Vcu =  0,12.ξ .3 100.ρ l . f ck − 0,15· k∞  .b0 .d (en N/m)  (2.64)  Ac 2.5.11.- Comprobación de la pared en Estado Límite de Servicio defisuraciónSe trata de resolver este Estado Límite de Servicio, según las combinaciones C10:1,00x(Empuje hidrostático) + 1,00x(Esfuerzos adicionales debidos al pretensado atiempo inicial ó a tiempo final) y C11: 1,00x(Empuje de tierras) + 1,00x(Esfuerzosadicionales debidos al pretensado a tiempo inicial ó a tiempo final) que ya hemosmencionado en el anterior apartado 2.2.3.2Para resolver la combinación de acciones C10 usaremos los mismos momentos flectoresverticales que ya hemos encontrado en la combinación C8, pero en este caso, sinmayorar.Análogamente, para resolver la combinación de acciones C11 usaremos los momentosflectores verticales sin mayorar de la combinación C9.Para conocer la armadura de fisuración en la posición vertical interior, se busca laarmadura Av2 necesaria para que la envolvente de momentos flectores verticales del ladointerior en la unión de las combinaciones C10 y C11 produzca una abertura de fisura wk≤ 0,2 ó 0,1 mm. según el criterio de fisuración adoptado.
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 84Para conocer la armadura de fisuración en la posición vertical exterior, se busca laarmadura Av4 necesaria para que la envolvente de momentos flectores verticales del ladoexterior en la unión de las combinaciones C10 y C11 produzca una abertura de fisura wk≤ 0,2 ó 0,1 mm. según el criterio de fisuración adoptado.2.5.12.- Disposición de las armaduras en la pared del depósito2.5.12.1.- Armadura activa de la pared en la posición horizontal1) Se busca la función óptima de pretensado, con lo que podremos determinar el volumen total de pretensado a disponer en la pared del depósito: Ptot,FHP + Ptot,FUP, así como la distribución de los tendones en altura.2) Se comprueba que cada uno de los tendones cumple el Estado Límite de Servicio según las ecuaciones (2.56) y (2.57).2.5.12.2.- Armadura pasiva de la pared en la posición vertical interior1) La armadura necesaria por flexión es Av1.2) Con la armadura Av2 se garantiza una abertura de fisura wk ≤ 0,2 ó 0,1 mm. según el criterio de fisuración adoptado.3) La armadura mínima Avmín1 cumple la cuantía establecida de ρmín,flexión = 0,0015 ó 0,0020 según el criterio de fisuración adoptado.Entonces, la armadura vertical que deberemos disponer en la cara interior será elmáx(Av1;Av2;Avmín1).
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 852.5.12.3.- Armadura pasiva de la pared en la posición vertical exterior1) La armadura necesaria por flexión es Av3.2) Con la armadura Av4 se garantiza una abertura de fisura wk ≤ 0,2 ó 0,1 mm. según el criterio de fisuración adoptado.3) La armadura mínima Avmín2 cumple la cuantía establecida de ρmín,flexión = 0,0015 ó 0,0020 según el criterio de fisuración adoptado.Entonces, la armadura vertical que deberemos disponer en la cara exterior será elmáx(Av3;Av4;Avmín2).2.5.12.4.- Armadura pasiva de la pared en la posición horizontalSe busca la armadura mínima Ahmín que cumpla la cuantía establecida de ρmín = 0,0008,tanto para la cara exterior como para la cara interior. Recordemos que en un depósitopretensado la pared debe estar permanentemente comprimida anularmente, de ahí que laarmadura horizontal mínima sea un valor pequeño, y coincidente con la que figura enEHE para muros convencionales2.5.12.5.- Armadura de cortanteDefiniremos un espesor de pared tal que los valores del esfuerzo cortante Qxd(x) que nosproporcionan las ecuaciones (2.61) y (2.62) ó (2.63) sean inferiores a la contribución delhormigón, y por tanto, evitemos disponer cercos.
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 862.5.13.- Análisis de la interacción pared-solera-terreno en unionesmonolíticasCuando la unión pared-solera es articulada flexible o articulada fija, el giro de la paredes prácticamente independiente del de la solera. Ante esta situación, variaciones en elespesor de la solera o la rigidez del terreno no afectan apenas al comportamientoestructural de la misma. Cuando la unión es monolítica, el comportamiento de la pareddel depósito es mucho más sensible a variaciones en el espesor de la solera o la rigidezdel terreno.Suponer que el terreno es indeformable equivale a definir un empotramiento perfectodel giro en la base de la pared. Esta condición de contorno conduce a resultados pocoprecisos en relación a los esfuerzos realmente existentes en la pared.Un aumento del espesor de la solera conlleva un aumento del grado de empotramientode la pared en su base, disminuyendo la integral de axiles anulares, y aumentando losesfuerzos de flexión (momento y cortante) en la base. Por tanto, considerar unempotramiento perfecto de las paredes del depósito en la base nos conduce a unsobredimensionamiento de la armadura pasiva vertical.Con un modelo de interacción que contemple el comportamiento conjunto pared-solera-terreno, el momento flector puede llegar a disminuirse hasta un 80% delcorrespondiente a la hipótesis de contorno de empotramiento perfecto, mientras que elesfuerzo cortante puede disminuirse hasta un 45%.Un método desarrollado para los casos de empuje hidrostático y pretensadocircunferencial (en la función FHP), de uso muy extendido, consiste en idealizar launión en la base de la pared con un empotramiento perfecto, y aplicarle un coeficientereductor que contemple la interacción pared-solera-terreno, acercando los resultados a larealidad. Así pues:
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 87i) Para el empuje hidrostático: ω ω M x (real ) = ηh· M x ( empotramientoperfecto ) (2.65) Qrω(real ) = ξh· Qx ( empotramientoperfecto ) ω (2.66)ii) Para el pretensado circunferencial (en la función FHP): M xPkreal ) = ηp· M xPkempotramientoperfecto ) ( , FHP ( , FHP (2.67) Q xPkreal ) = ξp· QxPkempotramientoperfecto ) ( , FHP ( , FHP (2.68)siendo: C ηh = A·e B ·( hs ) (2.69) F ξh = D·e E ·( hs ) (2.70) I ηp = G·e H ·( hs ) (2.71) L ξp = J ·e K ·( hs ) (2.72)con: 0 , 48 0 , 21 1 + 2,27·e −1, 26·k 1 + 12,58·e −3,81·kA= (2.73) D= (2.76) 0,97 − 3,46·10 − 4 ·h1,99 0,52 + 0,20·h 0,19B = − (3,55·10 −2 + 4,38·10 −4 ·h) −1 (2.74) E = − (0,15 + 4,51·10 −4 ·h) −1 (2.77)C = − 3,08 + 0,66·h 0,34 (2.75) F = − 2,33 + 0,76·h 0,18 (2.78) −0 , 0966 −0 , 0638 3,78·e −2,32·k 4,05·e −1,86·kG= (2.79) J= (2.82) 0,63 − 3,90·10 −6 ·h 2,91 0,52 + 1,96·10 − 4 ·h1,88H = − (1,09·10 −2 + 8,62·10 −4 ·h) −1 (2.80) K = − (0,36 + 1,29·10 −3 ·h) −1 (2.83)I = − 3,57 + 0,90·h 0,30 (2.81) L = − 1,05 + 0,51·h 0,0539 (2.84) con:
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 88 h: espesor de la pared expresado en cm. hs: espesor de la solera expresado en cm. k: módulo de balasto de la explanada expresado en kp/cm3. De manera muy orientativa podemos adoptar los siguientes valores: para una explanada de calidad mala k≈1,0 kp/cm3; para una explanada de calidad media k≈2,5 kp/cm3; y si la explanada es de calidad buena k≈5 a 10 kp/cm3.2.5.14.- Cálculo del campo de desplazamientos y esfuerzos en la pared enuniones monolíticas con análisis de interacción pared-solera-terrenoDebemos ser capaces de evaluar el campo de desplazamientos y esfuerzos en la pareddel depósito, en el caso desechar una unión monolítica perfecta y suponer uncomportamiento conjunto pared-solera-terreno:i) Pared solicitada por el empuje hidrostático:Resolveremos el sistema de ecuaciones planteado en el apartado 3.2.1 del siguientecapítulo, obteniendo el campo de desplazamientos y esfuerzos correspondiente a unempotramiento perfecto. Al valor del máximo momento flector y esfuerzo cortante de labase le aplicaremos la reducción establecida en las ecuaciones (2.65) y (2.66).ii) Pared solicitada por el empuje de tierras:Resolveremos el sistema de ecuaciones planteado en los apartados 3.3.1 ó bien 3.4.1,del siguiente capítulo, obteniendo el correspondiente campo de desplazamientos yesfuerzos, y sin aplicar ningún tipo de reducción.iii) Pared solicitada por el pretensado:La solución no es tan inmediata, debido a la discontinuidad de las cargas puntuales a lolargo de la pared. El procedimiento más rápido para conocer el comportamiento de la
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 89pared consiste en: iii.1) Para los tendones correspondientes a la función FUP no se aplicará ninguna reducción, y se tendrá que resolver el sistema de ecuaciones planteado en el apartado 3.5.1 del siguiente capítulo para cada tendón individual, y superponiendo posteriormente los resultados. En este caso, aceptamos una unión pared-solera perfecta. iii.2) Para los tendones correspondientes a la función FHP se superpondrán dos estados: en primer lugar se calculará la pared suponiendo la unión perfectamente empotrada y resolviendo el mismo sistema del apartado 3.5.1; y seguidamente, se superpondrá a lo anterior, el estado de tener la pared con ambos bordes libres y solicitada en su borde inferior por: ∆M = (ηp-1)· M xPkempotramientoperfecto ) ( , FHP (2.85) ∆Q = (ξp-1)· QxPkempotramientoperfecto ) ( , FHP (2.86)Para encontrar los desplazamientos y esfuerzos de este segundo estado, será necesarioconocer el desplazamiento radial:ω(x) = C1.eλxcos(λx) + C2.eλx.sin(λx) + C3.e-λx.cos(λx) + C4.e-λx.sin(λx) (2.87)con la resolución del siguiente sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas:M x ( x = 0) = ∆M Q ( x = 0) = ∆Q  x  M x ( x = H ω ) = 0 Q x ( x = H ω ) = 0  
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 90 a11 a12 a13 a14   C1   ∆M / 2·D·λ2      a 21 a 22 a 23 a 24   C 2   ∆Q / 2·D·λ3  a a a a · C  =   31 32 33 34   3   0  a a a a  C  0  41 42 43 44   4   a11 = 0 a12 = -1 a13 = 0 a14 = 1a21 = 1 a22 = -1 a23 = -1 a24 = -1 λHω λHωa31 = e .sin(λHω) a32 = -e .cos(λHω) a33 = -e-λHω.sin(λHω) a34 = e-λHω.cos(λHω)a41 = eλHω.(cos(λHω)+sin(λHω)) a42 = eλHω.(-cos(λHω)+sin(λHω))a43 = e-λHω.(-cos(λHω)+sin (λHω)) a44 = e-λHω.(-cos(λHω)-sin (λHω))Démonos cuenta que con la superposición de estos dos estados, los esfuerzos quetendremos en la base serán precisamente: Mx(x=0) = M xPkreal ) = ηp· M xPkempotramientoperfecto ) ( , FHP ( , FHP (2.88) Qx(x=0) = Q xPkreal ) = ξp· QxPkempotramientoperfecto ) ( , FHP ( , FHP (2.89)2.6.- ANÁLISIS DE LA SOLERA2.6.1.- Cálculo de la solera en estado Límite Último de flexión2.6.1.1.- Determinación del momento flectorEn el caso de que los muros perimetrales y los pilares centrales tengan la zapataindependiente del resto de la solera, está se calculará por los procedimientos habitualesde cálculo de zapatas en muros o pilares.
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 91Cuando la solera sea de espesor constante la discretizaremos por medio de unaestructura de nudos y barras apoyada sobre un lecho elástico. La discretización mássimple, ya hemos visto anteriormente que puede consistir en una viga de ancho unidad.Asignaremos a las barras de la estructura sus correspondientes características mecánicasde área e inercia.En cuanto a las coacciones, los dos nudos del extremo estarán simplemente apoyados,mientras que los nudos centrales, que según Girkmann son los únicos que permanecenapoyados sobre el terreno (ver apartado 2.2.4) estarán descansando sobre un muelle derigidez vertical Kx = k·A, siendo k el módulo de balasto del terreno y A el área deinfluencia del muelle. Y finalmente, las acciones a contemplar serán:1) Para resolver la primera combinación de acciones C12: 1,50x(Peso propio) +1,50x(Carga hidrostática) + 1,50x(Msh) + 1,00x(Msp), ya mencionada en el anteriorapartado 2.2.5, aplicaremos sobre la estructura: - qsd = γf·qs = 1,50·qs aplicado en todas las barras. (2.90) - qωd = γf·qω = 1,50·qω aplicado en todas las barras. (2.91) - Mshd = γf·Msh = 1,50·Msh aplicado en los dos nudos extremos. (2.92) - Mspd = γf·Msp = 1,00·Msp aplicado en los dos nudos extremos. (2.93)2) Para resolver la segunda combinación de acciones C13: 1,50x(Peso propio) +1,60x(Mst) + 1,00x(Msp), aplicaremos sobre la estructura: - qsd = γf·qs = 1,50·qs aplicado en todas las barras. (2.94) - Mstd = γf·Mst = 1,60·Mst aplicado en los dos nudos extremos. (2.95) - Mspd = γf·Msp = 1,00·Msp aplicado en los dos nudos extremos. (2.96)La resolución de esta estructura con el uso de las combinaciones C12 y C13 nospermitirá encontrar los momentos flectores de la solera del depósito.
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 922.6.1.2.- Cálculo de la armadura de flexiónPara conocer la armadura de flexión en la cara superior, se busca la envolvente de la leyde momentos flectores de la cara superior en la unión de las combinaciones C12 y C13(dado que ambas pueden dejar una parte de su ley en la cara superior), y se calcula laarmadura necesaria As1 con el método parábola rectángulo.Para conocer la armadura de flexión en la cara inferior, se busca la envolvente de la leyde momentos flectores de la cara inferior en la unión de las combinaciones C12 y C13(dado que ambas pueden dejar una parte de su ley en la cara inferior), y se calcula laarmadura necesaria As4 con el método parábola rectángulo.2.6.2.- Cálculo de la solera en estado Límite Último de esfuerzo cortanteHaciendo uso de la discretización de la solera mencionada en el apartado anterior,buscaremos el máximo valor del esfuerzo cortante Qsdmáx, y comprobaremos que puedeser absorbido por la contribución del hormigón Vcu sin necesidad de cercos.2.6.3.- Cálculo de la solera en Estado Límite Último de tracción simpleSe trata de resolver el Estado Límite Último de tracción simple, recogido en lacombinación C14: 1,00x(Nsh) + 1,00x(Nsp), que ya mencionamos en el apartado 2.2.5.El esfuerzo de tracción que se origina en la solera del depósito será: Nsd = γf·Nsh+ γf·Nsp = 1,00·Nsh+ 1,00·Nsp (2.97)La no mayoración de esta acción se debe al hecho de adoptar una tensión en el acero detan solo σs = 100 ó 130 N/mm2. Con todo ello obtendremos una armadura de:
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 93 N sd As3 = (2.98) σs2.6.4.- Comprobación de la solera en Estado Límite de Servicio de fisuraciónSe trata de resolver este Estado Límite de Servicio, según las combinaciones C15:1,00x(Peso propio) + 1,00x(Carga hidrostática) + 1,00x(Msh) + 1,00x(Msp) y C16:1,00x(Peso propio) + 1,00x(Mst) + 1,00x(Msp), que ya hemos mencionado en el anteriorapartado 2.2.5.Para resolver la combinación de acciones C15 usaremos los mismos momentos flectoresque ya hemos encontrado en la combinación C12, pero en este caso, sin mayorar.Análogamente, para resolver la combinación de acciones C16 usaremos los momentosflectores sin mayorar de la combinación C13.Para conocer la armadura de fisuración en la cara superior, se busca la armadura As2necesaria para que la envolvente de momentos flectores de la cara superior en la uniónde las combinaciones C15 y C16 produzca una abertura de fisura de wk ≤ 0,2 ó 0,1 mm.según el criterio de fisuración adoptado.Para conocer la armadura de fisuración en la cara inferior, se busca la armadura As5necesaria para que la envolvente de momentos flectores de la cara inferior en la uniónde las combinaciones C15 y C16 produzca una abertura de fisura de wk ≤ 0,2 ó 0,1 mm.según el criterio de fisuración adoptado.2.6.5.- Disposición de las armaduras en la solera del depósito2.6.5.1.- Soleras rectangulares2.6.5.1.1.- Armadura de la solera en la cara superior
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 941) La armadura necesaria por flexión es As1.2) Con la armadura As2 se garantiza una abertura de fisura wk ≤ 0,2 ó 0,1 mm. según el criterio de fisuración adoptado.3) La armadura mínima Asmín1 cumple la cuantía establecida de ρmín,flexión = 0,0015 ó 0,0020 según el criterio de fisuración adoptado.4) La armadura necesaria por tracción simple es As3Entonces, la armadura que deberemos disponer en la cara superior de la solera será elmáx(As1;As2;Asmín1) + As3/2.2.6.5.1.2.- Armadura de la solera en la cara inferior1) La armadura necesaria por flexión es As4.2) Con la armadura As5 se garantiza una abertura de fisura wk ≤ 0,2 ó 0,1 mm. según el criterio de fisuración adoptado.3) La armadura mínima Asmín2 cumple la cuantía establecida de ρmín,flexión = 0,0015 ó 0,0020 según el criterio de fisuración adoptado.4) La armadura necesaria por tracción simple es As3Entonces, la armadura que deberemos disponer en la cara inferior de la solera será elmáx(As4;As5;Asmín2) + As3/2.2.6.5.1.3.- Armadura de cortanteEn soleras rectangulares definiremos un espesor de solera tal que los valores del
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 95esfuerzo cortante que se obtienen con la combinación de acciones C12 y C13 sea menorque la contribución del hormigón Vcu, y por tanto, evitemos disponer cercos.2.6.5.2.- Soleras circulares2.6.5.2.1.- Armadura radial de la solera en la cara superior1) La armadura necesaria por flexión es As1.2) Con la armadura As2 se garantiza una abertura de fisura wk ≤ 0,2 ó 0,1 mm. según el criterio de fisuración adoptado.3) La armadura mínima Asmín1 cumple la cuantía establecida de ρmín,flexión = 0,0015 ó 0,0020 según el criterio de fisuración adoptado.4) La armadura necesaria por tracción simple es As3Entonces, la armadura radial que deberemos disponer en la cara superior de la soleraserá el máx(As1;As2;Asmín1) + As3/2.2.6.5.2.2.- Armadura radial de la solera en la cara inferior1) La armadura necesaria por flexión es As4.2) Con la armadura As5 se garantiza una abertura de fisura wk ≤ 0,2 ó 0,1 mm. según el criterio de fisuración adoptado.3) La armadura mínima Asmín2 cumple la cuantía establecida de ρmín,flexión = 0,0015 ó 0,0020 según el criterio de fisuración adoptado.4) La armadura necesaria por tracción simple es As3Entonces, la armadura radial que deberemos disponer en la cara inferior de la solera será
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 96el máx(As4;As5;Asmín2) + As3/2.2.6.5.2.3.- Armadura circunferencial de la solera en la cara superiorCoincide con la armadura mínima Asmín1 que cumple la cuantía de ρmín,flexión = 0,0015 ó0,0020 según el criterio de fisuración adoptado.2.6.5.2.4.- Armadura circunferencial de la solera en la cara inferiorCoincide con la armadura mínima Asmín2 que cumple la cuantía de ρmín,flexión = 0,0015 ó0,0020 según el criterio de fisuración adoptado.2.6.5.2.5.- Armadura de cortanteIgualmente en soleras circulares definiremos un espesor de solera tal que los valores delesfuerzo cortante que se obtienen con la combinación de acciones C12 y C13 sea menorque la contribución del hormigón Vcu, y por tanto, evitemos disponer cercos.
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 97 CAPÍTULO 3HERRAMIENTAS PARA FACILITAR EL CÁLCULO DE DEPÓSITOS CILÍNDRICOS3.1.- INTRODUCCIÓNAl estudiar los depósitos cilíndricos de hormigón armado ya planteamos las leyes dedesplazamientos radiales ω(x), giros θx(x) y esfuerzos Nφ(x), Mx(x), Mφ(x) y Qx(x).Recordemos que se trata de las ecuaciones (2.22), (2.23), (2.24), (2.25), (2.26) y (2.27)para el caso de empuje hidrostático, y de las ecuaciones (2.22), (2.28), (2.29), (2.25),(2.26) y (2.27) para el caso de empuje de tierras.Seguidamente y para simplificar la resolución del problema, se hicieron unas hipótesis
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 98consideradas aceptables en depósitos convencionales de hormigón armado, como eransuponer la lámina infinitamente larga, con lo que las constantes C1 y C2 eran nulas; yque la pared estaba empotrada en una cimentación absolutamente rígida.En el siguiente capítulo se quiere abordar aquel mismo problema, pero de una maneramás generalista, sin suponer nulas las constantes C1 y C2 y contemplando todos losposibles casos de unión pared-solera.Queremos dar todas las herramientas que ayuden al técnico a calcular la pared de undepósito cilíndrico (armado o pretensado), en el caso más general y con las máximasfacilidades.3.2.- PARED SOLICITADA POR EL EMPUJE HIDROSTÁTICOFigura 3.1.- Esquema de la acción del empuje hidrostático contra la paredYa conocemos el campo de desplazamientos radiales ω(x) para esta hipótesis de carga:ω(x) = C1.eλx.cos(λx) + C2.eλx.sin(λx) + C3.e-λx.cos(λx) + C4.e-λx.sin(λx) - γ ω ·( H ω − x)·R 2 (3.1) E·h
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 993.2.1.- Unión monolíticaEl empotramiento entre la pared y la solera nos lleva a plantear las siguientescondiciones de contorno:ω ( x = 0) = 0 θ ( x = 0) = 0  x   M x ( x = H ω ) = 0Q x ( x = H ω ) = 0  Que supone tener el siguiente sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas (C1,C2,C3 y C4): a11 a12 a13 a14   C1   γ ω ·H ω ·R 2 / E ·h      a 21 a 22 a 23 a 24   C 2   − γ ω ·R 2 / E ·h·λ  a a a a · C  =   31 32 33 34    3 0  a a a a  C    41 42 43 44   4   0 a11 = 1 a12 = 0 a13 = 1 a14 = 0a21 = 1 a22 = 1 a23 = -1 a24 = 1a31 = eλHω.sin(λHω) a32 = -eλHω.cos(λHω) a33 = -e-λHω.sin(λHω) a34 = e-λHω.cos(λHω)a41 = eλHω.(cos(λHω)+sin(λHω)) a42 = eλHω.(-cos(λHω)+sin(λHω))a43 = e-λHω.(-cos(λHω)+sin (λHω)) a44 = e-λHω.(-cos(λHω)-sin (λHω))3.2.2.- Unión articulada flexibleLa pared apoya sobre la solera mediante apoyos de neopreno. En este caso, lascondiciones de contorno son:M x ( x = 0) = K 2 ·θ x ( x = 0)Q ( x = 0) = K ·ω ( x = 0)  x 1  M x ( x = H ω ) = 0 Q x ( x = H ω ) = 0  
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 100Que supone tener el siguiente sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas (C1,C2,C3 y C4): a11 a12 a13 a14   C1   K 2 ·γ ω ·R 2 / E ·h·λ      a 21 a 22 a 23 a 24   C 2   K 1 ·γ ω ·H ω ·R 2 / E ·h  a a a a · C  =   31 32 33 34   3   0  a a a a  C    41 42 43 44   4   0 a11 = -K2 a12 = -(2.D.λ + K2) a13 = K2 a14 = (2.D.λ - K2)a21 = K1- 2.D.λ3 a22 = 2.D.λ3 a23 = K1 + 2.D.λ3 a24 = 2.D.λ3a31 = eλHω.sin(λHω) a32 = -eλHω.cos(λHω) a33 = -e-λHω.sin(λHω) a34 = e-λHω.cos(λHω)a41 = eλHω.(cos(λHω)+sin(λHω)) a42 = eλHω.(-cos(λHω)+sin(λHω))a43 = e-λHω.(-cos(λHω)+sin (λHω)) a44 = e-λHω.(-cos(λHω)-sin (λHω))Siendo:K1 la rigidez al desplazamiento radial, en N/m·m, que vale: a·b·G K1 = si hay un único apoyo centrado en la pared. (3.2) t ·n·s 2·a·b·G K1 = si hay dos apoyos separados una distancia d entre ejes. (3.3) t ·n·sPor su parte, K2 es la rigidez al giro, en N·m/m y vale: a 5 ·b·G K2 = si hay un único apoyo centrado en la pared. (3.4) 75·t 3 ·n·s a·b·d 2 ·E n K2 = si hay dos apoyos separados una distancia d entre ejes. (3.5) 2·t ·n·s con: a: dimensión en planta del neopreno según la dirección radial.
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 101 b: dimensión en planta del neopreno según la dirección circunferencial. d: distancia entre ejes en el caso de disponer dos neoprenos. n: número de capas de neopreno. t: espesor de una de las capas de neopreno. G: módulo de rigidez tangencial del neopreno (G≈0,90 N/mm2). En: módulo de deformación del neopreno (En≈600 N/mm2). s: separación entre ejes de neoprenos en la dirección circunferencial.3.2.3.- Unión articulada fijaLa pared se introduce en una muesca de la solera, con lo que tiene coartado sudesplazamiento horizontal. En este caso, las condiciones de contorno son:ω ( x = 0) = 0 M ( x = 0) = 0  x   M x ( x = H ω ) = 0Q x ( x = H ω ) = 0  Que supone tener el siguiente sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas (C1,C2,C3 y C4): a11 a12 a13 a14   C1   γ ω ·H ω ·R 2 / E·h      a 21 a 22 a 23 a 24   C 2   0  a a a a · C  =  0  31 32 33 34   3    a a a a  C  0  41 42 43 44   4   a11 = 1 a12 = 0 a13 = 1 a14 = 0a21 = 0 a22 = -1 a23 = 0 a24 = 1a31 = eλHω.sin(λHω) a32 = -eλHω.cos(λHω) a33 = -e-λHω.sin(λHω) a34 = e-λHω.cos(λHω)a41 = eλHω.(cos(λHω)+sin(λHω)) a42 = eλHω.(-cos(λHω)+sin(λHω))a43 = e-λHω.(-cos(λHω)+sin (λHω)) a44 = e-λHω.(-cos(λHω)-sin (λHω))Sea cual sea la unión pared-solera que tengamos, una vez resuelto el sistema, y por
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 102tanto, conocidas las cuatro constantes de integración C1,C2,C3 y C4, ya nos quedatotalmente determinado el campo de desplazamientos y el campo de esfuerzos en latotalidad de la pared solicitada por el empuje hidrostático, solo con aplicar lasecuaciones que ya conocemos:ω(x) = C1.eλx.cos(λx) + C2.eλx.sin(λx) + C3.e-λx.cos(λx) + C4.e-λx.sin(λx) - γ ω ·( H ω − x)·R 2 (3.6) E·hθx(x) = C1.λ.eλx.(cos(λx)-sin(λx)) + C2.λ.eλx.(cos(λx)+sin(λx)) + γ ω ·R 2 .λ.e-λx.(-cos(λx)-sin(λx)) + C4.λ.e-λx.(cos(λx)-sin(λx)) + (3.7) E ·h  − E·h  λx λx -λxNφ(x) =   · [C1.e .cos(λx) + C2.e .sin(λx) + C3.e .cos(λx) +  R  -λx γ ω ·( H ω − x)·R 2 C4.e .sin(λx) - ] E·hMx(x) = 2.D.λ2.[C1.eλx.sin(λx) - C2.eλx.cos(λx) - C3.e-λx.sin(λx) + C4.e-λx.cos(λx)] (3.8)Mφ(x) = ν.Mx(x) (3.9)Qx(x) = 2.D.λ3.[C1.eλx.(cos(λx)+sin(λx)) + C2.eλx.(-cos(λx)+sin(λx)) + C3.e-λx.(-cos(λx)+sin(λx)) + C4.e-λx.(-cos(λx)-sin(λx))] (3.10)
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 1033.3.- PARED SOLICITADA POR EMPUJE DE TIERRAS CON Ht=HFigura 3.2.- Esquema de la acción del empuje de tierras contra la pared con el nivel del terreno llegando hasta la coronación del muroEl campo de desplazamientos radiales ω(x) para esta hipótesis de carga ya es conocido:ω(x) = C1.eλx.cos(λx) + C2.eλx.sin(λx) + C3.e-λx.cos(λx) + C4.e-λx.sin(λx) + γ t ·K a ·( H t − x)·R 2 (3.11) E·hsiendo Ka el coeficiente de empuje activo de Rankine que vale: Ka = tg2(45º-ø/2)3.3.1.- Unión monolíticaEl empotramiento pared-solera nos lleva a plantear las siguientes condiciones decontorno:
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 104ω ( x = 0) = 0 θ ( x = 0) = 0  x  M x ( x = H t ) = 0Q x ( x = H t ) = 0  Que supone tener el siguiente sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas (C1,C2,C3 y C4): a11 a12 a13 a14   C1   − γ t ·K a ·H t ·R 2 / E ·h      a 21 a 22 a 23 a 24   C 2   γ t ·K a ·R 2 / E ·h·λ  a a a a · C  =   31 32 33 34   3   0  a a a a  C    41 42 43 44   4   0 a11 = 1 a12 = 0 a13 = 1 a14 = 0a21 = 1 a22 = 1 a23 = -1 a24 = 1a31 = eλHt.sin(λHt) a32 = -eλHt.cos(λHt) a33 = -e-λHt.sin(λHt) a34 = e-λHt.cos(λHt)a41 = eλHt.(cos(λHt)+sin(λHt)) a42 = eλHt.(-cos(λHt)+sin(λHt))a43 = e-λHt.(-cos(λHt)+sin (λHt)) a44 = e-λHt.(-cos(λHt)-sin (λHt))3.3.2.- Unión articulada flexibleLa pared apoya sobre la solera mediante apoyos de neopreno. Las condiciones decontorno son:M x ( x = 0) = K 2 ·θ x ( x = 0)Q ( x = 0) = K ·ω ( x = 0)  x 1  M x ( x = H t ) = 0 Q x ( x = H t ) = 0  Que supone tener el siguiente sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas (C1,C2,C3 y C4):
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 105 a11 a12 a13 a14   C1   − K 2 ·γ t ·K a ·R 2 / E ·h·λ      a 21 a 22 a 23 a 24   C 2   − K 1 ·γ t ·K a ·H t ·R 2 / E ·h  a a a a · C  =   31 32 33 34   3   0  a a a a  C    41 42 43 44   4   0 a11 = -K2 a12 = -(2.D.λ + K2) a13 = K2 a14 = (2.D.λ - K2)a21 = K1- 2.D.λ3 a22 = 2.D.λ3 a23 = K1 + 2.D.λ3 a24 = 2.D.λ3a31 = eλHt.sin(λHt) a32 = -eλHt.cos(λHt) a33 = -e-λHt.sin(λHt) a34 = e-λHt.cos(λHt)a41 = eλHt.(cos(λHt)+sin(λHt)) a42 = eλHt.(-cos(λHt)+sin(λHt))a43 = e-λHt.(-cos(λHt)+sin (λHt)) a44 = e-λHt.(-cos(λHt)-sin (λHt))3.3.3.- Unión articulada fijaLa pared se introduce en una muesca de la solera. Las condiciones de contorno son:ω ( x = 0) = 0 M ( x = 0) = 0  x  M x ( x = H t ) = 0Q x ( x = H t ) = 0  Que supone tener el siguiente sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas (C1,C2,C3 y C4): a11 a12 a13 a14   C1   − γ t ·K a ·H t ·R 2 / E·h      a 21 a 22 a 23 a 24   C 2   0  a a a a · C  =  0  31 32 33 34   3    a a a a  C  0  41 42 43 44   4   a11 = 1 a12 = 0 a13 = 1 a14 = 0a21 = 0 a22 = -1 a23 = 0 a24 = 1a31 = eλHt.sin(λHt) a32 = -eλHt.cos(λHt) a33 = -e-λHt.sin(λHt) a34 = e-λHt.cos(λHt)a41 = eλHt.(cos(λHt)+sin(λHt)) a42 = eλHt.(-cos(λHt)+sin(λHt))a43 = e-λHt.(-cos(λHt)+sin (λHt)) a44 = e-λHt.(-cos(λHt)-sin (λHt))
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 106También en este caso, sea cual sea la unión pared-solera que tengamos, una vez resueltoel sistema, y por tanto, conocidas las cuatro constantes de integración C1,C2,C3 y C4, yanos queda totalmente determinado el campo de desplazamientos y el campo deesfuerzos en la totalidad de la pared solicitada por el empuje de tierras con Ht=H, solocon aplicar las ecuaciones que ya conocemos:ω(x) = C1.eλx.cos(λx) + C2.eλx.sin(λx) + C3.e-λx.cos(λx) + C4.e-λx.sin(λx) + γ t ·K a ·( H t − x)·R 2 (3.12) E·hθx(x) = C1.λ.eλx.(cos(λx)-sin(λx)) + C2.λ.eλx.(cos(λx)+sin(λx)) + C3.λ.e-λx. -λx γ t ·K a ·R 2 (-cos(λx)-sin(λx)) + C4.λ.e .(cos(λx)-sin(λx)) - (3.13) E ·h  − E·h  λx λx -λxNφ(x) =   · [C1.e .cos(λx) + C2.e .sin(λx) + C3.e .cos(λx) +  R  γ t ·K a ·( H t − x)·R 2 C4.e-λx.sin(λx)+ ] (3.14) E·hMx(x) = 2.D.λ2.[C1.eλx.sin(λx) - C2.eλx.cos(λx) - C3.e-λx.sin(λx) + C4.e-λx.cos(λx)] (3.15)Mφ(x) = ν.Mx(x) (3.16)Qx(x) = 2.D.λ3.[C1.eλx.(cos(λx)+sin(λx)) + C2.eλx.(-cos(λx)+sin(λx)) + C3.e-λx.(-cos(λx)+sin(λx)) + C4.e-λx.(-cos(λx)-sin(λx))] (3.17)
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 1073.4.-PARED SOLICITADA POR EMPUJE DE TIERRAS CON Ht <HFigura 3.3.- Esquema de la acción del empuje de tierras contra la pared con el nivel del terreno por debajo la coronación del muroTenemos que subdividir la pared en dos anillos: el anillo inferior 1 hasta dónde llega elnivel de tierras Ht, y el anillo superior 2, situado por encima. El campo dedesplazamientos radiales será:ω1(x) = C1.eλxcos(λx) + C2.eλx.sin(λx) + C3.e-λx.cos(λx) + C4.e-λx.sin(λx) + γ t ·K a ·(H t − x )·R 2 (3.18) E·hω2(x) = C5.eλxcos(λx) + C6.eλx.sin(λx) + C7.e-λx.cos(λx) + C8.e-λx.sin(λx) (3.19)3.4.1.- Unión monolíticaEl empotramiento pared-solera nos lleva a plantear las siguientes condiciones de
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 108contorno:ω1 ( x = 0) = 0  M x 2 ( x = H t ) = M 1 θ ( x = 0) = 0  Q ( x = H ) = Q  ω ( x = H ) = ω ( x = H ) x1   x2 t 1   1 t 2 t      M x1 ( x = H t ) = M 1  M x 2 ( x = H ω ) = 0  θ x1 ( x = H t ) = θ x 2 ( x = H t )Q x1 ( x = H t ) = Q1   Q x 2 ( x = H ω ) = 0   que supone tener el siguiente sistema de 10 ecuaciones con 10 incógnitas(C1,C2,C3,C4,C5,C6,C7,C8,M1 y Q1): a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18 a19 a110   C1   − γ t ·K a ·H t ·R 2 / E·h      a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 a 26 a 27 a 28 a 29 a 210  C 2   γ t ·K a ·R 2 / E·h·λ a a a a a a a a a a  C    31 32 33 34 35 36 37 38 39 310   3  0  a 41 a 42 a 43 a 44 a 45 a 46 a 47 a 48 a 49 a 410   C4   0      a51 a52 a53 a54 a55 a56 a57 a58 a59 a510 · C 5  =  0  a 61 a62 a 63 a 64 a 65 a 66 a 67 a 68 a 69 a610   C6   0      a 71 a72 a 73 a 74 a 75 a 76 a 77 a 78 a 79 a710  C7   0 a a a a a a a a a a  C  0  81 82 83 84 85 86 87 88 89 810  8    a91 a92 a93 a94 a95 a96 a97 a98 a99 a910   M1  0        a101 a102 a103 a104 a105 a106 a107 a108 a109 a1010   Q1   γ t ·K a ·R / E·h·λ  2a11 = 1 a12 = 0 a13 = 1 a14 = 0 a15 = 0 a16 = 0 a17 = 0 a18 = 0 a19 = 0 a110 = 0a21 = 1 a22 = 1 a23 = -1 a24 = 1 a25 = 0 a26 = 0 a27 = 0 a28 = 0 a29 = 0 a210 = 0a31 = eλHt.sin(λHt) a32 = -eλHt.cos(λHt) a33 = -e-λHt.sin(λHt) a34 = e-λHt.cos(λHt) −1a35 = 0 a36 = 0 a37 = 0 a38 = 0 a39 = a310 = 0 2·D·λ 2a41 = eλHt.(cos(λHt)+sin(λHt)) a42 = eλHt.(-cos(λHt)+sin(λHt))a43 = e-λHt.(-cos(λHt)+sin (λHt)) a44 = e-λHt.(-cos(λHt)-sin (λHt)) −1a45 = 0 a46 = 0 a47 = 0 a48 = 0 a49 = 0 a410 = 2·D·λ3a51 = 0 a52 = 0 a53 = 0 a54 = 0 a55 = eλHt.sin(λHt) −1a56 = -eλHt.cos(λHt) a57 = -e-λHt.sin(λHt) a58 = e-λHt.cos(λHt) a59 = a510 = 0 2·D·λ 2a61 = 0 a62 = 0 a63 = 0 a64 = 0 a65 = eλHt.(cos(λHt)+sin(λHt))
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 109a66 = eλHt.(-cos(λHt)+sin(λHt)) a67 = e-λHt.(-cos(λHt)+sin (λHt)) −1a68 = e-λHt.(-cos(λHt)-sin (λHt)) a69 = 0 a610 = 2·D·λ3a71 = 0 a72 = 0 a73 = 0 a74 = 0 a75 = eλHω.sin(λHω)a76 = -eλHω.cos(λHω) a77 = -e-λHω.sin(λHω) a78 = e-λHω.cos(λHω) a79 = 0 a710 = 0a81 = 0 a82 = 0 a83 = 0 a84 = 0 a85 = eλHω.(cos(λHω)+sin(λHω))a86 = eλHω.(-cos(λHω)+sin(λHω)) a87 = e-λHω.(-cos(λHω)+sin (λHω))a88 = e-λHω.(-cos(λHω)-sin (λHω)) a89 = 0 a810 = 0a91 = eλHt.cos(λHt) a92 = eλHt.sin(λHt) a93 = e-λHt.cos(λHt) a94 = e-λHt.sin(λHt)a95 = -eλHt.cos(λHt) a96 = -eλHt.sin(λHt) a97 = -e-λHt.cos(λHt) a98 = -e-λHt.sin(λHt)a99 = 0 a910 = 0a101 = eλHt.(cos(λHt)-sin(λHt)) a102 = eλHt.(cos(λHt)+sin(λHt))a103 = e-λHt.(-cos(λHt)-sin(λHt)) a104 = e-λHt.(cos(λHt)-sin(λHt))a105 = -eλHt.(cos(λHt)-sin(λHt)) a106 = -eλHt.(cos(λHt)+sin(λHt))a107 = -e-λHt.(-cos(λHt)-sin(λHt)) a108 = -e-λHt.(cos(λHt)-sin(λHt)) a109 = 0 a1010 = 03.4.2.- Unión articulada flexibleLa pared apoya sobre la solera mediante apoyos de neopreno. Las condiciones decontorno son:M x1 ( x = 0) = K 2 ·θ x1 ( x = 0) M x 2 ( x = H t ) = M 1 Q ( x = 0) = K ·ω ( x = 0)  Q ( x = H ) = Q  ω ( x = H ) = ω ( x = H ) x1 1 1   x2 t 1   1 t 2 t      M x1 ( x = H t ) = M 1  M x 2 ( x = H ω ) = 0  θ x1 ( x = H t ) = θ x 2 ( x = H t )Q x1 ( x = H t ) = Q1   Q x 2 ( x = H ω ) = 0   que supone tener el siguiente sistema de 10 ecuaciones con 10 incógnitas(C1,C2,C3,C4,C5,C6,C7,C8,M1 y Q1):
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 110 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18 a19 a110   C1   − K 2 ·γ t ·K a ·R 2 / E·h·λ      a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 a 26 a 27 a 28 a 29 a 210   C 2   − K 1 ·γ t ·K a ·H t ·R 2 / E·h a a a a a a a a a a  C    31 32 33 34 35 36 37 38 39 310   3  0  a 41 a 42 a 43 a 44 a 45 a 46 a 47 a 48 a 49 a 410   C4   0      a51 a52 a53 a54 a55 a56 a57 a58 a59 a510 · C5   0  =  a 61 a 62 a63 a 64 a65 a66 a 67 a 68 a 69 a610   C6  0     a 71 a 72 a73 a 74 a75 a76 a 77 a 78 a 79 a710   C7   0 a a a a a a a a a a  C  0  81 82 83 84 85 86 87 88 89 810  8    a91 a92 a93 a94 a95 a96 a97 a98 a99 a910   M1  0        a101 a102 a103 a104 a105 a106 a107 a108 a109 a1010   Q1   γ t ·K a ·R / E·h·λ 2 a11 = -K2 a12 = -(2.D.λ + K2) a13 = K2 a14 = (2.D.λ – K2) a15 = 0a16 = 0 a17 = 0 a18 = 0 a19 = 0 a110 = 0a21 = K1- 2.D.λ3 a22 = 2.D.λ3 a23 = K1 + 2.D.λ3 a24 = 2.D.λ3 a25 = 0a26 = 0 a27 = 0 a28 = 0 a29 = 0 a210 = 0a31 hasta a1010 quedan igual que en el caso anterior.3.4.3.- Unión articulada fijaLa pared se introduce en una muesca de la solera. Las condiciones de contorno son:ω1 ( x = 0) = 0  M x 2 ( x = H t ) = M 1  M ( x = 0) = 0  Q ( x = H ) = Q  ω ( x = H ) = ω ( x = H ) x1   x2 t 1   1 t 2 t      M x1 ( x = H t ) = M 1  M x 2 ( x = H ω ) = 0  θ x1 ( x = H t ) = θ x 2 ( x = H t )Q x1 ( x = H t ) = Q1   Q x 2 ( x = H ω ) = 0   que supone tener el siguiente sistema de 10 ecuaciones con 10 incógnitas(C1,C2,C3,C4,C5,C6,C7,C8,M1 y Q1):
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 111 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18 a19 a110   C1   − γ t ·K a ·H t ·R 2 / E·h      a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 a 26 a 27 a 28 a 29 a 210   C2   0 a a a a a a a a a a  C  0  31 32 33 34 35 36 37 38 39 310  3    a 41 a 42 a 43 a 44 a 45 a 46 a 47 a 48 a 49 a 410   C4   0      a51 a52 a53 a54 a55 a56 a57 a58 a59 a510 · C 5  =  0  a 61 a 62 a 63 a 64 a 65 a 66 a 67 a 68 a 69 a 610   C6   0      a 71 a 72 a 73 a 74 a 75 a 76 a 77 a 78 a 79 a 710   C7   0 a a a a a a a a a a  C  0  81 82 83 84 85 86 87 88 89 810  8    a91 a92 a93 a94 a95 a96 a97 a98 a99 a910   M1  0      a101 a102 a103 a104 a105 a106 a107 a108 a109 a1010   Q1   γ t ·K a ·R / E·h·λ  2a11 = 1 a12 = 0 a13 = 1 a14 = 0 a15 = 0 a16 = 0 a17 = 0 a18 = 0 a19 = 0 a110 = 0a21 = 0 a22 = -1 a23 = 0 a24 = 1 a25 = 0 a26 = 0 a27 = 0 a28 = 0 a29 = 0 a210 = 0a31 hasta a1010 quedan igual que en el caso anteriorTambién en este caso, sea cual sea la unión pared-solera que tengamos, una vez resueltoel sistema, y por tanto, conocidas las ocho constantes de integraciónC1,C2,C3,C4,C5,C6,C7 y C8, ya nos queda totalmente determinado el campo dedesplazamientos y el campo de esfuerzos en los dos anillos solicitados por el empuje detierras con Ht ≤ H, y por tanto, en la totalidad de la pared, solo con aplicar lasecuaciones que ya conocemos:ω1(x) = C1.eλx.cos(λx) + C2.eλx.sin(λx) + C3.e-λx.cos(λx) + C4.e-λx.sin(λx) + γ t ·K a ·( H t − x)·R 2 (3.20) E·hθx1(x) = C1.λ.eλx.(cos(λx)-sin(λx)) + C2.λ.eλx.(cos(λx)+sin(λx)) + C3.λ.e-λx. γ t ·K a ·R 2 (-cos(λx)-sin(λx)) + C4.λ.e-λx.(cos(λx)-sin(λx)) - (3.21) E ·h  − E·h  λx λx -λxNφ1(x) =   ·[C1.e .cos(λx) + C2.e .sin(λx) + C3.e .cos(λx) +  R  -λx γ t ·K a ·( H t − x)·R 2 C4.e .sin(λx)+ ] (3.22) E·h
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 112Mx1(x) = 2.D.λ2.[C1.eλx.sin(λx) - C2.eλx.cos(λx) - C3.e-λx.sin(λx) + C4.e-λx.cos(λx)] (3.23)Mφ1(x) = ν.Mx1(x) (3.24)Qx1(x) = 2.D.λ3.[C1.eλx.(cos(λx)+sin(λx)) + C2.eλx.(-cos(λx)+sin(λx)) + C3.e-λx.(-cos(λx)+sin(λx)) + C4.e-λx.(-cos(λx)-sin(λx))] (3.25)ω2(x) = C5.eλxcos(λx) + C6.eλx.sin(λx) + C7.e-λx.cos(λx) + C8.e-λx.sin(λx) (3.26)θx2(x) = C5.λ.eλx.(cos(λx)-sin(λx)) + C6.λ.eλx.(cos(λx)+sin(λx)) + C7.λ.e-λx. (-cos(λx)-sin(λx)) + C8.λ.e-λx.(cos(λx)-sin(λx)) (3.27)  − E·h  λx λx -λx -λxNφ2(x)=   ·[C5.e .cos(λx)+C6.e .sin(λx)+C7.e .cos(λx)+C8.e .sin(λx)] (3.28)  R Mx2(x) = 2.D.λ2.[C5.eλx.sin(λx) - C6.eλx.cos(λx) - C7.e-λx.sin(λx) + C8.e-λx.cos(λx)] (3.29)Mφ2(x) = ν.Mx2(x) (3.30)Qx2(x) = 2.D.λ3.[C5.eλx.(cos(λx)+sin(λx)) + C6.eλx.(-cos(λx)+sin(λx)) + C7.e-λx.(-cos(λx)+sin(λx)) + C8.e-λx.(-cos(λx)-sin(λx))] (3.31)
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 1133.5.- PARED SOLICITADA POR EL PRETENSADOFigura 3.4.- Esquema de la acción del pretensado contra la paredCuando la acción es el pretensado, el problema se resuelve fácilmente estudiandoindependientemente cada uno de los tendones, y superponiendo posteriormente losresultados.Subdividimos la pared en dos anillos: el anillo inferior 1 hasta la posición xi del tendónde pretensado, y el anillo superior 2, situado por encima. El campo de desplazamientosradiales será:ω1(x) = C1.eλxcos(λx) + C2.eλx.sin(λx) + C3.e-λx.cos(λx) + C4.e-λx.sin(λx) (3.32)ω2(x) = C5.eλxcos(λx) + C6.eλx.sin(λx) + C7.e-λx.cos(λx) + C8.e-λx.sin(λx) (3.33)3.5.1.- Unión monolíticaEl empotramiento pared-solera nos lleva a plantear las siguientes condiciones de
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 114contorno:  M x 2 ( x = xi ) = M 1 ω1 ( x = 0) = 0   θ ( x = 0) = 0  Q ( x = x ) = Q − Pk  ω ( x = x ) = ω ( x = x )  x1   x2 i 1  1 i 2 i   Rtendón   M x1 ( x = xi ) = M 1  M ( x = H ) = 0  θ x1 ( x = xi ) = θ x 2 ( x = xi )Q x1 ( x = xi ) = Q1    x2 ω  Qx 2 ( x = H ω ) = 0   siendo Pk la fuerza de pretensado aplicada en la ordenada xi, y Rtendón el radio de lacircunferencia descrita por el tendón de pretensado. Todo ello supone tener el siguientesistema de 10 ecuaciones con 10 incógnitas (C1,C2,C3,C4,C5,C6,C7,C8,M1 y Q1): a11a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18 a19 a110   C1   0      a21a22 a23 a24 a25 a26 a27 a28 a29 a 210   C2   0 a a a a a a a a a a  C  0  31 32 33 34 35 36 37 38 39 310  3    a 41a 42 a 43 a 44 a 45 a 46 a 47 a 48 a 49 a 410   C4   0     0  a51a52 a53 a54 a55 a56 a57 a58 a59 a510 · C5  =   a61a62 a63 a64 a65 a66 a67 a68 a69 a610   C6   − P /(2·R 3  tendón ·D·λ )    k  a71a72 a73 a74 a75 a76 a77 a78 a79 a710   C7   0 a a a a a a a a a a  C  0  81 82 83 84 85 86 87 88 89 810  8    a91a92 a93 a94 a95 a96 a97 a98 a99 a910   M1   0      a101a102 a103 a104 a105 a106 a107 a108 a109 a1010   Q1   0 a11 = 1 a12 = 0 a13 = 1 a14 = 0 a15 = 0 a16 = 0 a17 = 0 a18 = 0 a19 = 0 a110 = 0a21 = 1 a22 = 1 a23 = -1 a24 = 1 a25 = 0 a26 = 0 a27 = 0 a28 = 0 a29 = 0 a210 = 0a31 = eλxi.sin(λxi) a32 = -eλxi.cos(λxi) a33 = -e-λxi.sin(λxi) a34 = e-λxi.cos(λxi) −1a35 = 0 a36 = 0 a37 = 0 a38 = 0 a39 = a310 = 0 2·D·λ 2a41 = eλxi.(cos(λxi)+sin(λxi)) a42 = eλxi.(-cos(λxi)+sin(λxi))a43 = e-λxi.(-cos(λxi)+sin (λxi)) a44 = e-λxi.(-cos(λxi)-sin (λxi)) −1a45 = 0 a46 = 0 a47 = 0 a48 = 0 a49 = 0 a410 = 2·D·λ3a51 = 0 a52 = 0 a53 = 0 a54 = 0 a55 = eλxi.sin(λxi)
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 115 −1a56 = -eλxi.cos(λxi) a57 = -e-λxi.sin(λxi) a58 = e-λxi.cos(λxi) a59 = a510 = 0 2·D·λ 2a61 = 0 a62 = 0 a63 = 0 a64 = 0 a65 = eλxi.(cos(λxi)+sin(λxi))a66 = eλxi.(-cos(λxi)+sin(λxi)) a67 = e-λxi.(-cos(λxi)+sin (λxi)) −1a68 = e-λxi.(-cos(λxi)-sin (λxi)) a69 = 0 a610 = 2·D·λ3a71 = 0 a72 = 0 a73 = 0 a74 = 0 a75 = eλHω.sin(λHω)a76 = -eλHω.cos(λHω) a77 = -e-λHω.sin(λHω) a78 = e-λHω.cos(λHω) a79 = 0 a710 = 0a81 = 0 a82 = 0 a83 = 0 a84 = 0 a85 = eλHω.(cos(λHω)+sin(λHω))a86 = eλHω.(-cos(λHω)+sin(λHω)) a87 = e-λHω.(-cos(λHω)+sin (λHω))a88 = e-λHω.(-cos(λHω)-sin (λHω)) a89 = 0 a810 = 0a91 = eλxi.cos(λxi) a92 = eλxi.sin(λxi) a93 = e-λxi.cos(λxi) a94 = e-λxi.sin(λxi)a95 = -eλxi.cos(λxi) a96 = -eλxi.sin(λxi) a97 = -e-λxi.cos(λxi) a98 = -e-λxi.sin(λxi)a99 = 0 a910 = 0a101 = eλxi.(cos(λxi)-sin(λxi)) a102 = eλxi.(cos(λxi)+sin(λxi))a103 = e-λxi.(-cos(λxi)-sin(λxi)) a104 = e-λxi.(cos(λxi)-sin(λxi))a105 = -eλxi.(cos(λxi)-sin(λxi)) a106 = -eλxi.(cos(λxi)+sin(λxi))a107 = -e-λxi.(-cos(λxi)-sin(λxi)) a108 = -e-λxi.(cos(λxi)-sin(λxi)) a109 = 0 a1010 = 03.5.2.- Unión articulada flexibleLa pared apoya sobre la solera mediante apoyos de neopreno. Las condiciones decontorno son:  M x 2 ( x = xi ) = M 1 M x1 ( x = 0) = K 2 ·θ x1 ( x = 0)  Q ( x = 0) = K ·ω ( x = 0)  x1 1 1  Qx 2 ( x = xi ) = Q1 − Pk  ω1 ( x = xi ) = ω 2 ( x = xi )      Rtend   M x1 ( x = xi ) = M 1  M ( x = H ) = 0  θ x1 ( x = xi ) = θ x 2 ( x = xi )Q x1 ( x = xi ) = Q1    x2 ω   Qx 2 ( x = H ω ) = 0  que supone tener el siguiente sistema de 10 ecuaciones con 10 incógnitas(C1,C2,C3,C4,C5,C6,C7,C8,M1 y Q1):
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 116 a11a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18 a19 a110   C1   0      a21a 22 a 23 a 24 a 25 a26 a27 a 28 a29 a 210   C2   0 a a a a a a a a a a  C  0  31 32 33 34 35 36 37 38 39 310  3    a41a 42 a 43 a 44 a 45 a46 a47 a 48 a49 a 410   C4   0      a51a52 a53 a54 a55 a56 a57 a58 a59 a510 · C5  =  0  a61a62 a63 a64 a65 a66 a67 a68 a69 a610   C6   − Pk /(2·Rtendón ·D·λ3 )      a71a72 a73 a74 a75 a76 a77 a78 a79 a710   C7   0 a a a a a a a a a a  C  0  81 82 83 84 85 86 87 88 89 810  8    a91a92 a93 a94 a95 a96 a97 a98 a99 a910   M1   0      a101a102 a103 a104 a105 a106 a107 a108 a109 a1010   Q1   0 a11 = -K2 a12 = -(2.D.λ + K2) a13 = K2 a14 = (2.D.λ – K2) a15 = 0a16 = 0 a17 = 0 a18 = 0 a19 = 0 a110 = 0 3 3a21 = K1- 2.D.λ a22 = 2.D.λ a23 = K1 + 2.D.λ3 a24 = 2.D.λ3 a25 = 0a26 = 0 a27 = 0 a28 = 0 a29 = 0 a210 = 0a31 hasta a1010 quedan igual que en el caso anterior.3.5.3.- Unión articulada fijaLa pared se introduce en una muesca de la solera. Las condiciones de contorno son:  M x 2 ( x = xi ) = M 1 ω1 ( x = 0) = 0   M ( x = 0) = 0  x1  Qx 2 ( x = xi ) = Q1 − Pk  ω1 ( x = xi ) = ω 2 ( x = xi )      Rtendón   M x1 ( x = xi ) = M 1  M ( x = H ) = 0  θ x1 ( x = xi ) = θ x 2 ( x = xi )Q x1 ( x = xi ) = Q1    x2 ω  Qx 2 ( x = H ω ) = 0   que supone tener el siguiente sistema de 10 ecuaciones con 10 incógnitas(C1,C2,C3,C4,C5,C6,C7,C8,M1 y Q1):
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 117 a11a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18 a19 a110   C1   0      a21a 22 a 23 a 24 a 25 a26 a27 a 28 a29 a 210   C2   0 a a a a a a a a a a  C  0  31 32 33 34 35 36 37 38 39 310  3    a41a 42 a 43 a 44 a 45 a46 a47 a 48 a49 a 410   C4   0      a51a52 a53 a54 a55 a56 a57 a58 a59 a510 · C5  =  0  a61a62 a63 a64 a65 a66 a67 a68 a69 a610   C6   − Pk /(2·Rtendón ·D·λ3 )      a71a72 a73 a74 a75 a76 a77 a78 a79 a710   C7   0 a a a a a a a a a a  C  0  81 82 83 84 85 86 87 88 89 810  8    a91a92 a93 a94 a95 a96 a97 a98 a99 a910   M1   0      a101a102 a103 a104 a105 a106 a107 a108 a109 a1010   Q1   0 a11 = 1 a12 = 0 a13 = 1 a14 = 0 a15 = 0 a16 = 0 a17 = 0 a18 = 0 a19 = 0 a110 = 0a21 = 0 a22 = -1 a23 = 0 a24 = 1 a25 = 0 a26 = 0 a27 = 0 a28 = 0 a29 = 0 a210 = 0a31 hasta a1010 quedan igual que en el caso anterior.También en este caso, sea cual sea la unión pared-solera que tengamos, una vez resueltoel sistema, y por tanto, conocidas las ocho constantes de integraciónC1,C2,C3,C4,C5,C6,C7 y C8, ya nos queda totalmente determinado el campo dedesplazamientos y el campo de esfuerzos en los dos anillos solicitados por elpretensado, y por tanto, en la totalidad de la pared, solo con aplicar las ecuaciones queya conocemos:ω1(x) = C1.eλx.cos(λx) + C2.eλx.sin(λx) + C3.e-λx.cos(λx) + C4.e-λx.sin(λx) (3.34)θx1(x) = C1.λ.eλx.(cos(λx)-sin(λx)) + C2.λ.eλx.(cos(λx)+sin(λx)) + C3.λ.e-λx. (-cos(λx)-sin(λx)) + C4.λ.e-λx.(cos(λx)-sin(λx)) (3.35)  − E·h  λx λx -λx -λxNφ1(x)=   ·[C1.e .cos(λx)+C2.e .sin(λx)+C3.e .cos(λx)+C4.e .sin(λx)] (3.36)  R Mx1(x) = 2.D.λ2.[C1.eλx.sin(λx) - C2.eλx.cos(λx) - C3.e-λx.sin(λx) + C4.e-λx.cos(λx)] (3.37)Mφ1(x) = ν.Mx1(x) (3.38)
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 118Qx1(x) = 2.D.λ3.[C1.eλx.(cos(λx)+sin(λx)) + C2.eλx.(-cos(λx)+sin(λx)) + C3.e-λx.(-cos(λx)+sin(λx)) + C4.e-λx.(-cos(λx)-sin(λx))] (3.39)ω2(x) = C5.eλxcos(λx) + C6.eλx.sin(λx) + C7.e-λx.cos(λx) + C8.e-λx.sin(λx) (3.40)θx2(x) = C5.λ.eλx.(cos(λx)-sin(λx)) + C6.λ.eλx.(cos(λx)+sin(λx)) + C7.λ.e-λx. (-cos(λx)-sin(λx)) + C8.λ.e-λx.(cos(λx)-sin(λx)) (3.41)  − E·h  λx λx -λx -λxNφ2(x)=   ·[C5.e .cos(λx)+C6.e .sin(λx)+C7.e .cos(λx)+C8.e .sin(λx)] (3.42)  R Mx2(x) = 2.D.λ2.[C5.eλx.sin(λx) - C6.eλx.cos(λx) - C7.e-λx.sin(λx) + C8.e-λx.cos(λx)] (3.43)Mφ2(x) = ν.Mx2(x) (3.44)Qx2(x) = 2.D.λ3.[C5.eλx.(cos(λx)+sin(λx)) + C6.eλx.(-cos(λx)+sin(λx)) + C7.e-λx.(-cos(λx)+sin(λx)) + C8.e-λx.(-cos(λx)-sin(λx))] (3.45)
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 119 CAPÍTULO 4 EJEMPLOS DE CÁLCULO DE DEPÓSITOS4.1.- INTRODUCCIÓNEn el presente capítulo se presentan cuatro ejemplos de aplicación de los distintoscriterios empleados en el cálculo de depósitos de agua, a fin de reforzar y clarificar almáximo las ideas expuestas en los dos capítulos anteriores.Se trata de calcular de manera detallada y con todos los pasos necesarios la pared de undepósito rectangular de hormigón armado, la pared de un depósito cilíndrico dehormigón armado, la pared de un depósito cilíndrico de hormigón pretensado, yfinalmente la solera de un depósito rectangular.Se ha seguido el mismo desarrollo y consideraciones que figuraban en la exposiciónteórica anterior, a fin de establecer una total correspondencia entre la teoría y lapráctica.
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 1204.2.- EJEMPLO DE CÁLCULO DE LA PARED DE UN DEPÓSITORECTANGULAR DE HORMIGÓN ARMADO4.2.1.- EnunciadoSe pide calcular las paredes de un depósito rectangular enterrado de hormigón armadode medidas:a = b = 8,00 m, para una altura de agua de Hω = 4,00 m. y un resguardo de 0,50 m.La altura del relleno de tierras también es de Ht= 4,00 m., y sus característicasgeotécnicas son las siguientes: - Peso específico de las tierras: γt = 19 KN/m3 - Angulo de rozamiento interno de las tierras: ø = 27,50ºDado que el resguardo solo representa un 10% de la altura tortal de la pared,proponemos simplificar el cálculo suponiendo que tanto el nivel de agua como el nivelde tierras llegan hasta la coronación del muro, con lo que H = Hω = Ht = 4,0 m.El líquido contenido por el depósito es químicamente agresivo, lo que nos lleva aplantear la siguiente hipótesis de abertura máxima de fisura permitida: - Por la cara interior, debido a la agresividad del líquido adoptaremos wmáx = 0,1 mm. - Por la cara exterior, dado que el depósito está enterrado y por tanto, no habrá solicitaciones térmicas importantes, wmáx = 0,2 mm.
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 121Figura 4.1.- Cálculo de la pared de un depósito rectangular de hormigón armado4.2.2.- Datos preliminaresProponemos un espesor de pared de h = 0,35 m.Adoptaremos un hormigón del tipo HA-30/P/20/IV.Esto supone tener: fck = 30 N/mm2 f ck 30 fcd = = = 20 N/mm2 = 20.000.000 N/m2. γc 1,50Adoptaremos unas armaduras pasivas del tipo B 500 S.Esto supone tener: fyk = 500 N/mm2 f yk 500 fyd = = = 435 N/mm2 = 435.000.000 N/m2. γs 1,15
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 122Adoptaremos un recubrimiento de c = 40 mm.4.2.3.- Acciones a considerar en el cálculo de la pared - Empuje hidrostático: qh (x=0) = γω·Hω = 10.000 · 4,00 = 40.000 N/m2. - Empuje de tierras: qt (x=0) = γt·tg2(45º-ø/2)·Ht = 19.000 · tg2(45-27,5/2) · 4,00 = 27.985 N/m2.4.2.4.- Armaduras mínimas en las paredes- Cara interior: Avmín1 = Ahmín1 = 0,0020 · 100 · 35 = 7,00 cm2 = 1ø12c/16 cm.- Cara exterior: Avmín2 = Ahmín2 = 0,0015 · 100 · 35 = 5,25 cm2 = 1ø10c/15 cm.4.2.5.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de flexión- Combinación de acciones C1: 1,50x(Empuje hidrostático) a 8,00γ= = = 2,0 (Tablas de Richard Bares) (*) b( = H ω ) 4,00qhd = γf·qh = 1,50 · 40.000 = 60.000 N/m2.M x1d = -0,01610 · qhd · a2 = -0,01610 · 60.000 · (8,00)2 = -61.824 N·m/m. (hor, int.) ωM x 6 d = +0,00690 · qhd · a2 = +0,00690 · 60.000 · (8,00)2 = +26.496 N·m/m (hor, ext) ωM ω28d = -0,0845 · qhd · H ω = -0,0845 · 60.000 · (4,00)2 = -81.120 N·m/m. (vertical, int.) y 2 ωM y14d = +0,0159 · qhd · H ω = +0,0159 · 60.000 · (4,00)2 = +15.264 N·m/m. (vert, ext.) 2- Combinación de acciones C2: 1,60x(Empuje de tierras)
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 123 a 8,00γ= = = 2,0 (Tablas de Richard Bares) b( = H ω ) 4,00qtd = γf·qt = 1,60 · 27.985 = 44.776 N/m2.M x1d = -0,01610 · qtd · a2 = -0,01610 · 44.776 · (8,00)2 = -46.137 N·m/m. (hor, lado ext.) tM x 6 d = +0,00690 · qtd · a2 = +0,00690 · 44.776 · (8,00)2 = +19.773 N·m/m (hor, int.) tM y 28d = -0,0845 · qtd · H t2 = -0,0845 · 44.776 · (4,00)2 = -60.537 N·m/m. (vertical, ext.) tM y14d = +0,0159 · qtd · H t2 = +0,0159 · 44.776 · (4,00)2 = +11.391 N·m/m. (vertical, int.) t(*) Conviene no olvidar que en las paredes de depósitos rectangulares se cambia laordenada vertical x por la y, así como el convenio de signos empleado para el resto de latesina, a fin de facilitar el correcto uso de las tablas de Bares (1970).- La envolvente de la ley de momentos flectores verticales del lado interior en la uniónde las combinaciones C1 y C2 nos da: t - En la parte superior: M y14d = +11.391 N·m/m t M y14 d 11.391µ= = = 0,0063→ ωmín = 0,04 2 b·d · f cd 1,00·(0,35 − 0,05) 2 ·20.000.000 ω·b·d · f cd 0,04·1,00·0,30·20.000.000Avsup = 1 = ·10.000 = 5,52 cm2 = 1ø12c/20 cm. f yd 435.000.000 - En la parte inferior: M ω28 d = -81.120 N·m/m y M ω28d y 81.120µ= = = 0,045→ ω = 0,047 2 b·d · f cd 1,00·(0,35 − 0,05) 2 ·20.000.000
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 124 ω·b·d · f cd 0,047·1,00·0,30·20.000.000Avinf = 1 = ·10.000 = 6,48 cm2 = 1ø12c/17 cm. f yd 435.000.000- La envolvente de la ley de momentos flectores verticales del lado exterior en la uniónde las combinaciones C1 y C2 nos da: - En la parte superior: M ω14d = +15.264 N·m/m y M ω14 d y 15.264µ= = = 0,0085→ ωmín = 0,04 2 b·d · f cd 1,00·(0,35 − 0,05) 2 ·20.000.000 ω·b·d · f cd 0,04·1,00·0,30·20.000.000Avsup = 3 = ·10.000 = 5,52 cm2 = 1ø10c/14 cm. f yd 435.000.000 t - En la parte inferior: M y 28 d = -60.537 N·m/m t M y 28d 60.537µ= = = 0,034→ ωmín = 0,04 2 b·d · f cd 1,00·(0,35 − 0,05) 2 ·20.000.000 ω·b·d · f cd 0,04·1,00·0,30·20.000.000Avinf = 3 = ·10.000 = 5,52 cm2 = 1ø10c/14 cm. f yd 435.000.000- La envolvente de la ley de momentos flectores horizontales del lado interior en launión de las combinaciones C1 y C2 nos da: ω - En la parte del empotramiento: M x1d = -61.824 N·m/m ω M x1d 61.824µ= = = 0,034→ ωmín = 0,04 b·d · f cd 1,00·(0,35 − 0,05) 2 ·20.000.000 2
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 125 ω·b·d · f cd 0,04·1,00·0,30·20.000.000 empAh1 = = ·10.000 = 5,52 cm2 = 1ø12c/20 cm. f yd 435.000.000 t - En la parte central: M x 6 d = +19.773 N·m/m t M x6d 19.773µ= = = 0,011→ ωmín = 0,04 b·d · f cd 1,00·(0,35 − 0,05) 2 ·20.000.000 2 ω·b·d · f cd 0,04·1,00·0,30·20.000.000 centAh1 = = ·10.000 = 5,52 cm2 = 1ø12c/20 cm. f yd 435.000.000- La envolvente de la ley de momentos flectores horizontales del lado exterior en launión de las combinaciones C1 y C2 nos da: t - En la parte del empotramiento: M x1d = -46.137 N·m/m t M x1d 46.137µ= = = 0,026→ ωmín = 0,04 b·d · f cd 1,00·(0,35 − 0,05) 2 ·20.000.000 2 ω·b·d · f cd 0,04·1,00·0,30·20.000.000 empAh 4 = = ·10.000 = 5,52 cm2 = 1ø10c/14 cm. f yd 435.000.000 ω - En la parte central: M x 6 d = +26.496 N·m/m ω M x6d 26.496µ= = = 0,015→ ωmín = 0,04 b·d · f cd 1,00·(0,35 − 0,05) 2 ·20.000.000 2 ω·b·d · f cd 0,04·1,00·0,30·20.000.000 centAh 4 = = ·10.000 = 5,52 cm2 = 1ø10c/14 cm. f yd 435.000.000
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 1264.2.6.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de esfuerzo cortante- Combinación de acciones C1: 1,50x(Empuje hidrostático) a 8,00γ= = = 2,0 (Tablas de Richard Bares) b( = H ω ) 4,00qhd = γf·qh = 1,50 · 40.000 = 60.000 N/m2. ωR x 7 d = +0,1282 · qhd · a = +0,1282 · 60.000 · 8,00 = +61.536 N/m. ωR y 28d = +0,4584 · qhd · Hω = +0,4584 · 60.000 · 4,00 = +110.016 N/m.- Combinación de acciones C2: 1,60x(Empuje de tierras) a 8,00γ= = = 2,0 (Tablas de Richard Bares) b( = H ω ) 4,00qtd = γf·qt = 1,60 · 27.985 = 44.776 N/m2. tR x 7 d = +0,1282 · qtd · a = +0,1282 · 44.776 · 8,00 = +45.922 N/m. tR y 28d = +0,4584 · qtd · Hω = +0,4584 · 44.776 · 4,00 = +82.101 N/m. ωAdoptaremos el criterio de que el máximo esfuerzo cortante (en nuestro caso R y 28d =+110.016 N/m) pueda ser absorbido por la contribución del hormigón Vcu: ( )Vcu = 0,12·ξ ·3 100·ρ l · f ck ·b0 ·d (en N/m)siendo: 200 200 ξ = 1+ = 1+ = 1,816 d 300 As 100 / 15·1,13 ρl = = = 0,00251 b0 .d 100·30
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 127 fck= 30 N/mm2. b0 = 1.000 mm. (ancho unidad). d = 300 mm. ( ) → Vcu = 0,12·1,816·3 100·0,00251·30 ·1.000·300 = 128.140 N/m. ωAl ser R y 28d = 110.016 N/m ≤ Vcu = 128.140 N/m, no precisamos cercos y el espesoradoptado de pared es correcto.4.2.7.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de tracción simple- Combinación de acciones C3: 1,00x(Empuje hidrostático)H ω 4,00 = = 0,50 → βp = 0,20 a 8,00En la pared lado a, Napd = 1,00.βp.1/2.γω· H ω .b = 1,00·0,20·1/2·10.000·(4,00)2·8,00 = 2128.000 N.Con lo que adoptando una tensión en el acero de σs = 100 N/mm2, obtendremos unaarmadura de: N apd 128.000 1Ah3 = = · = 3,20 cm2. σ s ·H ω 100·4,00 1004.2.8.- Comprobación de la pared en Estado Límite de fisuración- Combinación de acciones C4: 1,00x(Empuje hidrostático) ω ωM x1 = M x1d /γf = -61.824/1,50 = -41.216 N·m/m. (horizontal, lado interior).
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 128 ω ωM x 6 = M x 6 d /γf = +26.496/1,50 = +17.664 N·m/m. (horizontal, lado exterior).M ω28 = M ω28 d /γf = -81.120/1,50 = -54.080 N·m/m. (vertical, lado interior). y yM ω14 = M ω14d /γf = +15.264/1,50 = +10.176 N·m/m. (vertical, lado exterior). y y- Combinación de acciones C5: 1,00x(Empuje de tierras) t tM x1 = M x1d /γf = -46.137/1,60 = -28.836 N·m/m. (horizontal, lado exterior). t tM x 6 = M x 6 d /γf = +19.773/1,60 = +12.358 N·m/m. (horizontal, lado interior). t tM y 28 = M y 28 d /γf = -60.537/1,60 = -37.836 N·m/m. (vertical, lado exterior). t tM y14 = M y14d /γf = +11.391/1,60 = +7.119 N·m/m. (vertical, lado interior).- La envolvente de la ley de momentos flectores verticales del lado interior en la uniónde las combinaciones C4 y C5 nos da: t - En la parte superior: M y14 = +7.119 N·m/mAvsup = 1ø12c/20 cm. 1La abertura de fisura es: wk = β.sm.εsm= 1,64·203,63·0,00009276 = 0,03 mm ≤ 0,1 mm→ OK!!Por tanto, Avsup = 1ø12c/20 cm. 2 - En la parte inferior: M ω28 = -54.080 N·m/m yAvinf = 1ø12c/17 cm. 1La abertura de fisura es: wk = β.sm.εsm= 1,64·192,98·0,00060806 = 0,19 mm > 0,1 mm→ NO!!Debemos incrementar la armadura, y proponemos Avinf = 1ø12c/17 cm + 1ø8c/17 cm, y 2
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 129en este caso, la nueva abertura de fisura es: wk = β.sm.εsm= 1,64·151,75·0,00042154 =0,10 mm ≤ 0,1 mm → OK!!- La envolvente de la ley de momentos flectores verticales del lado exterior en la uniónde las combinaciones C4 y C5 nos da: - En la parte superior: M ω14 = +10.176 N·m/m yAvsup = 1ø10c/14 cm. 3La abertura de fisura es: wk = β.sm.εsm= 1,64·185,53·0,00013231 = 0,04 mm ≤ 0,2 mm→ OK!!Por tanto, Avsup = 1ø10c/14 cm. 4 t - En la parte inferior: M y 28 = -37.836 N·m/mAvinf = 1ø10c/14 cm. 3La abertura de fisura es: wk = β.sm.εsm= 1,64·185,53·0,00049196 = 0,15 mm ≤ 0,2 mm→ OK!!Por tanto, Avinf = 1ø10c/14 cm. 4- La envolvente de la ley de momentos flectores horizontales del lado interior en launión de las combinaciones C4 y C5 nos da: ω - En la parte del empotramiento: M x1 = -41.216 N·m/m empAh1 = 1ø12c/20 cm.La abertura de fisura es: wk = β.sm.εsm= 1,64·203,63·0,00053707 = 0,18 mm > 0,1 mm→ NO!!
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 130 empDebemos incrementar la armadura, y proponemos Ah 2 = 1ø12c/18 cm + 1ø6c/18 cm, yen este caso, la nueva abertura de fisura es: wk = β.sm.εsm= 1,64·165,02·0,00038737 =0,10 mm ≤ 0,1 mm → OK!! t - En la parte central: M x 6 = +12.358 N·m/m centAh1 = 1ø12c/20 cm.La abertura de fisura es: wk = β.sm.εsm= 1,64·203,63·0,00016103 = 0,05 mm ≤ 0,1 mm→ OK!! centPor tanto, Ah 2 = 1ø12c/20 cm.- La envolvente de la ley de momentos flectores horizontales del lado exterior en launión de las combinaciones C4 y C5 nos da: t - En la parte del empotramiento: M x1 = -28.836 N·m/m empAh 4 = 1ø10c/14 cm.La abertura de fisura es: wk = β.sm.εsm= 1,64·185,53·0,00037495 = 0,11 mm ≤ 0,2 mm→ OK!! empPor tanto, Ah 5 = 1ø10c/14 cm. ω - En la parte central: M x 6 = +17.664 N·m/m centAh 4 = 1ø10c/14 cm.La abertura de fisura es: wk = β.sm.εsm= 1,64·185,53·0,00022968 = 0,07 mm ≤ 0,2 mm→ OK!! centPor tanto, Ah 5 = 1ø10c/14 cm.
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 1314.2.9.- Disposición de armaduras en la pared del depósitoi) Armadura de la pared en la posición vertical interior: - En la parte superior = máx( Avsup ; Avsup ;Avmín1) = máx (1ø12c/20 cm; 1ø12c/20 1 2cm; 1ø12c/16 cm) ≈ 1ø12c/15 cm. - En la parte inferior = máx( Avinf ; Avinf ;Avmín1) = máx (1ø12c/17 cm; 1ø12c/17 1 2cm + 1ø8c/17 cm; 1ø12c/16 cm) ≈ 1ø12c/15 cm + 1ø8c/15 cm (refuerzo inferiorinterior).ii) Armadura de la pared en la posición vertical exterior: - En la parte superior = máx( Avsup ; Avsup ;Avmín2) = máx (1ø10c/14 cm; 1ø10c/14 3 4cm; 1ø10c/15 cm) ≈ 1ø10c/15 cm. - En la parte inferior = máx( Avinf ; Avinf ;Avmín2) = máx (1ø10c/14 cm; 1ø10c/14 3 4cm; 1ø10c/15 cm) ≈ 1ø10c/15 cm.iii) Armadura de la pared en la posición horizontal interior: emp emp - En la parte del empotramiento = máx( Ah1 ; Ah 2 ;Ahmín1) + Ah3/2 = máx(1ø12c/20 cm; 1ø12c/18 cm +1ø6c/18 cm; 1ø12c/16 cm) + 3,20/2 cm2 ≈ 1ø12c/15 cm+ 1ø6c/15 cm (refuerzo lateral interior). cent cent - En la parte central = máx( Ah1 ; Ah 2 ;Ahmín1) + Ah3/2 = máx (1ø12c/20 cm;1ø12c/20 cm; 1ø12c/16 cm) + 3,20/2 cm2 ≈ 1ø12c/15 cm.iv) Armadura de la pared en la posición horizontal exterior: emp emp - En la parte del empotramiento = máx( Ah 4 ; Ah 5 ;Ahmín2) + Ah3/2 = máx
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 132(1ø10c/14 cm; 1ø10c/14 cm; 1ø10c/15 cm) + 3,20/2 cm2 = 1ø12c/15 cm. cent cent - En la parte central = máx( Ah 4 ; Ah 5 ;Ahmín2) + Ah3/2 = máx (1ø10c/14 cm;1ø10c/14 cm; 1ø10c/15 cm) + 3,20/2 cm2 = 1ø12c/15 cm.
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 1334.3.- EJEMPLO DE CÁLCULO DE LA PARED DE UN DEPÓSITOCILÍNDRICO DE HORMIGÓN ARMADO4.3.1.- EnunciadoSe pide calcular la pared de un depósito cilíndrico enterrado de hormigón armado demedidas:R = 8,00 m, para una altura de agua de Hω = 4,00 m.La altura del relleno de tierras también es de Ht= 4,00 m., y sus característicasgeotécnicas son las siguientes: - Peso específico de las tierras: γt = 19 KN/m3 - Angulo de rozamiento interno de las tierras: ø = 27,50ºDado que el resguardo solo representa un 10% de la altura total de la pared, proponemossimplificar el cálculo suponiendo que tanto el nivel de agua como el nivel de tierrasllegan hasta la coronación del muro, con lo que H = Hω = Ht = 4,0 m.El líquido contenido por el depósito es químicamente agresivo, lo que nos lleva aplantear la siguiente hipótesis de abertura máxima de fisura permitida: - Por la cara interior, debido a la agresividad del líquido adoptaremos wmáx = 0,1 mm. - Por la cara exterior, dado que el depósito está enterrado y por tanto, no habrá solicitaciones térmicas importantes, wmáx = 0,2 mm.
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 134Figura 4.2.- Cálculo de la pared de un depósito cilíndrico de hormigón armado4.3.2.- Datos preliminaresProponemos un espesor de pared de h = 0,30 m.Adoptaremos un hormigón del tipo HA-30/P/20/IV.Esto supone tener: fck = 30 N/mm2 f ck 30 fcd = = = 20 N/mm2 = 20.000.000 N/m2. γc 1,50Adoptaremos unas armaduras pasivas del tipo B 500 S.Esto supone tener: fyk = 500 N/mm2 f yk 500 fyd = = = 435 N/mm2 = 435.000.000 N/m2. γs 1,15
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 135Adoptaremos un recubrimiento de c = 40 mm.4.3.3.- Características mecánicasν: coeficiente de Poisson; ν = 0,20.E: módulo de deformación longitudinal del hormigón; E = 8500.3 f ck + 8 =8500·3 30 + 8 = 28.576,79 N/mm2 = 28.576.790.000 N/m2. E·h 3 28.576.790.000·(0,30) 3D: rigidez a flexión; D = = = 66.976.852 N·m 12·(1 − ν 2 ) 12·(1 − 0,20 2 ) 3·(1 − ν 2 ) 3·(1 − 0,20 2 )λ: coeficiente cilíndrico de forma; λ = 4 = 4 = 0,8409 m-1 R 2 ·h 2 2 (8,00) ·(0,30) 24.3.4.- Acciones a considerar en el cálculo de la pared- Empuje hidrostático: qh (x=0) = γω.Hω- Empuje de tierras: qt (x=0) = γt.tg2(45º-ø/2).Ht4.3.5.- Armaduras mínimas en las paredes- Cara interior: Avmín1 = Ahmín1 = 0,0020 · 100 · 30 = 6,00 cm2 = 1ø12c/18,8 cm.- Cara exterior: Avmín2 = Ahmín2 = 0,0015 · 100 · 30 = 4,50 cm2 = 1ø10c/17,5 cm.4.3.6.- Cálculo de la pared del depósito en Estado Límite Último de flexión- Combinación de acciones C1: 1,50x(Empuje hidrostático) h 2 ·λ2 ·γ ω ·R 2 1Mxd(x) = 1,50·Mx(x) = 1,50· ·(− H ω ·e −λx ·sin(λx) + ( H ω − )·e −λx ·cos(λx)) 6·(1 − ν ) 2 λ
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 136y su valor máximo que se da en el empotramiento vale: h 2 ·λ2 ·γ ω ·R 2 1Mxdmáx = Mxd(x=0) = 1,50· ·( H ω − ) 6·(1 − ν ) 2 λSe tantea con diferentes valores de la ordenada vertical x, encontrando el máximomomento flector positivo y el máximo momento flector negativo: ω 1, 50·0 , 302 ·0 ,8409 2 ·10.000·8, 00 2 ·( 4 , 00 −1 / 0 ,8409 )Mxd(x=0) = M xd ,inf = 6·(1−0 , 20 2 ) = +29.813 N·m/m (vertical, interior) ωMxd(x=1,65) = M xd ,sup = -9.059 N·m/m, (vertical, lado exterior).- Combinación de acciones C2: 1,60x(Empuje de tierras) h 2 ·λ2 ·γ t ·tg 2 (45º −φ / 2)·R 2 1Mxd(x) = 1,60· ·( H t ·e −λx ·sin(λx) + ( − H t )·e −λx ·cos(λx)) 6·(1 − ν ) 2 λy su valor máximo que se da en el empotramiento vale: h 2 ·λ2 ·γ t ·tg 2 (45º −φ / 2)·R 2 1Mxdmáx = Mxd(x=0) = 1,60· ·( − H t ) 6·(1 − ν 2 ) λSe tantea con diferentes valores de la ordenada vertical x, encontrando: 27 , 5 º t 1, 60·0 ,302 ·0 ,84092 ·19.000·tg 2 ( 45 º − )·8, 002 ·(1 / 0 ,8409− 4 , 00 )Mxd(x=0) = M xd ,inf = 6·(1−0 , 20 )2 2 = -22.248N·m/m (ver, ext). tMxd(x=1,65) = M xd ,sup = +6.761 N·m/m, (vertical, lado interior).- La envolvente de la ley de momentos flectores verticales del lado interior en la uniónde las combinaciones C1 y C2 nos da: t - En la parte superior: M xd ,sup = +6.761 N·m/m
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 137 t M xd ,sup 6.761µ= = = 0,0054→ ωmín = 0,04 2 b·d · f cd 1,00·(0,30 − 0,05) 2 ·20.000.000 ω·b·d · f cd 0,04·1,00·0,25·20.000.000Avsup = 1 = ·10.000 = 4,60 cm2 = 1ø12c/24,6 cm. f yd 435.000.000 ω - En la parte inferior: M xd ,inf = +29.813 N·m/m ω M xd ,inf 29.813µ= = = 0,024→ ωmín = 0,04 2 b·d · f cd 1,00·(0,30 − 0,05) 2 ·20.000.000 ω·b·d · f cd 0,04·1,00·0,25·20.000.000Avinf = 1 = ·10.000 = 4,60 cm2 = 1ø12c/24,6 cm. f yd 435.000.000- La envolvente de la ley de momentos flectores verticales del lado exterior en la uniónde las combinaciones C1 y C2 nos da: ω - En la parte superior: M xd ,sup = -9.059 N·m/m ω M xd ,sup 9.059µ= = = 0,0072→ ωmín = 0,04 2 b·d · f cd 1,00·(0,30 − 0,05) 2 ·20.000.000 ω·b·d · f cd 0,04·1,00·0,25·20.000.000Avsup = 3 = ·10.000 = 4,60 cm2 = 1ø10c/17 cm. f yd 435.000.000 t - En la parte inferior: M xd ,inf = -22.248 N·m/m t M xd ,inf 22.248µ= = = 0,018→ ωmín = 0,04 2 b·d · f cd 1,00·(0,30 − 0,05) 2 ·20.000.000
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 138 ω·b·d · f cd 0,04·1,00·0,25·20.000.000Avinf = 3 = ·10.000 = 4,60 cm2 = 1ø10c/17 cm. f yd 435.000.0004.3.7.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de esfuerzo cortante- Combinación de acciones C1: 1,50x(Empuje hidrostático) h 2 ·λ3 ·γ ω ·R 2 1Qxdmáx = Qxd(x=0) = 1,50· ·( − 2 H ω ) 6·(1 − ν 2 ) λSe sustituye el valor de x=0 en la anterior ecuación, obteniendo: 2 ω ·0 ,84093 ·10.000·8, 00 2 ·(1 / 0 ,8409 − 2· 4 , 00 )Qxd(x=0) = Q xd = 1,50·0,30 6·(1−0 , 20 2 ) = -60.747 N/m.- Combinación de acciones C2: 1,60x(Empuje de tierras) h 2 ·λ3 ·γ t ·tg 2 (45º −φ / 2)·R 2 1Qxdmáx = Qxd(x=0) = 1,60· ·(2 H t − ) 6·(1 − ν ) 2 λSe sustituye el valor de x=0 en la anterior ecuación, obteniendo: 27 , 5 º t 1, 60·0 , 302 ·0 ,84093 ·19.000·tg 2 ( 45 º − )·8, 002 ·( 2·4 , 00−1 / 0 ,8409 )Qxd(x=0) = Q xd = 2 6·(1−0 , 20 ) 2 = +45.333 N/m. ωAdoptaremos el criterio de que el máximo esfuerzo cortante (en nuestro caso Q xd = -60.747 N/m) pueda ser absorbido por la contribución del hormigón Vcu: ( )Vcu = 0,12·ξ ·3 100·ρ l · f ck ·b0 ·d (en N/m)siendo:
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 139 200 200 ξ = 1+ = 1+ = 1,894 d 250 As 100 / 18,8·1,13 ρl = = = 0,0024 b0 .d 100·25 fck= 30 N/mm2. b0 = 1.000 mm. (ancho unidad). d = 250 mm. ( ) → Vcu = 0,12·1,894·3 100·0,0024·30 ·1.000·250 = 109.718 N/m. ωAl ser Q xd = 60.747 N/m ≤ Vcu = 109.718 N/m, no precisamos cercos y el espesoradoptado de pared es correcto.4.3.8.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de tracción simple- Combinación de acciones C3: 1,00x(Empuje hidrostático)   sin(λx)  Nφd (x) = 1,00·Nφ(x) = 1,00·γ ω .R·e −λx · − H ω ·(cos(λx) + sin(λx) ) + ( H ω − x)   λ  Se tantea con diferentes valores de la ordenada vertical x, encontrando el máximoesfuerzo de tracción simple:Nφd (x=2,05) = +125.059 N/m.Con lo que adoptando una tensión en el acero de σs = 100 N/mm2, obtendremos unaarmadura de: N ϕd 125.059 1Ah1 = = · = 12,51 cm2. σs 100 100
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 1404.3.9.- Comprobación de la pared en Estado Límite de fisuración- Combinación de acciones C4: 1,00x(Empuje hidrostático) ω ωM x ,inf = M xd ,inf /γf = +29.813/1,50 = +19.875 N·m/m, (vertical, lado interior). ω ωM x ,sup = M xd ,sup /γf = -9.059/1,50 = -6.039 N·m/m, (vertical, lado exterior).- Combinación de acciones C5: 1,00x(Empuje de tierras) t tM x ,inf = M xd ,inf /γf = -22.248/1,60 = -13.905 N·m/m, (vertical, lado exterior). t tM x ,sup = M xd ,sup /γf = +6.761/1,60 = +4.226 N·m/m, (vertical, lado interior).- La envolvente de la ley de momentos flectores verticales del lado interior en la uniónde las combinaciones C4 y C5 nos da: t - En la parte superior: M x ,sup = +4.226 N·m/mAvsup = 1ø12c/24,6 cm. 1La abertura de fisura es: wk = β.sm.εsm= 1,64·200,88·0,00008161 = 0,03 mm ≤ 0,1 mm→ OK!!Por tanto, Avsup = 1ø12c/24,6 cm. 2 ω - En la parte inferior: M x ,inf = +19.875 N·m/mAvinf = 1ø12c/24,6 cm. 1La abertura de fisura es: wk = β.sm.εsm= 1,64·200,88·0,00038383 = 0,13 mm > 0,1 mm→ NO!!Debemos incrementar la armadura, y proponemos Avinf = 1ø12c/20 cm, y en este caso, la 2
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 141nueva abertura de fisura es: wk = β.sm.εsm= 1,64·191,68·0,00031205 = 0,10 mm ≤ 0,1mm → OK!!- La envolvente de la ley de momentos flectores verticales del lado exterior en la uniónde las combinaciones C4 y C5 nos da: ω - En la parte superior: M x ,sup = -6.039 N·m/mAvsup = 1ø10c/17 cm. 3La abertura de fisura es: wk = β.sm.εsm= 1,64·185,20·0,00011481 = 0,03 mm ≤ 0,2 mm→ OK!!Por tanto, Avsup = 1ø10c/17 cm. 4 t - En la parte inferior: M x ,inf = -13.905 N·m/mAvinf = 1ø10c/17 cm. 3La abertura de fisura es: wk = β.sm.εsm= 1,64·185,20·0,00026435 = 0,08 mm ≤ 0,2 mm→ OK!!Por tanto, Avinf = 1ø10c/17 cm. 44.3.10.- Disposición de las armaduras en la pared del depósitoi) Armadura de la pared en la posición vertical interior: - En la parte superior = máx( Avsup ; Avsup ;Avmín1) = máx (1ø12c/24,6 cm; 1 21ø12c/24,6 cm; 1ø12c/18,8 cm) ≈ 1ø12c/15 cm. - En la parte inferior = máx( Avinf ; Avinf ;Avmín1) = máx (1ø12c/24,6 cm; 1ø12c/20 1 2
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 142cm; 1ø12c/18,8 cm) = 1ø12c/15 cm.ii) Armadura de la pared en la posición vertical exterior: - En la parte superior = máx( Avsup ; Avsup ;Avmín2) = máx (1ø10c/17 cm; 1ø10c/17 3 4cm; 1ø10c/17,5 cm) ≈ 1ø10c/15 cm. - En la parte inferior = máx( Avinf ; Avinf ;Avmín2) = máx (1ø10c/17 cm; 1ø10c/17 3 4cm; 1ø10c/17,5 cm) ≈ 1ø10c/15 cm.iii) Armadura de la pared en la posición horizontal interior: - máx(Ah1/2; Ahmín1) = máx(12,51/2 cm2; 1ø12c/18,8 cm) = 6,25 cm2 ≈1ø12c/15 cm.iv) Armadura de la pared en la posición horizontal exterior: - máx(Ah1/2; Ahmín2) = máx(12,51/2 cm2; 1ø10c/17,5 cm) = 6,25 cm2 ≈1ø12c/15 cm.
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 1434.4.- EJEMPLO DE CÁLCULO DE LA PARED DE UN DEPÓSITOCILÍNDRICO DE HORMIGÓN PRETENSADO4.4.1.- EnunciadoSe pide calcular la pared de un depósito cilíndrico semi-enterrado de hormigónpretensado de 12.000 m3 de capacidad y una altura de agua de Hω = 8,00 m.La unión entre la pared y la solera será monolítica. Se propone un espesor de pared de h= 0,25 m, y un espesor de solera de hs = 0,18 m.Se impone la obligación de que la pared tenga una tensión de compresióncircunferencial de σres = 0,5 N/mm2.La altura del relleno de tierras es de Ht= 4,00 m., y sus características geotécnicas sonlas siguientes: - Peso específico de las tierras: γt = 19 KN/m3 - Angulo de rozamiento interno de las tierras: ø = 27,50ºLa explanada sobre la que apoya el depósito es de muy buena calidad, con uncoeficiente de balasto de k = 8,0 Kp/cm3.El líquido contenido por el depósito es químicamente agresivo, lo que nos lleva aplantear la siguiente hipótesis de abertura máxima de fisura permitida: - Por la cara interior, debido a la agresividad del líquido adoptaremos wmáx = 0,1 mm. - Por la cara exterior, dado que el depósito está enterrado y por tanto, no habrá solicitaciones térmicas importantes, wmáx = 0,2 mm.
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 144Figura 4.3.- Cálculo de la pared de un depósito cilíndrico de hormigón pretensado4.4.2.- Datos preliminares V 12.000El radio del depósito será de: R = = = 21,9 m. π ·H ω π ·8,00Adoptaremos un hormigón del tipo HA-35/P/20/IV.Esto supone tener: fck = 35 N/mm2 f ck 35 fcd = = = 23,33 N/mm2 = 23.330.000 N/m2. γc 1,50Adoptaremos unas armaduras pasivas del tipo B 500 S.Esto supone tener: fyk = 500 N/mm2 f yk 500 fyd = = = 435 N/mm2 = 435.000.000 N/m2. γs 1,15
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 145Adoptaremos como armaduras activas cordones de 0,5” del tipo Y 1860 S7.Esto supone tener: Dcordón = 13,0 mm. Acordón = 100 mm2. P0 = 139,5 KN (máxima fuerza que se puede aplicar a un cordón). fpmáxk = 1.860 N/mm2 fpk ≈ 1.674 N/mm2 f pk 1.674 fpd = = = 1.456 N/mm2 = 1.456.000.000 N/m2. γs 1,15Finalmente, adoptaremos un recubrimiento de c = 40 mm.4.4.3.- Características mecánicasν: coeficiente de Poisson; ν = 0,20.E: módulo de deformación longitudinal del hormigón; E = 8500.3 f ck + 8 =8500·3 35 + 8 = 29.778,88 N/mm2 = 29.778.880.000 N/m2. E·h 3 29.778.880.000·(0,25) 3D: rigidez a flexión; D = = = 40.390.195 N·m 12·(1 − ν 2 ) 12·(1 − 0,20 2 ) 3·(1 − ν 2 ) 3·(1 − 0,20 2 )λ: coeficiente cilíndrico de forma; λ = 4 = 4 = 0,55674 m-1 R 2 ·h 2 2 (21,9) ·(0,25) 24.4.4.- Acciones a considerar en el cálculo de la pared- Empuje hidrostático: qh (x=0) = γω.Hω- Empuje de tierras: qt (x=0) = γt.tg2(45º-ø/2).Ht- Pretensado horizontal.
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 1464.4.5.- Armaduras mínimas en las paredes- Cara interior, armadura vertical: Avmín1 = 0,0020 · 100 · 25 = 5,00 cm2 = 1ø10c/15,8cm.- Cara exterior, armadura vertical: Avmín2 = 0,0015 · 100 · 25 = 3,75 cm2 = 1ø10c/21 cm.- Caras interior y exterior, armadura horizontal: Ahmín = 0,0008 · 100 · 25 = 2,00 cm2 =1ø8c/25 cm.4.4.6.- Cálculo de la armadura activa de la pared en la posición horizontalSe debe buscar la función óptima de pretensado para poder determinar el volumen totalde pretensado a disponer en la pared del depósito. La función óptima de pretensado sedescompone en dos funciones: i) Función Hidrostática de Pretensado (FHP): γ ω ·R·H ω 10.000·21,9·(8,00 ) 2 2Ptot,FHP = = = 7.008.000 N = 7.008 KN. 2 2La forma de esta función es la de un trapecio truncado verticalmente en su base, donde: - La base inferior mide B. - La base superior mide c1·B = 0,01·B (ver tabla 2.9) - La altura del tramo truncado mide (1-e1)·Hω = (1-0,83)·8,00 = 1,36 m.El área de esta figura me permite encontrar el valor de B: B + 0,01·BB·1,36 + ·(8,00-1,36) = 7.008 → B=1.487 KN 2 ii) Función Uniforme de Pretensado (FUP):Ptot,FUP = β·σres·h·Hω
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 147La tabla 2.10 nos recomienda que en un depósito como el planteado:- σres = 1,0 N/mm2. En nuestro caso prevalece el enunciado que fija un valor de σres =0,5 N/mm2.- Hinf = 0,10·Hω = 0,10·8,00 = 0,80 m.- β = 0,28·(D/Hω) + 0,38 = 0,28·(2·21,9/8,0) + 0,38 = 0,28·5,5 + 0,38 = 1,92Entonces, Ptot,FUP = 1,92 · 500.000 · 0,25 · 8,00 = 1.920.000 N = 1.920 KN.La forma de esta función es un rectangulo en el tramo superior de pared de ancho a5·B’= 0,15·B’ (ver tabla 2.12), y un triangulo en el tramo inferior de base B’ y altura a1·Hω =0,32·8,00 = 2,56 m.El área de esta figura me permite encontrar el valor de B’:B ·2,56 + 0,15·B’·(8,00-2,56) = 1.920 → B’=916 KN 24.4.7.- Pérdidas del pretensadoProponemos usar tendones de pretensado compuestos por cinco cordones de 0,5”. Cadatendón se podrá tesar con una fuerza máxima de P0 = 139,5·n = 139,5·5 = 697,5 ≈ 700KN.Adoptaremos tendones lubrificados, con lo que según la Tabla 2.3 podemos adoptar: - µ = 0,15 rad-1 - k = 0,0018 m-1Dado que se trata de un depósito de una capacidad superior a los 8.000 m3, proponemosdisponer cuatro contrafuertes, con el trazado de los tendones a 180º y alternando losanclajes en alturas consecutivas.Calculemos las pérdidas del pretensado:
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 148 i) Pérdidas de fuerza por rozamiento: ∆P1(α) = P0 ·(1 − e − µ ·α − k ·α · R )En nuestro caso, π π  − 0 ,15· − 0 , 0018· · 21, 9  1 − e∆P1máx = ∆P1(α=π/2) = 700· 2 2  = 180 KN.    ii) Pérdidas por penetración de cuña: ∆P2(α=0) = 2· P0 · 1 − e( − µ ·α p − k ·α p · R ) ∆P2 ·R·α p a= 2·E p · A p5 mm = 0,005 m = ( 2·700· 1 − e −0 ,15·α p − 0 , 0018·α p · 21, 9 )·21,9·α p → αp=0,4128 rad  1  2·190.000.000· 5·100·   1.000.000 → ∆P2(α=0) = 2·700·(1 − e −0,15·0, 4128−0, 0018·0, 4128·21,9 ) = 105 KN. iii) Pérdidas por acortamiento elástico del hormigón: ∆P3= 0,025·P0 = 0,025·700 = 17 KN. iv) Pérdidas diferidas: ∆Pdif = 0,10·(P0-(∆P1 ∪ ∆P2)-∆P3)Así pues,
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 149La fuerza de pretensado inicial será Pki = P0 -mín(∆P1 ∪ ∆P2) - ∆P3dónde: mín(∆P1 ∪ ∆P2) = ∆P1(α=0,4128) = 700·(1 − e −0,15·0, 4128−0,0018·0, 4128·21,9 ) = 53 KN→ Pki = 700 – 53 – 17 = 630 KN.La fuerza de pretensado final será Pk∞ = 0,90·[P0 - máx(∆P1 ∪ ∆P2) - ∆P3] = 0,90·[700 -180 - 17] = 453 KN.4.4.8.- Posición en altura de los tendones de pretensado 7.008La Función Hidrostática de Pretensado (FHP) precisa de: = 15,5 ≈ 16 tendones. 453Para conocer la distribución de los tendones en altura haremos uso del perfil trapecialtruncado de base inferior B=1.487 KN que ya conocemos, y obtenemos: Nº de tendón: Ordenada x (m): Nº de tendón: Ordenada x (m): 1 0,15 12 2,60 2 0,45 13 3,00 3 0,75 14 3,40 5 1,05 16 3,90 6 1,35 17 4,40 7 1,65 18 5,00 9 1,95 19 5,80 10 2,25 21 6,95Tabla 4.1.- Posición de los tendones en altura para la función F.H.P. 1.920La Función Uniforme de Pretensado (FUP) precisa de: = 4,2 ≈ 5 tendones. 453Para conocer la distribución de los tendones en altura haremos uso del perfilrectangular-triangular de base B’=916 KN que ya conocemos, y obtenemos:
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 150 Nº de tendón: Ordenada x (m): Nº de tendón: Ordenada x (m): 4 0,95 15 3,80 8 1,80 20 6,70 11 2,35Tabla 4.2.- Posición de los tendones en altura para la función F.U.P.Tanto el número de tendones requeridos como la separación entre unidadesconsecutivas (<3·h) indican que los tendones adoptados (con cinco cordones de 5”) esadecuada.4.4.9.- Cálculo de los coeficientes reductores en la interacción pared-solera-terrenoEn el caso de considerar que la unión pared-solera no es un empotramiento perfecto,podemos hacer un análisis de interacción de la pared y la solera con el terreno. - Para el empuje hidrostático: ω ω M x (real ) = ηh· M x ( empotramientoperfecto ) Qrω(real ) = ξh· Qx ( empotramientoperfecto ) ω - Para el pretensado circunferencial (en la función FHP): M xPkreal ) = ηp· M xPkempotramientoperfecto ) ( , FHP ( , FHP Q xPkreal ) = ξp· QxPkempotramientoperfecto ) ( , FHP ( , FHPsiendo: C ηh = A·e B ·( hs ) F ξh = D·e E ·( hs ) I ηp = G·e H ·( hs ) L ξp = J ·e K ·( hs )
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 151con: 0 , 48 0 , 48 1 + 2,27·e −1, 26·k 1 + 2,27·e −1, 26·(8, 0 )A= = = 1,41 0,97 − 3,46·10 − 4 ·h1,99 0,97 − 3,46·10 − 4 ·(25)1,99B = − (3,55·10 −2 + 4,38·10 −4 ·h) −1 = − (3,55·10 −2 + 4,38·10 −4 ·(25)) −1 = -21,53C = − 3,08 + 0,66·h 0,34 = − 3,08 + 0,66·(25) 0,34 = -1,11 C −1,11→ ηh = A·e B ·( hs ) = 1,41·e −21,53·(18) = 0,59 0 , 21 0 , 21 1 + 12,58·e −3,81·k 1 + 12,58·e −3,81·(8, 0 )D= = = 1,16 0,52 + 0,20·h 0,19 0,52 + 0,20·( 25) 0,19E = − (0,15 + 4,51·10 −4 ·h) −1 = − (0,15 + 4,51·10 −4 ·( 25)) −1 = -6.20F = − 2,33 + 0,76·h 0,18 = − 2,33 + 0,76·(25) 0,18 = -0.97 F −0 , 97→ ξh = D·e E ·( hs ) = 1,16·e −6, 20·(18) = 0,80 −0 , 0966 −0 , 0966 3,78·e −2,32·k 3,78·e −2,32·(8, 0 )G= = = 0,97 0,63 − 3,90·10 −6 ·h 2,91 0,63 − 3,90·10 −6 ·(25) 2,91H = − (1,09·10 −2 + 8,62·10 −4 ·h) −1 = − (1,09·10 −2 + 8,62·10 −4 ·( 25)) −1 = -30,82I = − 3,57 + 0,90·h 0,30 = − 3,57 + 0,90·(25) 0,30 = -1,21 I −1, 21→ ηp = G·e H ·( hs ) = 0,97·e −30,82·(18) = 0,38 −0 , 0638 −0 , 0638 4,05·e −1,86·k 4,05·e −1,86·(8, 0 )J= = = 1,32 0,52 + 1,96·10 − 4 ·h1,88 0,52 + 1,96·10 − 4 ·(25)1,88K = − (0,36 + 1,29·10 −3 ·h) −1 = − (0,36 + 1,29·10 −3 ·(25)) −1 = -2,55L = − 1,05 + 0,51·h 0,0539 = − 1,05 + 0,51·( 25) 0, 0539 = -0,44 L −0 , 44→ ξp = J ·e K ·( hs ) = 1,32·e −2,55·(18) = 0,65
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 1524.4.10.- Cálculo del campo de esfuerzos en la pared i) Pared solicitada por el empuje hidrostático:Resolveremos el sistema de ecuaciones planteado en el anterior apartado 2.4.3.1.i, yaplicaremos a la base la reducción establecida con los coeficientes ηh y ξh. Disponemosde todos los datos para resolverlo, y obtenemos los siguientes resultados: - Ley de esfuerzos axiles de tracción Nφ(x); de la que destacamos:Nφ(x=0) = 0 N/mNφmáx = Nφ(x=3,50) = +899.141 N/m - Ley de momentos flectores Mx(x); de la que destacamos: ωM x ,inf = ηh·Mx(x=0) = 0,59·100.077 = +59.045 N·m/m (vertical, lado interior). ωM x ,sup = -27.168 N·m/m (vertical, lado exterior). - Ley de esfuerzos cortantes Qx(x); de la que destacamos: ωQ xmáx = ξh·Qx(x=0) = 0,80·(-127.538) = -102.030 N/m ii) Pared solicitada por el empuje de tierras con Ht<H:Resolveremos el sistema de ecuaciones planteado en el anterior apartado 2.4.3.3.i.Disponemos de todos los datos para resolverlo, y obtenemos los siguientes resultados: - Ley de momentos flectores Mx(x); de la que destacamos: tM x ,inf = Mx(x=0) = -23.569 N·m/m (vertical, lado exterior).
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 153 tM x ,sup = +7.427 N·m/m (vertical, lado interior). - Ley de esfuerzos cortantes Qx(x); de la que destacamos: tQ xmáx = Qx(x=0) = +37.269 N/m iii) Pared solicitada por el pretensado a tiempo inicial:Dado que nos encontramos en un caso en el que se considera la interacción de la pared-solera con el terreno, será preciso, tal como se ha explicado en el anterior apartado2.4.16. resolver la unión de tres estados diferentes: FUP con empotramiento perfecto +FHP con empotramiento perfecto + FHP con el borde inferior solicitado por ∆M y ∆Q.Todo ello, considerando los tendones solicitados por la fuerza de pretensado inicial Pki.Disponemos de todos los datos para resolverlo, y obtenemos: - Ley de momentos flectores Mx(x); de la que destacamos:M xPki = Mx(x=0) = -20.030 (FUP) - 56.320 (FHP) = -76.350 N·m/m (vertical, lado ,infexterior).M xPki = +22.500 (FUP) + 45.700 (FHP) = +68.200 N·m/m (vertical, lado interior). ,sup - Ley de esfuerzos cortantes Qx(x); de la que destacamos: PkiQ xmáx = Qx(x=0) = +30.040 (FUP) + 121.410 (FHP) = +151.450 N/m iv) Pared solicitada por el pretensado a tiempo final:Estamos en un caso análogo al anterior, pero considerando los tendones solicitados porla fuerza de pretensado final Pk∞. Disponemos de todos los datos para resolverlo, yobtenemos: - Ley de momentos flectores Mx(x); de la que destacamos:
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 154M xPk∞ = Mx(x=0) = -14.400 (FUP) - 40.500 (FHP) = -54.900 N·m/m (vertical, lado ,infexterior).M xPk∞ = +16.180 (FUP) + 32.860 (FHP) = +49.040 N·m/m (vertical, lado interior). ,sup - Ley de esfuerzos cortantes Qx(x); de la que destacamos: Pk∞Q xmáx = Qx(x=0) = +21.600 (FUP) + 87.300 (FHP) = +108.900 N/m4.4.11.- Comprobación de los axiles anularesUna vez dibujadas las leyes de Nφ(x) y de Nφpret,∞(x), se observa que las tensiones queprovocan los axiles anulares son superiores a 0,5 N/mm2 en toda la altura de la pared,excepto en el primer 4% de la misma. Por tanto, el pretensado propuesto cumple con latensión residual establecida de σres = 0,5 N/mm2 y con que se permitan valores menoresde esta tensión residual en un tramo de Hinf = 0,10·Hω.4.4.12.- Secuencia de tesadoEl hecho de ir calculando los campos de desplazamientos y esfuerzos para cada tendónde pretensado de manera individual, nos permite escoger la secuencia de tesado másconveniente, que nos garantice que los máximos esfuerzos correspondientes a una etapagenérica de tesado, no superen los valores de los esfuerzos una vez finalizada la puestaen tensión de todos los tendones.4.4.13.- Comprobación de la pared en Estado Límite de Servicio (armaduraactiva horizontal)Debemos ser capaces de encontrar la posición “e” de los tendones en el sentido radial, y
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 155para ello resolveremos las combinaciones de acciones C6 y C7: 1,10·N ϕpret ,i ( x = xi ) 1,10·6· N ϕpret ,i ( x = xi )·eσ(x=xi) = + > -0,60·fckj h h2 0,90·N ϕpret ,∞ ( x = xi ) 0,90·6·N ϕpret ,∞ ( x = xi )·e N ϕ ( x = xi )σ(x=xi) = − + <0 h h2 hpara cada uno de los 21 tendones, quedándonos con aquel que aporte un valor de la “e”más pequeño.En nuestro caso esto sucede con el tendón número 13, que está situado en la ordenadaxi=3,00 m. 1,10·(−2.218.000) 1,10·6·(−2.218.000)·eσ(x=3,00) = + = -0,60·35.000.000 → e = 0,25 0,25 2+0,048 m. 0,90·(−1.595.000) 0,90·6·(−1.595.000)·e 874.283σ(x=3,00) = − + = 0 → e = +0,016 m. 0,25 0,25 2 0,25Por tanto los tendones de pretensado se desplazaran del eje hacía el exterior en unamagnitud igual a e = +0,016 m = 1,6 cm.4.4.14.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de flexión (armadurapasiva vertical)- Combinación de acciones C8: 1,35x(Empuje hidrostático) + 1,00x(Esfuerzosadicionales debidos al pretensado a tiempo inicial ó a tiempo final) ω pM xd+,inf = 1,35· M x ,inf + 1,00· M xPk∞ = 1,35·59.045 + 1,00·(-54.900) = +24.811 N·m/m ω ,inf(vertical, interior). ω pM xd+,sup = 1,35· M x ,sup + 1,00· M xPk∞ = 1,35·(-27.168) + 1,00·49.040 = +12.363 N·m/m ω ,sup(vertical, interior).
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 156- Combinación de acciones C9: 1,50x(Empuje de tierras) + 1,00x(Esfuerzos adicionalesdebidos al pretensado a tiempo inicial ó a tiempo final) t+M xd ,p = 1,50· M x ,inf + 1,00· M xPki =1,50·(-23.569) +1,00·(-76.350) = -111.703 N·m/m inf t ,inf(vertical, exterior). t+M xd ,p = 1,50· M x ,sup + 1,00· M xPki = 1,50·7.427 + 1,00·68.200 = +79.340 N·m/m sup t ,sup(vertical,interior).- La envolvente de la ley de momentos flectores verticales del lado interior en la uniónde las combinaciones C8 y C9 nos da: t+ - En la parte superior: M xd ,psup = +79.340 N·m/m t+ M xd ,p sup 79.340µ= = = 0,085→ ω = 0,09 2 b·d · f cd 1,00·(0,25 − 0,05) 2 ·23.330.000 ω·b·d · f cd 0,09·1,00·0,20·23.330.000Avsup = 1 = ·10.000 = 9,65 cm2 = 1ø16c/20,8 cm. f yd 435.000.000 ω p - En la parte inferior: M xd+,inf = +24.811 N·m/m ω p M xd+,inf 24.811µ= = = 0,026→ ωmín = 0,04 2 b·d · f cd 1,00·(0,25 − 0,05) 2 ·23.330.000 ω·b·d · f cd 0,04·1,00·0,20·23.330.000Avinf = 1 = ·10.000 = 4,30 cm2 = 1ø12c/26 cm. f yd 435.000.000- La envolvente de la ley de momentos flectores verticales del lado exterior en la uniónde las combinaciones C8 y C9 nos da:
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 157 t+ - En la parte inferior: M xd ,pinf = -111.703 N·m/m t+ M xd ,p inf 111.703µ= = = 0,12→ ω = 0,13 2 b·d · f cd 1,00·(0,25 − 0,05) 2 ·23.330.000 ω·b·d · f cd 0,13·1,00·0,20·23.330.000Avinf = 3 = ·10.000 = 13,94 cm2 = 1ø16c/14,4 cm. f yd 435.000.0004.4.15.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de esfuerzo cortante- Combinación de acciones C8: 1,35x(Empuje hidrostático) + 1,00x(Esfuerzosadicionales debidos al pretensado a tiempo inicial ó a tiempo final) ω+ p ω Pk∞Q xdmáx = 1,35· Q xdmáx + 1,00· Q xdmáx = 1,35·(-102.030) + 1,00·108.900 = -28.840 N/m.- Combinación de acciones C9: 1,50x(Empuje de tierras) + 1,00x(Esfuerzos adicionalesdebidos al pretensado a tiempo inicial ó a tiempo final) t+ p t PkiQ xdmáx = 1,50· Q xdmáx + 1,00· Q xdmáx = 1,50·37.269 +1,00·151.450 = +207.354 N/m.La contribución del hormigón a la resistencia a esfuerzo cortante es, según EHE:  P  Vcu =  0,12·ξ ·3 100·ρ l · f ck − 0,15· k∞  ·b0 ·d (en N/m)   Ac siendo: 200 200 ξ = 1+ = 1+ = 2,00 d 200 As 13,94 ρl = = = 0,007 b0 .d 100·20 fck= 35 N/mm2 Pk∞ = -453.000 N Ac = 1.000·250 = 250.000 mm2
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 158 b0 = 1.000 mm. (ancho unidad). d = 200 mm.  (−453.000)  → Vcu =  0,12·2,00·3 100·0,007·35 − 0,15· ·1.000·200 = 193.771 N/m.  250.000  t+ pAl ser Q xdmáx = 207.354 N/m ≈ Vcu = 109.718 N/m, no precisamos cercos y el espesoradoptado de pared es correcto.4.4.16.- Comprobación de la pared en Estado Límite de fisuración- Combinación de acciones C10: 1,00x(Empuje hidrostático) + 1,00x(Esfuerzosadicionales debidos al pretensado a tiempo inicial ó a tiempo final) ω+ ωM x ,infp = 1,00· M x ,inf + 1,00· M xPk∞ = 1,00·59.045 + 1,00·(-54.900) = +4.145 N·m/m ,inf(vertical, interior). ω+ p ωM x ,sup = 1,00· M x ,sup + 1,00· M xPk∞ = 1,00·(-27.168) + 1,00·49.040 = +21.872 N·m/m ,sup(vertical, interior).- Combinación de acciones C11: 1,00x(Empuje de tierras) + 1,00x(Esfuerzosadicionales debidos al pretensado a tiempo inicial ó a tiempo final)M x+inf = 1,00· M x ,inf + 1,00· M xPki =1,00·(-23.569) +1,00·(-76.350) = -99.919 N·m/m t p , t ,inf(vertical exterior).M x+sup = 1,00· M x ,sup + 1,00· M xPki = 1,00·7.427 + 1,00·68.200 = +75.627 N·m/m t p , t ,sup(vertical interior).- La envolvente de la ley de momentos flectores verticales del lado interior en la uniónde las combinaciones C10 y C11 nos da:
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 159 - En la parte superior: M x+sup = +75.627 N·m/m t p .Avsup = 1ø16c/20,8 cm. 1La abertura de fisura es: wk = β.sm.εsm= 1,64·173,34·0,0019915 = 0,57 mm > 0,1 mm →NO!!Debemos incrementar la armadura, y proponemos Avsup = 1ø16c/6 cm, y en este caso, la 2nueva abertura de fisura es: wk = β.sm.εsm= 1,64·106,93·0,00057447 = 0,10 mm ≤ 0,1mm → OK!! ω+ - En la parte inferior: M x ,infp = +4.145 N·m/mAvinf = 1ø12c/26 cm. 1Por motivos constructivos proponemos la misma armadura que en la partesuperior: Avinf = 1ø16c/6 cm. 2- La envolvente de la ley de momentos flectores verticales del lado exterior en la uniónde las combinaciones C10 y C11 nos da: - En la parte inferior: M x+inf = -99.919 N·m/m t p ,Avinf = 1ø16c/14,4 cm. 3La abertura de fisura es: wk = β.sm.εsm= 1,64·144,62·0,00190527 = 0,45 mm > 0,2 mm→ NO!!Debemos incrementar la armadura, y proponemos Avinf = 1ø16c/8 cm, y en este caso, la 4nueva abertura de fisura es: wk = β.sm.εsm= 1,64·115,90·0,00105848 = 0,20 mm ≤ 0,2mm → OK!!
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 1604.4.17.- Disposición de las armaduras en la pared del depósitoi) Armadura activa de la pared en la posición horizontal:Dispondremos 5+16 tendones de 5 cordones de 0,5” del tipo Y 1860S7 repartidos segúnlas funciones FHP y FUP, y situados con una excentricidad de +1,6 cm. respecto al ejede la pared.ii) Armadura pasiva de la pared en la posición vertical interior: - En la parte superior = máx( Avsup ; Avsup ;Avmín1) = máx (1ø16c/20,8 cm; 1ø16c/6 1 2cm; 1ø10c/15,8 cm) = 1ø16c/6 cm. - En la parte inferior = máx( Avinf ; Avinf ;Avmín1) = máx (1ø12c/26 cm; 1ø16c/6 cm; 1 21ø10c/15,8 cm) = 1ø16c/6 cm.iii) Armadura pasiva de la pared en la posición vertical exterior: - En la parte superior = máx( Avsup ; Avsup ;Avmín2) = máx (0 cm2; 0 cm2; 1ø10c/21 3 4cm) ≈ 1ø10c/8 cm. - En la parte inferior = máx( Avinf ; Avinf ;Avmín2) = máx (1ø16c/14,4 cm; 1ø16c/8 3 4cm; 1ø10c/21 cm) = 1ø16c/8 cm.iv) Armadura pasiva de la pared en la posición horizontal interior: - Ahmín = 1ø8c/25 cm.
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 161v) Armadura pasiva de la pared en la posición horizontal exterior: - Ahmín = 1ø8c/25 cm.
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 1624.5.- EJEMPLO DE CÁLCULO DE LA SOLERA DE UN DEPÓSITORECTANGULAR DE HORMIGÓN ARMADO4.5.1.- EnunciadoSe pide calcular la solera del depósito rectangular del apartado 4.2 anterior. Recordemosque se trataba de un depósito enterrado de medidas:a = b = 8,00 m, para una altura de agua de Hω = 4,00 m.La altura del relleno de tierras también era de Ht= 4,00 m., y sus característicasgeotécnicas: - Peso específico de las tierras: γt = 19 KN/m3 - Angulo de rozamiento interno de las tierras: ø = 27,50ºSupondremos que la explanada sobre la que apoya la solera es de calidad media con uncoeficiente de balasto de k = 20.000 KN/m3.Recordemos que el líquido contenido por el depósito es químicamente agresivo, lo quenos lleva a plantear la siguiente hipótesis de abertura máxima de fisura permitida: - Por la cara superior, debido a la agresividad del líquido adoptaremos wmáx = 0,1 mm. - Por la cara inferior, dado que no habrán solicitaciones térmicas importantes, wmáx = 0,2 mm.
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 163Figura 4.4.- Cálculo de la solera de un depósito rectangular de hormigón armado4.5.2.- Datos preliminaresProponemos un espesor de solera de hs = 0,40 m.Adoptaremos un hormigón del tipo HA-30/P/20/IV.Esto supone tener: fck = 30 N/mm2 f ck 30 fcd = = = 20 N/mm2 = 20.000.000 N/m2. γc 1,50Adoptaremos unas armaduras pasivas del tipo B 500 S.Esto supone tener: fyk = 500 N/mm2
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 164 f yk 500 fyd = = = 435 N/mm2 = 435.000.000 N/m2. γs 1,15Adoptaremos un recubrimiento de c = 40 mm.4.5.3.- Acciones a considerar en el cálculo de la solera- Peso propio de la solera: qs = γhormigón·hs = 25.000 · 0,40 = 10.000 N/m2.- Carga hidrostática: qω = γω·Hω = 10.000 · 4,00 = 40.000 N/m2.- Empuje hidrostático contra la pared: M ω28 = -Msh = 54.080 N·m/m y 110.016 R ω28 = Nsh = = 73.344 N/m (tracción) γ f = 1,50 y t- Empuje de tierras contra la pared: M y 28 = -Mst = 37.836 N·m/m t 82.101 R y 28 = Nst = = 51.313 N/m (compresión) γ f = 1,60- Pretensado de la pared: en este caso no lo hay, pues se trataba de una pared dehormigón armado.4.5.4.- Armaduras mínimas en la solera- Cara superior: Asmín1 = 0,0020 · 100 · 40 = 8,00 cm2 = 1ø12c/14 cm.- Cara inferior: Asmín2 = 0,0015 · 100 · 40 = 6,00 cm2 = 1ø12c/19 cm.4.5.5.- Discretización de la soleraLa discretización de la solera se resuelve empleando un programa de cálculo de pórticosplanos convencional, adoptando una viga de ancho unidad de longitud l = 8,00 + 0,35/2+ 0,35/2 = 8,35 m. y apoyada sobre un lecho elástico de Winckler.
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 165 i) Coordenadas de los nudos:1 (y=0,000; x=0,000) 6 (y=4,675; x=0,000)2 (y=0,675; x=0,000) 7 (y=5,675; x=0,000)3 (y=1,675; x=0,000) 8 (y=6,675; x=0,000)4 (y=2,675; x=0,000) 9 (y=7,675; x=0,000)5 (y=3,675; x=0,000) 10 (y=8,350; x=0,000) ii) Características mecánicas de las barras:- Barras 1 a 9:ν = 0,20  2 E = 8500· f ck + 8 = 8500· 30 + 8 = 28.576,79 N / mm = 28.576.790.000 N / m  3 3 2  A = 1,00·0,40 = 0,40m 2   I = 1 ·1,00·(0,40)3 = 0,005333m 4  12   iii) Coacciones de los nudos:- Nudos 1, 10 (apoyo simple):K y = 0  20  K x = 1·10 K = 0  g - Nudos 2, 9 (muelles):K y = 0   0,675 1,00  K x = 20 .000 KN / m 3 ·1,00 m·( + ) m = 16 .750 KN / m  2 2 K g = 0  - Nudos 3 a 8 (muelles):K y = 0   K x = 20.000 KN / m ·1,00m·1,00m = 20.000 KN / m 3K = 0  g 
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 166 iv) Combinación de hipótesis de carga:C12: 1,50x(Peso propio) + 1,50x(Carga hidrostática) + 1,50x(Msh) + 1,00x(Msp)- qsd = γf·qs = 1,50 · 10.000 · 1,00 = 15.000 N/m, en barras 1 a 9.- qωd = γf·qω = 1,50 · 40.000 · 1,00 = 60.000 N/m, en barras 1 a 9.- Mshd = γf·Msh = 1,50 · 54.080 = 81.120 N·m/m, en nudos 1 y 10 (con su signo).- Mspd = γf·Msp = 0.C13: 1,50x(Peso propio) + 1,60x(Mst) + 1,00x(Msp)- qsd = γf·qs = 1,50 · 10.000 · 1,00 = 15.000 N/m, en barras 1 a 9.- Mstd = γf·Mst = 1,60 · 37.836 = 60.537 N·m/m, en nudos 1 y 10 (con su signo).- Mspd = γf·Msp = 0.C15: 1,00x(Peso propio) + 1,00x(Carga hidrostática) + 1,00x(Msh) + 1,00x(Msp)- qsd = γf·qs = 1,00 · 10.000 · 1,00 = 10.000 N/m, en barras 1 a 9.- qωd = γf·qω = 1,00 · 40.000 · 1,00 = 40.000 N/m, en barras 1 a 9.- Mshd = γf·Msh = 1,00 · 54.080 = 54.080 N·m/m, en nudos 1 y 10 (con su signo).- Mspd = γf·Msp = 0.C16: 1,00x(Peso propio) + 1,00x(Mst) + 1,00x(Msp)- qsd = γf·qs = 1,00 · 10.000 · 1,00 = 10.000 N/m, en barras 1 a 9.- Mstd = γf·Mst = 1,00 · 37.836 = 37.836 N·m/m, en nudos 1 y 10 (con su signo).- Mspd = γf·Msp = 0.4.5.6.- Cálculo de la solera en Estado Límite Último de flexiónLa resolución de la solera discretizada con el uso de las combinaciones C12 y C13 nosda los siguientes momentos flectores: bordeM sd ,sup = -81.120 N·m/m, (cara superior). centroM sd ,sup = 0 N·m/m, (cara superior).
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 167 bordeM sd ,inf = +60.537 N·m/m, (cara inferior). centroM sd ,inf = +69.850 N·m/m, (cara inferior).- La envolvente de la ley de momentos flectores de la cara superior en la unión de lascombinaciones C12 y C13 nos da: borde - En la parte del borde: M sd ,sup = -81.120 N·m/m borde M sd ,sup 81.120µ= = = 0,033→ ωmín = 0,04 2 b·d · f cd 1,00·(0,40 − 0,05) 2 ·20.000.000 ω ·b·d · f cd 0,04·1,00·0,35·20.000.000Asborde = 1 = ·10.000 = 6,4 cm2 = 1ø12c/17,7 cm. f yd 435.000.000 centro - En la parte central: M sd ,sup = 0 N·m/mAscent = 0,0 cm2 1- La envolvente de la ley de momentos flectores verticales de la cara inferior en la uniónde las combinaciones C1 y C2 nos da: borde - En la parte del borde: M sd ,inf = +60.537 N·m/m borde M sd ,inf 60.537µ= = = 0,025→ ωmín = 0,04 2 b·d · f cd 1,00·(0,40 − 0,05) 2 ·20.000.000 ω ·b·d · f cd 0,04·1,00·0,35·20.000.000Asborde = 4 = ·10.000 = 6,4 cm2 = 1ø12c/17,7 cm. f yd 435.000.000 centro - En la parte central: M sd ,inf = +69.850 N·m/m, (cara inferior).
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 168 centro M sd ,inf 69.850µ= = = 0,029→ ωmín = 0,04 2 b·d · f cd 1,00·(0,40 − 0,05) 2 ·20.000.000 ω ·b·d · f cd 0,04·1,00·0,35·20.000.000Ascent = 4 = ·10.000 = 6,4 cm2 = 1ø12c/17,7 cm. f yd 435.000.0004.5.7.- Cálculo de la solera en Estado Límite Último de esfuerzo cortanteLa resolución de la solera discretizada con el uso de las combinaciones C12 y C13 nosda el siguiente valor del esfuerzo cortante máximo:Qsdmáx = 129.240 N/m.Adoptaremos el criterio de que el máximo esfuerzo cortante pueda ser absorbido por lacontribución del hormigón Vcu: ( ) Vcu = 0,12·ξ ·3 100·ρ l · f ck ·b0 ·d (en N/m)siendo: 200 200 ξ = 1+ = 1+ = 1,756 d 350 As 100 / 14·1,13 ρl = = = 0,0023 b0 .d 100·35 fck= 30 N/mm2. b0 = 1.000 mm. (ancho unidad). d = 350 mm. ( ) → Vcu = 0,12·1,756·3 100·0,0023·30 ·1.000·350 = 140.407 N/m.Al ser Qsdmáx = 129.240 N/m ≤ Vcu = 140.407 N/m, no precisamos cercos y el espesor
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 169adoptado para la solera es correcto.4.5.8.- Cálculo de la solera en Estado Límite Último de tracción simple- Combinación de acciones C15: 1,00x(Nsh) + 1,00x(Nsp)Nsd = γf·Nsh+ γf·Nsp = 1,00·73.344 + 1,00·0 = +73.344 N/m.Con lo que adoptando una tensión en el acero de σs = 100 N/mm2, obtendremos unaarmadura de: N sd 73.344 1As3 = = · = 7,33 cm2. σs 100 1004.5.9.- Comprobación de la solera en Estado Límite de fisuraciónLa resolución de la solera discretizada con el uso de las combinaciones C15 y C16 nosda los siguientes momentos flectores:M sborde = -54.080 N·m/m, (cara superior). ,supM scentro = 0 N·m/m, (cara superior). ,supM sborde = +37.836 N·m/m, (cara inferior). ,infM scentro = +46.570 N·m/m, (cara inferior). ,inf- La envolvente de la ley de momentos flectores de la cara superior en la unión de lascombinaciones C4 y C5 nos da: - En la parte del borde: M sborde = -54.080 N·m/m ,sup
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 170Asborde = 1ø12c/17,7 cm. 1La abertura de fisura es: wk = β.sm.εsm= 1,64·209,38·0,000533 = 0,18 mm > 0,1 mm →NO!!Debemos incrementar la armadura, y proponemos Asborde = 1ø12c/16 cm + 1ø6c/16 cm, y 2en este caso, la nueva abertura de fisura es: wk = β.sm.εsm= 1,64·164,09·0,00038613 =0,10 mm ≤ 0,1 mm → OK!! - En la parte central: M scentro = 0 N·m/m ,supAscent = Ascent = 0 cm2. 1 2- La envolvente de la ley de momentos flectores verticales de la cara inferior en la uniónde las combinaciones C4 y C5 nos da: - En la parte del borde: M sborde = +37.836 N·m/m ,infAsborde = 1ø12c/17,7 cm. 4La abertura de fisura es: wk = β.sm.εsm= 1,64·209,38·0,00037291 = 0,13 mm ≤ 0,2 mm→ OK!!Por tanto, Asborde = 1ø12c/17,7 cm. 5 - En la parte central: M scentro = +46.570 N·m/m ,infAscent = 1ø12c/17,7 cm. 4La abertura de fisura es: wk = β.sm.εsm= 1,64·209,38·0,0004501 = 0,15 mm ≤ 0,2 mm →OK!!Por tanto, Ascent = 1ø12c/17,7 cm. 5
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 1714.5.10.- Disposición de las armaduras en la solera del depósitoi) Armadura de la solera en la cara superior: - En la parte del borde = máx( Asborde ; Asborde ;Asmín1) + As3/2 = máx (1ø12c/17,7 1 2cm; 1ø12c/16 cm + 1ø6c/16 cm; 1ø12c/14 cm) + 7,33/2 ≈ 1ø12c/15 cm + 1ø10c/15 cm(refuerzo lateral superior). - En la parte central, al no haber flexión y tener Ascent = Ascent = 0 cm2, estamos en 1 2un caso particular, donde la armadura a disponer será = máx(Asmín1; As3/2) = máx(1ø12c/14 cm; 7,33/2) ≈ 1ø12c/15 cm.ii) Armadura de la solera en la cara inferior: - En la parte del borde = máx( Asborde ; Asborde ;Asmín2) + As3/2 = máx (1ø12c/17,7 4 5cm; 1ø12c/17,7 cm; 1ø12c/19 cm) + 7,33/2 ≈ 1ø12c/15 cm + 1ø8c/15 cm. - En la parte central = máx( Ascent ; Ascent ;Asmín2) + As3/2= máx (1ø12c/17,7 cm; 4 51ø12c/17,7 cm; 1ø12c/19 cm) + 7,33/2 ≈ 1ø12c/15 cm + 1ø8c/15 cm.
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 172 CAPÍTULO 5 ELECCIÓN ÓPTIMA DE UN DEPÓSITO DE AGUA5.1.- INTRODUCCIÓNIniciamos la segunda parte de la tesina, que consiste en dar la posibilidad a una personasin conocimientos ingenieriles a que pueda escoger aquel depósito que más se adecue asus necesidades particulares.El punto de partida es la necesidad de construir un depósito, que en general, llevaimplícito un dato básico: su volumen. Conocido este, lo siguiente que nos planteamos escomo será el depósito más económico que tenga aquel volumen. O también, cómo seráel depósito que ocupe menos espacio, o incluso una combinación de ambas.Es evidente que tenemos muchas opciones para conseguir un depósito con un volumendado. Podemos emplear un depósito rectangular de hormigón armado, cilíndrico dehormigón armado, cilíndrico de hormigón pretensado, cilíndrico de hormigón
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 173pretensado y proyectado, y también prefabricado con forma rectangular o cilíndrica. Yno solo esto, una vez elegida la tipología, nos faltará conocer sus dimensionesgeométricas óptimas.Por tanto, para dar solución al problema que planteamos se hace necesario estudiar unapoblación lo más amplia posible de depósitos e ir acotando para cada volumen concretoaquella tipología que resulte más competitiva con los actuales precios del mercado.Para conocer las dimensiones geométricas y el armado de todos los depósitos de lamuestra empleada, se han seguido los criterios establecidos en los anteriores capítulosreferentes al cálculo de depósitos. En cuanto al precio de las diferentes unidades de obrase ha consultado a empresas constructoras de ámbito regional y estatal, a fin deestablecer unos precios de mercado lo más acordes con la realidad.En la muestra se han calculado y valorado un total de 672 depósitos diferentes, de loscuales, la mitad, o sea, 336 se han analizado con cubierta, y los otros 336 sin cubierta.Se ha buscado un amplio espectro de volúmenes, desde 100 hasta 50.000 m3, y conalturas de agua muy habituales comprendidas entre los 2,0 y 8,0 m. La muestra dedepósitos se ha repartido de la siguiente manera: - Depósito de volumen 100 m3: 42 depósitos analizados: 7 rectangulares de hormigón armado con alturas de agua de Hω = 2,0; 3,0; 4,0; 5,0; 6,0; 7,0 y 8,0 m; 7 cilíndricos de hormigón armado con alturas de agua de Hω = 2,0; 3,0; 4,0; 5,0; 6,0; 7,0 y 8,0 m; y finalmente 7 cilíndricos de hormigón pretensado con alturas de agua de Hω = 2,0; 3,0; 4,0; 5,0; 6,0; 7,0 y 8,0 m. Que lógicamente se duplican por el hecho de que el depósito puede tener cubierta o no tenerla. - Depósito de volumen 200 m3: 42 depósitos analizados: con el mismo reparto de tipologías y alturas de agua. - Depósito de volumen 300 m3: 42 depósitos analizados: con el mismo reparto de tipologías y alturas de agua.
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 174 - Depósito de volumen 400 m3: 42 depósitos analizados: con el mismo reparto de tipologías y alturas de agua. - Depósito de volumen 500 m3: 42 depósitos analizados: con el mismo reparto de tipologías y alturas de agua. - Depósito de volumen 750 m3: 42 depósitos analizados: con el mismo reparto de tipologías y alturas de agua. - Depósito de volumen 1.000 m3: 42 depósitos analizados: con el mismo reparto de tipologías y alturas de agua. - Depósito de volumen 2.500 m3: 42 depósitos analizados: con el mismo reparto de tipologías y alturas de agua. - Depósito de volumen 5.000 m3: 42 depósitos analizados: con el mismo reparto de tipologías y alturas de agua. - Depósito de volumen 7.500 m3: 42 depósitos analizados: con el mismo reparto de tipologías y alturas de agua. - Depósito de volumen 10.000 m3: 42 depósitos analizados: con el mismo reparto de tipologías y alturas de agua. - Depósito de volumen 15.000 m3: 42 depósitos analizados: con el mismo reparto de tipologías y alturas de agua. - Depósito de volumen 20.000 m3: 42 depósitos analizados: con el mismo reparto de tipologías y alturas de agua. - Depósito de volumen 25.000 m3: 42 depósitos analizados: con el mismo reparto de tipologías y alturas de agua.
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 175 - Depósito de volumen 35.000 m3: 42 depósitos analizados: con el mismo reparto de tipologías y alturas de agua. - Depósito de volumen 50.000 m3: 42 depósitos analizados: con el mismo reparto de tipologías y alturas de agua.En la presente tesina no se han valorado los depósitos pretensados con hormigónproyectado, puesto que se trata de una tecnología empleada por unas empresas muyconcretas, con un precio que puede presentar oscilaciones en función de condicionantesde mercado de las propias empresas; y porqué entendemos que una vez conocidas lasdimensiones óptimas podremos consultar el precio del depósito proyectado ycompararlo con las demás ofertas disponibles. En cualquier caso, hemos podidocomprobar que el precio de los depósitos pretensados con hormigón moldeado y con launión articulada flexible (que es tal como lo hemos planteado en la tesina) tiene unprecio muy similar a los mismos depósitos resueltos con hormigón proyectado.Tampoco se han valorado los depósitos prefabricados por dos motivos, en primer lugary al igual que en el caso anterior, por tratarse de elementos cuyo precio presentaoscilaciones en función de los condicionantes de mercado de las propias empresas deprefabricados. Y en segundo lugar, por entender que una vez conocidas las dimensionesóptimas del depósito será cuando debamos consultar el precio del mismo depósitoprefabricado y compararlo con las diferentes ofertas disponibles de otros constructores.5.2.- PRECIOS DE MERCADO ADOPTADOSDespués de consultar con diferentes empresas constructoras de ámbito regional yestatal, se han podido establecer unos precios de mercado para las diferentes unidadesde obra relacionadas con la construcción de depósitos muy ajustados a la realidad.Conviene tener en cuenta que son precios correspondientes al año 2005.
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 176A los precios de ejecución material se les incrementará un 13% en concepto de gastosgenerales y un 6% en concepto de beneficio industrial; quedando por tanto, el precio deejecución por contrata (anterior al IVA).1.- Excavación de tierras de consistencia floja o de tránsito: 2,0·1,19 = 2,38 €/m32.- Relleno localizado de tierras procedentes de excavación. Extendidas y compactadas:3,8·1,19 = 4,52 €/m33.- Suministro y vertido de grava limpia de río o zahorra artificial drenante. Extendida ycompactada: 17,25·1,19 = 20,53 €/m34.- Impermeabilización de trasdós de muro con pintura brea-epoxi: 3,51·1,19 = 4,18€/m25.- Suministro y colocación de membrana drenante de polietileno en trasdós de murocon fijación mecánica: 9,03·1,19 = 10,75 €/m26.- Suministro y vertido de hormigón de limpieza tipo HM-15: 50,0·1,19 = 59,50 €/m37.- Suministro y vertido de hormigón para armar del tipo HA-30: 70,0·1,19 = 83,30€/m38.- Suministro y vertido de hormigón para estructuras pretensadas del tipo HP-35:80,0·1,19 = 95,20 €/m39.- Suministro y vertido de hormigón proyectado para estructuras pretensadas del tipoHP-35 con espesores de entre 18 y 22 cm.: 380,0·1,19 = 452,00 €/m310.- Suministro y colocación de encofrado visto en paramentos planos: 30,0·1,19 =35,70 €/m211.- Suministro y colocación de encofrado trepante visto en paramentos planos de altura
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 177superior a los 6,5 m: 50,0·1,19 = 59,50 €/m212.- Suministro y colocación de encofrado visto en paramentos curvos: 50,0·1,19 =59,50 €/m213.- Suministro y colocación de encofrado trepante visto en paramentos curvos de alturasuperior a los 6,5 m: 65,0·1,19 = 77,35 €/m214.- Suministro y colocación de cimbra: 9,5·1,19 = 11,30 €/m315- Suministro y colocación de armaduras pasivas en barras corrugadas: 0,9·1,19 = 1,07€/kg16.- Suministro y colocación de armaduras activas para pretensado en el caso de tenerun contrafuerte. Incluye las cabezas de anclaje, las operaciones de tesado, los andamiospara el gato, la grúa, los dos operarios y las diferentes ayudas necesarias: 4,54·1,19 =5,40 €/kg17.- Suministro y colocación de armaduras activas para pretensado en el caso de tenerdos contrafuertes. Incluye las cabezas de anclaje, las operaciones de tesado, losandamios para el gato, la grúa, los dos operarios y las diferentes ayudas necesarias:4,96·1,19 = 5,90 €/kg18.- Suministro y colocación de armaduras activas para pretensado en el caso de tenertres contrafuertes. Incluye las cabezas de anclaje, las operaciones de tesado, losandamios para el gato, la grúa, los dos operarios y las diferentes ayudas necesarias:5,38·1,19 = 6,40 €/kg19.- Suministro y colocación de armaduras activas para pretensado en el caso de tenercuatro contrafuertes. Incluye las cabezas de anclaje, las operaciones de tesado, losandamios para el gato, la grúa, los dos operarios y las diferentes ayudas necesarias:5,80·1,19 = 6,90 €/kg
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 17820.- Junta de estanqueidad e hidroexpansiva a disponer en los arranques de muros:24,80·1,19 = 29,50 €/ml21.- Junta de dilatación provista de junta de estanqueidad: 18,07·1,19 = 21,50 €/ml22.- Suministro y colocación de neopreno zunchado para soporte de muro o cubierta:27,31·1,19 = 32,50 €/dm35.3.- ANÁLISIS DE PAREDES Y SOLERA EN LA MUESTRA DEDEPÓSITOS5.3.1.- Depósitos rectangulares de hormigón armadoTodos los depósitos rectangulares que se han estudiado en la muestra están planteadoscon dos celdas. Ello es una buena práctica que se aconseja para poder seguir dandoservicio en caso de tener que reparar o limpiar una de ellas. Se ha intentado buscar unageometría lo más cuadrada posible, como garantía de tener el mínimo perímetro aigualdad de superficie, de ahí que una misma celda tenga una dimensiónaproximadamente doble a la otra.El espesor mínimo de pared adoptado por razones constructivas es de 30 cm. Unespesor menor impediría el paso de la bomba de hormigonado. Se ha considerado que eldepósito se encuentra enterrado hasta la mitad de la pared. Y el resguardo adoptado entodos los casos es de 50 cm.En cuanto a la fisuración se ha supuesto que el líquido contenido por el depósito no esquímicamente agresivo y que no se encuentra excesivamente solicitado por factoresambientales extremos, con lo que hemos adoptado una abertura máxima de fisura dewmáx = 0,2 mm, tanto en la cara exterior como en la interior.
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 179Para el cálculo de la pared se han hecho las siguientes consideraciones, que entendemosson suficientemente generalistas: - Peso específico del agua: γω = 10 KN/m3. - Peso específico de las tierras del relleno: γt = 19 KN/m3. - Angulo de rozamiento interno de las tierras del relleno: φ = 27,5º - Sobrecarga sobre el relleno: q = 4,0 KN/m2. - Tensión admisible sobre el terreno de cimentación: σadm = 2,0 kp/cm2. - Coeficiente de rozamiento hormigón-suelo: µ = 0,577. - También se considera el axil que transmite la reacción de la cubierta al muro.Con todo ello se han calculado los momentos flectores de eje horizontal y eje vertical,así como el máximo esfuerzo cortante haciendo uso de las tablas de Bares (1970).También se ha buscado el valor de la tracción que genera el empuje de agua, y porsupuesto, se ha impuesto una abertura de fisura inferior al máximo admisible de 0,2mm. Todo combinado y con los coeficientes de seguridad establecidos en el segundocapítulo de la tesina, pudiendo encontrar las dimensiones geométricas y armadurasnecesarias de la pared.Para los depósitos de pequeño tamaño se considera una única solera por razonesfuncionales y económicas. Mientras que para los de mayor tamaño, se dispone unazapata en el muro perimetral, y una solera de 20 cm. de espesor en la parte central, yamucho menos solicitada. El conjunto del muro perimetral con su zapata debe verificar laestabilidad al deslizamiento y al vuelco con los coeficientes que marca Jiménez Salas etal (1981) de 1,50 y 2,0 respectivamente. Para soportar la cubierta también seránnecesarios pilares y zapatas interiores.Una vez establecida la geometría y armaduras de cada depósito se deben cubicar contodas las unidades constructivas que lo componen y buscar su precio final. Hemosconsiderado los siguientes capítulos: - Movimiento de tierras, drenaje y preparación del terreno. - Pilares y zapatas interiores.
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 180 - Zapatas de los muros perimetrales. - Solera interior del depósito. - Alzados de los muros perimetrales. - Vigas principales de cubierta. - Cubierta del depósito.Dada la repercusión que supone para el depósito el disponer de cubierta, especialmenteen los de gran superficie, se han separado dos situaciones: los depósitos que tienencubierta y aquellos que no la tienen.En el Anejo de Cálculo adjuntamos el cálculo de todos los depósitos rectangulares de lamuestra, así como la cubicación y coste de los mismos. Se trata de un total de 224depósitos rectangulares analizados, con un volumen comprendido entre 100 y 50.000m3, y una altura de agua entre 2,0 y 8,0 m.5.3.2.- Depósitos cilíndricos de hormigón armadoLos depósitos cilíndricos planteados no se han dividido en dos celdas como sucedía enel caso rectangular, por ser una práctica muy poco habitual en la tipología cilíndrica. Elespesor mínimo de pared adoptado por razones constructivas también es de 30 cm. Seha considerado que el depósito se encuentra enterrado hasta la mitad de la pared. Y elresguardo adoptado en todos los casos es de 50 cm.En cuanto a la fisuración también se ha supuesto que el líquido contenido por eldepósito no es químicamente agresivo y que no se encuentra excesivamente solicitadopor factores ambientales extremos, con lo que hemos adoptado una abertura máxima defisura de wmáx = 0,2 mm, tanto en la cara exterior como en la interior.Para el cálculo de la pared solo se han considerado los esfuerzos debidos a la cargahidrostática, puesto que los valores del empuje de tierras que hemos obtenido es muyreducido, y en general, quedan por debajo la armadura mínima. Se han hecho lassiguientes consideraciones, que entendemos son suficientemente habituales:
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 181 - Peso específico del agua: γω = 10 KN/m3. - Tensión admisible sobre el terreno de cimentación: σadm = 2,0 kp/cm2. - Coeficiente de rozamiento hormigón-suelo: µ = 0,577. - También se considera el axil que transmite la reacción de la cubierta al muro.Para poder resolver el depósito cilíndrico ha sido necesario encontrar las cuatroconstantes de integración C1, C2, C3 y C4 que permiten hallar el campo dedesplazamientos y esfuerzos en una lámina cilíndrica como la planteada. Lasimplificación que puede hacerse en muchos casos de considerar nulas las dos primerasconstantes, aquí no ha sido posible contemplarla, pues son muchos los depósitosanalizados con geometrías poco convencionales, que no cumplen los requisitos parapoder realizar aquella simplificación.Una vez resuelto el sistema lineal de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas, ya esinmediato conocer el valor del momento flector y esfuerzo cortante en el arranque, asícomo el esfuerzo axil de tracción. Que combinado con el cálculo de la abertura de fisuranos permite dimensionar la pared del depósito siguiendo lo establecido en el segundocapítulo de la tesina.En toda la muestra de depósitos cilíndricos armados se ha dispuesto una zapata en elmuro perimetral, y una solera de 20 cm. de espesor en la parte central. El conjunto delmuro perimetral con su zapata debe verificar la estabilidad al deslizamiento y al vuelcoen las mismas condiciones que hemos enunciado para el caso rectangular.Una vez establecida la geometría y armaduras de cada depósito se deben cubicar contodas las unidades constructivas que lo componen y buscar su precio final. Hemosconsiderado los siguientes capítulos: - Movimiento de tierras, drenaje y preparación del terreno. - Pilares y zapatas interiores. - Zapatas de los muros perimetrales. - Solera interior del depósito. - Alzados de los muros perimetrales.
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 182 - Vigas principales de cubierta. - Cubierta del depósito.También se han separado dos situaciones: los depósitos que tienen cubierta y aquellosque no la tienen.En el Anejo de Cálculo adjuntamos el cálculo de todos los depósitos cilíndricos dehormigón armado de la muestra, así como la cubicación y coste de los mismos. Se tratade un total de 224 depósitos cilíndricos analizados, con un volumen comprendido entre100 y 50.000 m3, y una altura de agua entre 2,0 y 8,0 m.5.3.3.- Depósitos cilíndricos pretensados con hormigón moldeado.El espesor mínimo de pared adoptado por razones constructivas en toda la muestra dedepósitos cilíndricos de hormigón pretensado ha sido de 30 cm. Ello es así porqué unespesor menor no permite el paso de la bomba de hormigonado. A fin de mantener lacoherencia con las tipologías anteriores, también se ha considerado que el depósito seencuentra enterrado hasta la mitad de la pared y con un resguardo de 50 cm.En cuanto a la fisuración también se ha supuesto que el líquido contenido por eldepósito no es químicamente agresivo y que no se encuentra excesivamente solicitadopor factores ambientales extremos, con lo que hemos adoptado una abertura máxima defisura de wmáx = 0,2 mm, tanto en la cara exterior como en la interior.Para el cálculo de la pared se ha buscado la Función Hidrostática de Pretensado (FHP) ytambién la Función Uniforme de Pretensado (FUP), adoptando una tensión decompresión circunferencial adicional mínima de σres = 1,0 N/mm2. Se han valorado laspérdidas de pretensado suponiendo que los cordones son del tipo lubrificado.Para todos los depósitos de la muestra se ha hecho el cálculo en el caso de tener uno,dos, tres o cuatro contrafuertes, escogiendo para cada caso la solución más económica.También se ha valorado manera diferente la armadura activa en función del número de
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 183contrafuertes, ya que de ello depende directamente el número de cabezas de anclaje yoperaciones de tesado.En toda la muestra de depósitos cilíndricos pretensados se ha supuesto que la uniónpared-solera es del tipo articulada flexible. Por tanto, los esfuerzos en el arranque seráncasi despreciables y hemos podido disponer una solera de tan solo 20 cm. de espesor. Aexcepción lógicamente de las zapatas de los pilares interiores que soportan la cubiertaque tendrán un canto mayor por cuestiones de punzonamiento.Una vez establecida la geometría y armaduras de cada depósito se deben cubicar contodas las unidades constructivas que lo componen y buscar su precio final. Hemosconsiderado los siguientes capítulos: - Movimiento de tierras, drenaje y preparación del terreno. - Pilares y zapatas interiores. - Solera del depósito. - Alzados de los muros perimetrales. - Vigas principales de cubierta. - Cubierta del depósito.También se han separado dos situaciones: los depósitos que tienen cubierta y aquellosque no la tienen.En el Anejo de Cálculo adjuntamos el cálculo de todos los depósitos cilíndricos dehormigón pretensado de la muestra, así como la cubicación y coste de los mismos. Setrata de un total de 224 depósitos cilíndricos analizados, con un volumen comprendidoentre 100 y 50.000 m3, y una altura de agua entre 2,0 y 8,0 m.5.3.4.- Depósitos cilíndricos pretensados con hormigón proyectadoUna posible alternativa para resolver un depósito cilíndrico pretensado es emplearhormigón proyectado, en lugar del hormigón moldeado contemplado en nuestra muestra
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 184de depósitos.En este caso, no existen limitaciones constructivas al espesor de pared, y en general seemplean espesores comprendidos entre los 18 y 22 cm. También es habitual disponeruna unión monolítica entre la pared y la soleraAhora bien, en la presente tesina no se han valorado los depósitos pretensados conhormigón proyectado, puesto que se trata de una tecnología empleada por unasempresas muy concretas, con un precio que puede presentar oscilaciones en función decondicionantes de mercado de las propias empresas; y porqué entendemos que una vezconocidas las dimensiones óptimas podremos consultar el precio del depósitoproyectado y compararlo con las demás ofertas disponibles.Por otra parte, queremos destacar la similitud de precio existente entre el depósitopretensado de hormigón moldeado planteado con unión articulada flexible, y otrodepósito de la misma capacidad pero resuelto con hormigón proyectado y uniónmonolítica. Veámoslo:i) Depósito cilíndrico pretensado con hormigón moldeado (coste de 1 m2): - Hormigón de pretensado HP-35: 0,30 m3 · 95,20 €/m3 = 28,6 € - Armaduras pasivas, barras corrugadas: 44 kg/m3 · 0,30 m3 · 1,07 €/kg = 14,1 € - Encofrado curvo visto: 2,0 m2 · 59,50 €/m2 = 119,0 € Total: 162 €ii) Depósito cilíndrico pretensado con hormigón proyectado (coste de 1 m2): - Hormigón proyectado HP-35: 0,20 m3 · 452,0 €/m3 = 90,4 € - Armaduras pasivas, barras corrugadas: 85 kg/m3 · 0,20 m3 · 1,07 €/kg = 18,2 € - Encofrado curvo visto: 1,0 m2 · 59,50 €/m2 = 59,5 € Total: 168 €
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 185Vemos que suponiendo una armadura activa análoga en los dos casos, obtenemos unprecio francamente similar.5.3.5.- Depósitos prefabricadosTampoco se han valorado los depósitos prefabricados por dos motivos, en primer lugary al igual que en el caso anterior, por tratarse de elementos cuyo precio presentaoscilaciones en función de los condicionantes de mercado de las propias empresas deprefabricados. Y en segundo lugar, por entender que una vez conocidas las dimensionesóptimas del depósito será cuando debamos consultar el precio del depósito prefabricadoy compararlo con las diferentes ofertas disponibles de otros constructores.5.4.- ANÁLISIS DE LOS PILARES Y ZAPATAS INTERIORES ENLA MUESTRA DE DEPÓSITOS5.4.1.- Pilares interioresLos pilares son los encargados de soportar la cubierta transmitiendo sus cargas a laszapatas interiores, que conviene independizar del resto de la solera del depósito. En losdepósitos rectangulares se disponen alineados en filas separadas 5,0 m. y con unaseparación entre ellos de unos 10,0 m. Ello significa que las vigas principales decubierta tendrán una luz de 10,0 m. y las placas de cubrición de 5,0 m. En el casocilíndrico se disponen en alineaciones circulares y con separaciones análogas al casoanterior.Se propone usar unos pilares cuadrados de 0,45 m. de lado en todos los casos, armadoscon 8 ø12 y cercos ø8c/20 cm. Ello equivale a tener una cuantía de 55 kg/m3; valor quelógicamente emplearemos en la cubicación de los diferentes depósitos de la muestra.
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 1865.4.2.- Zapatas interioresEn cuanto a las zapatas interiores, se han dimensionado para que con la carga axil que letransmite la cubierta por medio del pilar, así como la carga de agua con el depósitolleno, transmitan una tensión al terreno de cimentación inferior a la tensión admisibleque hemos establecido en σadm = 2,0 kp/cm2.Adjuntamos en el Anejo de Cálculo la justificación del dimensionamiento de las zapatasinteriores, con su cubicación de hormigón, armaduras y encofrado.Por su parte, la solera interior es un elemento estructural muy poco solicitado, para elque hemos adoptado un espesor constante de 20 cm. La armadura mínima a disponer ensus dos caras es de malla ø10c/15x15 cm, lo que supone una cuantía de 91 kg/m3.5.5.- ANÁLISIS DE LA CUBIERTA EN LA MUESTRA DEDEPÓSITOS5.5.1.- Placas de cubiertaLas placas de cubierta pueden construirse en un taller de prefabricación y transportarseposteriormente a la obra. Son las responsables últimas del cubrimiento del depósito. Suluz de cálculo es de 5,0 m, y apoyan sobre las propias paredes del depósito y sobre lasvigas principales. Su espesor es de 15 cm.Han sido calculadas para soportar su propio peso, una capa de grava de 10 cm, así comouna sobrecarga de uso de 100 kp/m2. En el Anejo de Cálculo adjuntamos toda lajustificación de la que se desprende la siguiente cubicación: - Hormigón para armar HA-30: 0,15 m3/m2
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 187 - Armaduras pasivas en barras corrugadas: 18,60 kg/m2 - Encofrado plano visto (laterales placa): 0,36 m2/m25.5.2.- Vigas principales de cubiertaLas vigas principales de cubierta apoyan sobre las paredes perimetrales del depósito yen los pilares interiores. Sobre ellas descansan las placas. Su luz de cálculo es de 10,00m. Proponemos que sean unas vigas de sección rectangular de 45 cm. de anchura y 70cm. de canto.En el Anejo de Cálculo adjuntamos toda la justificación de la que se desprende lasiguiente cubicación: - Hormigón para armar HA-30: 0,32 m3/ml - Armaduras pasivas en barras corrugadas: 53 kg/ml - Encofrado plano visto (laterales y fondo viga): 1,85 m2/ml - Cimbra: 0,55·H m3/ml5.6.- RESUMEN DE LA MUESTRA DE DEPÓSITOS ANALIZADOSA continuación exponemos el resumen de toda la muestra de depósitos analizados. Paracada volumen de depósito (100, 200, 300, 400, 500, 750, 1.000, 2.500, 5.000, 7.500,10.000, 15.000, 20.000, 25.000, 35.000 y 50.000 m3) se expone, al final de este apartadoy en unas hojas de cálculo, el coste total de cada depósito para: - 14 tipologías de depósito rectangular de hormigón armado: 7 para el caso con cubierta y otras 7 para el caso sin cubierta. - 14 tipologías de depósito cilíndrico de hormigón armado: 7 para el caso con
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 188 cubierta y otras 7 para el caso sin cubierta. - 14 tipologías de depósito cilíndrico de hormigón pretensado: 7 para el caso con cubierta y otras 7 para el caso sin cubierta.Por tanto, estamos mostrando el análisis de un total de 672 depósitos. Cualquier lectorsin conocimientos ingenieriles podrá encontrar el tipo de depósito que más se adecue asus necesidades concretas. Podrá conocer de manera rápida y sencilla la mejor tipologíaconstructiva, su coste y la superficie ocupada por el mismo.De entre ellas hacemos un resumen de las tipologías más económicas para cadavolumen:i) Depósito de volumen 100 m3 con cubierta:El depósito de menor coste para la capacidad de 100 m3 con cubierta es claramente elrectangular con 3,0 m. de altura de agua (2 celdas de 5,50x3,0 m); y también, aunque enmenor medida, los cilíndricos de hormigón armado de 2,0 y 3,0 m. de altura de agua(R=4,0 y 3,30 m. respectivamente). Sería impensable plantearse para este casotipologías de hormigón pretensado.ii) Depósito de volumen 100 m3 sin cubierta:El depósito de menor coste para la capacidad de 100 m3 sin cubierta es claramente elcilíndrico de hormigón armado con 2,0 m. de altura de agua (R=4,0 m); y también,aunque en menor medida, los rectangulares de 2,0 y 3,0 m. de altura de agua (2 celdasde 7,50x3,50 y 5,50x3,0 m. respectivamente). Tampoco nos podemos plantear para estecaso tipologías de hormigón pretensado.iii) Depósito de volumen 200 m3 con cubierta:Para los depósitos de menor coste correspondientes a la capacidad de 200 m3 concubierta tenemos un amplio abanico de opciones muy competitivas: rectangulares de 2,0y 3,0 m. de altura de agua (2 celdas de 10,0x5,0 y 8,50x4,0 m. respectivamente); y
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 189cilíndricos de hormigón armado de 3,0 y 4,0 m. de altura de agua (R=4,70 y 4,0 m.respectivamente). El caso pretensado no es aplicable en este caso.iv) Depósito de volumen 200 m3 sin cubierta:El depósito de menor coste correspondiente a la capacidad de 200 m3 sin cubierta es elrectangular de 2,0 m. de altura de agua (2 celdas de 10,0x5,0 m). También loscilíndricos de hormigón armado de 2,0 y 3,0 m. de altura de agua (R=5,70 y 4,70 m.respectivamente). El caso pretensado no es aplicable en este caso.v) Depósito de volumen 300 m3 con cubierta:El depósito de menor coste correspondiente a la capacidad de 300 m3 con cubierta es elrectangular de 3,0 m. de altura de agua (2 celdas de 10,0x5,0 m). También loscilíndricos de hormigón armado de 3,0 y 4,0 m. de altura de agua (R=5,70 y 5,0 m.respectivamente). El caso pretensado no es aplicable en este caso.vi) Depósito de volumen 300 m3 sin cubierta:Los depósitos de menor coste correspondientes a la capacidad de 300 m3 sin cubiertason los cilíndricos de hormigón armado de 2,0 y 3,0 m. de altura de agua (R=7,0 y 5,70m. respectivamente). También son competitivos, aunque un poco menos, losrectangulares de 2,0 y 3,0 m. de altura de agua (2 celdas de 15,0x5,0 y 10,0x5,0 m.respectivamente). El caso pretensado no es aplicable en este caso.vii) Depósito de volumen 400 m3 con cubierta:El depósito más claramente competitivo des del punto de vista económico para lacapacidad de 400 m3 con cubierta es el cilíndrico de hormigón armado con 4,0 m. dealtura de agua (R=5,70 m); también, aunque menos el de 5,0 m. de altura de agua(R=5,10 m). En este caso, la tipología rectangular es más cara que la cilíndrica, y elcaso pretensado mucho más.
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 190viii) Depósito de volumen 400 m3 sin cubierta:El depósito más claramente competitivo des del punto de vista económico para lacapacidad de 400 m3 sin cubierta es el cilíndrico de hormigón armado con 2,0 m. dealtura de agua (R=8,0 m). Cualquier otra solución queda economicamente más alejada.ix) Depósito de volumen 500 m3 con cubierta:El depósito más claramente competitivo des del punto de vista económico para lacapacidad de 500 m3 con cubierta es el cilíndrico de hormigón armado con 5,0 m. dealtura de agua (R=5,70 m), también, aunque menos el de 6,0 m. de altura de agua(R=5,20 m). En este caso, la tipología rectangular es bastante más cara que la cilíndrica,y el caso pretensado mucho más.x) Depósito de volumen 500 m3 sin cubierta:Los dos depósitos más claramente competitivos des del punto de vista económico parala capacidad de 500 m3 sin cubierta son los cilíndricos de hormigón armado con 2,0 y3,0 m. de altura de agua (R=9,0 y 7,50 m. respectivamente). Cualquier otra soluciónqueda económicamente más alejada.xi) Depósito de volumen 750 m3 con cubierta:Los depósitos más claramente competitivos des del punto de vista económico para lacapacidad de 750 m3 con cubierta son los cilíndricos de hormigón armado con 3,0, 4,0 y5,0 m. de altura de agua (R=9,0, 8,0 y 7,0 m. respectivamente). En este caso, lastipologías rectangular y pretensada son soluciones más caras.xii) Depósito de volumen 750 m3 sin cubierta:El depósito más claramente competitivo des del punto de vista económico para lacapacidad de 750 m3 sin cubierta es el cilíndrico de hormigón armado con 3,0 m. dealtura de agua (R=9,0 m). En este caso, las tipologías rectangular y pretensada también
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 191son soluciones más caras.xiii) Depósito de volumen 1.000 m3 con cubierta:Los depósitos más claramente competitivos des del punto de vista económico para lacapacidad de 1.000 m3 con cubierta son los cilíndricos de hormigón armado con 4,0 y5,0 m. de altura de agua (R=9,0 y 8,0 m. respectivamente). En este caso, las tipologíasrectangular y pretensada son soluciones más caras, si bien se aprecia un acercamiento delos depósitos pretensados a precios más razonables.xiv) Depósito de volumen 1.000 m3 sin cubierta:Los depósitos más claramente competitivos des del punto de vista económico para lacapacidad de 1.000 m3 sin cubierta son los cilíndricos de hormigón armado con 3,0 y4,0 m. de altura de agua (R=10,50 y 9,0 m. respectivamente). En este caso, lastipologías rectangular y pretensada son soluciones más caras.xv) Depósito de volumen 2.500 m3 con cubierta:Los depósitos más claramente competitivos des del punto de vista económico para lacapacidad de 2.500 m3 con cubierta son los cilíndricos de hormigón armado con 4,0 y5,0 m. de altura de agua (R=14,50 y 13,0 m. respectivamente). La tipología rectangulares una solución claramente más cara. Por contra, ya nos encontramos por primera vez,que el depósito cilíndrico de hormigón pretensado de 8,0 m. de columna de agua(R=10,0 m) puede competir con los dos cilíndricos anteriores.xvi) Depósito de volumen 2.500 m3 sin cubierta:Los depósitos más claramente competitivos des del punto de vista económico para lacapacidad de 2.500 m3 sin cubierta son los cilíndricos de hormigón armado con 3,0, 4,0y 5,0 m. de altura de agua (R=16,50, 14,50 y 13,0 m. respectivamente). En este caso, lastipologías rectangular y pretensada son soluciones más caras.
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 192xvii) Depósito de volumen 5.000 m3 con cubierta:Los mejores depósitos des del punto de vista económico para la capacidad de 5.000 m3con cubierta son los cilíndricos de hormigón armado con 4,0 y 5,0 m. de altura de agua(R=20,0 y 18,0 m. respectivamente). Pero incluso se presentan como mejores solucioneslos depósitos cilíndricos de hormigón pretensado con 7,0 y 8,0 m. de columna de agua(R=15,50 y 14,50 m. respectivamente). La tipología rectangular es una solucióntotalmente inasumible.xviii) Depósito de volumen 5.000 m3 sin cubierta:El depósito más claramente competitivo des del punto de vista económico para lacapacidad de 5.000 m3 sin cubierta es el cilíndrico de hormigón armado con 4,0 m. dealtura de agua (R=20,0 m). En este caso, las tipologías rectangular y pretensada sonsoluciones más caras.ix) Depósito de volumen 7.500 m3 con cubierta:Para los depósitos con cubierta de capacidad 7.500 m3 solo tenemos dos posibilidadesen cuanto al coste, la solución cilíndrica de hormigón armado con 6,0 m. de altura deagua (R=20,0 m), y las soluciones cilíndricas pretensadas con 6,0 y 7,0 m. de altura deagua (R=20,0 y 18,50 m. respectivamente). La tipología rectangular es una solucióntotalmente inasumible.xx) Depósito de volumen 7.500 m3 sin cubierta:Los depósitos más claramente competitivos des del punto de vista económico para lacapacidad de 7.500 m3 sin cubierta son los cilíndricos de hormigón armado con 4,0 y5,0 m. de altura de agua (R=24,50 y 22,0 m. respectivamente). En este caso, lastipologías rectangular y pretensada son soluciones más caras.
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 193xxi) Depósito de volumen 10.000 m3 con cubierta:Para los depósitos con cubierta de capacidad 10.000 m3 la solución claramente máscompetitiva es la solución cilíndrica pretensada de 8,0 m. de altura de agua (R=20,0 m).También, pero en menor medida, la solución cilíndrica de hormigón armado con 5,0 m.de altura de agua (R=25,50 m). La tipología rectangular es una solución totalmenteinasumible.xxii) Depósito de volumen 10.000 m3 sin cubierta:Los depósitos más claramente competitivos des del punto de vista económico para lacapacidad de 10.000 m3 sin cubierta son los cilíndricos de hormigón armado con 4,0 y5,0 m. de altura de agua (R=28,50 y 25,50 m. respectivamente). Ya nos encontramospor primera vez que la tipología pretensada en los depósitos sin cubierta empieza a sercompetitiva. Así, también nos podríamos plantear usar depósitos cilíndricos pretensadosde 4,0 y 5,0 m. de altura de agua (R=28,50 y 25,50 m. respectivamente).xxiii) Depósito de volumen 15.000 m3 con cubierta:El depósito más claramente competitivo des del punto de vista económico para lacapacidad de 15.000 m3 con cubierta es el cilíndrico de hormigón pretensado con 8,0 m.de altura de agua (R=24,50 m). En este caso, las tipologías rectangular y cilíndrica dehormigón armado son soluciones más caras.xxiv) Depósito de volumen 15.000 m3 sin cubierta:Los depósitos más claramente competitivos des del punto de vista económico para lacapacidad de 15.000 m3 sin cubierta son los cilíndricos de hormigón armado con 4,0 y5,0 m. de altura de agua (R=35,0 y 31,0 m. respectivamente). También nos podemosplantear usar depósitos cilíndricos pretensados de 5,0 y 6,0 m. de altura de agua(R=31,0 y 28,50 m. respectivamente).
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 194xxv) Depósito de volumen 20.000 m3 con cubierta:Los dos depósitos más claramente competitivos des del punto de vista económico parala capacidad de 20.000 m3 con cubierta son los cilíndricos de hormigón pretensado con7,0 y 8,0 m. de altura de agua (R=30,50 y 28,50 m. respectivamente). En este caso, lastipologías rectangular y cilíndrica de hormigón armado son soluciones más caras.xxvi) Depósito de volumen 20.000 m3 sin cubierta:Los depósitos más claramente competitivos des del punto de vista económico para lacapacidad de 20.000 m3 sin cubierta son el cilíndrico de hormigón armado con 4,0 m. dealtura de agua (R=40,0 m), y el cilíndrico pretensado con 6,0 m. de altura de agua(R=33,0 m).xxvii) Depósito de volumen 25.000 m3 con cubierta:Los dos depósitos más claramente competitivos des del punto de vista económico parala capacidad de 25.000 m3 con cubierta son los cilíndricos de hormigón pretensado con7,0 y 8,0 m. de altura de agua (R=34,0 y 32,0 m. respectivamente). En este caso, lastipologías rectangular y cilíndrica de hormigón armado son soluciones más caras.xxviii) Depósito de volumen 25.000 m3 sin cubierta:Los depósitos más claramente competitivos des del punto de vista económico para lacapacidad de 25.000 m3 sin cubierta son los cilíndricos de hormigón pretensado de 5,0 y6,0 m. de altura de agua (R=40,0 y 36,50 m. respectivamente); y también, en menormedida, los cilíndricos de hormigón armado de 4,0 y 5,0 m. de altura de agua (R=45,0 y40,0 m. respectivamente).xxix) Depósito de volumen 35.000 m3 con cubierta:Los dos depósitos más claramente competitivos des del punto de vista económico parala capacidad de 35.000 m3 con cubierta son los cilíndricos de hormigón pretensado con
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 1957,0 y 8,0 m. de altura de agua (R=40,0 y 37,50 m. respectivamente). En este caso, lastipologías rectangular y cilíndrica de hormigón armado son soluciones más caras.xxx) Depósito de volumen 35.000 m3 sin cubierta:El depósito más competitivo des del punto de vista económico para la capacidad de35.000 m3 sin cubierta son los cilíndricos de hormigón armado de 4,0 y 5,0 m. de alturade agua (R=53,0 y 47,50 m. respectivamente); y también, los cilíndricos de hormigónpretensado de 5,0 y 6,0 m. de altura de agua (R=47,50 y 43,50 m. respectivamente).xxxi) Depósito de volumen 50.000 m3 con cubierta:El depósito más claramente competitivo des del punto de vista económico para lacapacidad de 50.000 m3 con cubierta es el cilíndrico de hormigón pretensado con 8,0 m.de altura de agua (R=45,0 m). En este caso, las tipologías rectangular y cilíndrica dehormigón armado son soluciones mucho más caras.xxxii) Depósito de volumen 50.000 m3 sin cubierta:Los depósitos más claramente competitivos des del punto de vista económico para lacapacidad de 50.000 m3 sin cubierta son los cilíndricos de hormigón pretensado de 5,0,6,0 y 7,0 m. de altura de agua (R=56,50, 52,0 y 48,0 m. respectivamente); y también, loscilíndricos de hormigón armado de 4,0 y 5,0 m. de altura de agua (R=63,50 y 56,50 m.respectivamente).En cuanto al coste del depósito óptimo por metro cúbico de volumen, pasamos en elcaso de depósito con cubierta de 202 a 38 €/m3 para el caso de 100 y 50.000 m3 decapacidad respectivamente. Y para el caso de no tener cubierta, pasamos de 169 a 22€/m3 para el caso de 100 y 50.000 m3 de capacidad respectivamente.
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 1965.7.- RELACIONES D/Hω ÓPTIMAS EN DEPÓSITOSCILÍNDRICOSYa tuvimos ocasión de comentar en el segundo capítulo de la tesina que Boixereu(1988) encontró las siguientes relaciones D/Hω que minimizan el coste de un depósitopretensado con hormigón proyectado: - Para depósitos de V=1.000 m3 el valor óptimo de D/Hω es de 3,7. - Para depósitos de V=4.000 m3 el valor óptimo de D/Hω es de 4,5. - Para depósitos de V=7.000 m3 el valor óptimo de D/Hω es de 5,5.En nuestro caso, aprovechando la enorme muestra de depósitos analizada tambiénhemos podido extraer unas relaciones D/Hω óptimas, que han resultado ser muysimilares tanto en los depósitos cilíndricos de hormigón armado como en los dehormigón pretensado. Se sigue una función monótona en el caso de depósitos concubierta, con resultados muy similares a los planteados por Boixereu (1988). Cosa queno ocurre así, en el caso de depósitos sin cubierta, dónde los resultados son mucho másconfusos e imprevisibles. Resumimos en la tabla 5.1 los valores numéricos obtenidos: VOLUMEN (m3): RELACIÓN D/Hω ENCONTRADA: 100 2,20 200 2,00 300 2,50 400 2,85 500 2,28 750 2,80 1.000 3,20 2.500 4,00 5.000 4,43 7.500 5,29 10.000 6,14 15.000 7,57 20.000 8,71 25.000 9,71 35.000 11,43 50.000 13,71Tabla 5.1.- Valores óptimos de la relación D/Hω en depósitos cilíndricos con cubierta
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 1975.8.- ESTUDIO DEL NÚMERO DE CONTRAFUERTES ÓPTIMOTambién es de un enorme interés conocer cuál es el número de contrafuertes óptimopara un depósito cilíndrico de hormigón pretensado dado. También comentamos en elsegundo capítulo de la tesina que Boixereu (1988) sugiere que en depósitos de pequeñacapacidad (entre 500 y 8.000 m3) se dispongan dos contrafuertes, y que en depósitos demayor capacidad, una solución ampliamente aceptada consiste en disponer cuatrocontrafuertes.En nuestro caso, aprovechando la enorme muestra de depósitos analizada, tambiénhemos querido conocer el número óptimo de contrafuertes de un depósito cilíndricopretensado, con los siguientes resultados: - Para depósitos de 100 m3: 1 contrafuerte. - Para depósitos de 200 hasta 1.000 m3 (ambos inclusive): 2 contrafuertes. - Para depósitos de 2.500 hasta 10.000 m3 (ambos inclusive): 3 contrafuertes. - Para depósitos de 15.000 hasta 50.000 m3 (ambos inclusive): 4 contrafuertes.5.9.- ESTUDIO DEL CAMPO DE VALIDEZ PARA LASFÓRMULAS SIMPLIFICADAS EN DEPÓSITOS CILÍNDRICOSEn el segundo capítulo de la tesina se explicó de manera detallada que para calcular losesfuerzos que solicitan la pared de un depósito cilíndrico tenemos que encontrar, enprimer lugar, las constantes de integración C1, C2, C3 y C4, que dependen de lascondiciones de contorno. Ello nos conduce a un sistema lineal de cuatro ecuaciones concuatro incógnitas.También se comentó que en algunos casos prácticos se puede simplificar enormemente
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 198la resolución del problema haciendo nulas las constantes C1 y C2. Pero que ello sólo seráposible cuando el espesor de la pared sea pequeño en comparación tanto con el radiocomo con la altura del depósito y podamos considerar la lámina como infinitamentelarga.Ya mencionamos que no hemos encontrado en el estado del conocimiento una acotaciónclara que nos permita saber en que casos podremos hacer esta simplificación con erroresdespreciables, y en que casos conviene no hacerla. Es por ello, que con toda la muestrade depósitos analizada estamos en condiciones de solucionar este vacío y poder precisarel campo de validez para la hipótesis anterior, que ha resultado ser la siguiente: 0 ≤ D/Hω ≤ 6
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 199 CAPÍTULO 6 CONCLUSIONES6.1.- INTRODUCCIÓNEn este capítulo se exponen las conclusiones que se derivan de los distintos estudiosdesarrollados a lo largo de este trabajo. Las conclusiones responden al cumplimiento delos objetivos principales que han guiado el desarrollo de esta tesina.Éstos se han dirigido, por una parte, hacía el desarrollo ordenado de toda la informaciónnecesaria que necesita un técnico para poder calcular un depósito de agua, en cualquierade sus tipologías, con la confianza de estar amparado por las principales normativas,recomendaciones y estudios realizados hasta el momento sobre depósitos, con la
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 200seguridad de estar siguiendo el mismo la misma filosofía de cálculo de la vigenteInstrucción de Hormigón Estructural EHE (1999) y también con la tranquilidad de estardiseñando una estructura que no tendrá problemas de funcionalidad o durabilidad con eltiempo.En segundo lugar, hemos querido facilitar a la persona sin conocimientos técnicos unaherramienta sencilla para que pueda escoger el depósito que más se acomode a susnecesidades particulares, pudiendo conocer datos tan relevantes como la tipología consus dimensiones más acertadas, su precio o la ocupación del mismo en planta.Finalmente, con una muestra de 672 depósitos analizados era obligado llegar a otrasconclusiones más específicas, como son las relaciones D/Hω óptimas en depósitoscilíndricos, el número de contrafuertes óptimo o el campo de validez para las fórmulassimplificadas en el cálculo de la pared de un depósito cilíndrico.6.2.- CONCLUSIONES RELATIVAS AL CÁLCULODestacamos la importancia de construir los depósitos con un hormigón de buena calidady reducida permeabilidad, a fin de garantizar la durabilidad del mismo. De ahí que seimpongan unos valores de resistencia característica mínima de: fck ≥ 30 N/mm2 en depósitos de hormigón armado fck ≥ 35 N/mm2 en depósitos de hormigón pretensadoUno de los elementos básicos sobre el que se edifica toda la teoría de depósitos es laabertura máxima de fisura permitida wmáx. Desgraciadamente no hay normativa queevite la siempre peligrosa subjetividad. Pero haciendo un compendio de toda lainformación disponible en el estado del conocimiento, entendemos razonable escogercomo norma general un valor de wmáx = 0,2 mm, excepto en el caso de tener el depósitoexpuesto a efectos climáticos severos o a la contención de líquidos agresivos, que
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 201entonces adoptaremos wmáx = 0,1 mm.El escoger uno u otro valor de abertura máxima de fisura no es un tema baladí. Lacuantía de armaduras a disponer puede ser muy diferente según la abertura considerada.También la tensión admisible del acero para los esfuerzos de tracción simple dependede esta abertura. Así tenemos que: - Si wmáx = 0,2 mm escogeremos una tensión admisible de σadm = 130 N/mm2. - Si wmáx = 0,1 mm escogeremos una tensión admisible de σadm = 100 N/mm2.Y finalmente, las armaduras mínimas necesarias para prevenir posibles fisuracionesdebidas a la retracción del fraguado, variaciones de temperatura e incluso otras accionesno contempladas en el cálculo, dependen del valor de la abertura de fisura. Así tenemosque: - Si wmáx = 0,2 mm escogeremos una armadura mínima de ρmín = 0,0015. - Si wmáx = 0,1 mm escogeremos una armadura mínima de ρmín = 0,0020.En los depósitos cilíndricos de hormigón pretensado, la pared debe estarpermanentemente comprimida anularmente, e incluso con una tensión de compresiónresidual mínima σres, que se fija entre 0,5 y 2,0 N/mm2 (en la tabla 2.10 se concretanestos valores). Y para los esfuerzos verticales de flexión en las paredes (debidos a laacción de los tendones de pretensado, presión hidrostática del agua y fenómenosreológicos), que originan una fisuración horizontal, se dispondrá armadura pasivavertical con todos los criterios que hemos enunciado anteriormente.Las paredes de los depósitos rectangulares de hormigón armado se tratan como placastriempotradas, en la solera y en las dos paredes laterales, y con el borde superior libre.Aparecen esfuerzos en las direcciones vertical y horizontal, cuyas leyes se determinancon las tablas de Placas de Bares (1970).El tratamiento de estos esfuerzos no es muy convencional; de entrada se busca laarmadura de flexión necesaria calculada en Estado Límite Último. También la necesariapor fisuración de flexión con el criterio de abertura máxima de fisura que hayamos
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 202establecido y calculada en Estado Límite de Servicio. En general, esta última será másrestrictiva, y junto con la armadura mínima necesaria, se escoge de entre ellas, el valorde armadura mayor, a la que sumaremos la de tracción obtenida con el método clásicode dividir el esfuerzo por una tensión admisible del acero muy reducida de valor 130 ó100 N/mm2. En cuanto al esfuerzo cortante, se intenta que el espesor de pared sea tal,que con la contribución del hormigón se evite disponer cercos.Las paredes de los depósitos cilíndricos llevan detrás toda la teoría de láminas circularescilíndricas. Y para conocer las leyes de esfuerzos en la lámina es necesario encontrarpreviamente las constantes de integración de la ley de corrimientos radiales ω(x). Ellosupone tener que resolver de entrada sistemas de ecuaciones lineales con cuatroecuaciones y cuatro incógnitas en los casos normales de empuje hidrostático y empujede tierras; y de diez ecuaciones con diez incógnitas en el caso de tener las tierras pordebajo la coronación del depósito y también en el caso de buscar los esfuerzos queprovoca el pretensado sobre la pared. Se ha realizado un enorme esfuerzo en la presentetesina, en concreto en el tercer capítulo, encaminado a facilitar la resolución de estossistemas de ecuaciones que cubren todas las posibilidades de unión pared-solera quepuede presentar el depósito.Para encontrar los esfuerzos en la pared de los depósitos cilíndricos de hormigónarmado hay que buscar previamente las constantes de integración de la ley ω(x) con laresolución de los sistemas lineales de ecuaciones mencionados, si bien, en general,podrá simplificarse su resolución en aquellos casos en que pueda considerarse la láminainfinitamente larga.En cualquier caso, una vez conocido el campo de esfuerzos en la pared, se procede de lamisma manera que en el caso de depósitos rectangulares mencionado anteriormente: almáximo de la armadura de flexión, armadura necesaria por fisuración y armaduramínima se le suma la de tracción obtenida con el método clásico de dividir el esfuerzopor la tensión admisible del acero.En cuanto a los depósitos cilíndricos de hormigón pretensado, se empieza estudiando eltipo de unión pared-solera (monolítica, articulada flexible y articulada fija), que sin
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 203duda condiciona los esfuerzos sobre la pared. Seguidamente se define una funciónóptima de pretensado que defina el mínimo volumen de pretensado necesario paraobtener el estado de tensiones anulares deseado, la cual se descompone en dosfunciones: la Función Hidrostática de Pretensado (FHP) y la Función Uniforme dePretensado (FUP).Este volumen de pretensado obtenido con la función óptima hay que comprobarlo con elEstado Límite de Servicio preconizado en EHE: tenemos que garantizar que la máximatensión de compresión en el momento del tesado y con el depósito vacío es menor que0,60·fckj; y que a tiempo infinito y con el depósito lleno la pared sigue comprimida.El pretensado horizontal tiene por misión principal comprimir circunferencialmente lapared, a fin de compensar las tracciones originadas por la carga de agua, reduciendo asísu fisuración vertical. Pero la fisuración horizontal debida a los esfuerzos verticales deflexión en las paredes debe solucionarse con armadura pasiva vertical. Y esta últimaarmadura será el valor máximo de entre la armadura de flexión necesaria calculada enEstado Límite Último, la necesaria por fisuración con el criterio de abertura máxima defisura establecido y la armadura mínima necesaria.Finalmente, para el cálculo de la solera de un depósito precisamos de un sencilloprograma de pórticos que nos permita discretizarla en un conjunto de nudos y barras,que apoyada sobre un lecho elástico que simula el terreno se encuentra sometida a lasacciones que la solicitan. El tratamiento de los esfuerzos y disposición de armadurassigue una total analogía con lo establecido en el estudio de las paredes.6.3.- CONCLUSIONES RELATIVAS A LA ELECCIÓN ÓPTIMA DEUN DEPÓSITO DE AGUAA la vista de la extensa muestra de depósitos analizada, podemos concluir de la
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 204siguiente manera: - Queda claro que los depósitos rectangulares sólo pueden competir con volúmenes muy bajos, por debajo de los 500 m3. - Por su parte, los depósitos cilíndricos de hormigón armado tienen un campo de validez mucho más amplio: podemos llegar hasta 10.000 m3 con muy buenas garantías en el caso de tener cubierta, y hasta 50.000 m3 en el caso de no tenerla. La tipología cilíndrica armada se muestra una buena opción en rangos elevados de volumen cuando no hay el coste de la cubierta que penaliza superficies de ocupación grandes. - Y finalmente, los depósitos cilíndricos pretensados tienen un campo de validez comprendido entre los 2.500 y 50.000 m3 en el caso de tener cubierta; y entre los 10.000 y 50.000 m3 en el caso de no tenerla. La tipología pretensada es más competitiva en depósitos con cubierta, ya que elevadas alturas de pared, para las cuales el pretensado compensa, supone tener menos superficie, y por tanto, menores costes de cubierta.Completamos las conclusiones con la tabla 6.1 referida a la elección óptima de undepósito de agua des del punto de vista de su competitividad económica. En general,para cada volumen de depósito, hay varios ejemplos con precios óptimos muy similares,que también reflejamos, para aumentar las opciones de elección. VOLUMEN DEPÓSITO CON CUBIERTA DEPÓSITO SIN CUBIERTA (m3) 100 Rectan: Hω=3,0 m (2 celd: 5,50x3,0) Cilin armado: Hω=2,0 m (R = 4,0) Cilin armado: Hω=2,0 m (R = 4,0) Rectan: Hω=2,0 m (2 celd: 7,50x3,50) Cilin armado: Hω=3,0 m (R = 3,30) Rectan: Hω=3,0 m (2 celd: 5,50x3,0) 200 Rectan: Hω=2,0 m (2 celd: 10,0x5,0) Rectan: Hω=2,0 m (2 celd: 10,0x5,0) Rectan: Hω=3,0 m (2 celd: 8,50x4,0) Cilin armado: Hω=2,0 m (R = 5,70) Cilin armado: Hω=3,0 m (R = 4,70) Cilin armado: Hω=3,0 m (R = 4,70)
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 205 Cilin armado: Hω=4,0 m (R = 4,0) 300 Rectan: Hω=3,0 m (2 celd: 10,0x5,0) Cilin armado: Hω=2,0 m (R = 7,0) Cilin armado: Hω=3,0 m (R = 5,70) Cilin armado: Hω=3,0 m (R = 5,70) Cilin armado: Hω=4,0 m (R = 5,0) Rectan: Hω=2,0 m (2 celd: 15,0x5,0) Rectan: Hω=3,0 m (2 celd: 10,0x5,0) 400 Cilin armado: Hω=4,0 m (R = 5,70) Cilin armado: Hω=2,0 m (R = 8,0) Cilin armado: Hω=5,0 m (R = 5,10) 500 Cilin armado: Hω=5,0 m (R = 5,70) Cilin armado: Hω=2,0 m (R = 9,0) Cilin armado: Hω=6,0 m (R = 5,20) Cilin armado: Hω=3,0 m (R = 7,50) 750 Cilin armado: Hω=3,0 m (R = 9,0) Cilin armado: Hω=3,0 m (R = 9,0) Cilin armado: Hω=4,0 m (R = 8,0) Cilin armado: Hω=5,0 m (R = 7,0) 1.000 Cilin armado: Hω=4,0 m (R = 9,0) Cilin armado: Hω=3,0 m (R = 10,50) Cilin armado: Hω=5,0 m (R = 8,0) Cilin armado: Hω=4,0 m (R = 9,0) 2.500 Cilin armado: Hω=4,0 m (R = 14,50) Cilin armado: Hω=3,0 m (R = 16,50) Cilin armado: Hω=5,0 m (R = 13,0) Cilin armado: Hω=4,0 m (R = 14,50) Cilin preten: Hω=8,0 m (R = 10,0) Cilin armado: Hω=5,0 m (R = 13,0) 5.000 Cilin preten: Hω=7,0 m (R = 15,50) Cilin armado: Hω=4,0 m (R = 20,0) Cilin preten: Hω=8,0 m (R = 14,50) Cilin armado: Hω=4,0 m (R = 20,0) Cilin armado: Hω=5,0 m (R = 18,0) 7.500 Cilin armado: Hω=6,0 m (R = 20,0) Cilin armado: Hω=4,0 m (R = 24,50) Cilin preten: Hω=6,0 m (R = 20,0) Cilin armado: Hω=5,0 m (R = 22,0) Cilin preten: Hω=7,0 m (R = 18,50) 10.000 Cilin preten: Hω=8,0 m (R = 20,0) Cilin armado: Hω=4,0 m (R = 28,50) Cilin armado: Hω=5,0 m (R = 25,50) Cilin armado: Hω=5,0 m (R = 25,50) Cilin preten: Hω=4,0 m (R = 28,50) Cilin preten: Hω=5,0 m (R = 25,50) 15.000 Cilin preten: Hω=8,0 m (R = 24,50) Cilin armado: Hω=4,0 m (R = 35,0) Cilin armado: Hω=5,0 m (R = 31,0) Cilin preten: Hω=5,0 m (R = 31,0) Cilin preten: Hω=6,0 m (R = 28,50)
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 206 20.000 Cilin preten: Hω=7,0 m (R = 30,50) Cilin armado: Hω=4,0 m (R = 40,0) Cilin preten: Hω=8,0 m (R = 28,50) Cilin preten: Hω=6,0 m (R = 33,0) 25.000 Cilin preten: Hω=7,0 m (R = 34,0) Cilin preten: Hω=5,0 m (R = 40,0) Cilin preten: Hω=8,0 m (R = 32,0) Cilin preten: Hω=6,0 m (R = 36,50) Cilin armado: Hω=4,0 m (R = 45,0) Cilin armado: Hω=5,0 m (R = 40,0) 35.000 Cilin preten: Hω=7,0 m (R = 40,0) Cilin armado: Hω=4,0 m (R = 53,0) Cilin preten: Hω=8,0 m (R = 37,50) Cilin armado: Hω=5,0 m (R = 47,50) Cilin preten: Hω=5,0 m (R = 47,50) Cilin preten: Hω=6,0 m (R = 43,50) 50.000 Cilin preten: Hω=8,0 m (R = 45,0) Cilin preten: Hω=5,0 m (R = 56,50) Cilin preten: Hω=6,0 m (R = 52,0) Cilin preten: Hω=7,0 m (R = 48,0) Cilin armado: Hω=4,0 m (R = 63,50) Cilin armado: Hω=5,0 m (R = 56,50)Tabla 6.1.- Elección óptima de un depósito de agua desde un punto de vista económicoPor otra parte, también es interesante conocer el coste del depósito óptimo por metrocúbico de volumen. Para ello adjuntamos las figuras 6.1 y 6.2 . COSTE DEL DEPÓSITO CON CUBIERTA 250 200 COSTE (€/m3) 150 100 50 0 0 10.000 20.000 30.000 40.000 50.000 60.000 VOLUMEN (m3)Figura 6.1.- Gráfica del coste del depósito óptimo con cubierta por m3 de volumen.
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 207 COSTE DEL DEPÓSITO SIN CUBIERTA 180 160 140 COSTE (€/m3) 120 100 80 60 40 20 0 0 10.000 20.000 30.000 40.000 50.000 60.000 VOLUMEN (m3)Figura 6.2.- Gráfica del coste del depósito óptimo sin cubierta por m3 de volumen.6.4.- CONCLUSIONES ESPECÍFICAS6.4.1.- Relaciones D/Hω óptimas en depósitos cilíndricosLos resultados que hemos obtenido en cuanto a la relación D/Hω que presentan losdepósitos cilíndricos con cubierta de menor coste quedan reflejadas en la figura 6.3. VALORES ÓPTIMOS D/Hω 16,00 14,00 RELACIÓN D/Hω 12,00 10,00 8,00 6,00 4,00 2,00 0,00 0 10.000 20.000 30.000 40.000 50.000 60.000 VOLUMEN (m3)Figura 6.3.- Valores óptimos de la relación D/Hω en depósitos cilíndricos con cubierta
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 2086.4.2.- Estudio del número de contrafuertes óptimoEn depósitos cilíndricos de hormigón pretensado se puede llegar a la siguienteconclusión en cuanto al número de contrafuertes óptimo: VOLUMEN (m3) Nº CONTRAFUERTES ÓPTIMO 0 – 100 m3 1 200 – 1.000 m3 2 2.500 – 10.000 m3 3 15.000 – 50.000 m3 4Tabla 6.2.- Número de contrafuertes óptimo en depósitos cilíndricos pretensados6.4.3.- Estudio del campo de validez para las fórmulas simplificadas en depósitoscilíndricosPara encontrar los esfuerzos en una lámina circular cilíndrica, como son las paredes deun depósito cilíndrico de hormigón armado o pretensado, es necesario resolver laecuación correspondiente al campo de desplazamientos:ω(x) = C1.eλx.cos(λx) + C2.eλx.sin(λx) + C3.e-λx.cos(λx) + C4.e-λx.sin(λx) + f(x) (6.1)dónde C1, C2, C3 y C4 son constantes de integración que dependen de las condiciones decontorno. Para encontrarlas se hace necesario resolver un sistema de cuatro ecuacionescon cuatro incógnitas, que hemos desarrollado ampliamente en el tercer capítulo de latesina. Ahora bien, en algunos casos particulares se puede simplificar la resolución delproblema haciendo nulas las constantes C1 y C2. En el estado del conocimiento actualsolo se menciona esta posibilidad, en el caso de que se pueda considerar la lámina comoinfinitamente larga.Estamos en condiciones de concretar la afirmación anterior de forma numérica, ydespués de los resultados obtenidos en nuestro estudio, podemos asegurar que las
    • Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 209fórmulas simplificadas que nos permiten prescindir de la resolución de un sistema linealde 4 ecuaciones con 4 incógnitas para resolver los esfuerzos en una lámina cilíndricapresentan el siguiente campo de validez: 0 ≤ D/Hω ≤ 6 (6.2)Por tanto, cualquier depósito cilíndrico que cumpla esta relación; en concreto, hasta unvolumen de 10.000 m3 si seguimos la relación D/Hω óptima que hemos establecido,tendrá unas constantes C1 y C2 prácticamente nulas, y podremos resolver su campo dedesplazamientos y esfuerzos de una manera muy simple sin apenas cometer errores.