Document Php Document Name Mates 20polinomis

Polinomis Karen Armijo Laura Hernández

Polinomis en una indeterminada
Estudiarem els polinomis amb una indeterminada, que consten de monomis d'una sola indeterminada (i la mateixa en tots). A més tots els coeficients del polinomi (que són els coeficients dels monomis que el formen) seran nombres reals (sencers, fraccionaris o irracionals). Un polinomi d'aquest tipus s'anomena polinomi amb una indeterminada, sobre R. R és el conjunt dels nombres reals. Exemples:
P(x) = 3x4 -7x3 + 5x2 + x – 1
Q(z) = -z5 + 2z3 - z2 + 7
Són dos exemples de polinomis. El primer és el polinomis P d'indeterminada x, que es representa per P(x) (es llegeix "P de x"). El segon és el polinomi Q d'indeterminada z, que es representa per Q(z) (es llegeix "Q de z").
El grau d'un polinomi és el del seu monomi de major grau. Així, el grau de P(x) és 4 perquè, de tots els monomis que el formen, el monomi de major grau és 3x4, de grau 4. Per la mateixa raó, el grau de Q(z) és 5.
P(x) = axn + bx3 + cx2 + … + px + q
X es la indeterminada (la matrixa per a tots els monomis)
n es el grau del polinomi

Valor numèric d' un polinomi
Valor numèric d'un polinomi P(x) per a x = a, és el nombre que resulta en substituir x pel nombre a, i realitzar les operacions indicades. El valor numèric de P(x) per a x = a es representa P(a).
Exemple:
Troba el valor numéric de
P(x) = x3 - 2x2 + x – 1
Para x = 2.
P(2) = 23 – 2·22 + 2 – 1 = 8 – 8 + 2 –1 = 1
P(2) = 1

Identitat de polinomis
Siguin dos polinomis A(x) i B(x). Si els valors numèrics A() i B() són iguals per a qualsevol real , es té que A(x) és idèntic a B(x).

Operacions amb polinomis
Suma de polinomis
És un altre polinomi que resulta en sumar els coeficients dels monomis d'igual grau.
Exemple:
Trobar la suma P(x) + Q(x), per als polinomis
P(x) = x3 - 2x2 + 8x – 6
Q(x) = 3x4 -7x3 + 5x2 + x – 1
Se'n col·loquen els polinomis un sota d'un altre, amb els monomis del mateix grau en columna, deixant un espai quan falti algun dels seus monomis. I se sumen els monomis semblants (els d'igual grau).
Si cal, sumar més de dos polinomis, es col·loquen uns sota d'altres de forma anàloga, amb els monomis del mateix grau a la mateixa columna.

Resta de polinomis
És un altre polinomi que resulta de sumar al minuendo l'oposat del subtrahend. Per restar dos polinomis li sumem al primer l'oposat del segon. El polinomi oposat és el que resulta de substituir en els seus monomis, cada coeficient pel seu oposat. Per exemple, si un monomi és
5x2 el seu oposat és -5x2 pels quals són oposats els seus
Exemples de resta de polinomis:
Com es veu en aquest exemple, per restar dos polinomis n'hi ha prou amb canviar tots els signes al subtrahend, i sumar.

Multiplicació de polinomis
Es multiplica cada monomi del primer per cada monomi del segon, col·locant els termes semblants (monomis del mateix grau) en columna. Se sumen els productes obtinguts.
Exemple:
P(x) = –4x3 + 5x2 + x – 1
Q(x) = 3x2 – x + 6
Se'n col·loquen els polinomis un sota d'un altre i es comença multiplicant el primer monomi de Q(x) (en vermell), per tots els monomis de P(x) (en vermell), obtenint la primera fila de monomis per sumar (en vermell, sota de la ratlla). Després es multiplica el segon monomi de Q(x) (en blau) per tots els de P(x) (en vermell|roig), que dóna la segona fila (en blau); el següent monomi multiplicador (verd) es torna a multiplicar pel polinomi multiplicand (vermell). Es col·loquen els monomis semblants que es van obtenint en columna, per graus. Es deixen buits si falten monomis d'algun grau.

Divisió de polinomis i Regla de Ruffini
La divisió de polinomis es fa amb un procés semblant a la divisió de nombres enters.
a) Es divideix el primer monomi del dividend (en vermell) entre el primer monomi del divisor (en vermell), obtenint-se així el primer monomi del quocient (en vermell).
b) Es multiplica el monomi obtingut en el quocient (en vermell), per tot el polinomi divisor (s'obté l'expressió en blau), i es resta al dividend (hem vist que per restar n'hi ha prou amb canviar el signe i sumar).
c) Amb aquest polinomi diferencia (en verd), es repeteix el procés. I així fins que s'obtingui un polinomi de grau menor que el dividend. Aquesta és la resta, i l'operació acaba.
Serà fàcil si ho veiem en una divisió. Dividirem els polinomis
P(x) = 6x3 – 9x2 + 5
i
Q(x) = 2x2 + x
Per fer la divisió col·locarem a la dreta del dividend, el divisor a la caixa|capsa de dividir, i procedirem com es va indicar anteriorment. El més fàcil serà anar fent la divisió i comprovar a cada pas que no hi ha errors. És important deixar els espais que corresponen a monomis que falten en els polinomis. Comprova com el monomi 6x de la penúltima línia|ratlla, ha pogut escriure's al seu lloc gràcies als espais que prèviament s'havien previst en el monomi dividend i després de la primera resta.

L'operació completa és la següent:

Ruffini
- Moltes vegades per resoldre determinats problemes és útil un algoritme conegut com a "Esquema de Ruffini
La regla de Ruffini és un algoritme que permet obtenir fàcilment el quocient i la resta de la divisió d'un polinomi per un binomi de la forma x-a. Vegem l'algoritme amb un exemple, considerem P(x)=2x3 + x2 -3 x +5 i Q(x)=x-1. La divisió es realitza com segueix:
1.S'ordena el polinomi P(x) de major a menor grau i es col·loquen els coeficients de cada terme . Si no aparegués algun terme entre el de major grau i el de menor es col·loca un 0. A l'esquerra es posa el nombre que es resta a x en Q(x), en el nostre cas 1 i es baixa el coeficient del terme de major grau, aquest pas es correspon amb la figura 1.
2. Es multiplica el coeficient que s'ha baixat (2) pel qual s'ha col·locat a l'esquerra (1). El resultat del producte es col·loca sota del coeficient del terme següent i es sumen. Figura 2
3. El resultat de la suma es torna a multiplicar pel nombre situat a l'esquerra i es repeteix el procés. Figures 3 i 4.

4. L'últim número|nombre (requadre vermell en Figura 4) es correspon amb la resta de la divisió mentre que la resta de nombres de la fila inferior són els coeficients del quocient.

Arrels d' un polinomi
L'arrel d'un polinomi és un nombre tal que fa que el polinomi en valgui zero. És a dir que, quan resolguem un polimonio a zero, les solucions són les arrels del polinomi.
Per exemple el polinomi
f(x) = x2 + x - 12
Quan l'igualem a zero i el resolem tenim:
x2 + x - 12 = 0 Igualando a cero.
(x + 4)(x - 3) = 0 Factorizando.
x = - 4 Solución 1
x = 3 Solución 2
Ja que x1 = -4 i x2 =3 són solucions de f(x) llavors f( -4 )= 0 i f( 3 )= 0. Diem llavors que x = -4 i x =3 són arrels del polinomi f(x)= x2 + x -12.
es arrels de f(x) = x3 - 4 x2 + x + 6 són x = - 1, x = 2 y x = 3

Factorització d' un polinomi
El nombre de factors en els quals es pot descompondre un polinomi és igual al grau del polinomi.
Perquè puguem factoritzar un polinomi és necessari trobar les seves arrels. Quan ja les tinguem, els factors corresponents a cada arrel són de la forma ( x - r ) on r és una de les arrels.
Això és, si r1, r2... , rn són arrels del polinomi f(x) llavors la factorització de f(x) és:
f(x) = (x - r1) (x - r2) ... (x - rn)
Per exemple, si
1. f(x) = x3 - 4 x2 + x + 6
como les seves arrels són x = - 1, x = 2 y x = llavors f(x) s' ha factorizat com
f(x) = (x - (-1)) (x - 2) (x - 3) = (x + 1) (x - 2) (x - 3)
2. f(x)= x2 + x - 12
com les seves arrels són x = -4 i x =3 llavors f(x) s'ha factoritzat com
f(x) = (x - (-4)) (x - 3) = (x + 4) (x - 3)
si en cadascun dels termes d' un polinomi hi ha un factor comú i l' estraiem, el polinomi donat queda descompost en producte de dos factors.
Ja hem vist que si a és arrel d' un polinomi, aquest és divisible per x-a. Per tant el polinomi es pot escriure com producte de dos factors.

Fraccions algèbriques
Una fracció algebraica és el quocient de dos polinomis i es representa per:
Dues fraccions algebraiques
son equivalents, i ho representem per:
si es verifica que P(x) · S(x) = Q(x) · R(x).

ón fraccions algebraiques equivalents perquè:
(x+2) ·(x+2) = x2 − 4
Donada una fracció algebraica, si multipliquem el numerador i el denominadorde l'esmentada fracció per un mateix polinomi diferent de zero, la fracció algebraica resultant és equivalent a la donada.

Operacions amb fraccions algèbriques
Suma de fraccions algebraiques
Amb el mateix denomiminador

Multiplicació de fraccions algebraiques Divisió de fraccions algebraiques

Document Php Document Name Mates 20polinomis

by lauragaby

Accessibility

Categories

Upload Details

Usage Rights

1 Embed 1

Statistics

Document Php Document Name Mates 20polinomis Presentation Transcript