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Tarea de Metodos numericos unidad 4

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    Grafos Grafos Document Transcript

    • Estructura de DatosGráfos20/06/2011Universidad Autónoma De CampecheLaura Witinea Avila <br />UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE CAMPECHE<br />FACULTAD DE INGENIERÍA<br />WITINEA AVILA LAURA ARIDAI<br />ESTRUCTURA DE DATOS I<br />MAESTRO: CARLOS MARIO SOSA SILVA<br />4TO. SEMESTRE GRUPO “A”<br />20/06/11<br />GRAFOS<br />¿Qué es un grafo?<br />En matemáticas y ciencias de la computación, un grafo (del griego grafos: dibujo, imagen) o gráfica es el principal objeto de estudio de la teoría de grafos.<br />Un grafo es un conjunto, no vacío, de objetos llamados vértices (o nodos) y una selección de pares de vértices, llamados aristas que pueden ser orientados o no. <br />¿De que constan?<br />Típicamente, un grafo se representa mediante una serie de puntos (los vértices) conectados por líneas (las aristas).<br /> Vértices Aristas<br />Grafo con 6 vértices y 7 aristas<br />Aristas dirigidas y no dirigidas <br />En algunos casos es necesario asignar un sentido a las aristas, por ejemplo, si se quiere representar la red de las calles de una ciudad con sus direcciones únicas. El conjunto de aristas será ahora un subconjunto de todos los posibles pares ordenados de vértices, con (a, b) ≠ (b, a). Los grafos que contienen aristas dirigidas se denominan grafos orientados.<br />Las aristas no orientadas se consideran bidireccionales para efectos prácticos (equivale a decir que existen dos aristas orientadas entre los nodos, cada una en un sentido).<br />El primer grafo es no dirigido ya que no importa el orden de los vértices.<br />El segundo grafo es dirigido, puesto que los vértices están ordenados, y tienen una dirección establecida.<br />Lazos o Bucles<br />Un lazo o bucle es una arista que relaciona al mismo nodo; es decir, una arista donde el nodo inicial y el nodo final coinciden.<br />Camino<br />Un camino en un grafo es una sucesión finita en la que aparecen alternadamente vértices y aristas de dicho grafo. Otras definiciones básicas son:<br />Los extremos son los vértices inicial y final del camino.<br />La longitud de un camino es el número de aristas que contiene.<br />Camino es cerrado <br />Un camino es cerrado si sus extremos coinciden.<br />Camino simple <br />Es si en la sucesión de vértices no hay ninguno repetido.<br />Tipos de caminos<br />Camino euleriano: es un camino o circuito que contiene todas las aristas apareciendo cada una de ellas exactamente una vez. Un grafo que admite dicho circuito se denomina grafo euleriano, y sus vértices o tienen grado par o dos de los vértices tienen grado impar.<br />Camino hamiltoniano: es un camino simple que contiene todos los vértices apareciendo cada uno de ellos exactamente una vez. Un ciclo que a su vez es un camino hamiltoniano se denomina ciclo hamiltoniano, y un grafo que contiene un ciclo hamiltoniano se denomina grafo hamiltoniano.<br /> Ciclo<br />Un ciclo es un camino cerrado donde los únicos vértices repetidos son el primero y el último.<br /> Caracterización de grafos<br />Grafos simples<br />Un grafo es simple si sólo 1 arista que une dos vértices cualesquiera. Esto es equivalente a decir que una arista cualquiera es la única que une dos vértices específicos.<br />Un grafo que no es simple se denomina Multigráfica o Gráfo múltiple.<br />Grafos conexos<br />Un grafo es conexo si cada par de vértices está conectado por un camino; es decir, si para cualquier par de vértices (a, b), existe al menos un camino posible desde a hacia b.<br />Un grafo es doblemente conexo si cada par de vértices está conectado por al menos dos caminos disjuntos; es decir, es conexo y no existe un vértice tal que al sacarlo el grafo resultante sea disconexo.<br />Es posible determinar si un grafo es conexo usando un algoritmo Búsqueda en anchura (BFS) o Búsqueda en profundidad (DFS).<br />Árboles<br />Un grafo que no tiene ciclos y que conecta a todos los puntos, se llama un árbol. <br />En ciencias de la informática, un árbol es una estructura de datos ampliamente usada que imita la forma de un árbol (un conjunto de nodos conectados). Un nodo es la unidad sobre la que se construye el árbol y puede tener cero o más nodos hijos conectados a él. Se dice que un nodo a es padre de un nodo b si existe un enlace desde a hasta b (en ese caso, también decimos que b es hijo de a). Sólo puede haber un único nodo sin padres, que llamaremos raíz. Un nodo que no tiene hijos se conoce como hoja. Los demás nodos (tienen padre y uno o varios hijos) se les conoce como rama.<br />Árbol binario<br />Recorrido de los árboles<br />El recorrido en preorden, también llamado orden previo consiste en recorrer en primer lugar la raíz y luego cada uno de los hijos en orden previo.<br />El recorrido en inorden, también llamado orden simétrico (aunque este nombre sólo cobra significado en los árboles binarios) consiste en recorrer en primer lugar A1, luego la raíz y luego cada uno de los hijos en orden simétrico.<br />El recorrido en postorden, también llamado orden posterior consiste en recorrer en primer lugar cada uno de los hijos en orden posterior y por último la raíz.<br />Grafica completa<br />En teoría de grafos, un grafo completo es un grafo simple donde cada par de vértices está conectado por una arista.<br />Un grafo completo de n vértices tiene n(n − 1) / 2 aristas, y se nota Kn. Es un grafo regular con todos sus vértices de grado n − 1. Ningún grafo completo tiene lazos y está conectado totalmente, por ende, la única forma de hacer disconexo el grafo con una eliminación de vértices es aplicarla a todos.<br />Los grafos completos de 1 a 12 vértices son los siguientes:<br />k1:0 k2:1 k3:2<br />k4:6 k5:10 k6:15<br />k7:21 k8:28 k9:36<br /> k10:45k11:55 k12:66<br />Grafos ponderados o etiquetados<br />En muchos casos, es preciso atribuir a cada arista un número específico, llamado valuación, ponderación o coste según el contexto, y se obtiene así un grafo valuado.<br />Formalmente, es un grafo con una función v: A -> R+.<br />Por ejemplo, un representante comercial tiene que visitar n ciudades conectadas entre sí por carreteras; su interés previsible será minimizar la distancia recorrida (o el tiempo, si se pueden prever atascos). El grafo correspondiente tendrá como vértices las ciudades, como aristas las carreteras y la valuación será la distancia entre ellas.<br />Y, de momento, no se conocen métodos generales para hallar un ciclo de valuación mínima, pero sí para los caminos desde a hasta b, sin más condición.<br />Multígrafo<br />Un multigrafo o pseudografo es un grafo que está facultado para tener aristas múltiples; es decir, aristas que relacionan los mismos nodos. De esta forma, dos nodos pueden estar conectados por más de una arista. Formalmente, un multigrafo G es un par ordenado G:=(V, E) donde:<br />V es un conjunto de vértices o nodos<br />E es un multiconjunto de pares no ordenados de nodos, llamados aristas o líneas.<br />Un multidigrafo es un grafo dirigido que está facultado para tener aristas múltiples, es decir, aristas con los mismos nodos iniciales y finales. Formalmente, un multidigrafo G es un par ordenado G:=(V,A) donde:<br />V es un conjunto de vértices o nodos<br />A es un multiconjunto de pares ordenados de nodos, llamados aristas dirigidas, arcos o flechas.<br />Un multidigrafo mixto G:=(V,E,A) puede definirse de la misma manera que un grafo mixto, es decir, con la capacidad de poseer al mismo tiempo aristas dirigidas (A) y no dirigidas (E).<br />Estructura Matriciales<br />Matriz de incidencia - El grafo está representado por una matriz de A (aristas) por V (vértices), donde [arista, vértice] contiene la información de la arista (1 - conectado, 0 - no conectado)<br />Matriz de adyacencia - El grafo está representado por una matriz cuadrada M de tamaño n2, donde n es el número de vértices. Si hay una arista entre un vértice x y un vértice y, entonces el elemento mx,y es 1, de lo contrario, es 0.<br />La matriz de adyacencia es una matriz cuadrada que se utiliza como una forma de representar relaciones binarias.<br />Bibliografia:<br />http://www.google.com.mx/<br />http://es.wikipedia.org/wiki/Grafo<br />http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_grafos<br />http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_de_adyacencia<br />http://www.monografias.com/trabajos16/grafos/grafos.shtml<br />