La Integral Definida

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La Integral Definida
Curso de Calculo Integral
FIIS - UNI
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La Integral Definida

  1. 1. La Integral Definida <ul><li>Curso: Cálculo Integral CB131U </li></ul><ul><li>Prof: Peña Quiñones, Celestina </li></ul><ul><li>FIIS - UNI </li></ul>
  2. 2. La integral Definida El símbolo de Sumatoria Definición.- Dado n números reales , para expresar la suma de éstos números se emplea el símbolo y se lee como la suma de los desde hasta , i.e Ejemplo.- La suma de los primeros n enteros se expresa como igualmente la suma de los cuadrados de los primeros n enteros es
  3. 3. Propiedades de la Sumatoria Algunas veces se expresa como
  4. 5. Particiones, Suma superior y Suma inferior Partición.- Dado un intervalo [ a, b ], donde a < b, el conjunto de puntos recibe el nombre de partición del intervalo dado. Geométricamente tenemos: Toda partición P de un intervalo [ a, b ], divide a éste en n sub-intervalos no necesariamente de igual longitud La longitud del i-ésimo sub-intervalo se denota por y la longitud de la partición P se denota por
  5. 6. Partición Regular.- Dado un intervalo [ a , b ] una partición P se dice que es regular si todos los sub-intervalos tienen la misma longitud. Para una partición con n +1 puntos, la longitud de cada sub-intervalo se denota por es decir, [ a , b ] se divide en n partes iguales, siendo los puntos de la partición: Refinamiento de una partición.- Dado una partición P de [ a , b ], ésta se puede hacer más fina agregando mas puntos. Si P 1 se obtiene de P añadiendo por lo menos un punto, entonces Ejemplos.- Para el intervalo [0, 4] los siguientes conjuntos representan particiones: P 1 = { 0, 1, 2, 3, 4}, P 2 = { 0, 1, 3/2 ,4}, P 3 = { 0, 2, 5/2, 3, 7/2, 4}, P 4 = { 0, 1, 3/2, 2, 3, 7/2, 4} Siendo P 4 un refinamiento de P 1 ,
  6. 7. Función Acotada Una función se dice que es acotada sobre un intervalo [ a , b ], si existen números reales m , M tales que Dada una partición P de [ a , b ], y f una función acotada sobre [ a , b ], entonces f es acotada sobre cada sub-intervalo en consecuencia números reales m i , M i tales que verificándose la desigualdad NOTA.- Si la función f es continua sobre [ a , b ], entonces M i = valor máximo de f sobre [ a , b ] y m i = valor mínimo de f
  7. 8. Suma superior y Suma inferior Dada una partición P del intervalo [ a , b ] y f una función acotada sobre éste intervalo, la suma superior de f con la partición P se denota por SS ( f , P ) y se define mediante: Análogamente la suma inferior de f con P se denota por SI ( f , P ) y se define mediante: <ul><li>Ejemplos.- Hallar la suma superior y la suma inferior de las siguientes funciones. </li></ul><ul><li>f ( x ) = x 2 sobre [-6, 6], a) tomando una partición regular de longitud 2, b) tomando la partición P = {-6, -4, -3, -1, -0.5, 0.5, 2, 3, 5, 6} </li></ul><ul><li>f ( x ) = x 3 sobre el intervalo [-4, 6] </li></ul><ul><li>f ( x ) = [ x ] sobre el intervalo [-5, 4] </li></ul>
  8. 9. Solución: En la solución de éstos ejemplos debemos tener en cuenta que las funciones son continuas, y los intervalos donde crece o decrece ya que: m i = f ( x i-1 ), M i = f ( x i ) si la función es creciente, caso contrario si fuera decreciente. -6 -4 -2 0 2 4 6 36 16 4 0 4 16 36
  9. 10. OBSERVACION.- Como y sumando esta desigualdad desde i = 1 hasta i = n se obtiene (*) Donde es el conjunto de todas las posibles particiones de [ a , b ] Ya que (*) se cumple para elemento de , se generan dos conjuntos acotados de números reales y
  10. 11. Integral superior e integral inferior Integral superior de f sobre el intervalo [ a , b ] denotado por Integral inferior de f sobre el intervalo [ a , b ] denotado por Definición.- Una función acotada sobre [ a , b ] se dice que es integrable según Reimann, si las integrales superior e inferior coinciden lo que se denota por: Y se lee como la integral definida de la función f desde a hasta b . La integral definida es un número real que se obtiene poniendo juntas partes de algo conocido como proceso de integración, el cual se simboliza por una S alargada
  11. 12. Lema.- Si P 1 , P 2 son dos particiones del intervalo [ a , b ] tales que , entonces para toda función f acotada sobre [ a , b ] se cumple: 1. 2.
  12. 13. Teorema 1.- Si f es una función acotada sobre [ a , b ] , entonces Teorema 2.- Si f es integrable sobre [ a , b ] entonces NOTA.- Como entonces Es decir con un error máximo de
  13. 14. <ul><li>Ejemplos.- Suponiendo que las siguientes funciones son integrables. Hallar un valor aproximado de: </li></ul><ul><li>1. </li></ul><ul><li>a) Una partición regular de longitud 1 </li></ul><ul><li>b) Con la partición P = {0, 0.5, 1, 1.5, 2, 3, 3.5, 4, 5} </li></ul><ul><li>con una partición regular de longitud 15° </li></ul><ul><li>3. con una partición regular de longitud 0.5 </li></ul>Solución 1 a: con un error máximo de 0.22, ya que 0 1 2 3 4 5 1 0.5 0.2 0.1 0.05 0.03
  14. 15. Teorema 3.- Toda función f acotada sobre [ a , b ] es integrable sobre éste intervalo, sí y sólo si para tal que Teorema 4.- Toda función f continua sobre [ a , b ] es integrable sobre éste intervalo. Teorema 5.- Si f es una función continua sobre [ a , b ], entonces para cada , y todos los
  15. 16. OBSERVACION.- Por el teorema anterior, la integral definida se puede expresar como: En particular, si P es una partición regular con n +1 puntos, entonces es equivalente a y como x i * podría ser uno de los extremos del i-ésimo intervalo, i.e ó de modo que
  16. 17. Area bajo una curva <ul><li>Se conoce como área bajo la curva y = f ( x ), al área de la región acotada por las rectas x = a , x = b, el eje X y la gráfica de la función y = f ( x ). </li></ul><ul><li>a) Si sobre el intervalo [ a , b ], entonces el área de la región es </li></ul><ul><li>b) Si sobre el intervalo [ a , b ], entonces el área de la región es </li></ul><ul><li>Ejemplos.- </li></ul><ul><li>A. Mediante el límite de una suma hallar el área bajo las siguientes curvas: </li></ul><ul><li>y = x 2 , para x en el intervalo [- 4, 2] </li></ul><ul><li>y = 3 + 2 x - x 2 , para x en el intervalo [-1, 5] </li></ul><ul><li>para x en el intervalo [-5, 3] </li></ul>
  17. 18. <ul><li>Expresar como una integral definida las siguientes sumas </li></ul><ul><li>1. </li></ul><ul><li>2. P una partición de [1, 3] </li></ul><ul><li>3. </li></ul><ul><li>4. </li></ul><ul><li>5. P una partición de [0,1] </li></ul><ul><li>6. P una partición de [-2, 6] </li></ul>
  18. 19. <ul><li>PROPIEDADES BASICAS DE LA INTEGRAL DEFINIDA </li></ul><ul><li>Si f es una función constante sobre [ a , b ], entonces </li></ul><ul><li>2. Si f es integrable sobre [ a , b ], entonces c f es integrable sobre [ a , b ] </li></ul><ul><li>3. Si f es integrable sobre [ a , b ], y , entonces f es integrable </li></ul><ul><li>sobre [ a , c ] y sobre [ c , d ], además </li></ul><ul><li>Si f , g son integrables sobre [ a , b ] , entonces es integrable </li></ul><ul><li>Si f , g son integrables sobre [ a , b ], entonces </li></ul>
  19. 20. PROPIEDADES ……….. (continuación) 6. Si f es integrable sobre [ a , b ], es integrable sobre [ a , b ] 7. Si f es una función par sobre [ a , b ] ( ), y [ a , b ] es un intervalo simétrico respecto del origen, entonces 8. Si f es una función impar sobre [ a , b ] ( ), y [ a , b ] es un intervalo simétrico respecto del origen, entonces <ul><li>Ejemplos.- Utilizando propiedades de la integral definida hallar </li></ul><ul><li>, </li></ul><ul><li>. </li></ul>

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