Teoremi sulle funzioni-continue_e_del_calcolo_differrenziale

409 views
165 views

Published on

Published in: Education
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
409
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
3
Actions
Shares
0
Downloads
6
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Teoremi sulle funzioni-continue_e_del_calcolo_differrenziale

  1. 1. Funzioni continue su intervalliFunzioni continue su intervalli Teoremi fondamentali del calcolo differenzialeTeoremi fondamentali del calcolo differenziale
  2. 2. Teorema Se f(x) è una funzione continua in un intervallo I , allora f(I) è un intervallo. xy = I f(I) 21 2 2 2       >+ ≤ = x x x x y I f(I)
  3. 3. Teorema di Weierstrass Se f(x) è una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato I , allora è dotata in I di massimo e minimo. M m I 1)6( 8 1 2 +−= xxy )(xtgy = I
  4. 4. Teorema di Weierstrass Se f(x) è una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato I , allora è dotata in I di massimo e minimo.      = << = = 5per x2 51per 1per3 )( xx x xf I
  5. 5. Teorema di Weierstrass Se f(x) è una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato I , allora è dotata in I di massimo e minimo. 1−= xy { }1≥= xI I
  6. 6. Teorema dei valori intermedi Se f(x) è una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato I , essa assume almeno una volta qualunque valore compreso tra il suo minimo assoluto e il suo massimo assoluto m M k xo x1 x2 ∀k / m ≤ k ≤ M ∃ xo / f(xo)=k
  7. 7. Teorema dell’esistenza degli zeri Se f(x) è una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato I=[a,b] , e se agli estremi dell’intervallo assume valori di segno opposto , essa si annulla in almeno un punto interno dell’intervallo a b f(a) f(b) c se f(a)*f(b)< 0 ∃ c / f(c)=0 a < c < b 1)2( 3 2 1 −−= xy Esempio: f(1)=-1,5 f(4)=3 ( ) 022 3 =+f f(c)=0
  8. 8. Teorema di Rolle Sia f(x) una funzione continua in [a,b] e derivabile in ]a,b[ e tale che f(a)=f(b) allora esiste almeno un punto c ∈ [a,b] tale che f′(c)=0. Per il teorema di Weierstrass f(x) ha un massimi M e un minimo m 1° caso m=M m=M a b ∀x∈[a,b] f′(x)=0 ⇒ f(x) è costante ⇒ f′(x)=0
  9. 9. f(c)=M f(a)=f(b) a c b f′(c)=0 10 21 3 xx y − = 2° caso m<M f(c+h)-f(c)≤0 dividiamo per h 0 )()( ≤ −+ h cfhcf se h<0 0 )()( ≥ −+ h cfhcf se facciamo tendere h a zero: ( ) 0' ≤+ cf ( ) 0' ≥− cf poiché f(x) è derivabile in ]ab[ ff′′(c)=0(c)=0 Esempio in [1,4] si ha f(1)=f(4)=2 ( ) 07' =f sia c il punto interno ad [a,b] tale che f(c)=M scegliamo h tale che c+h ∈[a,b]. se h>0 c+h f(c+h)
  10. 10. Sia f(x) una funzione continua in [a,b] e derivabile in ]a,b[ e tale che f(a)=f(b) allora esiste almeno un punto c ∈ [a,b] tale che f′(c)=0. f(a)=f(b) a bc ∀x ∈ [a,b] f′(x)≠0. Esempio:    ≤<+− ≤≤ = 53se122 31se2 xx xx y non è derivabile in x=3
  11. 11. Teorema di Lagrange o del valor medio Sia f(x) una funzione continua in [a,b] e derivabile in ]a,b[ allora esiste almeno un punto c ∈ [a,b] tale che : )( )()( ' cf ab afbf = − − a b f(a) f(b) c Si considera x ab afbf xfxg − − −= )()( )()( g(a)=g(b) per il teorema di Rolle ∃c ∈ [a,b] tale che g′(c)=0 ab afbf xfxg − − −= )()( )(')(' 0 )()( )(')(' = − − −= ab afbf cfcg )( )()( ' cf ab afbf = − −

×