An´lise de Sensibilidade      a       Alexandre Salles da Cunha         DCC-UFMG, Abril 2010Alexandre Salles da Cunha   An...
Par primal-dual      min        c ′x                                                       max                p ′b        ...
Adi¸˜o de uma nova vari´vel   ca                  aVamos supor que uma nova vari´vel xn+1 com custo cn+1 e coluna         ...
Adi¸˜o de nova vari´vel - exemplo   ca              aProblema Original                               cuja solu¸˜o ´tima ´ ...
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Adi¸˜o de uma restri¸˜o - desigualdade   ca               ca                         ′    Vamos assumir que am+1 x ≥ bm+1 ...
Introdu¸˜o de uma desigualdade - exemplo       caIntroduzindo a restri¸˜o x1 + x2 ≥ 5 no PL do exemplo anterior:          ...
Introdu¸˜o de uma desigualdade - exemplo       caQuadro dual vi´vel, de partida para o Dual Simplex              a        ...
Introdu¸˜o de restri¸˜o de igualdade       ca           ca                    ca ′Adicionamos a restri¸˜o am+1 x = bm+1 , ...
Introdu¸˜o de restri¸˜o de igualdade       ca           caAssumimos que am+1 x ∗ > bm+1 e M suficientemente grande e       ...
Modifica¸˜es no vetor de fatores b       coDesejamos avaliar as modifica¸˜es implicadas por alterar b para b + δei :        ...
Modifica¸˜es no vetor de fatores b - exemplo       co                                                    ´Vamos considerar ...
Modifica¸˜es no vetor de custos c       coVamos considerar as implica¸˜es decorrentes de modificar cj para cj + δ, o        ...
Modifica¸˜es no custo de uma vari´vel b´sica       co                       a     a   Vamos considerar as implica¸˜es decor...
Exemplo - modifica¸˜es nos custos                 coPara o exemplo anterior:                                               ...
Mudan¸as no vetor tecnol´gico Aj     c                  oCaso 1: j ´ uma vari´vel n˜o b´sica:          e         a     a a...
Mudan¸as no vetor tecnol´gico Aj     c                  oCaso 2: j ´ uma vari´vel b´sica:          e         a     a    A ...
Dependˆncia da otimalidade em fun¸˜o de b      e                          ca   Reescrevendo a regi˜o de viabilidade primal...
Dependˆncia da otimalidade em fun¸˜o de b      e                          ca   Vamos assumir que o espa¸o dual p ′ A ≤ c ′...
Dependˆncia da otimalidade em fun¸˜o de b      e                          ca    Sendo n˜o denenerada, podemos modificar b ∗...
Estrutura de F (b)TeoremaO custo ´timo F (b) ´ uma fun¸˜o convexa de b no conjunto S.        o           e        caProva ...
Elaborando melhor o Teorema anteriorVamos elaborar o Teorema, avaliando agora o dual abaixo, que assumimosser vi´vel:     ...
Interpretando F (b) = maxi=1,...,N (p i )′b, b ∈ S    F ´ dado pelo m´ximo de uma cole¸˜o finita de fun¸˜es lineares.      ...
Sobre a diferenciabilidade de F (b) em rela¸˜o a b                                           ca    Para alguns valores de ...
Comportamento de F (b)   Vamos avaliar o comportamento de F (b) quando um determinado   tipo de modifica c˜o ocorre em b ∗ ...
O conjunto de solu¸˜es duais ´timas                  co         oDefini¸˜o - subgradiente     caSeja F uma fun¸˜o convexa d...
Subgradientes de F (b)    Quando b ∗ ´ um ponto para o qual (p i )′ b ∗ = (p j )′ b ∗ , isto ´ b ∗ define               e  ...
O conjunto de solu¸˜es duais ´timas                  co         oTeoremaAssuma que o problema min c ′ x, x ∈ P(b ∗ ) assum...
O conjunto de solu¸˜es duais ´timas                  co         oProva: ←   Hip´tese: F (b ∗ ) + p ′ (b − b ∗ ) ≤ F (b) (p...
Avalia¸˜o da otimalidade em fun¸˜o de c      ca                       ca   Vamos desenvolver racioc´ an´logo para a depend...
Avalia¸˜o da otimalidade em fun¸˜o de c      ca                       ca   Tomando c ∈ T (dual invi´vel), o problema prima...
Avalia¸˜o da otimalidade em fun¸˜o de c      ca                       ca   Se para um valor c ∗ o programa primal admite u...
Em s´    ınteseTeorema 1   O conjunto T de todos os valores de c para os quais o custo ´timo ´                            ...
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[Robson] 5. Análise de Sensibilidade

  1. 1. An´lise de Sensibilidade a Alexandre Salles da Cunha DCC-UFMG, Abril 2010Alexandre Salles da Cunha An´lise de Sensibilidade a
  2. 2. Par primal-dual min c ′x max p ′b Ax = b p′A ≤ c ′ x ≥0An´lise de sensibilidade envolver´ avaliar o impacto nas solu¸˜es ´timas a a co ox ∗ , p ∗ do par primal-dual quando houver: Adi¸˜o, remo¸˜o de uma nova vari´vel. ca ca a Adi¸˜o de uma restri¸˜o de desigualdade e igualdade. ca ca Modifica¸˜es nos vetores b, c. co Modifica¸˜es em colunas b´sicas e n˜o b´sicas Aj . co a a aA id´ia da an´lise de sensibilidade consiste em tentar restaurar a e aotimalidade diante das perturba¸˜es acima, sem resolver o PL ”do zero”. co Alexandre Salles da Cunha An´lise de Sensibilidade a
  3. 3. Adi¸˜o de uma nova vari´vel ca aVamos supor que uma nova vari´vel xn+1 com custo cn+1 e coluna atecnol´gica An+1 seja inserida no PL. o Claramente dispor de uma nova vari´vel n˜o altera a viabilidade da a a solu¸˜o b´sica corrente. Em particular, (x ∗ , 0) ´ uma solu¸˜o b´sica ca a e ca a vi´vel para o novo programa linear. a Assim sendo, a solu¸˜o x ∗ continuar´ b´sica ´tima se a restri¸˜o dual ca a a o ca associada ` nova vari´vel for satisfeita pela base B associada a x ∗ . a aCondi¸˜o a verificar caDiante da introdu¸˜o de xn+1 x ∗ permanece ´tima se ca oc n+1 = cn+1 − cB B −1 An+1 ≥ 0. Caso c n+1 < 0, continuamos o m´todo Simplex tendo como base e inicial avan¸ada a base ´tima do programa anterior. c o Alexandre Salles da Cunha An´lise de Sensibilidade a
  4. 4. Adi¸˜o de nova vari´vel - exemplo ca aProblema Original cuja solu¸˜o ´tima ´ (2, 2, 0, 0) e o ca o e quadro ´timo ´: o emin −5x1 − x2 + 12x3 x1 x2 x3 x4 3x1 + 2x2 + x3 = 10 w= 12 0 0 2 7 5x1 + 3x2 + x4 = 16 x1 = 2 1 0 -3 2 x2 = 2 0 1 5 -3 x1 . . . x4 ≥ 0Introduzindo a vari´vel x5 com custo c5 = −1 e A5 = (1 1)′ , e notando a −1 ´ dada pelas duas ultimas colunas no Tableauque neste caso B e ´anterior, temos o novo quadro: x1 x2 x3 x4 x5 w= 12 0 0 2 7 -4 x1 = 2 1 0 -3 2 -1 x2 = 2 0 1 5 -3 2 Alexandre Salles da Cunha An´lise de Sensibilidade a
  5. 5. Adi¸˜o de nova vari´vel - exemplo ca aFazendo o pivoteamento correspondente a entrada de x5 e sa´ de x2 , ıdatemos:Quadro original x1 x2 x3 x4 x5 w= 12 0 0 2 7 -4 x1 = 2 1 0 -3 2 -1 x2 = 2 0 1 5 -3 2Quadro ´timo resultante o x1 x2 x3 x4 x5 w= 16 0 2 12 1 0 x1 = 3 1 0.5 -0.5 0.5 0 x5 = 1 0 0.5 2.5 -1.5 1 Alexandre Salles da Cunha An´lise de Sensibilidade a
  6. 6. Adi¸˜o de uma restri¸˜o - desigualdade ca ca ′ Vamos assumir que am+1 x ≥ bm+1 seja inserida no PL. Introduzimos uma vari´vel de folga xn+1 , reescrevemos a restri¸˜o a ca ′ am+1 x − xn+1 = bm+1 para obter um problema novamente na forma padr˜o, definido pelo poliedro P = {x ∈ Rn+1 : Ax = b} onde: a + A 0 b A= ′ ,b = am+1 −1 bm+1 Se B denota a base ´tima do programa anterior, a base associada ao o B 0 novo programa, B ´ dada por B = e , onde a′ ´ o vetor de e a′ −1 m entradas de am+1 correspondente aos ´ ındices das colunas b´sicas a −1 B −1 0 que definem B. N˜o ´ dif´ verificar que B = a e ıcil a′ B −1 −1 O novo vetor de custos reduzidos ´ dado por e ′ 0 − c′ B −1 0 A 0 c= c B 0 = a′ B −1 −1 ′ am+1 −1 −1 (c ′ − cB B −1 A) 0 ′ ≥ 0, logo B ´ dual vi´vel. e a Alexandre Salles da Cunha An´lise de Sensibilidade a
  7. 7. Introdu¸˜o de uma desigualdade - exemplo caIntroduzindo a restri¸˜o x1 + x2 ≥ 5 no PL do exemplo anterior: caProblema Original Quadro ´timo: omin −5x1 − x2 + 12x3 x1 x2 x3 x4 w= 12 0 0 2 7 3x1 + 2x2 + x3 = 10 x1 = 2 1 0 -3 2 5x1 + 3x2 + x4 = 16 x2 = 2 0 1 5 -3 x1 . . . x4 ≥ 0Quadro dual vi´vel, de partida para o Dual Simplex a x1 x2 x3 x4 x5 w= 12 0 0 2 7 0 x1 = 2 1 0 -3 2 0 x2 = 2 0 1 5 -3 0 x5 = -1 0 0 2 -1 1 Alexandre Salles da Cunha An´lise de Sensibilidade a
  8. 8. Introdu¸˜o de uma desigualdade - exemplo caQuadro dual vi´vel, de partida para o Dual Simplex a x1 x2 x3 x4 x5 w= 12 0 0 2 7 0 x1 = 2 1 0 -3 2 0 x2 = 2 0 1 5 -3 0 x5 = -1 0 0 2 -1 1Sai da base: x5 , entra na base: x4Quadro final resultante x1 x2 x3 x4 x5 w= 5 0 0 16 0 0 x1 = 0 1 0 1 0 0 x2 = 8 0 1 -15 0 0 x4 = 1 0 0 -2 1 -1 Alexandre Salles da Cunha An´lise de Sensibilidade a
  9. 9. Introdu¸˜o de restri¸˜o de igualdade ca ca ca ′Adicionamos a restri¸˜o am+1 x = bm+1 , violada pela solu¸˜o ´tima do PL ca oanterior.Novo dual max p ′ b + pm+1 bm+1 p ′ A + pm+1 am+1 ≤ c ′ Se p ∗ denota a solu¸˜o b´sica ´tima do dual anterior, (p ∗ , 0) ´ uma ca a o e solu¸˜o vi´vel para o novo dual. ca a Sendo p ∗ b´sica, temos que m das restri¸˜es duais p ′ A ≤ c ′ s˜o a co a linearmente independentes e ativas. Entretanto, para o novo ponto dual (p ∗ , 0), n˜o temos a garantia de a ′A + p ′ que m + 1 restri¸˜es duais li dentre p co m+1 am+1 ≤ c ser˜o a justas. Assim sendo, n˜o podemos garantir que (p a ∗ , 0) ´ uma solu¸˜o e ca b´sica para o novo poliedro dual. a Alexandre Salles da Cunha An´lise de Sensibilidade a
  10. 10. Introdu¸˜o de restri¸˜o de igualdade ca caAssumimos que am+1 x ∗ > bm+1 e M suficientemente grande e ′introduzimos o PL auxiliar: min c ′ + Mxn+1 Ax = b ′ am+1 x − xn+1 = bm+1 x ≥ 0, xn+1 ≥ 0 Uma base inicial vi´vel para o PL acima ´ obtida usando-se as a e colunas b´sicas que definiem x ∗ e a coluna associada a xn+1 . A a B 0 matriz b´sica resultante B = a ´ vi´vel para o PL auxiliar. e a a′ −1 Por este motivo, reotimizamos com o Simplex Primal aplicado partindo da base vi´vel B. a Se na solu¸˜o do PL otimizado, M for suficientemente grande e o ca programa for vi´vel, teremos xn+1 = 0. a Alexandre Salles da Cunha An´lise de Sensibilidade a
  11. 11. Modifica¸˜es no vetor de fatores b coDesejamos avaliar as modifica¸˜es implicadas por alterar b para b + δei : co Se B −1 (b + δei ) ≥ 0, a otimalidade da solu¸˜o b´sica anterior ´ ca a e garantida (nada mudou no dual).Avaliando condi¸˜es para B −1 (b + δei ) ≥ 0 co Seja g = (β1i , β2i , . . . , βmi ) a i -´sima coluna de B −1 . e Ent˜o B −1 (b + δei ) ≥ 0 implica que: a xB + δg ≥ 0 ou xB(j) + δβji ≥ 0 j = 1, . . . , m. Equivalentemente: xB(j ) ◮ δ≥− βji , se βji > 0 xB(j ◮ δ≤ − βji ) , se βji < 0 Alexandre Salles da Cunha An´lise de Sensibilidade a
  12. 12. Modifica¸˜es no vetor de fatores b - exemplo co ´Vamos considerar modificar b1 para b1 + δ no Tableau Otimo dado por: x1 x2 x3 x4 w= 12 0 0 2 7 x1 = 2 1 0 -3 2 x2 = 2 0 1 5 -3Observe que g = (−3 5) e ent˜o temos: a x1 = 2 − 3δ ≥ 0 → δ ≤ 2 . 3 x2 = 2 + 5δ ≥ 0 → δ ≥ − 2 5 Alexandre Salles da Cunha An´lise de Sensibilidade a
  13. 13. Modifica¸˜es no vetor de custos c coVamos considerar as implica¸˜es decorrentes de modificar cj para cj + δ, o cocusto de uma vari´vel n˜o b´sica j: a a a A modifica¸˜o n˜o afeta a viabilidade primal, apenas a viabilidade ca a dual (otimalidade dual). Se cj + δ − cB B −1 Aj ≥ 0 ou seja se δ ≥ −c j a base anterior continua o ´tima. Caso esta condi¸˜o n˜o se verifique, aplicamos o primal ca a simplex, introduzindo a vari´vel xj na base. a Alexandre Salles da Cunha An´lise de Sensibilidade a
  14. 14. Modifica¸˜es no custo de uma vari´vel b´sica co a a Vamos considerar as implica¸˜es decorrentes de modificar cj para co cj + δ, o custo de uma vari´vel b´sica j. a a Vamos assumir que j seja a vari´vel b´sica associada ` l −´sima linha a a a e do Tableau, isto ´ j = B(l ) e ent˜o cB = cB + δel . e a Temos que assegurar que (cB + δel )B −1 Ai ≤ ci , ∀i = j, uma vez que todos os custos reduzidos, exceto c j s˜o afetados pela modifica¸˜o. a ca Definindo qli como a l -´sima entrada do vetor B −1 Ai temos que e δqli ≤ c i , ∀i = j. Alexandre Salles da Cunha An´lise de Sensibilidade a
  15. 15. Exemplo - modifica¸˜es nos custos coPara o exemplo anterior: x1 x2 x3 x4 w= 12 0 0 2 7 x1 = 2 1 0 -3 2 x2 = 2 0 1 5 -3Modifica¸˜es admiss´ co ıveis (que ainda preservam a otimalidade da baseatual) nas vari´veis: a N˜o b´sicas: a a ◮ δ3 ≥ −c 3 = −2 ◮ δ4 ≥ −c 4 = −7 B´sicas: adicionando δ1 a c1 , temos para j = 1, B(1) = 1, a q12 = 0, q13 = −3, q14 = 2. ◮ δ1 q12 ≤ c2 , triv. satisfeita. 2 ◮ δ1 q13 ≤ c3 → δ1 ≥ − 3 7 ◮ δ1 q14 ≤ c4 → δ1 ≥ 2 Alexandre Salles da Cunha An´lise de Sensibilidade a
  16. 16. Mudan¸as no vetor tecnol´gico Aj c oCaso 1: j ´ uma vari´vel n˜o b´sica: e a a a A viabilidade da base ´tima (em rela¸˜o ao primal) n˜o ´ afetada. o ca a e ´ E necess´rio verificar se a otimalidade (viab. dual) ´ afetada, atrav´s a e e da n˜o negatividade do custo reduzido c j . a Vamos considerar que a entrada aij de A foi alterada para aij + δ. Ent˜o precisamos garantir que cj − p ′ (Aj + δei ) ≥ 0 ou a equivalentemente c j − δpi ≥ 0, onde p ′ = cB B −1 . ′ Caso a condi¸˜o acima seja violada, j deve entrar na base (Primal ca Simplex). Alexandre Salles da Cunha An´lise de Sensibilidade a
  17. 17. Mudan¸as no vetor tecnol´gico Aj c oCaso 2: j ´ uma vari´vel b´sica: e a a A viabilidade da base ´tima pode ser afetada, tanto no primal quanto o no dual. Assumindo que aij seja alterado para aij + δ, o conjunto de valores admiss´ıveis para a varia¸˜o resultar ainda em uma base ´tima ´ um ca o e intervalo (assim como nos casos anteriores). Assumindo solu¸˜o primal e dual ´timas n˜o dengeradas dadas por ca o a x ∗ , p, se a coluna Aj for modificada para Aj + δei temos que: c ′ x(δ) = c ′ x ∗ − δxj∗ pi + O(δ2 ) Interpreta¸˜o em termos do problema da dieta: se aij aumenta em δ, ca ganhamos de gra¸a, δ unidades do nutriente i por unidade do c alimento j. Uma vez que pi denota o custo marginal do nutriente i , δpi xj∗ denota a redu¸˜o de custo esperada. ca Alexandre Salles da Cunha An´lise de Sensibilidade a
  18. 18. Dependˆncia da otimalidade em fun¸˜o de b e ca Reescrevendo a regi˜o de viabilidade primal para deixar expl´ a ıcita a dependˆncia do vetor b, temos que e P(b) = {x : Ax = b, x ≥ 0} Vamos definir S = {b : P(b) = ∅}. Observe ent˜o que S pode ser reescrito como S = {Ax : x ≥ 0} que ´ a e um conjunto convexo. Para qualquer vetor b ∈ S, vamos redefinir o custo ´timo do o Problema primal como: F (b) = minx∈P(b) c ′ x Alexandre Salles da Cunha An´lise de Sensibilidade a
  19. 19. Dependˆncia da otimalidade em fun¸˜o de b e ca Vamos assumir que o espa¸o dual p ′ A ≤ c ′ seja n˜o vazio. c a Por dualidade, temos que F (b) > ∞, ∀b ∈ S, isto ´, o problema e primal admite ´timo finito para todo b. o Vamos tentar compreender a estrutura da fun¸˜o F (b), b ∈ S. Para ca tanto, vamos nos fixar em um determinado b ∗ ∈ S. Vamos supor que o objetivo ´timo F (b ∗ ) ´ dada por uma base ´tima o e o B associada a uma solu¸˜o b´sica xB = B −1 b ∗ n˜o degenerada e que ca a a o correspondente vetor de custos reduzidos seja n˜o negativo. a Alexandre Salles da Cunha An´lise de Sensibilidade a
  20. 20. Dependˆncia da otimalidade em fun¸˜o de b e ca Sendo n˜o denenerada, podemos modificar b ∗ para b e desde que a b ∗ − b seja suficientemente pequena B −1 b ≥ 0 ser´ uma solu¸˜o a ca b´sica vi´vel ´tima para o problema perturbado. a a o Logo, para b suficientemente pr´ximo de b ∗ , F (b) = cB B −1 b = p ′ b. o ′ Isto ´, nas vizinhan¸as de b ∗ , F (b) ´ uma fun¸˜o linear de b e seu e c e ca gradiente ´ dado por p. eTeoremaO custo ´timo F (b) ´ uma fun¸˜o convexa de b no conjunto S. o e ca Alexandre Salles da Cunha An´lise de Sensibilidade a
  21. 21. Estrutura de F (b)TeoremaO custo ´timo F (b) ´ uma fun¸˜o convexa de b no conjunto S. o e caProva Tomemos b 1 , b 2 ∈ S e seja x i : i = 1, 2 as correspondentes solu¸˜es co que minimizam F (b 1 ), F (b 2 ), respectivamente. Tome um escalar λ ∈ [0, 1] e defina y = λx 1 + (1 − λ)x 2 : ◮ y ∈ P(λb 1 + (1 − λ)b 2 ) → y ´ vi´vel. e a Observe que: F (λb 1 + (1 − λ)b 2 ) ≤ c ′y = λc ′ x 1 + (1 − λ)c ′ x 2 = λF (b 1 ) + (1 − λ)F (b 2 ) Alexandre Salles da Cunha An´lise de Sensibilidade a
  22. 22. Elaborando melhor o Teorema anteriorVamos elaborar o Teorema, avaliando agora o dual abaixo, que assumimosser vi´vel: a max p′b p′A ≤ c ′ Por dualidade, para todo b ∈ S, F (b) = ′b para algum p. Sendo A uma matriz de posto m (completo), o poliedro dual possui pelo menos um ponto extremo. Sejam p 1 , . . . , p N os pontos extremos do poliedro dual. Ent˜o temos que F (b) = maxi =1,...,N (p i )′ b, b ∈ S a Alexandre Salles da Cunha An´lise de Sensibilidade a
  23. 23. Interpretando F (b) = maxi=1,...,N (p i )′b, b ∈ S F ´ dado pelo m´ximo de uma cole¸˜o finita de fun¸˜es lineares. e a ca co F ´ ent˜o dado pelo envelope superior de um conjunto finito de e a fun¸˜es lineares, sendo ent˜o linear por partes e convexa (prova co a alternativa do teorema anterior). Alexandre Salles da Cunha An´lise de Sensibilidade a
  24. 24. Sobre a diferenciabilidade de F (b) em rela¸˜o a b ca Para alguns valores de b (nos pontos onde duas fun¸˜es lineares co (p i )′ b e (p j )′ b se encontram), F (b) n˜o ´ diferenci´vel. a e a Nestes pontos, o programa dual admite mais de uma solu¸˜o otima. ca ´ Para tais valores de b, qualquer combina¸˜o linear convexa de p i e p j ca fornecem um vetor dual ´timo (subgradiente de F (b) em b !). o Consequentemente, para estes valores de b a solu¸˜o primal ´ ca e degenerada. Vimos que para uma solu¸˜o primal n˜o degenerada, ca a F (b) ´ localmente linear com b, n˜o podendo ser associada a um e a ponto n˜o diferenci´vel de F (b). a a Alexandre Salles da Cunha An´lise de Sensibilidade a
  25. 25. Comportamento de F (b) Vamos avaliar o comportamento de F (b) quando um determinado tipo de modifica c˜o ocorre em b ∗ . a Vamos verificar o que ocorre com F (b) quando, para b ∗ e d fixos, b = b ∗ + θd, para θ um escalar. Pela defini¸˜o de F (b) temos que: ca F (b(θ)) = F (θ) = maxi =1,...,N (p i )′ (b ∗ + θd), b ∗ + θd ∈ S Alexandre Salles da Cunha An´lise de Sensibilidade a
  26. 26. O conjunto de solu¸˜es duais ´timas co oDefini¸˜o - subgradiente caSeja F uma fun¸˜o convexa definida em um conjunto convexo S. Seja b ∗ caum elemento de S. Dizemos que um vetor p ´ um subgradiente de F em eb ∗ se: F (b ∗ ) + p ′ (b − b ∗ ) ≤ F (b), ∀b ∈ S Para a defini¸˜o do subgradiente, n˜o ´ feita nenhuma hip´tese de ca a e o diferenciabilidade de F . Observe que o subgradiente generaliza o conceito de gradiente para uma fun¸˜o convexa diferenci´vel definida em um conjunto convexo. ca a Alexandre Salles da Cunha An´lise de Sensibilidade a
  27. 27. Subgradientes de F (b) Quando b ∗ ´ um ponto para o qual (p i )′ b ∗ = (p j )′ b ∗ , isto ´ b ∗ define e e uma quina de F (b), existem v´rios subgradientes. a Quando F (b) ´ linear nas vizinhan¸as de b ∗ h´ apenas um e c a subgradiente. Alexandre Salles da Cunha An´lise de Sensibilidade a
  28. 28. O conjunto de solu¸˜es duais ´timas co oTeoremaAssuma que o problema min c ′ x, x ∈ P(b ∗ ) assuma custo ´timo finito. oEnt˜o o vetor p ´ uma solu¸˜o ´tima para o problema dual associado se e a e ca osomente se p for um subgradiente de F (b) em b ∗ .Prova: → Por dualidade forte temos p ′ b ∗ = F (b ∗ ). Tome b ∈ S e x ∈ P(b). Por dualidade fraca temos p ′ b ≤ c ′ x. ınimo em x temos que p ′ b ≤ F (b). Tomando o m´ Ent˜o p ′ b − p ′ b ∗ ≤ F (b) − F (b ∗ ) que implica que a F (b ∗ ) + p ′ (b − b ∗ ) ≤ F (b) e logo p ´ um subgradiente de F em b ∗ . e Alexandre Salles da Cunha An´lise de Sensibilidade a
  29. 29. O conjunto de solu¸˜es duais ´timas co oProva: ← Hip´tese: F (b ∗ ) + p ′ (b − b ∗ ) ≤ F (b) (p ´ subgradiente). o e Tome x ≥ 0, seja b = Ax e observe que x ∈ P(b). Por dualidade fraca F (b) ≤ c ′ x. Ent˜o temos: a p ′ Ax = p ′b ≤ F (b) − F (b ∗ ) + p ′ b ∗ ≤ c ′ x − F (b ∗ ) + p ′ b ∗ Uma vez que p ′ Ax ≤ c ′ x − F (b ∗ ) + p ′ b ∗ deve valer para qualquer x e que −F (b ∗ )p ′ b ∗ ´ um valor que independe de x, p ′ A ≤ c ′ . Logo p ′ ´ e e dual vi´vel. a Em particular para x = 0 temos F (b ∗ ) ≤ p ′ b ∗ . Por dualidade fraca temos que toda solu¸˜o dual vi´vel q satisfaz q ′ b ≤ F (b ∗ ) ≤ p ′ b ∗ . ca a ∗ ´ ´tima para o dual. Logo p e o Alexandre Salles da Cunha An´lise de Sensibilidade a
  30. 30. Avalia¸˜o da otimalidade em fun¸˜o de c ca ca Vamos desenvolver racioc´ an´logo para a dependˆncia da ınio a e otimalidade em fun¸˜o de modifica¸˜es no vetor de custos c. ca co Manteremos A e b fixos e perturbaremos c. Para tanto, vamos considerar o espa¸o de viabiliade dual p ′ A ≤ c ′ . c Vamos definir Q(c) = {p : p ′ A ≤ c ′ } e T = {c : Q(c) = ∅}. Dados c 1 , c 2 ∈ T , existem p 1 , p 2 (respectivamente) tais que (p i )′ A ≤ c ′ . Para qualquer escalar λ ∈ [0, 1], temos (λ(p 1 )′ + (1 − λ)(p 2 )′ )A ≤ λ(c 1 )′ + (1 − λ)(c 2 )′ e portanto λ(p 1 )′ + (1 − λ)(p 2 )′ ∈ T . Consequentemente T ´ convexo. e Alexandre Salles da Cunha An´lise de Sensibilidade a
  31. 31. Avalia¸˜o da otimalidade em fun¸˜o de c ca ca Tomando c ∈ T (dual invi´vel), o problema primal ´ ilimitado. Por a e outro lado, se c ∈ T o custo primal ´ finito. e Ent˜o vamos assumir que c ∈ T e vamos denotar o custo primal a o ´timo por G (c). Vamos denotar por x 1 , . . . , x N as solu¸˜es b´sicas do poliedro co a n : Ax = b}. Assim sendo, temos que {x ∈ R+ G (c) = mini =1,...,N c ′ x i e G (c) corresponde ao envelope inferior de uma cole¸˜o de fun¸˜es ´ ca co e lineares, sendo uma fun¸˜o linear por partes concava. ca Alexandre Salles da Cunha An´lise de Sensibilidade a
  32. 32. Avalia¸˜o da otimalidade em fun¸˜o de c ca ca Se para um valor c ∗ o programa primal admite uma unica solu¸˜o ´ ca ´tima x i , ent˜o temos que (c ∗ )′ x i < (c ∗ )′ x j : ∀j = i . o a Para todo c suficientemente pr´ximo a c ∗ , (c ∗ )′ x i < (c ∗ )′ x j : ∀j = i o deve continuar valendo. Desta forma, para solu¸˜es primais unicas co ´ G (c) = c ∗ x i . Para o caso de solu¸˜o primal m´ltipla, o correspondente valor de c ca u deve ser induzir uma quina de G (c). Alexandre Salles da Cunha An´lise de Sensibilidade a
  33. 33. Em s´ ınteseTeorema 1 O conjunto T de todos os valores de c para os quais o custo ´timo ´ o e finito ´ convexo. e 2 A fun¸˜o custo ´timo G (c) ´ uma fun¸˜o concava de c em T . ca o e ca 3 Se para um determinado valor c, a solu¸˜o primal ´tima ´ unica, ca o e´ ent˜o G ´ linear nas vizinhan¸as de c e seu gradiente ´ dado por x ∗ . a e c e Alexandre Salles da Cunha An´lise de Sensibilidade a
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