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Interpolacion actividad 4 larry gutierrez 7573674.pptx

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  • 1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER POPULAR PAFRA LA EDUCACION SUPERIOR UNIVERSIDAD FERMIN TORO ING DE MANTENIMIENTO MECANICO.ANÁLISIS NUMÉRICOUNIDAD IV TSU. LARRY J. GUTIERREZ CI: 7.573.674 FEBRERO 2013
  • 2. INTERPOLACIONEl problema de la interpolación consiste en estimar el valor de una función enun punto a partir de valores conocidos en puntos cercanos. Para obtener estaestimación se aproxima la función con polinomios ya que son fáciles de evaluary por el hecho fundamental de que dados n+1 puntos de abscisa distinta, (x0,y0), (x1, y1),..., (xn, yn), existe exactamente un polinomio Pn(x) de grado nosuperior a n, que pasa por dichos puntos, es decir Pn(xi) = yi para i = 0, …, n .Así, el problema de interpolación consiste en la obtención de un polinomio,llamado polinomio de interpolación, de grado menor o igual que n que pasa porn+1 puntos (xi,yi), i=0,1,...,n, también llamados nodos de interpolación.Plantearemos tres formulaciones diferentes para este problema que nos llevanal mismo polinomio interpolador:1) Planteando directamente las condiciones anteriores se obtiene un sistema deecuaciones lineales con solución única, pero generalmente mal condicionado ode difícil solución si el número de puntos es elevado.2) Los polinomios de Lagrange permiten obtener una expresión explícita delpolinomio de interpolación cuyo interés es más bien teórico, pues es difícil deevaluar en puntos concretos.3) Numéricamente es mucho más útil la forma de Newton del polinomio deinterpolación. Aunque no tiene expresión explícita, su obtención es más estableque por los métodos anteriores, su evaluación no presenta los inconvenientesde los polinomios de Lagrange, y sobre todo, se puede actualizar fácilmente sise añaden nuevos nodos de interpolación.Midiendo la temperatura ambiente a distintas horas del día hemos obtenido latabla de la diapositiva.Sea T=f(t) la función (desconocida) que da la temperatura ambiente en cadainstante t. Para estimar la temperatura en un instante t que no aparece en latabla, aproximaremos la función f mediante polinomios de interpolación. Estospolinomios se determinan exigiendo que coincidan con f en alguno de losvalores tabulados. Si exigimos que pase por dos puntos, obtenemos una recta,o sea un polinomio de grado 1. Si hacemos que pase por tres puntos, queda unpolinomio de grado 2, y así sucesivamente podemos ir añadiendo puntos eincrementando el grado.Por lo tanto, en la interpolación lineal o de grado 1, la función se sustituye porla recta que pasa por dos puntos. Tres datos se interpolan con un polinomio desegundo grado, gráficamente una parábola que pasa por esos tres puntos.
  • 3. Podríamos pensar que al aumentar el grado se obtiene mejor aproximación,pero esto es falso en general. La coincidencia del polinomio con muchos puntosde interpolación se consigue a costa de grandes oscilaciones en los intervalosentre nodos o puntos de interpolación dados.La aplicación clásica de la interpolación consiste en estimar los valores de unafunción tabulada en puntos que no figuran en la tabla.El modo más simple de estimar la temperatura a las 13 horas es tomar la mediaentre las temperaturas de las 12h y las 14h, que es de 19.5º. Para otrosinstantes en el mismo intervalo tomamos una media ponderada, ogeométricamente hablando, la ordenada de la recta que pasa por (12,18) y por(14,21). La ecuación general de la recta es P1(x) = a0 + a1x. Exigiendo quepase por los puntos (x0, y0) y (x1, y1) obtenemos un sistema de ecuacioneslinealesa0 + a1x0 = y0a0 + a1x1 = y1cuya solución da los coeficientes de la recta buscada.En nuestro ejemplo tenemos el sistemaa0 + 12a1 = 18a0 + 14a1 = 21cuya solución es a0 = 0 y a1 = 3/2.Tomando un polinomio de mayor grado, podemos imponer más condicionespara tener en cuenta la evolución de la temperatura alrededor del intervalo[12,14].El polinomio de grado dosP2(x) = a0 + a1x + a2x2que pasa por (x0, y0), (x1, y1) y (x2, y2) se determina análogamente resolviendoel sistema.a0 + a1x0 + a2x02 = y0a0 + a1x1 + a2x12 = y1a0 + a1x2 + a2x22 = y2
  • 4. En nuestro ejemplo, tomando los puntos (10,12), (12,18) y (14,21) queda unsistema cuya expresión matricial esLa matriz de este sistema se denomina matriz de Van der Monde. Esta matrizes regular (esto es con determinante no nulo) si los xi son todos distintos, peroes mal condicionada para tamaños relativamente pequeños, es decir variacionespequeñas en elementos de la matriz pueden producir grandes variaciones en lasolución. Esto hace desaconsejable la obtención del polinomio de interpolaciónpor este método. Además, la solución de un sistema lineal de orden n tienecoste cúbico O(n3), mientras que, como veremos enseguida, el polinomio deinterpolación puede obtenerse con O(n2) operaciones.El mal condicionamiento de la anterior matriz se debe, en parte, a lainadecuada elección de los polinomios elegidos como base para expresar P 2(x).Si, en lugar de 1, x, x2, desplazamos el origen, por ejemplo a x = x1 = 12, elmismo polinomio es ahora una combinación lineal de potencias de x-x1:P2(x) = b0 + b1(x-x1) + b2(x-x1)2La condición P2(x1) = y1 proporciona directamente el valor de b0 y queda unsistema de menor tamaño y mejor condicionado que el anterior. Esta mejora noes definitiva, pues la matriz del nuevo sistema es parecida a la de Van derMonde y para mayor grado reaparecerá el mal condicionamiento. En el ejemplo,el sistema queda con lo queP2(x) = 18 + 9/4(x 12) 3/8(x 12)2El proceso anterior, aplicado a un conjunto de n+1 puntos de abscisas distintas,(x0, y0), (x1, y1),..., (xn, yn), demuestra la existencia y unicidad del polinomio deinterpolación de grado n, Pn(x), que cumple las condiciones Pn(xi) = yi,i=0,1,2...,n. Expresando el polinomio buscado en forma normalPn(x) = a0 + a1x + a2x2 + ··· + anxne imponiendo las condiciones de interpolación se obtiene el sistema de ladiapositiva.Se demuestra que la matriz del sistema tiene determinante
  • 5. que sólo se anula si coinciden las abscisas de alguno de los nodos. Por tanto, sitodos los xi son distintos, el sistema es compatible determinado, o sea, tienesolución única. En consecuencia, tenemos el resultado siguiente:Dados n+1 puntos de abscisas distintas (x0, y0), (x1, y1),..., (xn, yn), existe unúnico polinomio de grado menor o igual que n, cumpliendo lascondiciones de interpolaciónPn(xi) = yi, i=0,1,2...,n.Este resultado tiene gran importancia teórica al resolver de forma única elproblema de interpolación polinómica. Sin embargo, el método empleado en sudeducción no resulta aplicable en la práctica, pues ya hemos visto que elsistema construido es mal condicionado.La obtención del polinomio de interpolación en forma normal requiere laresolución de un sistema de ecuaciones lineales, cuyo coste aritmético es alto ydepende del el número n de nodos. Para reducir el coste podemos tomar unabase del espacio de polinomios más adecuada, en la que sea más cómodoimponer las condiciones de interpolación. Esta base, formada por polinomiosLin(x), i=0,...,n, dependientes de las abscisas x0, x1, ..., xn, de los nodosconsiderados, nos proporcionará el polinomio de interpolación sin hacer ni unsolo cálculo.Sea Lin(x) un polinomio de grado n, que se anule en todos los puntos x j, j = 0,1, ..., n, salvo en el i-ésimo, donde vale 1; es decir, tal queLi(xj) = 0 si j i y Li(xi) = 1La existencia de este polinomio se deriva del resultado anterior, pero puedeobtenerse directamente, sin necesidad de resolver un sistema, gracias a lasiguiente fórmula debida a Lagrange ( x xo )  ( x xi 1 )( x xi 1 )  ( x xn ) Lin ( x) ( xi xo )  ( xi xi 1 )( xi xi 1 )  ( xi xn )Es inmediato comprobar entonces que el polinomioPn(x) = y0 L0(x) + y1 L1(x) + y2 L2(x) + ··· + yn Ln(x)cumple las condiciones Pn(xi) = yi, i=0,1,2...,n., lo que prueba directamente laexistencia del polinomio de interpolación. La unicidad se puede garantizarutilizando el hecho de que un polinomio de grado n puede tener a lo sumo nraíces. Si dos polinomios de grado n interpolan n+1 puntos, su diferencia se
  • 6. anula en dichos puntos, por lo que sólo puede ser el polinomio idénticamentenulo.Combinando las dos últimas fórmulas, obtenemos una expresión explícita delpolinomio de interpolación. El polinomio P2(x) del ejemplo tiene, segúnLagrange, la siguiente expresión: ( x 12 )( x 14 ) ( x 10 )( x 14 ) ( x 10 )( x 12 ) P2 ( x) 12 18 21 (10 12 )(10 14 ) (12 10 )(12 14 ) (14 10 )(14 12 )Las operaciones que nos hemos ahorrado en su determinación, hemos depagarlas al evaluar el polinomio en un punto concreto (del orden de n 2operaciones por cada evaluación). Además, los productos a efectuar puedencausar overflow y la fórmula no es estable numéricamente. Cambiaremos lospolinomios de Lagrange Lin(x) por otra base que nos proporcione mejorespropiedades numéricas, a costa de perder la expresión explícita cómoda delpolinomio de interpolación.La forma natural del polinomio de interpolación o forma normal era difícil deobtener y fácil de evaluar en un punto dado. Por el contrario, la obtención de laforma de Lagrange era directa, mientras su evaluación resultaba costosa.¿Existe una solución que evite ambos problemas? La respuesta afirmativa nos laproporciona el método de Newton que exponemos a continuación.Mediante la técnica de desplazamiento del origen, consideramos como base lospolinomios 1, x-x0, (x-x0)(x-x1), ..., (x-x0)(x-x1) (x-xn-1). El polinomio deinterpolación correspondiente tendrá ahora la expresiónPn(x) = c0 + c1(x-x0) + c2(x-x0)(x-x1) + + cn(x-x0)(x-x1) (x-xn-1)Imponiendo las condiciones de interpolación, podemos determinar loscoeficientes de este polinomio.Pn(x0) = y0 = c0Pn(x1) = y1 = c0+ c1(x1-x0)Pn(x2) = y2 = c0+ c1(x2-x0) + c2(x2-x0)(x2-x1)Pn(xn) = yn = c0+ c1(xn-x0) + c2(xn-x0)(xn-x1) + + cn(xn-x0)(xn-x1) (xn-xn-1)El sistema lineal obtenido tiene una matriz análoga a la de Van der Monde, perocon la ventaja de ser triangular inferior. Los coeficientes pueden determinarsecon menos operaciones. Otra similitud con la matriz de Van der Monde, es que
  • 7. el elemento (i,j) es el valor del j-ésimo polinomio de la base en el (i-1)-ésimopunto de interpolación.En nuestro ejemplo, para estimar la temperatura a las 13 h. mediante unpolinomio de grado 3, tomamos los 4 puntos más próximos, que son (12,18),(14,21), (10,12) y (16,19). Imponiendo al polinomio que pase por estos puntos,queda el sistemaP3(12) = 18 = c0P3(14) = 21 = c0+ 2c1P3(10) = 12 = c0- 2c1 + 8c2P3(16) = 19 = c0+ 4c1 + 8c2 + 48c3Resolviendo este sencillo sistema triangular obtenemos los coeficientes delpolinomio buscado. La ecuación del polinomio de grado 3 de la tabla anterior esUna importante consecuencia de la forma de los polinomios de la baseconsiderada es que la adición de nuevos puntos no afecta a los coeficientespreviamente calculados. De este modo, podemos ir añadiendo puntos uno auno y obtener polinomios de interpolación de grado creciente sin tener querecalcular los anteriores. En general, cada polinomio se obtiene del anteriormediantePi(x) = Pi 1(x) + ci(x-x0)(x-x1) (x-xi 1)La resolución del sistema triangular anterior por eliminación de Gauss puedepresentar problemas de desbordamiento numérico, como en la evaluación delos polinomios de Lagrange. Reinterpretaremos el sistema para evitar esteproblema, obteniendo un algoritmo numéricamente estable con un coste similar(del orden de n2).Denotemos por f[x0, x1, ..., xk] el coeficiente de xk en el polinomio deinterpolación de grado k. Por la forma de los polinomios de Newton, tenemosque f[x0, x1, ..., xk] = ckDe la primera ecuación del sistema se obtiene c0 = f[x0] = y0 y1 c0 f [ x1 ] f [ x0 ]y de la segunda c1 f [ x0 , x1 ] x1 x0 x1 x0Esta expresión se denomina cociente de diferencias o diferencias divididas deprimer orden y proporciona el valor de c1 en función de los puntos deinterpolación.
  • 8. Los restantes coeficientes del polinomio de interpolación se obtienenanálogamente a partir de diferencias divididas de mayor orden.Así, por ejemplo, c2 viene dado por el cociente en diferencias de orden 2. c2 f [ x1 , x2 ] f [ x0 , x1 ] f [ x0 , x1 , x2 ] x2 x0Diferencias divididas de orden superior nos proporcionarán de modo análogolos coeficientes de polinomios de mayor grado. En general, el coeficiente ckviene dado por una diferencia dividida de orden k f [ x1 , x2 , , xk ] f [ x0 , x1 , , xk 1 ] ck f [ x0 , x1 , , xk ] xk x0Esta expresión muestra que las diferencias divididas de orden k dependen dediferencias divididas de primer orden k-1. (En el caso k =1 consideramos f[xi] =yi como una diferencia de orden 0). Estas dependencias determinarán el ordende las operaciones en el algoritmo de cálculo de los polinomios de interpolación.En la práctica, los cálculos se disponen en una tabla de diferencias divididas,colocando en la primera columna los valores de la función o diferenciasdivididas de orden 0, en la segunda columna las diferencias divididas de primerorden, en la tercera columna las de orden 2, y así sucesivamente.La tabla queda de la forma siguiente: y0 f [ x0 ] y1 f [ x1 ] f [ x0 , x1 ] y2 f [ x2 ] f [ x1 , x2 ] f [ x0 , x1 , x2 ] y3 f [ x3 ] f [ x2 , x3 ] f [ x1 , x2 , x3 ] f [ x0 , x1 , x2 , x3 ]    En la diagonal de la tabla aparecen los coeficientes c0, c1, c2, ..., de lospolinomios de interpolación.Una vez obtenidos estos coeficientes, nos preguntamos cómo evaluar lospolinomios de interpolación en un punto dado x = a. La forma más eficientedesde el punto de vista numérico es mediante la expresión anidada o regla dehorner del polinomio:Pn(x) = c0+ c1(x-x0) + c2(x-x0)(x-x1) + + cn(x-x0)(x-x1) (x-xn-1) == ( ((cn(x-x n-1) + cn-1)(x-x n-2) + cn-2)(x-x n-3) + + c1)(x-x0) + c0Las operaciones se efectúan teniendo en cuenta la precedencia establecidamediante los paréntesis, o sea, comenzando con los más interiores.
  • 9. Supongamos que interpolamos una función conocida f a partir de sus valores enunos puntos dados, x0, x1, ..., xn. El error cometido al evaluar f(x) mediante elpolinomio de interpolación de grado n, Pn(x) viene dado por f ( n 1) ( ) f ( x) Pn ( x) ( x x0 )( x x1 )  ( x xn ) (n 1)!donde está en el menor intervalo que contiene x0, x1, ..., xn. Unaconsecuencia práctica de la forma del error es que hemos de tomar puntospróximos al punto x en que hemos de evaluar el polinomio. Normalmente,comenzamos con un polinomio de grado bajo, por ejemplo, la recta que pasepor los dos puntos más próximos a x, y vamos añadiendo puntos por orden deproximidad y calculando polinomios de mayor grado, hasta alcanzar la precisióndeseada.La derivada que aparece en la expresión anterior puede aproximarse a su vezpor un cociente en diferencias, pues se tiene que f ( n 1) ( ) f [ x0 , x1 ,  , xn , xn 1 ] (n 1)!para cierto en el menor intervalo que contiene a x0, x1, ..., xn+1.Esta expresión sugiere una regla práctica para decidir qué polinomio interpolamejor n+1 puntos . Si en la tabla de diferencias divididas, los valores de lacolumna k, por ejemplo, son aproximadamente iguales y los de la columna k+1son aproximadamente cero, el polinomio interpolador más adecuado es degrado k. La razón es que el error viene dado por diferencias divididas de lacolumna siguiente, k+1, que suponemos casi nulas.Los productos que aparecen en la fórmula del error nos indican que éste puedeser muy grande si hay muchos puntos o si x no está muy próximo a ellos.Cuando x no está en el menor intervalo determinado por x0, x1, ..., xn, estamosextrapolando, en lugar de interpolando.La interpolación polinómica aquí estudiada no debe utilizarse para datos conerror de medida. En efecto, si tomo n+1 puntos alineados, el polinomio deinterpolación es, en teoría, una recta, pero basta una pequeña desviación enuno de los puntos, para que el resultado sea un polinomio de grado n. Si loserrores de medida son inevitables debemos recurrir al método de mínimoscuadrados, que analizaremos en una práctica próxima.Cuando una función tiene características muy diferentes a los polinomios, lainterpolación polinómica puede resultar inadecuada. En este caso, como hemosvisto con el ejemplo de Runge, el aumento del grado empeora el resultado envez de mejorarlo.
  • 10. Una alternativa puede ser interpolar mediante funciones de otro tipo. En lugarde polinomios, podemos considerar funciones racionales, por ejemplo.La práctica siguiente explora otra alternativa que consiste en interpolarmediante funciones definidas por intervalos. En cada intervalo, la funcióninterpolante es un polinomio de grado bajo, normalmente de 1 a 3. Estasfunciones se denominan splines y el método, interpolación segmentaria.CONCLUSION. El polinomio de interpolación suele usarse para estimar valores de una función tabulada, en las abscisas que no aparecen en la tabla. El aumento de grado no siempre mejora la aproximación. El polinomio es muy sensible a los errores de los datos.

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