Este documento descreve um estudo sobre dinâmica estocástica em neurociência teórica. Apresenta as motivações para o estudo, como o desenvolvimento de novas técnicas experimentais e a necessidade de modelos teóricos para interpretar os dados. Também descreve os primeiros passos do estudo, como a aplicação de modelos de interação sistema-banho para descrever o efeito do ruído neural nos neurônios.
1. Outline Introdu¸c˜ao Motiva¸c˜oes Primeiros passos Primeiros resultados
Dinˆamica estoc´astica em neurociˆencia te´orica
Leandro A. da Silva
PUC-Rio
P´os-doutorado J´unior - CNPq (4/13 - 4/14)
02/05/13
2. Outline Introdu¸c˜ao Motiva¸c˜oes Primeiros passos Primeiros resultados
1 Introdu¸c˜ao
2 Motiva¸c˜oes
3 Primeiros passos
4 Primeiros resultados
3. Outline Introdu¸c˜ao Motiva¸c˜oes Primeiros passos Primeiros resultados
1 Introdu¸c˜ao
2 Motiva¸c˜oes
3 Primeiros passos
4 Primeiros resultados
4. Outline Introdu¸c˜ao Motiva¸c˜oes Primeiros passos Primeiros resultados
Por que ´e interessante estudar neurociˆencia hoje?
Grande desenvolvimento e difus˜ao de novas t´ecnicas experimentais:
5. Outline Introdu¸c˜ao Motiva¸c˜oes Primeiros passos Primeiros resultados
Por que ´e interessante estudar neurociˆencia hoje?
Grande desenvolvimento e difus˜ao de novas t´ecnicas experimentais:
fMRI - (functional magnetic resonance imaging)
6. Outline Introdu¸c˜ao Motiva¸c˜oes Primeiros passos Primeiros resultados
Por que ´e interessante estudar neurociˆencia hoje?
Grande desenvolvimento e difus˜ao de novas t´ecnicas experimentais:
Captura de atividades com multieletrodos
7. Outline Introdu¸c˜ao Motiva¸c˜oes Primeiros passos Primeiros resultados
Por que ´e interessante estudar neurociˆencia hoje?
Grande desenvolvimento e difus˜ao de novas t´ecnicas experimentais:
TMS - Trancranial Magnetic Stimulation
8. Outline Introdu¸c˜ao Motiva¸c˜oes Primeiros passos Primeiros resultados
Por que ´e interessante estudar neurociˆencia hoje?
Grande desenvolvimento e difus˜ao de novas t´ecnicas experimentais:
Interfaces c´erebro-m´aquina
9. Outline Introdu¸c˜ao Motiva¸c˜oes Primeiros passos Primeiros resultados
Por que ´e interessante estudar neurociˆencia hoje?
Neurociˆencia:“data-rich yet theory-poor”
10. Outline Introdu¸c˜ao Motiva¸c˜oes Primeiros passos Primeiros resultados
Por que ´e interessante estudar neurociˆencia hoje?
Neurociˆencia:“data-rich yet theory-poor”
Sistema nervoso/c´erebro: “More is different”
14. Outline Introdu¸c˜ao Motiva¸c˜oes Primeiros passos Primeiros resultados
Mecanismo neuronal b´asico
Onde est´a a informa¸c˜ao?
Neurˆonio: exemplo de threshold model (avalanche, comportamento
coletivo etc)
15. Outline Introdu¸c˜ao Motiva¸c˜oes Primeiros passos Primeiros resultados
Ru´ıdo neural
Principais fontes de flutua¸c˜oes na dinˆamica neural:
Abertura e fechamento de canais iˆonicos
Libera¸c˜ao de neurotransmissores pelas sinapses
Entradas sin´apticas provenientes do “ambiente” (∼ 104
jun¸c˜oes sin´apticas por neurˆonio)
16. Outline Introdu¸c˜ao Motiva¸c˜oes Primeiros passos Primeiros resultados
Abordagens te´oricas:
Qual escala?
1 neurˆonio
Hodgkin-Huxley (HH) model
Integrate-and-fire (leaky, estoc´astico)
Passive cable model
N neurˆonios
Intera¸c˜oes numa rede discreta finita
campos neurais
classe de modelos tipo Wilson-Cowan
17. Outline Introdu¸c˜ao Motiva¸c˜oes Primeiros passos Primeiros resultados
Modelos te´oricos:
Nonlinear stochastic integrate-and-fire model:
τ
dv(t)
dt
= g(v) + I(t) + σ
√
2τη(t)
Passive cable model:
τ
∂v(x, t)
∂t
= λ2 ∂2v(x, t)
∂x2
− v(x, t)
Wilson-Cowan based model:
1
α
∂u(x, t)
∂t
= −u(x, t) +
∞
−∞
w(y)f (u (x − y, t − d)) dy
18. Outline Introdu¸c˜ao Motiva¸c˜oes Primeiros passos Primeiros resultados
1 Introdu¸c˜ao
2 Motiva¸c˜oes
3 Primeiros passos
4 Primeiros resultados
19. Outline Introdu¸c˜ao Motiva¸c˜oes Primeiros passos Primeiros resultados
Analogia com a F´ısica Estat´ıstica
Sistemas na natureza = isolados
↓
Intera¸c˜ao com um meio
↓
Dissipa¸c˜ao e efeitos estoc´asticos
↓
Dinˆamica via eq. tipo Langevin
20. Outline Introdu¸c˜ao Motiva¸c˜oes Primeiros passos Primeiros resultados
Movimento Browniano
Eq. de Langevin para uma part´ıcula browniana de massa m:
dp
dt
= −
∂V
∂x
− ηp + R(t)
dx
dt
=
p
m
,
Propriedades do ru´ıdo branco ⇒ Teorema de flutua¸c˜ao-dissipa¸c˜ao
cl´assico
R(t) = 0 e R(t)R(t ) = 2kBTηδ(t − t )
21. Outline Introdu¸c˜ao Motiva¸c˜oes Primeiros passos Primeiros resultados
Modelos de intera¸c˜ao sistema-banho
Problema: deriva¸c˜oes mais real´ısticas → dissipa¸c˜ao
n˜ao-Markoviana (mem´oria e ru´ıdo colorido)
Exemplo 1:
22. Outline Introdu¸c˜ao Motiva¸c˜oes Primeiros passos Primeiros resultados
Modelos de intera¸c˜ao sistema-banho
Problema: deriva¸c˜oes mais real´ısticas → dissipa¸c˜ao
n˜ao-Markoviana (mem´oria e ru´ıdo colorido)
Exemplo 1:
Modelo de Caldeira-Leggett (1983) :
Sistema (q) em intera¸c˜ao com um banho (xα, α = 1, . . . , N) :
H =
p2
2
+ V (q) +
1
2
N
α=1
p2
α
mα
+ mαωα xα −
cα
mαω2
α
F(q)
2
Tomando a intera¸c˜ao sistema-banho como sendo linear (∼ qxα
⇒ F(q) = q e eliminando os graus de liberdade do banho:
23. Outline Introdu¸c˜ao Motiva¸c˜oes Primeiros passos Primeiros resultados
Modelos de intera¸c˜ao sistema-banho
¨q(t) +
t
0
dt Λ(t − t ) ˙q(t ) + V [q(t)] = ξ(t)
Λ(t − t ) = Θ(t − t )
1
M
N
α=1
c2
α
mαω2
α
cos(ωαt)
⇒ Equa¸c˜ao n˜ao-Markoviana (kernel n˜ao-local Λ(t − t ), possui
mem´oria da hist´oria passada) com ru´ıdo gaussiano e colorido:
ξ(t) ρ
(0)
B
= 0, ξ(t)ξ(t ) ρ
(0)
B
= kBTΛ(t − t )
24. Outline Introdu¸c˜ao Motiva¸c˜oes Primeiros passos Primeiros resultados
Modelos de intera¸c˜ao sistema-banho
Exemplo 2 1:
Cosmologia do universo primordial:
S[φ, χ, σ] = d4
x
1
2
(∂µφ)2
−
1
2
m2
φφ2
−
λ
4!
φ4
+
1
2
(∂µχ)2
−
1
2
m2
χχ2
+
1
2
(∂µσ)2
−
1
2
m2
σσ2
−
g2
2
φ2
χ2
− fχσ2
.
φ → campo cl´assico em cuja dinˆamica estamos interessados
χ → campo intermedi´ario que se acopla `a σ e φ
σ → campo em equil´ıbrio t´ermico `a temperatura T
1
Rep. Prog. Phys. 72,026901(2009)
25. Outline Introdu¸c˜ao Motiva¸c˜oes Primeiros passos Primeiros resultados
Modelos de intera¸c˜ao sistema-banho
Procedimento: integrar funcionalmente os campos χ e σ.
Situa¸c˜oes fora do equil´ıbrio → Formalismo de tempo real
Equa¸c˜ao de movimento efetiva (aproxima¸c˜ao homogˆenea):
d2φc(t)
dt2
+
dVeff(φc)
dφc
+ φc(t)
t
−∞
dt φc(t ) ˙φc(t )Kχ(t − t )
= φc (t) ξ (t) ,
onde
Veff(φc) =
1
2
m2
φφ2
c +
λ
4!
φ4
c
26. Outline Introdu¸c˜ao Motiva¸c˜oes Primeiros passos Primeiros resultados
Modelos de intera¸c˜ao sistema-banho
ξ(t)ξ(t ) = 2g4 d3q
(2π)3
1
4ω2
χ(q)
{2nχ [1 + nχ] +
+ [1 + 2nχ + 2n2
χ] cos 2ωχ|t − t | +
+ 2βΓχ(q)nχ[1 + nχ][1 + 2nχ] sin[2ωχ|t − t |] ×
× e−2Γχ(q)|t−t |
+ O g4
Γ2
χ
T2
≡ N(t, t ) .
27. Outline Introdu¸c˜ao Motiva¸c˜oes Primeiros passos Primeiros resultados
Modelos de intera¸c˜ao sistema-banho
Outras aplica¸c˜oes:
Colis˜ao de ´ıons-pesados, f´ısica hadrˆonica (Physics Reports 292,
3-4, (1998))
Problema de descoerˆencia em sistemas de dois n´ıveis (qubits) (Phys.
Rev. A 73, 012111 (2006), Phys. Rev. A 71, 022109 (2005))
Descri¸c˜ao de processos difusivos anˆomalos (Phys. Rev. Lett. 93,
180603 (2004), Phys. Rev. E 53, 5872-5881 (1996) )
etc
28. Outline Introdu¸c˜ao Motiva¸c˜oes Primeiros passos Primeiros resultados
Id´eia central 1:
Inserir nos modelos fenomenol´ogicos neurais efeitos de ru´ıdo
colorido em conjunto com um feedback distribu´ıdo (mem´oria),
o que parece ser a situa¸c˜ao f´ısica mais real´ıstica.
29. Outline Introdu¸c˜ao Motiva¸c˜oes Primeiros passos Primeiros resultados
Id´eia central 1:
Inserir nos modelos fenomenol´ogicos neurais efeitos de ru´ıdo
colorido em conjunto com um feedback distribu´ıdo (mem´oria),
o que parece ser a situa¸c˜ao f´ısica mais real´ıstica.
O que ´e esperado? Dado um conjunto de parˆametros que
caracteriza o sistema e o ambiente, a aproxima¸c˜ao markoviana
pode ou n˜ao ser satisfat´oria:
30. Outline Introdu¸c˜ao Motiva¸c˜oes Primeiros passos Primeiros resultados
Aproxima¸c˜ao markoviana
Equa¸c˜ao de movimento n˜ao-markoviana:
d2
dt2
φ(t) + V (φ) + φn
(t)
t
t0
dt K(t − t )φn
(t ) ˙φ(t )
= φn
(t)ξ(t) .
Aproxima¸c˜ao markoviana:
φn
(t)
t
t0
dt K(t − t )φn
(t ) ˙φ(t ) φ2n
(t) ˙φ(t)
t
t0→−∞
dt K(t − t )
→ Q φ2n
(t) ˙φ(t) .
Equa¸c˜ao de movimento markoviana:
¨φ(t) + Q φ2n
(t) ˙φ(t) + m2
φφ +
λ
6
φ3
= φn
(t) ξ(t)
31. Outline Introdu¸c˜ao Motiva¸c˜oes Primeiros passos Primeiros resultados
Tipos de ru´ıdo
KOU (t − t ) ≡ Kernel de Ornstein-Uhlenbeck: exponencial
pura
KH(t − t ) ≡ Kernel harmˆonico: exponencial multiplicando
termo oscilat´orio
32. Outline Introdu¸c˜ao Motiva¸c˜oes Primeiros passos Primeiros resultados
Tipos de ru´ıdo
KOU (t − t ) ≡ Kernel de Ornstein-Uhlenbeck: exponencial
pura
KH(t − t ) ≡ Kernel harmˆonico: exponencial multiplicando
termo oscilat´orio
KOU (t − t ) + KH(t − t )
33. Outline Introdu¸c˜ao Motiva¸c˜oes Primeiros passos Primeiros resultados
Tipos de ru´ıdo
KOU (t − t ) ≡ Kernel de Ornstein-Uhlenbeck: exponencial
pura
KH(t − t ) ≡ Kernel harmˆonico: exponencial multiplicando
termo oscilat´orio
KOU (t − t ) + KH(t − t )
Equa¸c˜ao de movimento mais geral:
¨φ(t) + V (φ) =
1
n=0 l
φn
(t) ξl(t) −
t
t0
dt Kl(t − t )φn
(t ) ˙φ(t ) .
Ru´ıdo colorido:
ξl(t)ξl(t ) = TKl(t − t ) ,
34. Outline Introdu¸c˜ao Motiva¸c˜oes Primeiros passos Primeiros resultados
Sistema local
Podemos mapear uma equa¸c˜ao n˜ao-markoviana
atrav´es de um sistema de equa¸c˜oes markovianas
38. Outline Introdu¸c˜ao Motiva¸c˜oes Primeiros passos Primeiros resultados
Compara¸c˜ao entre as dinˆamicas markoviana e
n˜ao-markoviana
Ex: Caso harmˆonico aditivo
Equa¸c˜ao de Movimento
¨φ(t) + m2
φφ +
λ
6
φ3
= ξH(t) −
t
0
dt KH(t − t ) ˙φ(t ) ,
correspondente sistema local
˙φ = y
˙y = −m2
φφ −
λ
6
φ3
+ ξH + wH+
˙wH+ = uH+ − 2γwH+ − KH(0)y
˙uH+ = −m2
wH+ + ˙KH(0)y − 2γKH(0)y
˙ξH = zH
˙zH = −2γzH − m2
ξH + m2
2TQζ .
39. Outline Introdu¸c˜ao Motiva¸c˜oes Primeiros passos Primeiros resultados
Caso harmˆonico aditivo: (a) γ = 0, 1, (b) γ = 0, 3 e (c) γ = 0, 5
40. Outline Introdu¸c˜ao Motiva¸c˜oes Primeiros passos Primeiros resultados
Id´eia central 2: Efeitos da n˜ao-linearidade
Como a discrepˆancia entre as dinˆamicas markoviana
e n˜ao-markoviana ´e afetada pela n˜ao-linearidade do
seu potencial?
41. Outline Introdu¸c˜ao Motiva¸c˜oes Primeiros passos Primeiros resultados
Id´eia central 2: Efeitos da n˜ao-linearidade
Como a discrepˆancia entre as dinˆamicas markoviana
e n˜ao-markoviana ´e afetada pela n˜ao-linearidade do
seu potencial?
V (φ) = m
φ2
2
+
λ
4
φ4
∆φ = φ non−Markovian − φ Markovian
Fixando η = 1.0, T = 1.0, Ω0 = 1.0, m2
= 1.0 e
γ = 0.5 (EDH case) ou γ = 5.0 (OU case).
42. Outline Introdu¸c˜ao Motiva¸c˜oes Primeiros passos Primeiros resultados
Efeitos da n˜ao-linearidade: caso harmˆonico
Figure: Painel esquerdo: ru´ıdo aditivo. Painel direito: ru´ıdo multiplicativo
43. Outline Introdu¸c˜ao Motiva¸c˜oes Primeiros passos Primeiros resultados
Efeitos da n˜ao-linearidade: caso OU
Figure: Painel esquerdo: ru´ıdo aditivo. Painel direito: ru´ıdo multiplicativo
44. Outline Introdu¸c˜ao Motiva¸c˜oes Primeiros passos Primeiros resultados
1 Introdu¸c˜ao
2 Motiva¸c˜oes
3 Primeiros passos
4 Primeiros resultados
45. Outline Introdu¸c˜ao Motiva¸c˜oes Primeiros passos Primeiros resultados
Modelo integra-e-dispara
Proposta de generaliza¸c˜ao:
λ¨v(t)−g(v(t)) = I(t)+
1
n=0 l
vn
(t) ξl(t) −
t
t0
dt Kl(t − t )vn
(t )˙v(t )
Principais motiva¸c˜oes decorrentes:
ressonˆancia estoc´astica
mecanismos de bifurca¸c˜ao
efeito de entradas sin´apticas em diferentes escalas de tempo
caracter´ısticas
46. Outline Introdu¸c˜ao Motiva¸c˜oes Primeiros passos Primeiros resultados
Passive Cable model
τ
∂v(x, t)
∂t
= λ2 ∂2v(x, t)
∂x2
− v(x, t)
Vers˜ao estoc´astica + efeitos de campos magn´eticos externos
(Transcranial magnetic stimulation - TMS)
mem´oria, ru´ıdo colorido?
efeitos de temperatura (modifica¸c˜ao da resistividade?)
ressonˆancia estoc´astica
47. Outline Introdu¸c˜ao Motiva¸c˜oes Primeiros passos Primeiros resultados
Wilson-Cowan model
1
α
∂u(x, t)
∂t
= −u(x, t) +
∞
−∞
w(y)f (u (x − y, t − d)) dy
Vers˜ao estoc´astica + efeitos de campos magn´eticos externos
(Transcranial magnetic stimulation - TMS)
Mem´oria temporal, ru´ıdo colorido?
Forma¸c˜ao de padr˜oes, transi¸c˜oes de fase etc
48. Outline Introdu¸c˜ao Motiva¸c˜oes Primeiros passos Primeiros resultados
1 Introdu¸c˜ao
2 Motiva¸c˜oes
3 Primeiros passos
4 Primeiros resultados
49. Outline Introdu¸c˜ao Motiva¸c˜oes Primeiros passos Primeiros resultados
Ressonˆancia estoc´astica em dinˆamica neural
(∼ 1980) - Amplifica¸c˜ao anˆomala de sinais de entrada atrav´es
de ru´ıdo: otimiza¸c˜ao da intensidade do ru´ıdo
(Nature,1993) - Observa¸c˜ao em sistemas biol´ogicos: c´elulas
mecanoreceptoras do lagostim (crayfish) → papel construtivo
do ru´ıdo nos processos neurais.
50. Outline Introdu¸c˜ao Motiva¸c˜oes Primeiros passos Primeiros resultados
Integra-e-dispara n˜ao-markoviano
Quest˜ao 1: mecanismo de ressonˆancia estoc´astica sobrevive a uma
formula¸c˜ao mais real´ıstica?
λ¨v(t) +
t
t0
dt KOU(t − t )˙v(t ) − g(v(t)) = I(t) + σ
√
2τξOU(t) ,
KOU(t − t ) = τe−τ(t−t )
˙ξOU = −τ ξOU −
√
2ση
52. Outline Introdu¸c˜ao Motiva¸c˜oes Primeiros passos Primeiros resultados
Integra-e-dispara n˜ao-markoviano
Intensidade do noise dependente do tempo: σ(t) = t/200