[Robson] 1. Programação Linear

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[Robson] 1. Programação Linear

  1. 1. Defini¸˜o ca Programa¸˜o Linear ca Geraldo Robson MateusDepartamento de Ciˆncia da Computa¸˜o e ca UFMG 26 de abril de 2009
  2. 2. Defini¸˜o caPrograma¸˜o Matem´tica ca a Programa¸˜o Linear ca Programa¸˜o Inteira ca Otimiza¸˜o em Redes ca Programa¸˜o Dinˆmica ca a Programa¸˜o N˜o Linear ca a Programa¸˜o Linear X N˜o Linear ca a
  3. 3. Defini¸˜o caM´todos Num´ricos X M´todos Anal´ e e e ıticos M´todos Num´ricos e e M´todos Anal´ e ıticos Iterativos C´lculo diferencial a Solu¸˜o inicial ca Erros num´ricos e Convergˆncia e
  4. 4. Defini¸˜o caModelo Geralmin f (x) → Fun¸˜o objetivo ca gi (x) ≤≥ bi , i = 1, . . . , m → Restri¸˜es cox → vetor de vari´veis de decis˜o a a Conjunto de solu¸˜es vi´veis co a S = {x | gi (x) ≤≥ bi , i = 1, · · · , m} Solu¸˜o ´tima ca o x∗ S | f (x) seja m´ ınima
  5. 5. Defini¸˜o caModelo LinearN˜o Linear a Irrestrito Restrito Programa¸˜o Quadr´tica ca a Programa¸˜o Geom´trica ca e Programa¸˜o Estoc´stica ca a
  6. 6. Defini¸˜o caNota¸˜o e Terminologia ca   x1 Vetor x =  .   .  . xn Transposi¸˜o: T ca n Produto escalar de dois vetores: xT .y = xi yi i=1
  7. 7. Defini¸˜o caNota¸˜o e Terminologia ca   a11 · · · a1n  . .. .  Matriz AmXn = .. . .  . am1 · · · amn Retangular → m = n Quadrada → m = n Diagonal Identidade Definida Positiva (Semidefinida) n Para todo x temos x T .A.x > 0 (x T .A.x ≥ 0) Definida Negativa (Semidefinida) n Para todo x temos x T .A.x < 0 (x T .A.x ≤ 0)
  8. 8. Defini¸˜o caExemploSeja a matriz   −2 1 1 A= 1 0 0  1 1 1det A1 = det [-2] = -2 ≤ 0 −2 1det A2 = det = 0 - 1 = -1 ≤ 0 1 0   −2 1 1det A3 = det  1 0 0  = 0 1 1 1 A ´ indefinida e
  9. 9. Defini¸˜o caM´todos Iterativos e
  10. 10. Defini¸˜o caDefini¸oes c˜M´ ınino Localx ∗ S ´ um m´ e ınimo local de f sobre S se existe um ∂ > 0 tal quef (x) ≥ f (x ∗ ) para todo x S, tal que |x − x ∗ | < ∂M´ ınino GlobalUm ponto x ∗ S ´ um m´ e ınimo global de f sobre S se f (x) ≥ f (x ∗ ) paratodo x S, x = x ∗Dire¸˜o Vi´vel ca aDado um ponto x ∗ S, o vetor h ´ uma dire¸˜o vi´vel em x se existe e ca aλ > 0, tal que (x + λh ) S para todo 0 ≤ λ ≤ λ
  11. 11. Defini¸˜o caDefini¸oes c˜ Curvas de n´ ıveis Conjuntos C 1 e C 2 Vetor gradiente → f(x) Matriz hessiana → H(x) S´rie de Taylor e
  12. 12. Defini¸˜o caCurvas de N´ ıveis
  13. 13. Defini¸˜o caCurvas de N´ ıveis
  14. 14. Defini¸˜o caCurvas de N´ ıveis
  15. 15. Defini¸˜o caGradiente
  16. 16. Defini¸˜o caGradiente e Hessiana T ∂f ∂f ∂f f (x) = ∂x1 , ∂x2 , . . . , ∂xn ,f C1 ∂2f ∂2f 2 f (x) ∂x1 2 ... ∂x1 ∂xnH(x) = = ∂2f ∂2f ,f C2 ∂xn ∂x1 ... ∂xm2 2 2 2f (x) = b11 x1 + b22 x2 + b12 x1 x2 + b21 x2 x1 + b1 x1 + b2 x2 +b0 Escalation Rotation Translation
  17. 17. Defini¸˜o caS´rie de Taylor eAproxima uma fun¸˜o f (x) na vizinhan¸a de x k ca cf (x) = f (x k ) + (x − x k )T . f (x k ) + 1 (x − x k )T .H(x k )(x − x k ) + . . . 2 · · · + θ((x − x k )2 )
  18. 18. Defini¸˜o caConvexidadeLinhaSeja x 1 , x 2 n . A linha atrav´s de x 1 e x 2 ´ definida por: e e{x|x = (1 − λ)x 1 + λx 2 , λ }Segmento i) Fechado: [x 1 , x 2 ] = {x|x = (1 − λ)x 1 + λx 2 , 0 ≤ λ ≤ 1} ii) Aberto: (x 1 , x 2 ) = {x|x = (1 − λ)x 1 + λx 2 , 0 < λ < 1}Conjunto ConvexoUm conjunto S ⊂ n ´ convexo se o segmento de linha fechado que une equaisquer dois pontos de S est´ em S, ou, a∀ x 1 , x 2 S, λ , 0 ≤ λ ≤ 1 → (1 − λ)x 1 + λx 2 S
  19. 19. Defini¸˜o caFun¸oes Convexas c˜Fun¸˜o Convexa (Estritamente Convexa) caf (x) ´ convexa sobre o conjunto convexo S se para quaisquer dois pontos ex S ey S f (λx + (1 − λ)y ) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y ), 0 ≤ λ ≤ 1 f (λx + (1 − λ)y ) < λf (x) + (1 − λ)f (y ), 0 < λ < 1, x = yFun¸˜o Cˆncova (Estritamente Cˆncova) ca o o
  20. 20. Defini¸˜o caPropriedades de fun¸˜es convexas co 1 Se f1 e f2 s˜o fun¸˜es convexas sobre o conjunto convexo S ent˜o a co a f1 + f2 ´ convexa sobre S; e 2 Se f ´ convexa sobre o conjunto convexo S ent˜o af ´ convexa para e a e qualquer a > 0; 3 Seja f uma fun¸˜o convexa sobre um conjunto convexo S. O conjunto ca C = {x|x S, f (x) ≤ c} ´ convexo para todo real c. O conjunto dos e pontos x|f1 (x) ≤ c1 , f2 (x) ≤ c2 , . . . , fn (x) ≤ cn , onde fi (x) ´ convexa, e define um conjunto convexo;
  21. 21. Defini¸˜o caPropriedades de fun¸˜es convexas co 4 Se fi , i I , ´ uma fam´ de fun¸˜es convexas e limitadas e ılia co superiormente num conjunto convexo A ⊂ n , ent˜o a fun¸˜o a ca f (x) = sup(i I) fi (x) ´ uma fun¸˜o convexa em A. e ca
  22. 22. Defini¸˜o caTeoremas de fun¸oes convexas c˜Teorema 1Seja f C 1 . f ´ convexa sobre um conjunto convexo S se e s´ se e o T f (y ) ≥ f (x) + f (x).(y − x)para todo x, y S
  23. 23. Defini¸˜o caTeoremas de fun¸oes convexas c˜Teorema 2Seja f C 2 . f ´ estritamente convexa (convexa) sobre um conjunto econvexo S se e s´ se a matriz hessiana, H(x), de f ´ definida positiva o e(semidefinida positiva) para todo x S.
  24. 24. Defini¸˜o caFun¸˜o Unimodal caUma fun¸˜o f de uma vari´vel x no intervalo [a, b] ´ unimodal se existe ca a ex1 , x2 [a, b] tal que: i) f ´ estritamente decrescente em x < x1 , e ii) f ´ estritamente crescente em x > x2 , eiii) f ´ constrante em x e [x1 , x2 ]
  25. 25. Defini¸˜o caMinimiza¸˜o - Convexidade caTeoremaSeja f C 2 , f ´ estritamente convexa (convexa) sobre um conjunto econvexo S se s´ se a matriz hessiana, H(x), de f ´ definida positiva o e(semidefinida positiva) para todo x S.Teorema 5Seja f uma fun¸˜o convexa definida sobre um conjunto convexo S. Ent˜o ca ao conjunto R de pontos, onde f atinge seu m´ ınimo, ´ convexo e qualquer em´ınimo local de f ´ um m´ e ınimo global.Teorema 6Seja a fun¸˜o f ca C 1 convexa sobre o conjunto convexo S. Se existe umponto x ∗ S tal que para todo y S, f (x ∗ )T (y − x ∗ ) ≥ 0 ent˜o x ∗ ´ a eum ponto de m´ ınimo global de f sobre S.
  26. 26. Defini¸˜o caSolu¸˜o Gr´fica ca a
  27. 27. Defini¸˜o caSolu¸˜o Gr´fica ca a
  28. 28. Defini¸˜o caSolu¸˜o Gr´fica ca a
  29. 29. Defini¸˜o caSolu¸˜o Gr´fica ca a
  30. 30. Defini¸˜o caSolu¸˜o Gr´fica ca a
  31. 31. Defini¸˜o caSolu¸˜o Gr´fica ca a
  32. 32. Defini¸˜o caSolu¸˜o Gr´fica ca a

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