Supercondutividade

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Supercondutividade

  1. 1. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSSupercondutividadeLeandro AlexandreUniversidade do Estado do Rio de JaneiroInstituto de F´ısicaMecˆanica Quˆantica II27 de fevereiro de 2008Supercondutividade Leandro Alexandre
  2. 2. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCS1 Introdu¸c˜ao2 Modelo de Gorter-Casimir3 Modelo de Ginzburg-Landau4 Teoria BCSSupercondutividade Leandro Alexandre
  3. 3. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSBreve Hist´orico da Supercondutividade (SC)1911: Onnes descobre a supercondutividadeSupercondutividade Leandro Alexandre
  4. 4. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSBreve Hist´orico da Supercondutividade (SC)1911: Onnes descobre a supercondutividade1933: Efeito Meissner → fluxo magn´etico exclu´ıdo do interiordo SC, a menos de uma pequena regi˜ao de penetra¸c˜aopr´oxima a sua superf´ıcie.Supercondutividade Leandro Alexandre
  5. 5. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSBreve Hist´orico da Supercondutividade (SC)1911: Onnes descobre a supercondutividade1933: Efeito Meissner → fluxo magn´etico exclu´ıdo do interiordo SC, a menos de uma pequena regi˜ao de penetra¸c˜aopr´oxima a sua superf´ıcie.1934: Modelo de Gorter-Casimir → ansatz para a energia livrede um SC (modelo fenomenol´ogico - abordagemtermodinˆamica)Supercondutividade Leandro Alexandre
  6. 6. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSBreve Hist´orico da Supercondutividade (SC)1911: Onnes descobre a supercondutividade1933: Efeito Meissner → fluxo magn´etico exclu´ıdo do interiordo SC, a menos de uma pequena regi˜ao de penetra¸c˜aopr´oxima a sua superf´ıcie.1934: Modelo de Gorter-Casimir → ansatz para a energia livrede um SC (modelo fenomenol´ogico - abordagemtermodinˆamica)1935: Modelo dos irm˜aos London (modelo fenomenol´ogico -abordagem eletromagn´etica)Supercondutividade Leandro Alexandre
  7. 7. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSBreve Hist´orico da Supercondutividade (SC)1911: Onnes descobre a supercondutividade1933: Efeito Meissner → fluxo magn´etico exclu´ıdo do interiordo SC, a menos de uma pequena regi˜ao de penetra¸c˜aopr´oxima a sua superf´ıcie.1934: Modelo de Gorter-Casimir → ansatz para a energia livrede um SC (modelo fenomenol´ogico - abordagemtermodinˆamica)1935: Modelo dos irm˜aos London (modelo fenomenol´ogico -abordagem eletromagn´etica)1950: Teoria de Gizburg-Landau → fun¸c˜ao de onda complexacomo parˆametro de ordemSupercondutividade Leandro Alexandre
  8. 8. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSBreve Hist´orico da Supercondutividade (SC)1911: Onnes descobre a supercondutividade1933: Efeito Meissner → fluxo magn´etico exclu´ıdo do interiordo SC, a menos de uma pequena regi˜ao de penetra¸c˜aopr´oxima a sua superf´ıcie.1934: Modelo de Gorter-Casimir → ansatz para a energia livrede um SC (modelo fenomenol´ogico - abordagemtermodinˆamica)1935: Modelo dos irm˜aos London (modelo fenomenol´ogico -abordagem eletromagn´etica)1950: Teoria de Gizburg-Landau → fun¸c˜ao de onda complexacomo parˆametro de ordem1957: Teoria BCS → forma¸c˜ao de estado ligadoel´etron-el´etron (teoria padr˜ao da supercondutividade)BCS → Bardeen-Cooper-SchriefferSupercondutividade Leandro Alexandre
  9. 9. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSFatos Experimentais: Resistividadeρ(T) ∼ T2, para f´ermions normaisSupercondutividade Leandro Alexandre
  10. 10. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSFatos Experimentais: Calor Espec´ıficoCVn ∼ TCVS∼ exp −aTSupercondutividade Leandro Alexandre
  11. 11. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSFatos Experimentais: Efeito MeissnerSupercondutividade Leandro Alexandre
  12. 12. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSFatos Experimentais: Efeito MeissnerCampos magn´eticos suficientemente baixosSupercondutividade Leandro Alexandre
  13. 13. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSFatos Experimentais: Efeito MeissnerSupercondutividade Leandro Alexandre
  14. 14. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSFatos Experimentais: Campo Magn´etico Cr´ıtico HcSupercondutividade Leandro Alexandre
  15. 15. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSFatos Experimentais: Campo Magn´etico Cr´ıtico HcHc(T) = Hc(0) 1 −TTc2H > Hc(T) para dada T: amostra volta ao estado normalSupercondutividade Leandro Alexandre
  16. 16. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSFatos Experimentais: Efeito Is´otopoSupercondutividade Leandro Alexandre
  17. 17. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSFatos Experimentais: Efeito Is´otopoTroca de um dos is´otopos de uma rede cristalina gera um shift emalguns observ´aveis.Tc ∝ M−12Supercondutividade Leandro Alexandre
  18. 18. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSModelo de Gorter-CasimirAnsatz para a energia livreSupercondutividade Leandro Alexandre
  19. 19. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSModelo de Gorter-CasimirAnsatz para a energia livreF(x, T) =√xfn(T) + (1 − x)fS (T)x ≡ fra¸c˜ao de el´etrons no fluido normal(1 − x) ≡ fra¸c˜ao de el´etrons no superfluidofn(T) ≡ −γ2T2Cv = −T∂2F∂T2= γTfS (T) ≡ −β = cteSupercondutividade Leandro Alexandre
  20. 20. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSModelo de Gorter-CasimirMinimizando a energia em rela¸c˜ao a x:x =γ216β2T4Fazendo x = 1, obtemos a temperatura cr´ıtica:T2c =4βγJuntando as express˜oes,x =TTc4T = 0 → x = 0 → todos os el´etrons no estado SCSupercondutividade Leandro Alexandre
  21. 21. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSModelo de Gorter-CasimirReescrevendo a energia livre:FS (T) = −β 1 +TTc4ComFS (T)+H2c (T)8π= Fn(T) → destrui¸c˜ao da SC por um campo cr´ıtico HcTemos:Hc(T) = 8πβ 1 −TTc2Supercondutividade Leandro Alexandre
  22. 22. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSModelo de Gorter-CasimirCalor Espec´ıfico:Cv = −T∂2F(T)∂T2Cvn = γTCvS= 3γTcTTc3Supercondutividade Leandro Alexandre
  23. 23. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSModelo de Gorter-CasimirSupercondutividade Leandro Alexandre
  24. 24. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSConsidera¸c˜oes IniciaisEnergia livre (F) como um funcional de um campo ψSupercondutividade Leandro Alexandre
  25. 25. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSConsidera¸c˜oes IniciaisEnergia livre (F) como um funcional de um campo ψψ deve descrever as poss´ıveis fases do sistemaSupercondutividade Leandro Alexandre
  26. 26. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSConsidera¸c˜oes IniciaisEnergia livre (F) como um funcional de um campo ψψ deve descrever as poss´ıveis fases do sistemaψ → parˆametro de ordem do sistema:ψ = 0 na fase de alta temperatura (T > Tc)ψ = 0 para T < TcF[ψ] = Fn[ψ] +1Vd3x aT − TcTc|ψ(x)|2+b2|ψ(x)|4++ . . . +22m| ψ(x)|2Supercondutividade Leandro Alexandre
  27. 27. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSGinzburg-Landau sem campo magn´eticoConsiderando |ψ(x)| ≡ |ψ| uma fun¸c˜ao homogˆenea:Supercondutividade Leandro Alexandre
  28. 28. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSGinzburg-Landau sem campo magn´eticoConsiderando |ψ(x)| ≡ |ψ| uma fun¸c˜ao homogˆenea:Supercondutividade Leandro Alexandre
  29. 29. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSGinzburg-Landau sem campo magn´eticoConsiderando |ψ(x)| ≡ |ψ| uma fun¸c˜ao homogˆenea:F[ψ] = Fn[ψ] + V (|ψ|)V (|ψ|) = aT − TcTc|ψ|2+b2|ψ|4Supercondutividade Leandro Alexandre
  30. 30. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSGinzburg-Landau sem campo magn´eticoConsiderando |ψ(x)| ≡ |ψ| uma fun¸c˜ao homogˆenea:F[ψ] = Fn[ψ] + V (|ψ|)V (|ψ|) = aT − TcTc|ψ|2+b2|ψ|4Minimizando V em rela¸c˜ao a ψ:ψ1 = 0ψ2 = iabT − TcTcψ3 = −iabT − TcTcSupercondutividade Leandro Alexandre
  31. 31. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSGinzburg-Landau sem campo magn´eticoCaso T > Tc: T − Tc → |T − Tc|d2Vdψ2ψ1= 2a|T − Tc|Tc> 0 ∴ ψ1 ´e m´ınimo|ψ| = 0 (valor esperado)Supercondutividade Leandro Alexandre
  32. 32. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSGinzburg-Landau sem campo magn´eticoCaso T < Tc: T − Tc → −|T − Tc|d2Vdψ2ψ1= −2a|T − Tc|Tc< 0 ∴ ψ1 ´e m´aximod2Vdψ2ψ2> 0 ∴ ψ2 ´e m´ınimod2Vdψ2ψ3> 0 ∴ ψ3 ´e m´ınimoSupercondutividade Leandro Alexandre
  33. 33. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSGinzburg-Landau sem campo magn´etico|ψ| = ± ab|T−Tc |Tc(valor esperado)Escolhendo um dos v´acuos, asimetria ´e quebrada...Supercondutividade Leandro Alexandre
  34. 34. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSGinzburg-Landau sem campo magn´etico|ψ| = ± ab|T−Tc |Tc(valor esperado)Escolhendo um dos v´acuos, asimetria ´e quebrada...Supercondutividade Leandro Alexandre
  35. 35. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSGinzburg-Landau sem campo magn´eticoSupercondutividade Leandro Alexandre
  36. 36. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSGinzburg-Landau sem campo magn´eticoTemos ent˜ao:Parˆametro de Ordem nulo → sistema na fase normal(F(T) = Fn(T))Supercondutividade Leandro Alexandre
  37. 37. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSGinzburg-Landau sem campo magn´eticoTemos ent˜ao:Parˆametro de Ordem nulo → sistema na fase normal(F(T) = Fn(T))Parˆametro de Ordem n˜ao-nulo → sistema na fasesupercondutoraSupercondutividade Leandro Alexandre
  38. 38. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSGinzburg-Landau sem campo magn´eticoTemos ent˜ao:Parˆametro de Ordem nulo → sistema na fase normal(F(T) = Fn(T))Parˆametro de Ordem n˜ao-nulo → sistema na fasesupercondutoraExpoente Cr´ıtico:Parˆametro de ordem ∼ |T−Tc |Tcβ|ψ| =ab|T − Tc|Tc∴ β = 12 → expoente cr´ıtico do modelo de G.LSupercondutividade Leandro Alexandre
  39. 39. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSGinzburg-Landau sem campo magn´eticoCalor Espec´ıfico:CV = −T∂2F∂T2CSV = −T∂2∂T2Fn(T) − a|T − Tc|Tc|ψ|2+b2|ψ|4Supercondutividade Leandro Alexandre
  40. 40. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSGinzburg-Landau sem campo magn´eticoCalor Espec´ıfico:CV = −T∂2F∂T2CSV = −T∂2∂T2Fn(T) − a|T − Tc|Tc|ψ|2+b2|ψ|4CSV =a2bT2cT + CnV (T < Tc)Supercondutividade Leandro Alexandre
  41. 41. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSGinzburg-Landau sem campo magn´eticoCalor Espec´ıfico:CV = −T∂2F∂T2CSV = −T∂2∂T2Fn(T) − a|T − Tc|Tc|ψ|2+b2|ψ|4CSV =a2bT2cT + CnV (T < Tc)CSV = CnV = CV (T > Tc)Supercondutividade Leandro Alexandre
  42. 42. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSGinzburg-Landau com campo magn´eticoF = e E +vc× BE = − φ −1c∂A∂t, B = × AFor¸ca generalizada para potenciais que dependem do tempo:Qk = −∂U∂qk+ddt∂U∂ ˙qkSupercondutividade Leandro Alexandre
  43. 43. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSGinzburg-Landau com campo magn´eticoF = e E +vc× BE = − φ −1c∂A∂t, B = × AFor¸ca generalizada para potenciais que dependem do tempo:Qk = −∂U∂qk+ddt∂U∂ ˙qkProblema: U =???F = e − φ −1c∂A∂t+vc× ( × A)Supercondutividade Leandro Alexandre
  44. 44. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSGinzburg-Landau com campo magn´eticoDepois de algumas manipula¸c˜oes,F = − eφ −ecv.A +ddtv eφ −ecv.ASupercondutividade Leandro Alexandre
  45. 45. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSGinzburg-Landau com campo magn´eticoDepois de algumas manipula¸c˜oes,F = − eφ −ecv.A +ddtv eφ −ecv.AL =m2v2− eφ +ecv.AH =12mp −ecA2+ eφSupercondutividade Leandro Alexandre
  46. 46. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSGinzburg-Landau com campo magn´eticoDepois de algumas manipula¸c˜oes,F = − eφ −ecv.A +ddtv eφ −ecv.AL =m2v2− eφ +ecv.AH =12mp −ecA2+ eφEliminando o campo el´etrico → φ = 0, ∂A∂t = 0:H =12mp −ecA2Supercondutividade Leandro Alexandre
  47. 47. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSGinzburg-Landau com campo magn´eticoF[ψ] = Fn[ψ] +1Vd3x aT − TcTc|ψ(x)|2+b2|ψ(x)|4++12m− i −ecA(x) ψ(x)2+18πB2Supercondutividade Leandro Alexandre
  48. 48. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSGinzburg-Landau com campo magn´eticoDerivada Funcional:ddF[f + σ]=0≡ dnxσ(x)δFδf (x)Ex.: F[A] = d3xA(x)F[A + σ] = d3x(A(x) + σ(x)) = d3xA(x) + d3xσ(x)dF[A + σ]d= d3xσ(x)δFδA(x)= 1Supercondutividade Leandro Alexandre
  49. 49. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSGinzburg-Landau com campo magn´eticoVariando a energia em rela¸c˜ao a A:14π× B =e2mcψ∗ 1i−ecA ψ + ψ −1i−ecA ψ∗× B =4πcjSupercondutividade Leandro Alexandre
  50. 50. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSGinzburg-Landau com campo magn´eticoVariando a energia em rela¸c˜ao a A:14π× B =e2mcψ∗ 1i−ecA ψ + ψ −1i−ecA ψ∗× B =4πcjDensidade de Supercorrente:jS =e2mψ∗ 1i−ecA ψ + ψ −1i−ecA ψ∗Supercondutividade Leandro Alexandre
  51. 51. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSGinzburg-Landau com campo magn´eticoVariando a energia em rela¸c˜ao a ψ:12m i−ecA2ψ + aT − TcTcψ + b|ψ|2ψ = 0Supercondutividade Leandro Alexandre
  52. 52. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSGinzburg-Landau com campo magn´eticoVariando a energia em rela¸c˜ao a ψ:12m i−ecA2ψ + aT − TcTcψ + b|ψ|2ψ = 0Equa¸c˜oes de Ginzburg-LandauSupercondutividade Leandro Alexandre
  53. 53. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSCorrente Cr´ıticaSupercondutor fino, com dependˆencia espacial unidimensional:ψ = ψ0eiqxAssumindo A = 0, da segunda eq. de G.L:q22m+ aT − TcTcψ0 + bψ30 = 0Supercondutividade Leandro Alexandre
  54. 54. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSCorrente Cr´ıticaSupercondutor fino, com dependˆencia espacial unidimensional:ψ = ψ0eiqxAssumindo A = 0, da segunda eq. de G.L:q22m+ aT − TcTcψ0 + bψ30 = 0ψ0 = 0ψ0 = ±ab|T − Tc|Tc−q22mbSupercondutividade Leandro Alexandre
  55. 55. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSCorrente Cr´ıticaDa equa¸c˜ao de supercorrente:jS = eqm|ψ0|2jS = evS ρSSupercondutividade Leandro Alexandre
  56. 56. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSCorrente Cr´ıticaDa equa¸c˜ao de supercorrente:jS = eqm|ψ0|2jS = evS ρSComo pela segunda eq de G.L, ψ0 pertence aos Reais,ψ0 = ±ab|T − Tc|Tc−q22mbab(Tc − T)Tc≥q22mbSupercondutividade Leandro Alexandre
  57. 57. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSCorrente Cr´ıticaDa equa¸c˜ao de supercorrente:jS = eqm|ψ0|2jS = evS ρSComo pela segunda eq de G.L, ψ0 pertence aos Reais,ψ0 = ±ab|T − Tc|Tc−q22mbab(Tc − T)Tc≥q22mbA Scorrente pode assumir um valor m´aximo jC . Acima desse valor,o metal possui condu¸c˜ao normalSupercondutividade Leandro Alexandre
  58. 58. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSEfeito MeissnerSC homogˆeneo, tal que a densidade de superfluido possa serconsiderada constante no espa¸co:ψ = ψ0eiφ(x)Supercondutividade Leandro Alexandre
  59. 59. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSEfeito MeissnerSC homogˆeneo, tal que a densidade de superfluido possa serconsiderada constante no espa¸co:ψ = ψ0eiφ(x)Inserindo na eq. de supercorrente:jS =emρS φ(x) −ecASupercondutividade Leandro Alexandre
  60. 60. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSEfeito MeissnerSC homogˆeneo, tal que a densidade de superfluido possa serconsiderada constante no espa¸co:ψ = ψ0eiφ(x)Inserindo na eq. de supercorrente:jS =emρS φ(x) −ecAAplicando × na eq. anterior:× jS = −e2mcρS B4πc× jS = −4πe2mc2ρS BSupercondutividade Leandro Alexandre
  61. 61. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSEfeito MeissnerLembrando que 4πc j = × B, temos:2B =1λ2LBSupercondutividade Leandro Alexandre
  62. 62. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSEfeito MeissnerLembrando que 4πc j = × B, temos:2B =1λ2LBOndeλL ≡mc24πe2ρS→ Profundidade de penetra¸c˜ao de LondonSupercondutividade Leandro Alexandre
  63. 63. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSEfeito MeissnerLembrando que 4πc j = × B, temos:2B =1λ2LBOndeλL ≡mc24πe2ρS→ Profundidade de penetra¸c˜ao de LondonSolu¸c˜ao 1D simples:B(x) = B0e− xλL→ Quanto menor λL, mais “r´apido” cai o valor de B dentro daamostra.Supercondutividade Leandro Alexandre
  64. 64. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSRevis˜ao: BECRevis˜ao da id´eia de BEC →Supercondutividade Leandro Alexandre
  65. 65. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSRevis˜ao: BECRevis˜ao da id´eia de BEC → g´as ideal de Bose2k22mSupercondutividade Leandro Alexandre
  66. 66. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSRevis˜ao: BECRevis˜ao da id´eia de BEC → g´as ideal de Bose2k22mln Z(T, V , µ) = −jln 1 − exp − β j − µ< nj >=1exp [β( j − µ)] − 1N =j< nj >U =jj < nj >Supercondutividade Leandro Alexandre
  67. 67. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSRevis˜ao: BECRevis˜ao da id´eia de BEC → g´as ideal de Bose2k22mln Z(T, V , µ) = −jln 1 − exp − β j − µ< nj >=1exp [β( j − µ)] − 1N =j< nj >U =jj < nj >Supercondutividade Leandro Alexandre
  68. 68. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSRevis˜ao: BECµkT= ln1γ2π 2mk32+ lnNV−32ln TSupercondutividade Leandro Alexandre
  69. 69. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSRevis˜ao: Estat´ıstica de Bose-Einsteinfazendo µ = 0 no limite termodinˆamico:T0 =22mk4π2γΓ(32)ζ(32)23NV23Supercondutividade Leandro Alexandre
  70. 70. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSRevis˜ao: Estat´ıstica de Bose-Einsteinfazendo µ = 0 no limite termodinˆamico:T0 =22mk4π2γΓ(32)ζ(32)23NV23T0 → Temperatura de Bose-EinsteinSupercondutividade Leandro Alexandre
  71. 71. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSRevis˜ao: Estat´ıstica de Bose-Einsteinfazendo µ = 0 no limite termodinˆamico:T0 =22mk4π2γΓ(32)ζ(32)23NV23T0 → Temperatura de Bose-EinsteinN0 = N 1 −TT023Supercondutividade Leandro Alexandre
  72. 72. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSRevis˜ao: Estat´ıstica de Bose-Einsteinfazendo µ = 0 no limite termodinˆamico:T0 =22mk4π2γΓ(32)ζ(32)23NV23T0 → Temperatura de Bose-EinsteinN0 = N 1 −TT023N0 → N´umero de part´ıculas no condensado de Bose-EinsteinSupercondutividade Leandro Alexandre
  73. 73. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSRevis˜ao: Estat´ıstica de Fermi-Diracln Z(T, V , µ) =jln 1 + exp − β j − µ< nj >=1exp [β( j − µ)] + 1Supercondutividade Leandro Alexandre
  74. 74. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSRevis˜ao: Estat´ıstica de Fermi-Diracln Z(T, V , µ) =jln 1 + exp − β j − µ< nj >=1exp [β( j − µ)] + 1N =j< nj >Supercondutividade Leandro Alexandre
  75. 75. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSRevis˜ao: Estat´ıstica de Fermi-Diracln Z(T, V , µ) =jln 1 + exp − β j − µ< nj >=1exp [β( j − µ)] + 1N =j< nj >U =jj < nj >Supercondutividade Leandro Alexandre
  76. 76. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSRevis˜ao: Estat´ıstica de Fermi-DiracG´as de Fermi completamente degenerado: β → ∞Supercondutividade Leandro Alexandre
  77. 77. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSRevis˜ao: Estat´ıstica de Fermi-DiracG´as de Fermi completamente degenerado: β → ∞Energia de Fermi = potencial qu´ımico em T = 0Supercondutividade Leandro Alexandre
  78. 78. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSRevis˜ao: Estat´ıstica de Fermi-DiracG´as de Fermi completamente degenerado: β → ∞Energia de Fermi = potencial qu´ımico em T = 0F =22m6π2γ23NV23F = kbTFTF =22mkb6π2γ23NV23Supercondutividade Leandro Alexandre
  79. 79. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSRevis˜ao: Estat´ıstica de Fermi-DiracG´as de Fermi degenerado: T TFSupercondutividade Leandro Alexandre
  80. 80. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSRevis˜ao: Estat´ıstica de Fermi-DiracG´as de Fermi degenerado: T TFAlguns el´etrons abaixo da F s˜ao excitados para estados comenergia > FSupercondutividade Leandro Alexandre
  81. 81. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSRevis˜ao: Estat´ıstica de Fermi-DiracG´as de Fermi degenerado: T TFAlguns el´etrons abaixo da F s˜ao excitados para estados comenergia > FU = γVC25µ52 +π24(kbT)2µ12 +. . .µ = F 1 −π212TTc2+ . . .Supercondutividade Leandro Alexandre
  82. 82. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSAcoplamento el´etron-FˆononEfeito is´otopo d´a pistas de que os fˆonons da rede cristalinatˆem importante papel na SC.Supercondutividade Leandro Alexandre
  83. 83. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSAcoplamento el´etron-FˆononEfeito is´otopo d´a pistas de que os fˆonons da rede cristalinatˆem importante papel na SC.Hamiltoniana de Fr¨olich:HF = He + Hp + HepHe =k(k)f †kfkHp =qωq b†qbq +12Supercondutividade Leandro Alexandre
  84. 84. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSAcoplamento el´etron-FˆononConsideramos que os fˆonons produzem uma altera¸c˜ao local nadensidade iˆonica e que se acoplam `a densidade de el´etronsSupercondutividade Leandro Alexandre
  85. 85. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSAcoplamento el´etron-FˆononConsideramos que os fˆonons produzem uma altera¸c˜ao local nadensidade iˆonica e que se acoplam `a densidade de el´etronsMudan¸ca no potencial iˆonico → descrito pelo campo D(x)Hep = d3x ˆψ†α(x)D(x) ˆψα(x)Supercondutividade Leandro Alexandre
  86. 86. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSAcoplamento el´etron-FˆononConsideramos que os fˆonons produzem uma altera¸c˜ao local nadensidade iˆonica e que se acoplam `a densidade de el´etronsMudan¸ca no potencial iˆonico → descrito pelo campo D(x)Hep = d3x ˆψ†α(x)D(x) ˆψα(x)Mudan¸ca na densidade iˆonica → campos de deslocamento u(x):D(x) = .u(x) dilata¸c˜oes e contra¸c˜oes locais2−1c2∂2∂t2u(x) = 0Supercondutividade Leandro Alexandre
  87. 87. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSAcoplamento el´etron-FˆononEm analogia `a quantiza¸c˜ao do campo de Klein-Gordon:ˆφ(x, t) =d3p2ωp(2π)3ˆapei(px−ωpt)+ ˆa†pe−i(px−ωpt)[ˆap, ˆa†p] = δ(p − p )Supercondutividade Leandro Alexandre
  88. 88. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSAcoplamento el´etron-FˆononEm analogia `a quantiza¸c˜ao do campo de Klein-Gordon:ˆφ(x, t) =d3p2ωp(2π)3ˆapei(px−ωpt)+ ˆa†pe−i(px−ωpt)[ˆap, ˆa†p] = δ(p − p )Na caixa:d3p(2π)3→1L3l[ˆapl, ˆa†pl] = δllSupercondutividade Leandro Alexandre
  89. 89. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSAcoplamento el´etron-Fˆononu(x) =1√N qq|q| 2mωq12ˆbqeiqx+ ˆb†qe−iqxO campo D ´e entao dado por (com ωq = vS q):D(x) =i√N qq2MvS12ˆbqeiqx− ˆb†qe−iqxSupercondutividade Leandro Alexandre
  90. 90. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSAcoplamento el´etron-Fˆononu(x) =1√N qq|q| 2mωq12ˆbqeiqx+ ˆb†qe−iqxO campo D ´e entao dado por (com ωq = vS q):D(x) =i√N qq2MvS12ˆbqeiqx− ˆb†qe−iqxOperadores de campo eletrˆonico em termos de estados de Bloch:ˆψα(x) =kfkαuk(x)eikxˆψβ(x)†=kfkβuk(x)∗e−ikxSupercondutividade Leandro Alexandre
  91. 91. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSAcoplamento el´etron-FˆononHep = d3xkfkαuk(x)eikx××i√N qq2MvS12ˆbqeiqx− ˆb†qe−iqx××kfk βuk(x)∗e−ik xSupercondutividade Leandro Alexandre
  92. 92. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSAcoplamento el´etron-FˆononHep ==i√N qq2MvS12kkfk αf †k αd3xuk(x)uk(x)∗ei(q+k+k )xbq +−i√N qq2MvS12kkfk αf †k αd3xuk(x)uk(x)∗e−i(q−k+k )xb†qSupercondutividade Leandro Alexandre
  93. 93. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSAcoplamento el´etron-FˆononFun¸c˜oes de Wannier:ˆφR(r) =1√N ke−ikR ˆψk(r)φR(r) = φR+R (r + R )φ(r − R) ≡ φR(r)Supercondutividade Leandro Alexandre
  94. 94. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSAcoplamento el´etron-FˆononFun¸c˜oes de Wannier:fun¸c˜ao de Wannier ← ˆφR(r) =1√N ke−ikR ˆψk(r) → fun¸c˜ao de BlochφR(r) = φR+R (r + R )φ(r − R) ≡ φR(r)Supercondutividade Leandro Alexandre
  95. 95. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSAcoplamento el´etron-FˆononReescrevendo a hamiltoniana:Hep = ik,qDq bqf †k+q,αfk,α− b†qf †k−q,αfk,αDefinindo o operador densidade eletrˆonica:ρqkf †k−q,αfk,α= ρ†−qHF =k(k)f †kfk+qωq b†qbq +12+ ik,qDq bqρ†q − b†qρqSupercondutividade Leandro Alexandre
  96. 96. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSIntera¸c˜ao El´etron-El´etron EfetivaExtrair intera¸c˜ao el´etron-el´etron da intera¸c˜ao el´etron-fˆononDefinindo um operador anti-unit´ario S, para que eS seja unit´ario, ea transforma¸c˜ao˜HF = e−SHF eSseja unit´aria.Supercondutividade Leandro Alexandre
  97. 97. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSIntera¸c˜ao El´etron-El´etron EfetivaExtrair intera¸c˜ao el´etron-el´etron da intera¸c˜ao el´etron-fˆononDefinindo um operador anti-unit´ario S, para que eS seja unit´ario, ea transforma¸c˜ao˜HF = e−SHF eSseja unit´aria.Expandindo:˜HF = HF + [HF , S] +12![[HF , S], S] +13![[[HF , S], S], S] + . . .Supercondutividade Leandro Alexandre
  98. 98. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSIntera¸c˜ao El´etron-El´etron EfetivaFˆonon criado ou aniquilado noespalhamentoSupercondutividade Leandro Alexandre
  99. 99. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSIntera¸c˜ao El´etron-El´etron EfetivaFˆonon criado ou aniquilado noespalhamentoFˆonon criado interage comoutro el´etronSupercondutividade Leandro Alexandre
  100. 100. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSIntera¸c˜ao El´etron-El´etron EfetivaFˆonon criado ou aniquilado noespalhamentoFˆonon criado interage comoutro el´etronProcesso ocorre apenas em segunda ordem na intera¸c˜aoel´etron-fˆonon → Eliminar contribui¸c˜oes de primeira ordemSupercondutividade Leandro Alexandre
  101. 101. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSIntera¸c˜ao El´etron-El´etron EfetivaHF = H0 + λHep˜HF = H0 + λHep + [H0, S] + λ[Hep, S] +12[[H0 + λHep, S], S] + . . .Impondo λHep + [H0, S] = 0, e calculando os elementos de matriznos autoestados |m de H0:λ n| Hep |m = n| [S, H0] |mn| S |m = λn| Hep |mEm − EnSupercondutividade Leandro Alexandre
  102. 102. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSIntera¸c˜ao El´etron-El´etron EfetivaNa pr´oxima ordem n˜ao-nula:λ[Hep, S] +12[[H0 + λHep, S], S] = λ[Hep, S] −λ2[Hep, S]Supercondutividade Leandro Alexandre
  103. 103. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSIntera¸c˜ao El´etron-El´etron EfetivaNa pr´oxima ordem n˜ao-nula:λ[Hep, S] +12[[H0 + λHep, S], S] = λ[Hep, S] −λ2[Hep, S]n| [Hep, S] |m =?Supercondutividade Leandro Alexandre
  104. 104. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSIntera¸c˜ao El´etron-El´etron EfetivaNa pr´oxima ordem n˜ao-nula:λ[Hep, S] +12[[H0 + λHep, S], S] = λ[Hep, S] −λ2[Hep, S]n| [Hep, S] |m =?n| HepS |m =ln| Hep |l l| S |mSupercondutividade Leandro Alexandre
  105. 105. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSIntera¸c˜ao El´etron-El´etron EfetivaNa pr´oxima ordem n˜ao-nula:λ[Hep, S] +12[[H0 + λHep, S], S] = λ[Hep, S] −λ2[Hep, S]n| [Hep, S] |m =?n| HepS |m =ln| Hep |l l| S |mn| HepS |m = λln| Hep |l l| Hep |m(El − Em)Supercondutividade Leandro Alexandre
  106. 106. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSIntera¸c˜ao El´etron-El´etron Efetivaconsiderando estados com zero f˜onons (fenˆomeno de baixatemperatura):n| HepS |m →0| Hep |1q 1q| Hep |0(Em − El )== D2qkkf †k fk −qf †k −qfk1k − k−q − ωqn| SHep |m = D2qkkf †k fk −qf †k −qfk1k − k−q + ωqSupercondutividade Leandro Alexandre
  107. 107. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSIntera¸c˜ao El´etron-El´etron Efetivaconsiderando estados com zero f˜onons (fenˆomeno de baixatemperatura):n| HepS |m →0| Hep |1q 1q| Hep |0(Em − El )== D2qkkf †k fk −qf †k −qfk1k − k−q − ωqn| SHep |m = D2qkkf †k fk −qf †k −qfk1k − k−q + ωqSupercondutividade Leandro Alexandre
  108. 108. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSIntera¸c˜ao El´etron-El´etron EfetivaSomando todas as contribui¸c˜oes:Hep =q,k,kWkqf †kfk −qf †k −qfkSupercondutividade Leandro Alexandre
  109. 109. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSIntera¸c˜ao El´etron-El´etron EfetivaSomando todas as contribui¸c˜oes:Hep =q,k,kWkqf †kfk −qf †k −qfkWkq=D2q ωq( k− k+q)2 − 2ω2qSupercondutividade Leandro Alexandre
  110. 110. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSIntera¸c˜ao El´etron-El´etron EfetivaSomando todas as contribui¸c˜oes:Hep =q,k,kWkqf †kfk −qf †k −qfkWkq=D2q ωq( k− k+q)2 − 2ω2qsignifica que para uma pequena regi˜ao ao redor da energia deFermi com | k− k+q| < ωq uma intera¸c˜ao atrativa entreel´etrons ocorre.Supercondutividade Leandro Alexandre
  111. 111. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSIntera¸c˜ao El´etron-El´etron EfetivaSomando todas as contribui¸c˜oes:Hep =q,k,kWkqf †kfk −qf †k −qfkWkq=D2q ωq( k− k+q)2 − 2ω2qsignifica que para uma pequena regi˜ao ao redor da energia deFermi com | k− k+q| < ωq uma intera¸c˜ao atrativa entreel´etrons ocorre.Novo estado ligado entre f´ermions surge → Pares de Cooper.Supercondutividade Leandro Alexandre
  112. 112. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSTeoria BCSOrdem de grandeza do par de cooper: ≈ 10−4cm = 104ˆangstronsestimativa do espa¸co ocupado por um el´etron: ≈ (2A)3≈ 1011 el´etronsSupercondutividade Leandro Alexandre
  113. 113. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSTeoria BCSOrdem de grandeza do par de cooper: ≈ 10−4cm = 104ˆangstronsestimativa do espa¸co ocupado por um el´etron: ≈ (2A)3≈ 1011 el´etrons´E invi´avel construir fun¸c˜oes de onda para cada par de el´etrons.Supercondutividade Leandro Alexandre
  114. 114. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSTeoria BCSOrdem de grandeza do par de cooper: ≈ 10−4cm = 104ˆangstronsestimativa do espa¸co ocupado por um el´etron: ≈ (2A)3≈ 1011 el´etrons´E invi´avel construir fun¸c˜oes de onda para cada par de el´etrons.HBCS =k,σf †k,σfk,σ+12k,kWkk f †k f †−kf−k fkSupercondutividade Leandro Alexandre
  115. 115. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSTeoria BCSOrdem de grandeza do par de cooper: ≈ 10−4cm = 104ˆangstronsestimativa do espa¸co ocupado por um el´etron: ≈ (2A)3≈ 1011 el´etrons´E invi´avel construir fun¸c˜oes de onda para cada par de el´etrons.HBCS =k,σf †k,σfk,σ+12k,kWkk f †k f †−kf−k fkWkk < 0 para | (k) − F | <δ2e | (k ) − F | <δ2Supercondutividade Leandro Alexandre
  116. 116. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSTeoria BCSOrdem de grandeza do par de cooper: ≈ 10−4cm = 104ˆangstronsestimativa do espa¸co ocupado por um el´etron: ≈ (2A)3≈ 1011 el´etrons´E invi´avel construir fun¸c˜oes de onda para cada par de el´etrons.HBCS =k,σf †k,σfk,σ+12k,kWkk f †k f †−kf−k fkWkk < 0 para | (k) − F | <δ2e | (k ) − F | <δ2Wkk = 0 para todos os outros casosSupercondutividade Leandro Alexandre
  117. 117. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSTeoria BCSSupercondutividade Leandro Alexandre
  118. 118. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSTeoria BCSPara simplificar os c´alculos com a hamiltoniana de intera¸c˜ao:f−kfk = f−kfk + (f−kfk − f−kfk )f †k f †−k = f †k f †−k + (f †k f †−k − f †k f †−k )ψk ≡ f−kfkSupercondutividade Leandro Alexandre
  119. 119. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSTeoria BCSPara simplificar os c´alculos com a hamiltoniana de intera¸c˜ao:f−kfk = f−kfk + (f−kfk − f−kfk )f †k f †−k = f †k f †−k + (f †k f †−k − f †k f †−k )ψk ≡ f−kfkAproxima¸c˜ao: desprezar termos quadr´aticos na flutua¸c˜aoHBCS−µˆN ≈k[ (k)−µ]f †k fk+12kkWkk (f †k f †−kψk +ψ∗kf−k fk −ψ∗kψk )Supercondutividade Leandro Alexandre
  120. 120. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSTeoria BCSDiagonaliza¸c˜ao: transforma¸c˜ao de Bogoliubovfk = ukγk + vkγ†−kfk = ukγk + vkγ†−kcomuk = u−kvk = −v−ku2k + v2k = 1{γk, γ†k } = δkk{γk, γk } = {γ†k, γ†k } = 0Supercondutividade Leandro Alexandre
  121. 121. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSTeoria BCSHBCS−µN =k[ (k)−µ](u2k −v2k )−2kWkk ψk ukvk γ†kγk++k[ (k) − µ]ukvk +12kWkk ψk (u2k − v2k ) (γ†kγ†−k + γ−kγk)Supercondutividade Leandro Alexandre
  122. 122. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSTeoria BCSHBCS−µN =k[ (k)−µ](u2k −v2k )−2kWkk ψk ukvk γ†kγk++k[ (k) − µ]ukvk +12kWkk ψk (u2k − v2k ) (γ†kγ†−k + γ−kγk)Definindo[ (k) − µ]ukvk ≡ −12kWkk ψk (u2k − v2k )o termo n˜ao-diagonal ´e eliminado.Supercondutividade Leandro Alexandre
  123. 123. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSTeoria BCSDefinindo∆k = −kWkk ψkTemos que resolver o sistema[ (k) − µ]ukvk = ∆k(u2k − v2k )u2k + v2k = 1Supercondutividade Leandro Alexandre
  124. 124. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSTeoria BCSDefinindo∆k = −kWkk ψkTemos que resolver o sistema[ (k) − µ]ukvk = ∆k(u2k − v2k )u2k + v2k = 1Para facilitar,uk = cos φkvk = sin φkSupercondutividade Leandro Alexandre
  125. 125. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSTeoria BCSDefinindo∆k = −kWkk ψkTemos que resolver o sistema[ (k) − µ]ukvk = ∆k(u2k − v2k )u2k + v2k = 1Para facilitar,uk = cos φkvk = sin φkSupercondutividade Leandro Alexandre
  126. 126. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSTeoria BCScos 2φk = u2k − v2k = ±(k) − µEksin 2φk = ukvk = ±∆kEkEk = [ (k) − µ]2 + ∆2kSupercondutividade Leandro Alexandre
  127. 127. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSTeoria BCScos 2φk = u2k − v2k = ±(k) − µEksin 2φk = ukvk = ±∆kEkEk = [ (k) − µ]2 + ∆2kFinalmente,˜H =kEkγ†kγkPortanto o espectro das quase-part´ıculas possui um gap ∆k.Supercondutividade Leandro Alexandre
  128. 128. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSTeoria BCSNo estado fundamental:γk |0 = 0ψk = f−kfk =∆kEk∆k = −12kWkk∆kEkSupercondutividade Leandro Alexandre
  129. 129. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSTeoria BCSDefinindo ξk ≡ (k) − µ,Wkk = −λVθ( ωD − |ξk|)θ( ωD − |ξk|)∆k =λ2Vkθ( ωD − |ξk|)θ( ωD − |ξk|)∆kEkcom uma solu¸c˜ao ∆k = ∆θ( ωD − |ξk|),1 =λ2Vkθ( ωD − |ξk|)∆2 + ξ2kSupercondutividade Leandro Alexandre
  130. 130. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSTeoria BCSUsando o limite cont´ınuo:1Vk→ dξN(ξ) ≈ N(0) dξ ( ωD F )N → densidade de estados de part´ıcula ´unica dispon´ıvel para aspart´ıculas do sistema.1 =λN(0)2ωD− ωDdξ1∆2 + ξ2k== λN(0) lnωD + ( ωD)2 + ∆2∆≈ λN(0) ln2 ωD∆Supercondutividade Leandro Alexandre
  131. 131. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSTeoria BCS∆ = 2 ωD exp −1λN(0)usando u2k + v2k = 1,u2k =121 +ξk∆2 + ξ2kv2k =121 −ξk∆2 + ξ2kf †k fk = v2k → n´umero de ocupa¸c˜ao dos f´ermions originais no novo estadPara ∆ = 0,Supercondutividade Leandro Alexandre
  132. 132. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCSTeoria BCSf †k fk = v2k → N´umero de ocupa¸c˜ao dos f´ermions originais nonovo estado undamentalPara ∆ = 0,v2k =121−ξk|ξk|= θ[ (k)−µ],o que ´e esperado para f´ermionslivres.Supercondutividade Leandro Alexandre

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