Análisis combinatorio

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Análisis combinatorio

  1. 1. Análisis Combinatorio Profesora: Navarro, Maria Laura. Resistencia, Chaco. Argentina.
  2. 2. Trabajo Practico Nº 5 Análisis Combinatorio 1) Con las letras de la palabra MESA, forme todas las palabras posibles con o sin sentido sin repetir letras, calculando previamente su número. 2) ¿ De cuántas maneras distintas pueden salir alineados al campo de juego, los jugadores titulares de un equipo de fútbol ?. De cuántas maneras distintas pueden hacerlo si el arquero debe ocupar siempre la primera posición ?. 3) Un grupo musical va a grabar un compact que contiene 7 temas ; ¿ De cuántas maneras puede elegir la secuencia de los temas ? Si el compact requiere que dos temas en particular no se escuchen en forma consecutiva, ¿ de cuántas maneras puede elegir la secuencia de los temas ?
  3. 3. 4) Para confeccionar un examen, se dispone de 3 problemas de Geometría, 4 de Combinatoria y 2 de Algebra. ¿ De cuántas maneras pueden ordenarse los problemas si los que corresponden a un mismo tema deben aparecer en forma consecutiva ? 6) Cuatro amigos se reúnen a jugar al truco. ¿ De cuántas maneras diferentes pueden sentarse alrededor de la mesa ?. 5) Un señor olvidó la combinación del candado que cierra su maletín y que consiste en cinco ruedas contiguas con los dígitos de 1 a 6 cada rueda. En el peor de los casos, ¿ cuántos intentos tendrá que hacer antes de poder abrirlo ? 7) Con los dígitos 1, 2, 3, 4, y 5. ¿ Cuántos números de tres cifras distintas pueden formarse ?. ¿ Cuántos son pares ?. ¿ Cuántos terminan en 32 ?. Cuántos son divisibles por 5 ?.
  4. 4. 8) Con 22 consonantes y 5 vocales : a)   ¿ Cuántas palabras distintas con o sin sentido de cinco letras (sin que se repitan letras) se pueden formar ? b) ¿ En cuántas de las palabras del ítem a) la letra central es una vocal ? c) ¿ Cuántas de las palabras del ítem a) se forman con 3 consonantes y 2 vocales ? 9) En un curso de 42 estudiantes de Lic. en Sistemas, se desea elegir 3 alumnos para formar una Comisión. a ) De cuántas maneras se puede elegir si los representantes tienen iguales atribuciones ?. b) ¿ De cuántas maneras se puede elegir si los representante tienen diferentes atribuciones ?.
  5. 5. 10) Se tienen 10 puntos a, b, c, . . . . , j ; pertenecientes a un plano α, de los cuales no hay 3 alineados. a)   ¿ Cuántas rectas determinan esos puntos ? b) ¿ Cuántas de esas rectas pasan por el punto a ? c)   ¿ Cuántos triángulos determinan esos puntos ? d) ¿ Cuántos de esos triángulos tienen un vértice en a ? e) ¿ Cuántos de esos triángulos tienen un lado en ab ? 11) Entre 12 hombres y 8 mujeres debe elegirse una delegación de 5 personas. a) ¿ De cuántas maneras se puede formar la delegación ? b) ¿ De cuántas maneras se puede formar si dos personas determinadas deben estar siempre la delegación? c)   ¿ De cuántas maneras se puede formar si en la delegación deben haber 3 hombres y 2 mujeres ? d) ¿ De cuántas maneras se puede formar si en la delegación deben haber por lo menos 3 hombres y 1 mujer ? e)   ¿ De cuántas maneras se puede formar si en la delegación no pueden estar juntas 2 personas enemistadas ? f) ¿ De cuántas maneras se puede formar la delegación si un hombre y una mujer (esposos) deben estar los dos o ninguno en la delegación ?
  6. 6. 12) Todas las personas que asisten a una fiesta se estrechan la mano. Si se estrecharon la mano en 45 oportunidades ; ¿ cuántas personas asistieron a dicha reunión ?. 13) Cuántas palabras con o sin sentido pueden formarse con las letras de las palabras : INDEPENDENCIA ; CATAMARCA ; MONOMIO. (usando todas las letras en cada caso) 14) Con los dígitos 2, 3 y 9 : ¿ Cuántos números mayores que 100 se forman ? ¿ Cuántos son pares ? 15) Determine n ∈ N si existe, tal que :       − =      5 1 5 4 3) nn a AAA nnn b 1 2 1 23 2 1 ) −− =− CA nn c 3 1 2 67) =− 10 2 3 3 4 ) 2 2 3 2 =− ++ AA nn d 564) 2 1 2 2 2 =+− ++ CCC nnn e
  7. 7. 16) Desarrolle las siguientes potencias aplicando Binomio de Newton : 5 )3() −xa 43 ) 1 () x xb + 17) Hallar si existe : a) el undécimo término de sin efectuar el desarrollo. b) el ó los términos centrales de c)   el coeficiente de x32 en d) el término de grado 7 en e) el término que contiene a-35 en 152 )2( xx − 9 )23( yx − 15 3 4 1       − x x 732/1 )( xx + 25 2 3 3       + a a 18) En el desarrollo ordenado del binomio , los términos T10 y T15 son equidistantes de los extremos. Hallar n. n ax )( +
  8. 8. Permutaciones Si tres alumnos deben exponer en una clase especial, y desean analizar todas las posibilidades del orden de exposición que tienen . . . . Es simple advertir que una alternativa es . . . . . Primero expone Pablo (que suele ser muy convincente) Pablo luego expone Matías, (que sabe mucho , pero no convence) Matías y por último Julio, (que es algo desordenado) Julio Una alternativa diferente será si Julio toma el lugar de Matías y éste el de Julio Pablo MatíasJulio Otra posibilidad es que Julio tome el lugar de Pablo y éste el de Julio Pablo MatíasJulio 44 1-2-31-2-3 1-21-2 33 44
  9. 9. Ahora si Pablo y Matías cambian sus posiciones, tenemos otra alternativa PabloMatíasJulio Luego es Matías el que toma el primer turno PabloMatías Julio Y finalmente, puede haber nuevamente un intercambio entre el segundo y el tercer expositor PabloMatías Julio Todo lo expuesto podemos sintetizar en que para tres personas existen tres lugares (ordenes de exposición); así, si queremos saber cuántos son los órdenes en que pueden exponer estas tres personas podemos buscar . . . . . . la cantidad de funciones inyectivas posibles, entre el conjunto de personas y los lugares que pueden ocupar Que se encuentra con la expresión Pn = n! 1-21-2 33 44 44 1-2-31-2-3
  10. 10. La función factorial n! se define: de N0 → N      ⋅+=+ = = = )()1()1( 1)1( 1)0( )( hfhhf f f nf es decir: n! es igual al producto de los n primeros números naturales n! = n ⋅ (n-1) ⋅ (n-2) ⋅ (n-3) . . . . . . 3 ⋅ 2 ⋅ 1 Así, para hallar la cantidad de posibilidades de colocar tres elementos (alumnos) en tres ubicaciones diferentes (orden de exposición) resolvemos . . . P3 = 3 ! = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6 1 2 3 4 5 6 Pablo Pablo Julio Julio Matías Matías Matías Julio Pablo Matías Julio Pablo Julio Matías Matías Pablo Pablo Julio Los ordenamientos posibles son 1-21-2 33 44 44 1-2-31-2-3
  11. 11. 1) Calculamos previamente el número de palabras con o sin sentido que se forman con las letras de la palabra MESA, sin repetir letras Se trata de ordenar cuatro elementos (letras) en cuatro posiciones diferentes P4 = 4! = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24 MESA EMSA SMEA AMES MEAS EMAS SMAE AMSE MAES ESMA SEMA AEMS MASE ESAM SEAM AESM MSEA EAMS SAME ASEM MSAE EASM SAEM ASME 2) Si son jugadores de un equipo de fútbol son once jugadores para once posiciones P11 = 11! = 11 ⋅ 10 ⋅ 9 . . . . . . . 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 39.916.800 si el arquero ocupa siempre la primera posición 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 se pueden cambiar los lugares del 2 al 11 (entre 10 jugadores) P10 = 10 ! = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 . . . . . . . 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 3.628.800 1A
  12. 12. 3) Se deben ordenar 7 temas para un compact P7 = 7 ! = 7 ⋅ 6 ⋅ 5 . . . . . . . 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 5.040 si dos temas no se deben escuchar en forma consecutiva . . . vamos a buscar el número de situaciones en que aparecen dos temas en particular (por ejemplo el 2 y el 3) juntos Un ordenamiento será : 1 2 3 4 5 6 7 si 2 y 3 deben estar juntos otro ordenamiento puede ser . . . 1 2 34 5 6 7 observando convenientemente advertimos que estamos ordenando 6 temas en 6 lugares (el 2 y 3 consideramos un solo tema) P6 = 6 ! = 720 Y debemos considerar también cuando 1 3 24 5 6 7 Aparece primero el 3 y luego el 2 (los temas aparecen juntos) nuevamente . . . P6 = 6 ! = 720 entonces dos temas determinados no aparecen juntos en P7 – 2 P6 = 7 ! – 2 ⋅ 6 ! = 5.040 – 2 ⋅ 720 = 3.600 el total de ordenamientos posibles es
  13. 13. 4) Cada asignatura puede ocupar una posición, las posibilidades son G A C P3 = 3 ! = 6 Pero el orden de los problemas de cada materia también pueden cambiarse G 1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 C A G C A A G C A C G C A G C G 1 2 3 4 1 2 4 3 1 3 2 4 1 3 4 2 1 4 2 3 1 4 3 2 2 1 3 4 2 1 4 3 2 3 1 4 2 3 4 1 2 4 1 3 2 4 3 1 3 1 2 4 3 1 4 2 3 2 1 4 3 2 4 1 3 4 1 2 3 4 2 1 4 1 2 3 4 1 3 2 4 2 1 3 4 2 3 1 4 3 1 2 4 3 2 1 A 1 2 2 1 entonces la cantidad total de posibles temas es : P3 ⋅ ( P3 ⋅ P4 ⋅ P2 ) = 3 ! ⋅ ( 3! ⋅ 4! ⋅ 2! ) = 6 ⋅6 ⋅ 24 ⋅ 2 = 1.728
  14. 14. 5) Supongamos que el maletín tenga una sola rueda de 6 dígitos Las posibilidades serán que se abra con 1, 2, 3, 4, 5, ó 6 Lo que significa que en el peor de los casos se deberá hacer 6 intentos Pero si el maletín tuviera 2 ruedas de 6 dígitos le corresponden 6 dígitos de la segunda rueda 2 1 2 3 4 5 6 habrán entonces 6 nuevas alternativas por cada dígito de la primera rueda Las posibilidades con 2 ruedas son 6 x 6 = 36 Pero el maletín tiene 3 ruedas, entonces se agregan 6 alternativas más a cada una de las 36 posibilidades anteriores Para tres ruedas son 6 x 6 x 6 = 216 Generalizando, podemos plantear que para n ruedas el número de intentos será : 6 n a cada dígito de la primera rueda En este caso, con n = 5 65 = 7.776 13456
  15. 15. Permutaciones Circulares Si debo ordenar cuatro amigos en fila sabemos que la cantidad de alternativas está dada por la permutación de 4 elementos P4 = 4! = 4 ⋅3⋅ 2 ⋅1 = 24 formas a b c d b c d a c d a b d a b c Entre las que se encuentran las siguientes . . . y son formas diferentes Pero, si los amigos estuvieran alrededor de un círculo en vez de estar alineados . . . d c b a a d c b b a d c c b a d Lo que antes eran 4 configuraciones diferentes, ahora no se pueden diferenciar En todos los casos a la izquierda de a está d y a la derecha b . . . Las cuatro ordenaciones deben ser consideradas la misma ordenación La permutación circular de m elementos se resuelve . . . == m P P m c,m )!m(P )m( 11 −=−
  16. 16. 6) Cuatro amigos se reúnen a jugar al truco. ¿ De cuántas maneras diferentes pueden sentarse alrededor de la mesa ?. Puede que Ud. esté pensando en la permutación de cuatro elementos . . . . y esto sería correcto si los amigos juegan al truco en fila india A B C D Pero todos sabemos que al truco se juega en pareja y alrededor de una mesa A B C Ddonde . . . es lo mismo que . . . C D B A A y C siguen siendo compañeros B a la izquierda y D a la derecha de A Se trata entonces de la permutación circular de 4 elementos que se resuelve . . . =c,P4 612314 =⋅⋅=− )!(
  17. 17. VARIACION ó ARREGLO Si queremos formar números de dos cifras con los dígitos 1, 2 y 3 Resulta que debemos tomar dos de los elementos (dígitos) y formar un número de dos cifras Por ejemplo, si tomamos los dígitos 1 y 2 formamos el 12 El mismo 12, con las cifras invertidas forma otro número de dos cifras 21 también 13 y 31 . . . . . . . finalmente 23 y 32 Esta operación viene dada por la expresión: )!nm( !m AV m nn,m − == donde m = 3 y n = 2 6 1 6 23 33 2 == − = )!( ! A observe que con solo cambiar el ordensolo cambiar el orden de los dígitos, se considera un caso diferente; aunque no se haya cambiado alguno de los dígitos 3 : cantidad total de elementos que disponemos 2 : cantidad de elementos que tomamos para formar cada arreglo Se lee “arreglo de m elementos tomados de a n” 77 8-9-108-9-10 8 a8 a 99 77 1010 8 b8 b
  18. 18. 7) Si disponemos de los dígitos 1, 2, 3, 4, y 5 para formar números de tres cifras i) debemos resolver = ⋅⋅⋅ = − = ! ! )!( ! A 2 2345 35 55 3 Si los números de tres cifras buscados deben ser pares, la última cifra debe ser un número par parcifra 2 cifra 1 Asignamos el lugar de la cifra par al 2 2cifra 2 cifra 1y quedan 2 lugares para cuatro dígitos posibles 12 !2 !234 )!24( !44 2 = ⋅⋅ = − =A pero en vez del 2, el último dígito pudo ser el 4 4cifra 2 cifra 1 ii) Los números pares son: 241222 4 2 =⋅=⋅A iii) Si los números deben terminar en 32 23cifra 3 2 23 13 33 1 = ⋅ = − = ! ! )!( ! A iv) Si debe ser múltiplo de 5, debe terminar en 5 5cifra 2 cifra 1 12 2 234 24 44 2 = ⋅⋅ = − = ! ! )!( ! A 60
  19. 19. 8 a) Con 22 consonantes y 5 vocales se pueden formar palabras con ó sin sentido de cinco letras (sin que se repitan letras) Por ejemplo la palabra L U C H A Si se cambia el orden de sus letras resulta otra palabra distinta LUC H A sin haber cambiado ninguna de sus letras (elementos) Debe aplicarseDebe aplicarse VARIACIÓN O ARREGLOVARIACIÓN O ARREGLO Dispongo de 22 c + 5 v para formar las palabras, 2727 elementos en total =m nA A = 27 Para formar palabras de 55 letras (elementos) 5 = − )!( ! 527 27 )!nm( !m − Esto se puede resolver directamente con calculadora ó simplificando previamente = ! ! 22 27 = ⋅⋅⋅⋅⋅ ! ! 22 222324252627 9.687.600 palabras9.687.600 palabras 8 b8 b
  20. 20. 8 b) Si deseo saber en cuántas palabras de 5 letras (que no se repiten) formadas por 22 consonantes y 5 vocales, la letra central es una vocal Podemos pensar que la palabra será: Si el lugar central debe ocupar una vocal (por ejemplo la A) A Quedan 4 lugares para completar con 22 consonantes y 4 vocales (porque una vocal ya fue ubicada en el centro) La operación que resuelve esto es: A = 26 4 = − )!( ! 426 26 = ! ! 22 26 = ⋅⋅⋅⋅ ! ! 22 2223242526 358.800 palabras Pero, el lugar central puede ser ocupado por cinco vocales distintas Entonces a 26 4 A Lo multiplicamos por 5 porque la letra central puede ser AEIOU= − ⋅=⋅ )!( ! A 426 26 55 26 4 5 x 358.800 = 1.794.000 palabras1.794.000 palabras
  21. 21. COMBINACION Si tenemos una situación donde nos interesa saber las alternativas posibles cuando es necesario que cambie un elemento al menos (no nos interesa el orden en que se presenten los elementos) Tenemos una combinación,combinación, que se resuelve con la expresión )!nm(!n !m C m n − = Si tenemos Jamón, queso y lechuga y queremos saber cuántos tipos de sandwich podemos preparar usando dos de los alimentos mencionados un sandwich hecho de jamón y queso será lo mismo que uno hecho de queso y jamón Una vez elegidos dos alimentos cualesquiera, es necesario cambiar uno de ellos al menos para cambiar el sabor del sandwich Este es un caso de combinacióncombinación, que se resuelve: = − = )!(! ! C 232 33 2 = ⋅ ⋅ !! ! 12 23 3 11-1211-12 1010 1313 11 a11 a 12 c12 c 1010 1313 11 b-c11 b-c 11 d-e11 d-e 12 a-b12 a-b 12 d12 d 12 e12 e 12 f12 f
  22. 22. 9) De 42 estudiantes; debo tomar 3; pero no hay diferencia de posiciones ni de “cargos” entre los tres, en la comisión son todos “iguales” Es un caso de combinacióncombinación )!(! ! C 3423 4242 3 − = = ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ = ! ! 39123 39404142 2014 11.480 formas11.480 formas Que tienen iguales atribuciones significa que todos pueden cumplir el mismo rolPero . . . Juan prepara las diapositivas María dá la charla de introducción Pablo expone Será diferente si . . . María prepara las diapositivas Pablo dá la charla de introducción Juan expone; Se aprecia que: aunque los elementos seleccionados (Juan, Pablo y María) sean los mismos, los equipos 1 y 2 serán diferentes, por el rol que desempeñan sus integrantes. Ahora nos interesa el orden de los elementos esto se resuelve con variación óvariación ó arregloarreglo = ⋅⋅⋅ == − = ! ! ! ! )!( ! A 39 39404142 39 42 342 4242 3 = 68.880 formas= 68.880 formas ArregloArreglo CombinaciónCombinación
  23. 23. 10) Si tenemos 10 puntos en un plano de los cuales no hay 3 alineados Sabemos que dos puntos cualesquiera determinan una recta )!(! ! 2102 10 − = ⋅ ⋅⋅ = !! ! 82 8910 5 45 ac cf ch ce bi df dj eh Pero la recta ac es la misma que ca la recta bi es la misma que ib Es necesario que un elemento (punto) sea diferente para que se trate de una recta diferente La cantidad de elementos que disponemos para formar rectas son 10 puntos son necesarios 2 puntos para unirlos (sin importar el orden ) y así formar la recta entonces . . . por ejemplo y así sucesivamente . . . = 10 2C 11 b-c11 b-c 11 d-e11 d-e
  24. 24. 10 b) Para saber cuántas de las 45 rectas pasan por el punto a, pensemos que disponemos de 10 puntos b, c; d; . . . h; i; j En principio tengo 10 elementos para 2 lugares –recta- sin importar el orden Si uno de los lugares ocupa el punto aa Me quedan ahora 9 elementos para el lugar que resta = ⋅ ⋅ = − ! ! )!(! ! 81 89 191 9 11 c) tres puntos no alineados pueden formar un triángulo Podemos distinguir entre otros, el triángulo acf; ∆ el triángulo cfi ∆ ; etc. Entonces corresponderá tomar los 10 puntos de tres en tres recordando que cfi ∆ = fci ∆ = icf ∆ etc. = ⋅ ⋅⋅⋅ = − ! ! )!(! ! 76 78910 3103 10 3 2 5 120 triángulos120 triángulos = 9 1C 9 rectas9 rectas =10 3C 11 d-e11 d-e
  25. 25. d) Para saber cuántos triángulos tienen vértice en a : En principio tengo 10 elementos (puntos) para 3 lugares (vértices del triángulo) Si el elemento a debe estar siempre ocupando un lugar a porque es un vértice de cualquiera de los triángulos que busco Me quedan 9 elementos (puntos) para ubicar en las dos posiciones restantes que son 2 (vértices) = ⋅ ⋅⋅ = − !! ! )!(! ! 72 789 292 9 4 36 triángulos tienen vértice en a36 triángulos tienen vértice en a e) Si los triángulos deben tener un lado (ab) común, significa que de los 10 puntos dos puntos ya están ubicados a b Me quedan entonces 8 elementos (puntos) para ocupar un lugar (vértice) = ⋅ ⋅ = − ! ! )!(! ! 71 78 181 8 8 triángulos8 triángulos = 9 2C = 8 1C
  26. 26. 11 a) Si hay 12 hombres y 8 mujeres para formar la delegación (tengo en total 20 personas) y debemos elegir 5 personas (sin distribuir cargos ni considerar el orden) Las cantidad de delegaciones posibles estará dada por la combinación . . .combinación . . . C de 20 personas (total de elementos) tomadas de a 5 (cantidad de miembros de cada delegación posible) = − = )!(! ! 5205 20 = ⋅ !! ! 155 20 = ⋅⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅⋅ = ! ! 1512345 151617181920 3 15.504 maneras distintas15.504 maneras distintas 12 b) Si dos personas deben estar siempre en la misma delegación de los 5 lugares que dispongo dos ya están ocupados supongamos . . . persona aa persona b b La operación es la misma . . . C pero del total de 20 personas descuento 2 que ya están ubicadas porque deben estar siempre juntas y me quedan 3 lugares para las 18 personas restantes 18 3 = − = )!(! ! 3183 18 = ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ! ! 15123 15161718 3 816 formas si dos personas deben estar juntas816 formas si dos personas deben estar juntas 20 5 12 c12 c 12 d12 d 12 e12 e 12 f12 f
  27. 27. 11 c) Si en la delegación deben haber tres hombres y dos mujeres Primero busco la cantidad de delegaciones que se pueden formar con los 12 hombres disponibles tomados de a 3 12 3C = − = )!(! ! 3123 12 = ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ! ! 9123 9101112 2 220 delegaciones de tres hombres220 delegaciones de tres hombres Y busco la cantidad de delegaciones que se pueden formar con las 8 mujeres disponibles tomadas de a 2 8 2C = − = )!(! ! 282 8 = ⋅⋅ ⋅⋅ = ! ! 612 678 4 = 28 delegaciones de dos mujeres= 28 delegaciones de dos mujeres Para hallar el total de delegaciones posibles de tres hombres y dos mujeres, planteamos los siguiente . . . . para cada delegación de 3 hombres hay 28 delegaciones posibles de 2 mujeres como tengo 220 delegaciones posibles de 3 hombres . . . las delegaciones de al menos tres hombres y dos mujeres son . . . =⋅ 8 2 12 3 CC 220 ⋅ 28 = 6.160 formas de componer6.160 formas de componer la delegación solicitadala delegación solicitada 12 d12 d 12 e12 e 12 f12 f
  28. 28. 11 d) si en la delegación deben haber por lo menos 3 hombres y una mujer, analizamos las siguientes alternativas . . . De los cinco lugares disponibles h h Tres están ocupados por hombres h y quedan dos lugares para mujeres m m la cantidad de delegaciones posibles con esta configuración ya hemos visto en el punto anterior=⋅ 8 2 12 3 CC 220 ⋅ 28 = 6.160 Pero también puede suceder que . . . h h h m De los cinco lugares disponibles cuarto están ocupados por hombres y solo uno por mujer h lo que resulta . . . =⋅ 8 1 12 4 CC = − ⋅ − )!(! ! )!(! ! 181 8 4124 12 = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ = ! ! ! ! 71 78 81234 89101112 5 495 ⋅ 8 = 3.960 No hay otra alternativa que verifique la condición, porque si hay cinco hombres, no hay mujeres; y si hay tres o mas mujeres, queda lugar para dos hombres o menos El resultado es la suma de las dos posibilidades analizadas +⋅ 8 2 12 3 CC =⋅ 8 1 12 4 CC 10.120 formas10.120 formas 12 e12 e 12 f12 f
  29. 29. 11 e) si dos personas enemistadas no deben estar juntas en la delegación Supongamos que los enemistados son a y b La cantidad de delegaciones en las que a y b están juntos son . . a b =18 3C = − )!(! ! 3183 18 = ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ! ! 15123 15161718 3 816 Conociendo la cantidad total de delegaciones que se pueden formar (de 12a) y la cantidad de delegaciones en las que dos personas están juntas Las delegaciones en las que esas dos personas no están juntas, será . . . =− 18 3 20 5 CC 15.504 – 816 = 14.688 formas14.688 formas Otra manera de calcular lo mismo es mediante la operación =++ 18 4 18 4 18 5 CCC 8.568 + 3.060 + 3.060 = 14.688 formas14.688 formas justifique Ud. el procedimiento . . . 12 f12 f
  30. 30. 11 f) Si un hombre y una mujer (esposos) deben estar los dos ó ninguno . . . Tenemos dos alternativas: la primera es que estén juntos Así de 20 personas (12 H y 8 M) quedan 18 posibles (porque 2 ya están ubicados) para 3 lugares de los 5 iniciales =18 3C = − )!(! ! 3183 18 = ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ! ! 15123 15161718 3 816 La otra alternativa es que no estén ninguno de los dos En esa situación tenemos 18 personas para cubrir los cinco lugares, porque no están ninguno de los dos =18 5C = − )!(! ! 5185 18 = ⋅⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅⋅ ! ! 1312345 131415161718 8.568 3 4 3 El resultado está dado por la suma de las cantidades de ambas posibilidades =+ 18 5 18 3 CC 816 + 8.568 = 9.384 formas9.384 formas
  31. 31. 12) Todas las personas se estrechan la mano una vez Supongamos que sean tres personas: A , B y C A B A C B C se produjeron tres saludos observe Ud. Que para tener un “saludo diferente”, necesitamos que se salude al menos una persona diferente Entonces se trata de una combinación . . . CPero como no sabemos de cuántas personas, consideramos esa cantidad igual a m y como el saludo se establece entre dos personas, a las m personas las tomamos de 2 en 2 m En total fueron 45 saludos 45= resolvemos . . . 45 22 = − = )!m(! !m 45 22 21 = − −⋅−⋅ )!m(! )!m()m(m 2451 ⋅=−⋅ )m(m 90 2 =− mm 090 2 =−− mm buscamos m aplicando la fórmula que resuelve la ecuación de segundo grado 2 m C2
  32. 32. 090 2 =−− mm = ⋅ −⋅⋅−−± =− 12 901411 2 21 )()( m = +± =− 2 36011 21m = ± 2 3611 = ± 2 191 == + 2 20 2 191 10 =−= − 2 18 2 191 - 9 m1 = 10 m2 = - 9 Por ser – 9 un número negativo, adoptamos como solución única m = 10m = 10 Verificamos . . . = 10 2C = − )!(! ! 2102 10 = ⋅ ⋅⋅ !! ! 82 8910 5 45
  33. 33. Permutaciones con repetición Si tenemos solo dos símbolos ( 0 y 1 ) Podremos emitir las señales 0 1 1 0 si los símbolos no pueden repetirse La cantidad de señales posibles se calcula mediante 2122 =⋅=P si no debemos repetir símbolos . . Pero si podemos repetir símbolos; con dos ceros y dos unos 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 El conjunto de símbolos será { 0, 0, 1, 1 } y las señales posibles . . . La cantidad de señales posibles cuando hay símbolos repetidos se calcula con Permutaciones con repetición 22 4 , P Permutación de cuatro elementos, con dos elementos que se repiten dos veces cada uno Con dos elementos que se repiten dos veces cada uno ( 0 y 1 )= ⋅ = !! ! 22 4 = ⋅ ⋅⋅ !! ! 22 234 2 para emitir señales de 2 símbolos diferentes 1 0 1 0 1 1 0 0 6 Generalizando λδβα ...,, mP !!....!! !m λδβα ⋅⋅ =
  34. 34. Sabe Ud. que el procesador de una computadora trabaja básicamente con elementos biestables llamados bit; y que 8 bit conforman 1 byte; . . . y 1.000 byte son 1 Kb, etc. Si 1 byte tiene 8 bit, significa que puede almacenar 8 símbolos (que pueden ser ceros ó unos) ese byte con sus 8 símbolos emitirá señales como . . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 etc. etc. . . Supongamos un byte en el que hay 5 ceros y 3 unos ¿ Cuántas señales diferentes podrá emitir ese byte ? En este caso, el conjunto de elementos es { 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1 } conjunto de 8 elementos, de los cuales uno se repite 5 veces; y el otro se repite 3 veces 35 8 , P = ⋅ = !! ! 35 8 = ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ 1235 5678 ! ! 35 8 , P 56= Señales diferentes se pueden emitir desde 1 byte con 5 ceros y 3 unos y la operación que resuelve . . .
  35. 35. 13 i) La palabra I N D E P E N D E N C I A tiene 13 letras De las cuales I se repite 2 veces N se repite 3 veces D se repite 2 veces E se repite 3 veces Las demás letras de la palabra, no se repiten, aparecen solo una vez 13P 23, 2, 3, = ⋅⋅⋅ = !!!! ! 3232 13 = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1231212312 12345678910111213 43.243.20043.243.200 palabraspalabras i i ) La palabra C A T A M A R C A tiene 9 letras De las cuales C se repite 2 veces A se repite 4 veces 9P 2 4, = ⋅ = !! ! 42 9 = ⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅⋅ ! ! 412 456789 7.560 palabras7.560 palabras 4 i i i ) La palabra M O N O M I O tiene 7 letras De las cuales M se repite 2 veces O se repite 3 veces 7P 2 3, = ⋅ = !! ! 32 7 = ⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ! ! 312 34567 420 palabras420 palabras 3
  36. 36. Arreglo con Repetición Dado un conjunto de dos elementos {a, b} puedo formar cadenas de tres elementos donde al menos un elemento se repite a a a a a b a b aa b b b a a b b a b a bb b b Se trata de un Arreglo de 2 elementos, tomados de tres en tres, con repetición 2 A3 r, 823 == Dado un conjunto de tres elementos {a, b, c} también puedo formar cadenas de dos elementosincluyendo aquellas donde los elementos se repiten a a a b b bb a c a c c b ca c Se trata de un Arreglo de 3 elementos, tomados de dos en dos,con repetición 3 A2 r, 93 2 == c b Generalizando, Arreglo de m elementos tomados de n en n, con repetición; se calcula con . . . m An r, n m=
  37. 37. Ahora podemos volver sobre el problema del total de información que se almacena en 1 byte . . . un bit entrega señales bi-estables con los elementos son { 0, 1 } Pero, en 1 byte hay 8 bit, es decir que las cadenas que se forman en un byte están conformadas por 8 señales, que pueden ser ceros ó unos Para calcular cuántas señales diferentes puedo almacenar en 1 byte, debo plantear un Arreglo 2 A8 r, 25628 == de dos elementos tomados de ocho en ocho con repetición señales diferentesseñales diferentes
  38. 38. 14) Con los dígitos 2, 3 y 9  se puede formar números De los cuales serán mayores que 100 solo aquellos números que tengan tres cifras 3 3 r,A 273 3 == Son pares los números terminados en cifra par en este caso, la única cifra par es el 2 2quedan entonces dos lugares, pero los elementos de que disponemos para esos dos lugares siguen siendo 3 recuerde que hay repetición de elementos; y los resolvemos con . . . 3 2 r,A 93 2 == 2 efectivamente, esos números son . . . 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 9 3 2 3 3 3 9 2 2 29 2 9 3 9 9
  39. 39.       − =      5 1 5 4 3) nn a ]!5)1[(!5 )!1( 5 )!4(!4 ! 3 −−⋅ − ⋅= −⋅ ⋅ n n n n desarrollamos las expresiones factoriales hasta que queden en condiciones de poder simplificarse )!(! )!( )!()()(! )!( 645 1 5 6544 1 3 −⋅⋅ − ⋅= −⋅−⋅−⋅ −⋅ ⋅ n n nnn nn Haciendo pasajes de divisores como factores y viceversa )!(! )!( )!()()(! )!( 645 6 5 1544 1 3 −⋅⋅ − ⋅= −⋅−⋅−⋅ −⋅ ⋅ n n nnn nn simplificando los factores que son idénticos en el numerador y el denominador !)()(! 4 1 544 3 = −⋅−⋅ ⋅ nn n se simplifica 4! ; se resuelve el producto de los binomios 1 2054 3 2 = +−− ⋅ )( nnn n haciendo pasajes de términos )( 2093 2 +−= nnn finalmente 03209 2 =−+− nnn ó bien 020122 =+− nn 15) 16 b16 b 16 c-d16 c-d 16 e16 e
  40. 40. Resolvemos ahora 020122 =+− nn como ecuación de segundo grado a x2 + b x + c = 0 con la fórmula a acbb x 2 42 21 −±− =− si a = 1 b = -12 y c = 20 a acbb x 2 42 21 −±− =− = ⋅ ⋅⋅−−±−− = 12 20141212 2 )()( = −± 2 8014412 = ± = ± = 2 812 2 6412 2 20 1 =x 10= 2 4 2 =x 2= 310 21 == xx son soluciones de la ecuación 020122 =+− nn adoptamos como solución de       − =      5 1 5 4 3 nn n = 10 porque n = 2 es una solución absurda, ya que no es posible hallar       − =      5 12 5 4 2 3 16 b16 b 16 c-d16 c-d 16 e16 e
  41. 41. Verificamos la solución n = 10         − =        5 1 5 4 3 nn         − =         5 110 5 4 10 3 )!(! ! )!(! ! 595 9 5 4104 10 3 −⋅ = −⋅ !! ! !! ! 45 95 564 9103 ⋅ ⋅ = ⋅⋅ ⋅⋅ !! ! ! !! !! ! ! !! 45 95 9 45 564 9103 9 45 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ 5 6 103 = ⋅⋅ Multiplicamos ambos miembros por ! !! 9 45 ⋅ y simplificamos 55 = queda verificado el resultado 16 b16 b 16 c-d16 c-d 16 e16 e
  42. 42. AAA nnn b 1 2 1 23 2 1 ) −− =− ]!)[( )!( ]!)[( )!( )!( ! 21 1 21 1 32 1 −− − = −− − − − ⋅ n n n n n n )!n( )!n( )!n( )!n( )!n( !n 3 1 3 1 32 1 − − = − − − − ⋅ Multiplicamos por 2 ambos miembros finalmente 16 c-d16 c-d 16 e16 e )!n( )!n( )!n( )!n( )!n( !n 3 12 3 12 3 − −⋅ = − −⋅ − − Ahora multiplicamos ambos miembros por (n – 3 )! )!n( )!n()!n( )!n( )!n()!n( )!n( )!n(!n 3 312 3 312 3 3 − −−⋅ = − −−⋅ − − − simplificamos y obtenemos )!n()!n(!n 1212 −=−− que se puede escribir )!n()!n()!n(n 12121 −=−−− Dividimos ambos miembros por (n - 1)! )!n( )!n( )!n( )!n( )!n( )!n(n 1 12 1 12 1 1 − −⋅ = − −⋅ − − − y simplificamos 22 =−n 4=n
  43. 43. Verificamos la solución n = 4 16 c-d16 c-d 16 e16 e AAA nnn 1 2 1 23 2 1 −− =− AAA 14 2 14 2 4 3 2 1 −− =− )!( ! )!( ! )!( ! 23 3 23 3 34 4 2 1 − = − − − ⋅ 2323 2 1234 ⋅=⋅− ⋅⋅⋅ 66 = queda verificado el resultado
  44. 44. CA nn c 3 1 2 67) =− )!(! ! ]!)[( )!( 33 6 21 1 7 −⋅ = −− − n n n n desarrollamos las factoriales y resolvemos según convenga )!( )!( )!( )!( 3123 1 6 3 1 7 −⋅⋅⋅ −⋅ = − − n nn n n hacemos pasajes factores como divisores y viceversa )!( )!( )!( )!( 3123 3 6 1 1 7 −⋅⋅⋅ −⋅ = − − n nn n n y simplificamos entonces n=7 luego n = 7 10 2 3 3 4 ) 2 2 3 2 =− ++ AA nn d 10 22 2 2 3 23 3 3 4 = −+ + ⋅− −+ + ⋅ ]!)[( )!( ]!)[( )!( n n n n resolvemos 10 2 2 3 1 3 3 4 = + ⋅− + + ⋅ ! )!( )!( )!( n n n n desarrollamos convenientemente las factoriales y simplificamos 10 12 2 3 1 123 3 4 = ++ ⋅− + +++ ⋅ ! !))(( )!( )!)()(( n nnn n nnn 16 e16 e te queda la tarea de verificar el resultado
  45. 45. Quedamos con 1012 2 3 23 3 4 =++⋅−++⋅ ))(())(( nnnn Sacamos factor común 101 2 3 3 3 4 2 =    +−++ )()()( nnn Resolvemos el corchete Y finalmente 030132 =−+− nn En la ecuación de 2º grado a = -1 b = 13 c = -30 10 2 3 2 3 3 12 3 4 2 =    −−++ nn n )( 10 2 5 6 2 =    +−+ n n )( efectuamos el producto del 1er miembro 10 2 10 6 2 2 5 6 2 =+−+− nnn 105 6 13 6 2 =++− nn Para resolver la ecuación de 2º grado previamente multiplicamos todo por (6) 10656 6 136 6 6 2 ⋅=⋅+ ⋅ + ⋅ − nn simplificamos )( )()( 12 30141313 2 21 −⋅ −⋅−⋅−±− =−x = − ±− = 2 4913 3 2 713 1 = − +− =x 10 2 713 2 = − −− =x Las soluciones posibles son n = 3 ∨ n = 10 16 e16 e
  46. 46. Verificamos para n = 3 10 2 3 3 4 2 2 3 2 =− ++ AA nn 10 2 3 3 4 23 2 33 2 =− ++ AA 10 2 3 3 4 5 2 6 2 =− AA 10 25 5 2 3 26 6 3 4 = − ⋅− − ⋅ )!( ! )!( ! 10 3 5 2 3 4 56 3 4 =⋅− ⋅ ⋅ ! ! ! ! 10 3 345 2 3 4 456 3 4 = ⋅⋅ ⋅− ⋅⋅ ⋅ ! ! ! ! 2 2 103040 =− Para n = 10 10 2 3 3 4 210 2 310 2 =− ++ AA 10 2 3 3 4 12 2 13 2 =− AA 10 212 12 2 3 213 13 3 4 = − ⋅− − ⋅ )!( ! )!( ! 10 10 101112 2 3 11 111213 3 4 = ⋅⋅ ⋅− ⋅⋅ ⋅ ! ! ! ! 4 6 1011634134 =⋅⋅−⋅⋅ 10198208 =− queda verificado el resultado n = 3 queda verificado el resultado n = 10 simplificamos 16 e16 e
  47. 47. 564) 2 1 2 2 2 =+− ++ CCC nnn e 56 22212 1 222 2 4 = −⋅ + −+⋅ + − −+⋅ + )!(! ! ]!)[(! )!( ]!)[(! )!( n n n n n n resolvemos . . . 56 2212 1 2 2 4 = −⋅ + −⋅ + − ⋅ + )!(! ! )!(! )!( !! )!( n n n n n n desarrollamos los factoriales 56 22 21 12 11 2 12 4 = −⋅ −⋅−⋅ + −⋅ −⋅⋅+ − ⋅ ⋅+⋅+ )!(! )!()( )!(! )!()( !! !)()( n nnn n nnn n nnn simplificamos2 56 2 1 2 1 122 = −⋅ + ⋅+ −++ )()( ))(( nnnn nn y operamos . . . . 56 2222 222 22 2 =−+−−+++ nnnn nnn )( 564422 2 =−+++ nnnn finalmente tenemos 56452 2 =++ nn que es 05252 2 =−+ nn
  48. 48. Resolvemos 05252 2 =−+ nn como una ecuación de 2º grado Donde a = 2 b = 5 c= -52 = ⋅ −⋅⋅−±− =− 22 522455 2 21 )( n = ±− 4 4415 4 215 ±− 4 4 16 1 ==n 4 13 4 26 2 −= − =n Descartamos n2 como resultado porque el resultado debe ser entero y verificamos n = 4 564 4 2 14 2 24 2 =+− ++ CCC 56 252 4 252 5 262 6 4 = − + − − − )!(! ! )!(! ! )!(! ! 56 22 34 32 345 42 456 4 = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⋅ − ⋅ ⋅⋅ ! ! ! ! ! 3 2 5661060 =+− queda verificado el resultado n = 4
  49. 49. Binomio de Newton Sabemos que el cuadrado de un binomio ( a + b ) 2 se desarrolla a2 + 2 a b + b2 y el cubo de un binomio ( a + b )3 se desarrolla a3 + 3 a2 b + 3 a b2 + b3 generalizando ( a + b ) n nnnnnnnnnn ba n n ba n n ba n ba n ba n ba −−−−−−       +      − ++      +      +      =+ 1122110 1210 )( ...)( 0 1 2 1n- n El desarrollo dela potencia de un binomio se compone de una sucesión de sumas (sumatoria) donde cada término está compuesto por un número combinatorio que multiplica al primer término del binomio elevado a una potencia y multiplica también al segundo término del binomio elevado a otra potencia donde el numerador de los números combinatorios se mantiene constante mientras el denominador aumenta desde 0 hasta n el exponente del primer término en cada sumando se forma con la diferencia entre el numerador y denominador del número combinatorio (va de n a 0) el exponente del segundo término en cada sumando se forma con el denominador del número combinatorio (va de 0 a n) 17 a17 a 17 b17 b
  50. 50. El desarrollo de la potencia de un binomio se escribe nnnnnnnnnn ba n n ba n n ba n ba n ba n ba −−−−−−       +      − ++      +      +      =+ 1122110 1210 )( ...)( ∑ = −       =+ n k kknn ba k n ba 0 )( = ⋅ = −⋅ =      !! ! )!(! ! n n n nn 1000 = ⋅ = −⋅ =      !! ! )!(! ! 0n n nnn n n n 1 1 = −⋅ −⋅ = −⋅ =      )!(! )!( )!(! ! 11 1 111 n nn n nn = ⋅− −⋅ = −−⋅− =      − !)!( )!( )]!([)!( ! 11 1 111 n nn nnn n n n n n = −⋅ −⋅−⋅ = −⋅ =      )!(! )!()( )!(! ! 22 21 222 n nnn n nn = ⋅− −⋅−⋅ = −−⋅− =      − !)!( )!()( )]!([)!( ! 22 21 222 n nnn nnn n n n 2 2 nn − 2 2 nn − Los números combinatorios equidistantes en el desarrollo del binomio de Newton son iguales 17 a17 a 17 b17 b
  51. 51. 5 )3() −xa ∑ = −       =+ n k kknn ba k n ba 0 )( donde a = x ; b = -3 ; n = 5 +−      +−      +−      +−      =− −−−− 3352251150055 3 3 5 3 2 5 3 1 5 3 0 5 3 )()()()()( xxxxx =−      +−      + −− 555445 3 5 5 3 4 5 )()( xx nos conviene resolver los números combinatorios como cálculo auxiliar = ⋅ = −⋅ =      ! ! )!(! ! 51 5 050 5 0 5 1 = ⋅ ⋅ = −⋅ =      ! ! )!(! ! 41 45 151 5 1 5 5 = ⋅ ⋅⋅ = −⋅ =      ! ! )!(! ! 32 345 252 5 2 5 = ⋅ = −⋅ =      !! ! )!(! ! 05 5 555 5 5 5 1 = ⋅ ⋅⋅ = −⋅ =      !! ! )!(! ! 23 345 353 5 3 5 = ⋅ ⋅ = −⋅ =         !! ! )!(! ! 14 45 454 5 4 5 10 10 5 16) 17 b17 b
  52. 52. reemplazamos los valores de los números combinatorios hallados en la expresión ( ) ∑ = − −         =−+=− 5 0 555 3 5 33 k kk )(x k )(x)x( )()()()( 24311815271091035113 23455 −⋅⋅+⋅⋅+−⋅⋅+⋅⋅+−⋅+⋅⋅=− xxxxxx 24340527090153 23455 −⋅+−⋅+⋅−=− xxxxxx )( observe que los números combinatorios equidistantes que conforman el desarrollo de la potencia del binomio son iguales 555445335225115005 3 5 5 3 4 5 3 3 5 3 2 5 3 1 5 3 0 5 )(x)(x)(x)(x)(x)(x −         +−         +−         +−         +−         +−         −−−−−− 17 b17 b
  53. 53. 43 ) 1 () x xb + ∑ = −       =+ n k kknn ba k n ba 0 )( +              +              +              =      + −−− 2 243 1 143 0 043 4 3 1 2 41 1 41 0 41 x )x( x )x( x )x( x x 4 443 1 343 1 4 41 3 4               +              + −− x )x( x )x( nos conviene resolver los números combinatorios como cálculo auxiliar donde a = x3 ; b = 1/x ; n = 4 = ⋅ = −⋅ =      ! ! )!(! ! 41 4 040 4 0 4 1 = ⋅ ⋅ = −⋅ =         ! ! )!(! ! 31 34 141 4 1 4 4 = ⋅ ⋅⋅ = −⋅ =         !! ! )!(! ! 22 234 242 4 2 4 = ⋅ = −⋅ =         !! ! )!(! ! 04 4 444 4 4 4 1 = ⋅ ⋅ = −⋅ =         !! ! )!(! ! 13 34 343 4 3 4 6 2 12 = 4
  54. 54. reemplazamos los valores de los números combinatorios hallados en la expresión 4 443 3 343 2 243 1 143 0 043 1 4 41 3 41 2 41 1 41 0 4               +              +              +              +              −−−−− x )x( x )x( x )x( x )x( x )x( ∑ = −             =      += 4 0 43 4 3 141 k k k x x kx x )( 4 4 03 3 3 13 2 2 23 1 1 33 0 0 43 4 3 1 1 1 4 1 6 1 4 1 1 1 x x x x x x x x x x x x ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=      + )()()()()( 4 0 3 3 2 69 0 124 3 464 1 x x x x x x x x x x x x ++++=      + 44812 464 − ++++= xxxx 8 4 1 1
  55. 55. Término k-ésimo Si el desarrollo de la potencia de un binomio es ∑ = −       =+ n k kknn ba k n ba 0 )( Vemos que en el número combinatorio, para el primer término k = 0; para el segundo término k = 1; para el tercer término k = 2 y así sucesivamente . . . El desarrollo de la potencia n del binomio siempre tiene n + 1 términos así )()( 11 1 −−−       − = kkn k ba k n T Si n (exponente) es par, n + 1 (cantidad de términos) es impar entonces el desarrollo tendrá un término central Si n (exponente) es impar, n + 1 (cantidad de términos) es par entonces el desarrollo tendrá dos términos centrales 18 c-d18 c-d 18 e18 e18 a-b18 a-b
  56. 56. 17) a) Para hallar el undécimo término sin efectuar el desarrollo de 152 )2( xx − Aplicamos la fórmula )()( 11 1 −−−       − = kkn k ba k n T donde a = 2 x2 ; b = - x ; n = 15 y k = 11 111111152 11 2 111 15 −−− −      − = )()( )( xxT 1052 2 10 15 )()( xx −      = 1010105 11 12 101510 15 xxT )( )!(! ! − −⋅ = 20 32 510 15 x !! ! ⋅ = Tenga presente que (–x)10 = [(-1)10 x10 ] 20 09696 x.= 9 )23( yx −b) Calcular el o los términos centrales de Si n = 9 el desarrollo tiene 10 términos, entonces hay 2 términos centrales hacemos 5 2 19 = + términos centrales son el 5º y 6º =      +      +      +      +      +      +      +      +      +      =+ 908172635445362718099 9 9 8 9 7 9 6 9 5 9 4 9 3 9 2 9 1 9 0 9 bababababababababababa )( comprobamos 2 1+n 18 c-d18 c-d 18 e18 e
  57. 57. Hallamos entonces el 5º y el 6º término para 9 )23( yx − )()( 11 1 −−−       − = kkn k ba k n T donde a = 3 x b = -2 y n = 9 y k = 5 )()( )()( 15159 5 23 15 9 −−− −      − = yxT 45 23 4 9 )()( yx −      = 4455 23 494 9 yx )( )!(! ! − −⋅ = 45 16243 54 9 yx ⋅⋅⋅ ⋅ = !! ! 45 888489 yx.= ahora a = 3 x b = -2 y n = 9 y k = 6 )()( )()( 16169 6 23 16 9 −−− −      − = yxT 54 23 5 9 )()( yx −      = 5544 23 595 9 yx )( )!(! ! − −⋅ = 54 3281 45 9 yx ⋅−⋅⋅ ⋅ = )( !! ! 54 592362 yx.−=
  58. 58. 17 c) El coeficiente de x32 en el desarrollo de 15 3 4 1       − x x Debe hallarse teniendo en cuenta que el término que contenga x32 (si existe) debe ser de la forma 132115 1 1 15 −−− −      − = kk k xa k T )()( aplicando la fórmula del término k-ésimo )()( ))(()()( 1311154 1 1 15 −−−−− −      − = kkk k xx k T Resolvemos en el término k-ésimo solamente los factores que contienen x 331164 1 1 15 +−−− −      − = kkk k xx k T )()()( 331464 1 1 15 +−−− −      − = kkk xx k )()( 133464 1 1 15 −+−− −      − = kkk xx k )()( 133464 1 1 15 −+−− −      − = kkk x k )( Llegamos a una expresión que contiene una potencia de x, en función de k ; como nosotros queremos saber cuál es el término (k) que contiene x32 ; igualamos el exponente de x a 32 y despejamos k 32767 =− k k73267 =− 5=k 18 d18 d 18 e18 e
  59. 59. 17 c) Para verificar hallamos el 5º término del desarrollo de 15 3 4 1       − x x 1531515154 5 1 15 15 −−−−− −      − = )()()( )( xxT 434114 1 4154 15 )()()( )!(! ! − − −⋅ = xx 1244 114 15 − ⋅ = xx !! ! 32 3651 x.= 732/1 )( xx +18 d) Para hallar el término de grado 7 en Usamos el mismo procedimiento que en el ejercicio anterior 131721 1 7 −+−       − = kk k xx k T )()( / 332 8 1 7 − −       − = k k xx k entonces, trabajando con los exponentes 7 2 5 133 2 433 2 8 =+=−+−=−+ − kk k k k 733 2 8 =−+ − k k 6 2 5 =k 5 12 5 26 = ⋅ =k El problema NO TIENE SOLUCIONNO TIENE SOLUCION porque k debe ser un número natural 18 e18 e
  60. 60. 17 e) Para hallar el término que contiene a-35 en 25 2 3 3       + a a 1 2 1253 3 1 25 − +−               − = k k k a )a( k T y estudiamos en particular los factores que contienen a=− − − )k( k )k( a a 12 1 263 3 planteamos . . . =− −− )k( )k()k( a a 12 3781 3 =⋅⋅= −−−− )k()k()k( aa 223781 3 =⋅= +−−− )kk()k( a 223781 3 3522378 −+−− = aa )kk( 35580 −=− k 80355 −−=− k 23 5 115 = − − =k La potencia del denominador pasa al numerador con signo cambiado operamos los exponentes del factor a (producto de potencias de igual base) igualamos el factor a elevado a la potencia que buscamos ( -35 ) igualamos los exponentes y despejamos k El término que contiene aEl término que contiene a-35-35 es el 23ºes el 23º Recuerde que k debe ser un número natural menor ó igual que el exponente del binomio 23 < 25 B.C.23 < 25 B.C.
  61. 61. 18) Si los términos T10 y T15 son equidistantes de los extremos en el desarrollo de (x + a)n El desarrollo tiene n + 1 términos T10 hallar n es mucho mas simple de lo que parece y si T10 y T15 son equidistantes de los extremos Antes que T10 hay T9T8T2T1 + + + + + +. . . 9 términos después de T15 . . . + T15 también deben haber 9 términos T24T23T17T16 + + + +. . .+ podíamos haber planteado: si T10 y T15 son equidistantes de los extremos 10 – 1 = 9 9 términos a la izquierda de T10 15 + 9 = 24 el último término es T24 el desarrollo de cualquier binomio tiene n + 1 términos n + 1 = 24 entonces . . . n = 23n = 23 y para finalizar . . . te presento alguien que en algún momentoen algún momento puede darte una ayuda importante . . .puede darte una ayuda importante . . . Serás lo que debas ser, sino serás nada. Gral. José de San Martín

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