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Efeitos de memória em teoria de campos

  1. 1. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios FinaisEfeitos de Mem´oria em Teoria de CamposLeandro Alexandre da SilvaUniversidade do Estado do Rio de JaneiroDepartamento de F´ısica Te´oricaSemin´ario dos Alunos do PPGF29/01/2009
  2. 2. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios Finais1 Motiva¸c˜ao2 Objetivos3 Implementa¸c˜ao Num´erica4 Ornstein-Uhlenbeck Noise5 Ru´ıdo harmˆonico6 Coment´arios Finais
  3. 3. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios FinaisUm Breve Hist´oricoOrigens da F´ısica fora do equil´ıbrio:1827: Movimento Browniano observado de forma sistem´atica(R. Brown)1904: Primeira descri¸c˜ao bem fundamentada (A. Einstein) →eq. Fokker-Planck1910: Abordagem focada na trajet´oria da part´ıcula (P.Langevin) → Inclus˜ao de um termo estoc´astico na segunda leide Newton
  4. 4. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios FinaisUm Breve Hist´oricoOrigens da F´ısica fora do equil´ıbrio:1827: Movimento Browniano observado de forma sistem´atica(R. Brown)1904: Primeira descri¸c˜ao bem fundamentada (A. Einstein) →eq. Fokker-Planck1910: Abordagem focada na trajet´oria da part´ıcula (P.Langevin) → Inclus˜ao de um termo estoc´astico na segunda leide NewtonAbordagens equivalentesAbordagens gerais → Processos Markovianos e cont´ınuos
  5. 5. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios FinaisMovimento BrownianoEq. de Langevin para uma part´ıcula browniana de massa m:dpdt= −∂V∂x− ηp + R(t)dxdt=pm,Propriedades do ru´ıdo branco ⇒ Teorema de flutua¸c˜ao-dissipa¸c˜aocl´assicoR(t) = 0 e R(t)R(t ) = 2kBTηδ(t − t )
  6. 6. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios FinaisMovimento BrownianoEq. de Langevin para uma part´ıcula browniana de massa m:dpdt= −∂V∂x− ηp + R(t)dxdt=pm,Propriedades do ru´ıdo branco ⇒ Teorema de flutua¸c˜ao-dissipa¸c˜aocl´assicoR(t) = 0 e R(t)R(t ) = 2kBTηδ(t − t )Aplica¸c˜oes de eqs. tipo Langevin: Biologia, Qu´ımica, Economia...
  7. 7. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios FinaisMovimento BrownianoEq. de Langevin para uma part´ıcula browniana de massa m:dpdt= −∂V∂x− ηp + R(t)dxdt=pm,Propriedades do ru´ıdo branco ⇒ Teorema de flutua¸c˜ao-dissipa¸c˜aocl´assicoR(t) = 0 e R(t)R(t ) = 2kBTηδ(t − t )Aplica¸c˜oes de eqs. tipo Langevin: Biologia, Qu´ımica, Economia...Movimento Browniano → apenas um caso particular
  8. 8. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios FinaisMotiva¸c˜aoPor que equa¸c˜oes tipo Langevin s˜ao importantes na F´ısica?
  9. 9. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios FinaisMotiva¸c˜aoPor que equa¸c˜oes tipo Langevin s˜ao importantes na F´ısica?Sistemas na natureza = isolados↓Intera¸c˜ao com um meio, p.ex um banho t´ermico↓Intera¸c˜ao conduz `a dissipa¸c˜ao e efeitos estoc´asticos↓Dinˆamica via eq. tipo Langevin
  10. 10. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios FinaisMotiva¸c˜aoProblema: deriva¸c˜oes mais realistas → termos n˜ao-Markovianos eru´ıdo coloridoEx: modelo de Caldeira-Leggett (mec. estat´ıstica)Sistema (q) em intera¸c˜ao com um banho (xα, α = 1, . . . , N) :H =p22+ V (q) +12Nα=1p2αmα+ mαωα xα −cαmαω2αF(q)2Tomando a intera¸c˜ao sistema-banho como sendo linear (∼ qxα⇒ F(q) = q e eliminando os graus de liberdade do banho:
  11. 11. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios FinaisMotiva¸c˜ao¨q(t) +t0dt γ(t − t )˙q(t ) + V [q(t)] = ξ(t) (1)γ(t − t ) = Θ(t − t )1MNα=1c2αmαω2αcos(ωαt)⇒ Equa¸c˜ao n˜ao-Markoviana (kernel n˜ao-local γ(t − t ), possuimem´oria da hist´oria passada) com ru´ıdo gaussiano e colorido:ξ(t) ρ(0)B= 0, ξ(t)ξ(t ) ρ(0)B= kBTγ(t − t )
  12. 12. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios FinaisMotiva¸c˜aoIntera¸c˜oes sistema-banho mais gerais → equa¸c˜oes dinˆamicasmais complicadas⇓ru´ıdo multiplicativo e dissipa¸c˜ao dependente do sistema
  13. 13. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios FinaisMotiva¸c˜aoIntera¸c˜oes sistema-banho mais gerais → equa¸c˜oes dinˆamicasmais complicadas⇓ru´ıdo multiplicativo e dissipa¸c˜ao dependente do sistemaModelo an´alogo em teoria de campos:↓Modelo de 2 ou mais campos em intera¸c˜ao: interesse na dinˆamicade um dos campos (sistema) ⇒ eliminar outros campos (banho)via integra¸c˜ao funcional
  14. 14. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios FinaisMotiva¸c˜aoExemplo:L =12(∂µφ)2−12m2φφ2−λ4!φ4+12(∂µχ)2−12m2χχ2−g24φχ2+ Lσ[χ, σj ]Lσ[χ, σj ] inclui vari´aveis de campo adicionais que podem estaracopladas a χ.φ → campo cl´assico cuja dinˆamica estamos interessadosχ → campo quˆantico termalizado `a alguma temperatura TA¸c˜ao efetiva para φ determinada integrando o campo χ
  15. 15. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios FinaisMotiva¸c˜aoEqua¸c˜ao de movimento resultante (Berera and Ramos, PRD63,103509 (2001), Gleiser and Ramos, PRD50, 2441 (1994)):∂2t + m2R +λR3!φc(t)2φc(t) +∞t0dt D(t, t ) ˙φc(t ) = ξ(t) ,(2)onde ξ ´e um ru´ıdo gaussiano e colorido:ξ = 0 , ξ(t)ξ(t ) = N(t, t )
  16. 16. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios FinaisMotiva¸c˜aoRela¸c˜ao entre D(t − t ) e N(t − t ): teorema de flutua¸c˜ao-dissipa¸c˜aogeneralizado no espa¸co de fourier(Berera, Moss and Ramos. PRD76,083520 (2007)):N(ω) = 2ω n(ω) +12D(ω) .onde n(ω) = [exp(βω) − 1]−1.No regime cl´assico, ω T2ω [n(ω) + 1/2] → 2T⇒ reobtemos o teorema de flutua¸c˜ao-dissipa¸c˜ao cl´assico.
  17. 17. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios FinaisMotiva¸c˜aoForma gen´erica do kernel de dissipa¸c˜ao em 0-d:D(t, t ) = #1 e−τ−1χ (t−t )+ e−τ−1χ (t−t )#2 cos[mχ(t − t )] + #3 sin[mχ(t − t )]τχ → tempo de relaxa¸c˜ao do banho t´ermico.Alterando a intera¸c˜ao sistema-banho (p. ex ∼ φ2χ2) podemosobter ru´ıdo multiplicativo na equa¸c˜ao de movimento.
  18. 18. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios FinaisMotiva¸c˜aoAplica¸c˜oes t´ıpicas para esse tipo de EdM:Descri¸c˜ao microsc´opica da dinˆamica fora do equil´ıbrio decampos escalares `a temperatura finitaTransi¸c˜oes de fase −→ f´ısica de QGP e universo primordialuniverso inflacion´arioetc
  19. 19. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios FinaisQuest˜oes a serem respondidas:Equa¸c˜oes semelhantes `a eq.(2) podem ser facilmenteresolvidas (numericamente)?Se sim, qual a dinˆamica obtida para o sistema?Essa equa¸c˜ao n˜ao-Markoviana pode ser bem aproximada poruma equa¸c˜ao Markoviana?
  20. 20. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios FinaisAproxima¸c˜ao Local (Markoviana)∂2t + m2R +λR3!φc(t)2φc(t) +∞t0dt D(t, t ) ˙φc(t ) = ξ(t) ,⇓∂2t + m2R +λR3!φc(t)2φc(t) + η ˙φc(t) = ξ(t) , (3)ondeη =∞0dt D(t, t )ξ = 0 , ξ(t)ξ(t ) = 2kBTηδ(t − t )
  21. 21. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios FinaisImplementa¸c˜ao Num´ericaEqua¸c˜ao integro-diferencial original:∂2t + m2R +λR3!φc(t)2φc(t) +∞t0dt D(t, t ) ˙φc(t ) = ξ(t) ,
  22. 22. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios FinaisImplementa¸c˜ao Num´ericaEqua¸c˜ao integro-diferencial original:∂2t + m2R +λR3!φc(t)2φc(t) +∞t0dt D(t, t ) ˙φc(t ) = ξ(t) ,Desenvolver uma abordagem num´erica para essa ELG↓Que tipo de ru´ıdo??
  23. 23. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios FinaisOrnstein-Uhlenbeck (OU) Noise→ Tipo de ru´ıdo bastante comum em sistemas f´ısicos n˜ao-lineares∂2t + m2R +λR3!φc(t)2φc(t)+∞t0dt DOU(t, t ) ˙φc(t ) = ξOU(t) ,ξOU(t) ´e um termo de ru´ıdo n˜ao-Markoviano que satisfazξOU(t) = 0 ,ξOU(t)ξOU(t ) = TDOU(t − t ) . (4)DOU(t − t ) = γQe−γ(t−t ). (5)
  24. 24. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios FinaisOrnstein-Uhlenbeck NoisePode ser facilmente mostrado que o kernel OU pode ser geradopor:˙ξOU(t) = −γ ξOU(t) − 2TQηOU , (6)onde ηOU in Eq. (6) ´e um ru´ıdo gaussiano branco que satisfazηOU(t) = 0 ,ηOU(t)ηOU(t ) = δ(t − t ) , (7)
  25. 25. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios FinaisOrnstein-Uhlenbeck Noise∂2t + m2R +λ3!φc(t)2φc(t) +∞t0dt DOU(t, t ) ˙φc(t ) = ξ(t) ,↓˙φ = y˙y = −V (φ) + ξOU(t) + WOU˙WOU (t) = −γWOU − DOU (0) y (t)˙ξOU(t) = −γ ξOU(t) − 2TQ ηOU (8)
  26. 26. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios FinaisOrnstein-Uhlenbeck Noise∂2t + m2R +λ3!φc(t)2φc(t) +∞t0dt DOU(t, t ) ˙φc(t ) = ξ(t) ,↓˙φ = y˙y = −V (φ) + ξOU(t) + WOU˙WOU (t) = −γWOU − DOU (0) y (t)˙ξOU(t) = −γ ξOU(t) − 2TQ ηOU (8)Reescrevemos a equa¸c˜ao n˜ao-Markoviana original em termos deum sistema local!!
  27. 27. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios FinaisRu´ıdo harmˆonico∂2t + m2R +λR3!φc(t)2φc(t) +∞t0dt DH(t, t ) ˙φc(t ) = ξH(t) ,(9)onde o kernel n˜ao-local DH (t − t ) ´e dado porDH(t−t ) = e−γ(t−t )Qm2χ2γcos[Ω1(t − t )] +γΩ1sin[Ω1(t − t )] ,(10)e ξH(t) ´e um ru´ıdo gaussiano colorido que satisfazξH(t) = 0 ,ξH(t)ξH(t ) = TDH(t − t ) . (11)
  28. 28. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios FinaisHarmonic Noise∂2t + m2R +λR3!φc(t)2φc(t) +∞t0dt DH(t, t ) ˙φc(t ) = ξH(t) ,⇓˙φ = y ,˙y = −V (φ) + WH + ξH ,˙WH = −uH − 2γWH − DH(0)y ,˙u = −m2χWH + ˙DH(0)y − 2γDH(0)y ,˙ξH = z ,˙z = −2γz − m2χξH + m2χ 2TQ ηH . (12)
  29. 29. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios FinaisRu´ıdo OU: (a) γ = 0, 5, (b) γ = 1, 0 e (c) γ = 5, 0
  30. 30. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios FinaisRu´ıdo Harmˆonico: (a) γ = 0, 1, (b) γ = 0, 3 e (c) γ = 0, 5
  31. 31. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios FinaisTeff - caso OUTef(t) = ˙φ2(t) .
  32. 32. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios FinaisTeff - caso harmˆonico
  33. 33. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios FinaisComent´arios FinaisEstudamos ainda:EdM com Ru´ıdo MultiplicativoAplica¸c˜ao ao universo inflacion´arioPassos futuros:Caso quˆanticoInclus˜ao da parte espacial
  34. 34. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios FinaisObrigado pela aten¸c˜ao!!

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