[Alexandre] 2. Geometria
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[Alexandre] 2. Geometria Presentation Transcript

  • 1. Geometria da Programa¸˜o Linear ca Alexandre Salles da Cunha DCC-UFMG, Mar¸o 2012 - v.02 c Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 2. PoliedrosDefini¸˜o caUm poliedro ´ um conjunto que pode ser representado da seguinte forma: eP = {x ∈ R n : Ax ≥ b}, onde A ´ uma matriz m × n e b ∈ Rm . ePoliedro na forma padr˜o aUm poliedro ´ dito ser escrito na forma padr˜o se ´ representado da e a eseguinte forma: P = {x ∈ R n : Ax = b, x ≥ 0}Defini¸˜o caUm poliedro limitado ´ chamado politopo. e Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 3. Semiespa¸os e hiperplanos cDefini¸˜o caSeja a um vetor n˜o nulo em Rn e b um escalar. a 1 O conjunto {x ∈ Rn : a′ x = b ´ chamado hiperplano. e 2 Os conjuntos {x ∈ Rn : a′ x ≥ b e {x ∈ Rn : a′ x ≤ b s˜o chamados a semiespa¸os. cObserva¸˜es: co O hiperplano ´ a fronteira dos dois semiespa¸os associados. e c O vetor a ´ ortogonal a qualquer hiperplano que defina (que depende e tamb´m de b). e Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 4. Poliedros, semiespa¸os, hiperplanos cO poliedro pode ser escrito como a interse¸˜o de um n´mero finito de ca urestri¸˜es lineares (hiperplanos e semiespa¸os). co c Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 5. Hiperplanos e conjuntos convexosProposi¸˜o ca 1 Todo poliedro ´ um conjunto convexo. e 2 A interse¸˜o de conjuntos convexos (poliedros em particular) ´ ca e convexa. 3 A combina¸˜o convexa de um conjunto finito de elementos de um ca conjunto pertence ao conjunto. Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 6. Pontos extremos, v´rtices e solu¸˜es b´sicas e co a Verificamos atrav´s do m´todo gr´fico de resolu¸˜o que uma solu¸˜o e e a ca ca o ´tima de um PL tende a ocorrer em um canto do poliedro que define a regi˜o de viabilidade do PL. a Vamos apresentar trˆs formas alternativas de definir o que venha a ser e um canto do poliedro. ◮ Argumentos geom´tricos: pontos extremos e v´rtices de um poliedro. e e ◮ Argumentos alg´bricos: solu¸oes b´sicas (e b´sicas vi´veis) de um e c˜ a a a poliedro. Mostraremos que estas alternativas s˜o equivalentes. a Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 7. Ponto extremoDefini¸˜o caSeja P um poliedro. Um vetor x ∈ P ´ um ponto extremo de P se n˜o for e aposs´ escrever x como uma combina¸˜o linear convexa de dois pontos ıvel caz, y ∈ P (distintos de x). Isto ´, n˜o existem z, y ∈ P, z, y = x e e aλ ∈ [0, 1] tal que x = λz + (1 − λ)y . Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 8. V´rtice do poliedro eDefini¸˜o caSeja P um poliedro. Um vetor x ∈ P ´ um v´rtice de P se existe algum e evetor c ∈ R tal que c ′ x < c ′ y para qualquer y ∈ P, y = x.Isto ´, x ´ um v´rtice do poliedro se e e e {y : c ′ y = c ′ x} ∩ P = {x}. Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 9. Desvantagens das descri¸˜es geom´tricas dadas co e Estas descri¸˜es n˜o s˜o f´ceis de serem tratadas em um algoritmo. co a a a Seria desej´vel dispor de uma descri¸˜o de canto que dependesse da a ca representa¸˜o do poliedro em termos de restri¸˜es lineares, que ca co pudesse ser resumido a um ”simples”teste alg´brico. ePara este prop´sito, vamos considerar a seguinte defini¸ao: o c˜Restri¸˜es ativas coAssuma que P seja caracterizado por restri¸˜es lineares de igualdade e codesigualdade: ai′ x ≥ bi , ∀i ∈ M1 , ai′ x ≤ bi , ∀i ∈ M2 , ai′ x = bi , ∀i ∈ M3 .Ent˜o se um vetor x ∗ satisfaz ai′ x ∗ = bi para algum i ∈ M1 ∪ M2 ∪ M3 adizemos que a restri¸˜o i ´ ativa. Se x ∗ ´ vi´vel, toda restri¸˜o cujo ´ ca e e a ca ındicei ∈ M3 ´ ativa. e Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 10. Observa¸˜es co Se existem n restri¸˜es ativas em x ∗ , ent˜o x ∗ satisfaz um sistema co a linear de n restri¸˜es em n vari´veis. Este sistema linear admite co a solu¸˜o unica se estas n restri¸˜es s˜o linearmente independentes (em ca ´ co a um abuso de linguagem).Proposi¸˜o caDado x ∗ ∈ Rn e I = {i : ai′ x ∗ = bi } o conjunto dos ´ ındices das restri¸˜es coativas em x ∗ . Ent˜o, s˜o equivalentes as afirmativas: a a 1 Existem n vetores no conjunto {ai : i ∈ I } que s˜o l.i. a 2 span({ai : i ∈ I }) = Rn 3 O sistema linear ai′ x = bi , ∀i ∈ I possui solu¸˜o unica. ca ´ Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 11. ProvaProva(1) ⇔ (2) (1) ← (2): Suponha que os vetores ai : i ∈ I gerem Rn . Ent˜o a dim(span({ai : i ∈ I })) = n e {ai : i ∈ I } formam uma base de Rn , sendo linearmente independente. (1) → (2): Suponha que os vetores ai : i ∈ I sejam l.i. Ent˜o o subespa¸o gerado a c por estes n vetores ´ n dimensional e necessita ser R e n . Assim qualquer vetor em Rn pode ser escrito como uma combina¸˜o linear ca de ai : i ∈ I Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 12. Prova(2) ⇔ (3) : (2) ← (3) : (por contradi¸˜o) ca Assuma que o sistema ai′ x = bi : i ∈ I admita duas solu¸˜es distintas co x 1 e x 2 . Ent˜o o vetor d = x 1 − x 2 = 0 satisfaz ai d = 0, ∀i ∈ I e n˜o a a pode ser escrito como combina¸˜o linear dos vetores ai : i ∈ I e ca portanto span({ai : i ∈ I } = Rn (absurdo !). Logo x 1 = x 2 . (2) → (3) : Se os vetores ai : i ∈ I n˜o geram Rn , existe d = 0 tal a que ai′d = 0 : i ∈ I . Ent˜o se x satisfaz ai′ x = bi : i ∈ I , temos que ai′ (x + d) = bi : i ∈ I e a temos m´ltiplas solu¸˜es para o sistema linear. u co Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 13. Defini¸˜o alg´brica de canto ca eDefini¸˜o caConsidere um poliedro P definido por mrestri¸˜es lineares e x ∗ um elemento do Rn co(m ≥ n). 1 O vetor x ∗ ´ uma solu¸˜o b´sica se: e ca a 1 Todas as restri¸oes de igualdade que c˜ definem P s˜o ativas (satisfeitas) a 2 Dentre todas as restri¸oes que s˜o c˜ a ativas em x ∗ (de igualdade inclusas) existem n delas que s˜o l.i. a 2 Se x ∗ ´ uma solu¸˜o b´sica e todas as e ca a restri¸˜es que definem P s˜o co a satisfeitas, ent˜o x ∗ ´ uma solu¸˜o a e ca b´sica vi´vel. a a Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 14. Caso em que n > m Se o n´mero m de restri¸˜es lineares empregadas para representar um u co poliedro ´ inferior a n, o n´mero de restri¸˜es ativas ´ sempre inferior e u co e a n. Consequentemente, n˜o existem solu¸˜es b´sicas ou b´sicas vi´veis. a co a a a Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 15. Observa¸˜es co Note na figura anterior que os pontos A, B, C s˜o solu¸˜es b´sicas a co a vi´veis. a O ponto D n˜o ´ b´sica porque n˜o sastisfaz a restri¸˜o de igualdade a e a a ca x1 + x2 + x3 = 1. Entretanto, se a restri¸˜o x1 + x2 + x3 = 1 for reescrita como ca x1 + x2 + x3 ≤ 1 e x1 + x2 + x3 ≥ 1, o ponto D passa a ser solu¸˜o ca b´sica da nova forma empregada para representar o poliedro P. a Isto ´, o modo como o poliedro ´ representado em termos de e e restri¸˜es lineares influencia o conjunto de solu¸oes b´sicas. co c˜ a Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 16. Mais um exemplo Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 17. As trˆs formas de representa¸˜o s˜o equivalentes e ca aTeoremaSeja P um poliedro n˜o vazio e x ∗ ∈ P. Ent˜o as seguintes afirmativas a as˜o equivalentes: a 1 x ∗ ´ um ponto extremo; e 2 x ∗ ´ um v´rtice; e e 3 x ∗ ´ uma solu¸˜o b´sica vi´vel. e ca a a Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 18. Prova: v´rtice → ponto extremo eSem perda de generalidade, vamos assumir que P seja escrito em termosde restri¸˜es de igualdade ai′ x = bi e desigualdade na forma ai′ x ≥ bi . coProva Suponha que x ∗ seja um v´rtice de P. Ent˜o, por defini¸˜o, existe e a ca c ∈ Rn tal que c ′ x ∗ < c ′ y para qualquer y ∈ P, y = x. Ent˜o tome y , z ∈ P distintos de x ∗ e λ ∈ [0, 1]. a Temos que c ′ x ∗ < c ′ (λy + (1 − λ)z) e consequentemente x ∗ = λy + (1 − λ)z. Logo o v´rtice x n˜o pode ser escrito como combina¸˜o convexa de e a ca dois outros pontos quaisquer de P e, portanto, o v´rtice ´ tamb´m e e e um ponto extremo. Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 19. Ponto extremo → solu¸˜o b´sica vi´vel ca a aProva Vamos supor que x ∗ ´ ponto extremo e n˜o ´ solu¸˜o b´sica vi´vel. e a e ca a a Seja I = {i : ai′ x ∗ = bi }. Ent˜o como x ∗ n˜o ´ solu¸˜o b´sica vi´vel, a a e ca a a n˜o existem, dentre as restri¸˜es em I , n linearmente independentes. a co Portanto, os vetores ai : i ∈ I geram um subespa¸o pr´prio de Rn . c o Ent˜o deve haver d ∈ Rn tal que ai′ d = 0, ∀i ∈ I . Dado um ǫ > 0 a suficientemente pequeno, consideremos os vetores y = x ∗ + ǫd e z = x ∗ − ǫd. Observe que ai′ y = ai′ z = ai′ x ∗ = bi , ∀i ∈ I . Al´m disto, e para i ∈ I temos que ai′ x ∗ > bi . Se escolhermos ǫ convenientemente (tal que ǫ|ai′ d| < ai′ x ∗ − bi , ∀i ∈ I ), temos que y ∈ P. Por argumento similar, mostramos que z ∈ P. Ent˜o, x ∗ = z+y e x ∗ n˜o pode ser ponto a 2 a extremo (contradi¸˜o !).ca Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 20. Solu¸˜o b´sica vi´vel → v´rtice ca a a eProva Considere que x ∗ ´ uma solu¸˜o b´sica vi´vel e I = {i : ai′ x ∗ = bi }. e ca a a Seja c = i ∈I ai . Ent˜o temos c a ′x ∗ = ′ ∗ i ∈I ai x = i ∈I bi . Por outro lado, para qualquer x ∈ P temos c ′x = ai′ x ≥ i ∈I bi . i ∈I Consequentemente, mostramos que x ∗ resolve o PL cuja fun¸˜o ca objetivo ´ (min) c e regi˜o de viabilidade ´ P. e a e O m´ ınimo de c ′ x ∗ = i ∈I ai′ x ∗ = i ∈I bi ocorre quando ′ x = b , ∀i ∈ I . ai i Como x ∗ ´ uma solu¸˜o b´sica vi´vel, existem n restri¸˜es l.i. ativas e ca a a co em x ∗ (dentre aquelas que definem I ) e x ∗ ´ a solu¸˜o unica deste e ca ´ sistema linear. Portanto, x ∗ ´ o unico minimizador de c ′ x sobre P e, portanto, ´ um e ´ e v´rtice de P. e Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 21. Observa¸˜es coCorol´rio aDado um n´mero finito de restri¸˜es de desigualdades que definem um u copoliedro, s´ pode haver um n´mero finito de solu¸˜es b´sicas ou b´sicas o u co a avi´veis associadas a P. a Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 22. Solu¸˜es b´sicas adjacentes co a Duas solu¸˜es b´sicas para um conjunto de restri¸˜es lineares em Rn co a co s˜o adjacantes se podemos encontrar n − 1 restri¸˜es linearmente a co independentes ativas que s˜o comuns `s duas solu¸˜es. a a co Se duas solu¸˜es b´sicas adjacentes s˜o tamb´m vi´veis, o segmento co a a e a de reta que as une ´ chamado aresta do conjunto de viabilidade. eNa figura abaixo, D e E s˜o adjacentes a B. A e C s˜o adjacentes a D. a a Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 23. Poliedros na forma padr˜o a At´ o momento, a defini¸˜o de solu¸˜o b´sica foi dada para um e ca ca a poliedro descrito de forma geral. Vamos especializar esta defini¸˜o para a forma padr˜o, do tipo ca a P = {x ∈ Rn : Ax = b, x ≥ 0}. A especializa¸˜o ser´ fundamental para o desenvolvimento do M´todo ca a e Simplex. Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 24. Hip´teses iniciais oConsideremos P = {x ∈ Rn : Ax = b, x ≥ 0}, onde a matriz A possui mlinhas. Vamos assumir que as m linhas de A s˜o linearmente independentes. a Futuramente, mostraremos que se houver alguma linha linearmente dependente, esta pode ser eliminada, sem descaracteriza¸˜o da regi˜o ca a de viabilidade (isto ´, a linha ´ redundante). e e Como as linhas de A s˜o n dimensionais, isto implica que m ≤ n. a Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 25. Solu¸˜es b´sicas co aPela defini¸˜o dada anteriormente, uma solu¸˜o b´sica para ca ca aP = {x ∈ Rn : Ax = b, x ≥ 0} deve ser tal que: As m linhas que definem Ax = b s˜o ativas (satisfeitas). a Como estas m linhas s˜o l.i., ´ necess´rio escolher dentre as demais a e a restri¸˜s xi ≥ 0, n − m para serem ativas. ce Estas restri¸˜es de n˜o negatividade n˜o podem ser quaisquer. co a a Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 26. Solu¸˜es b´sicas na forma padr˜o co a aTeoremaConsidere as restri¸˜es Ax = b e x ≥ 0 e assuma que a matriz A, m × n, copossua m linhas linearmente independentes.Um vetor x ∈ Rn ´ uma solu¸˜o b´sica se e somente se Ax = b e existirem e ca a´ındices B(1), . . . , B(m) de colunas de A tais que: 1 As colunas AB(1) , AB(2) , . . . , AB(m) s˜o linearmente independentes; a 2 Se i ∈ {B(1), . . . , B(m)} ent˜o xi = 0. a Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 27. Prova: Se (1) e (2) → ´ sol. b´sica e aProva Considere x ∈ Rn e assuma que existam ´ ındices B(1), . . . , B(m) satisfazendo (1) e (2) acima. As restri¸˜es ativas xi = 0 para os ´ co ındices i ∈ {B(1), . . . , B(m)}, em conjunto com Ax = b, garante que m n i =1 AB(i ) xB(i ) = i =1 Ai xi = Ax = b. Como as colunas B(1), . . . , B(m) s˜o l.i., o sistema linear formado a pelas restri¸˜es ativas possui solu¸˜o unica. co ca ´ Ou seja, existem n restri¸˜es ativas linearmente independentes, e co ent˜o x ´ uma solu¸˜o b´sica (segundo a equivalˆncia das defini¸˜es a e ca a e co anteriores). Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 28. Prova: Se ´ sol. b´sica → (1) e (2) e aParte 1Prova Assuma que x ´ uma sol. b´sica. Vamos mostrar que (1) e (2) s˜o e a a ent˜o satisfeitas. a Seja xB(1) , . . . , xB(k) as componentes de x que s˜o n˜o nulas. a a Uma vez que x ´ b´sica, o sistema de restri¸˜es ativas formado por e a co Ax = b e xi = 0, i ∈ {B(1), . . . , B(k)} admite sol. unica. ´ Equivalentemente o sistema k=1 AB(i ) xB(i ) = b admite solu¸˜o i ca unica. ´ Ou seja, as colunas B(1), . . . , B(k) s˜o li e ent˜o k ≤ m. a a Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 29. Prova: Se ´ sol. b´sica → (1) e (2) e aMostramos at´ agora que B(1), . . . , B(k) s˜o li e k ≤ m. e aParte 2Prova Uma vez que o posto de A ´ m, A possui m linhas e colunas li. e Ent˜o ´ poss´ escolher outras m − k colunas B(k + 1), . . . , B(m) a e ıvel de A, de forma que as colunas B(1), . . . , B(m) sejam li. Observe ent˜o que se i ∈ {B(1), . . . , B(m)} ent˜o xi = 0, a a completando a prova. Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 30. Um procedimento para obten¸˜o de solu¸˜es b´sicas ca co a 1 Escolha m colunas AB(1) , . . . , AB(m) linearmente independentes de A. 2 Fa¸a xi = 0, ∀i ∈ {B(1), B(2), . . . , B(m)}. c 3 Resolva o sistema linear de m restri¸˜es Ax = b para as vari´veis co a xB(1) , xB(2) , . . . , xB(m) .Se as solu¸˜es geradas atrav´s do procedimento acima satisfizerem co exi ≥ 0, ∀i ∈ {B(1), . . . , B(m)}, a solu¸˜o ´ chamada b´sica vi´vel. ca e a a Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 31. Nomenclatura As colunas B(1), . . . , B(m) s˜o denominadas b´sicas, assim como as a a vari´veis de decis˜o a elas associadas. a a As demais colunas (e vari´veis) s˜o denominadas n˜o b´sicas. a a a a A matriz B (m × m) formada pelas colunas b´sicas, a B = [AB(1) AB(2) · · · AB(m) ], ´ chamada base. e As vari´veis b´sicas xB s˜o obtidas resolvendo-se o sistema linear: a a a xB = B −1 b. Se xB ≥ 0, x ´ uma solu¸˜o b´sica vi´vel. e ca a a Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 32. Exemplo    1 1 2 1 0 0 0 8 0 1 6 0 1 0 0    12  1 x =  0 0 0 0 1 0   4  0 1 0 0 0 0 1 6 Se escolhermos A4 , A5 , A6 , A7 como colunas b´sicas, temos que B a corresponde ` uma matriz n˜o singular e xB = (0, 0, 0, 8, 12, 4, 6) ≥ 0 a a ´ uma solu¸˜o b´sica vi´vel. e ca a a Outra base pode ser obtida escolhendo-se como b´sicas as colunas a A3 , A5 , A6 , A7 . A matriz B resultante ´ claramente n˜o singular e a e a solu¸˜o b´sica xB = (0, 0, 4, 0, −12, 4, 6) ≥ 0 ´ n˜o vi´vel. ca a e a a Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 33. Interpreta¸˜o econˆmica das solu¸˜es b´sicas ca o co a Uma solu¸˜o b´sica permite sintetizar b ∈ Rm usando-se apeans m ca a recursos, isto ´, b = m AB(i ) xB(i ) . e i =1 Em uma solu¸˜o b´sica vi´vel, a s´ ca a a ıntese ocorrer por meio de pesos n˜o negativos das colunas b´sicas (xB ≥ 0). a a Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 34. Correspondˆncia entre bases e solu¸˜es b´sicas e co a Diferentes solu¸˜es b´sicas precisam corresponder a diferentes bases, co a uma vez que uma base determina unicamente uma solu¸˜o b´sica. ca a Entretanto, duas bases diferentes podem levar ` mesma solu¸˜o a ca b´sica. a Este fenˆmeno possui consequˆncias muito importantes do ponto de o e vista algoritmico. Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 35. Bases adjacentes e solu¸˜es b´sicas adjacentes co aDa mesma forma que definimos solu¸˜es b´sicas adjacentes como aquelas co aque compartilham n − 1 restri¸˜es l.i. justas, definimos bases adjacentes comatrizes que compartilham m − 1 colunas (isto ´, que diferem apenas por euma coluna).   1 1 2 1 0 0 0  0 1 6 0 1 0 0     1 0 0 0 0 1 0  0 1 0 0 0 0 1 {A4 , A5 , A6 , A7 } e {A3 , A5 , A6 , A7 } s˜o bases adjacentes. a As correspondentes solu¸˜es b´sicas (0, 0, 0, 8, 12, 4, 6) e co a (0, 0, 4, 0, −12, 4, 6) s˜o adjacentes uma vez que n = 7 e temos que a as restri¸˜es x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 em conjunto com as restri¸˜es de co co igualdade formam um sistema de 6 restri¸˜es justas l.i. co Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 36. A hip´tese de posto completo de A oTeoremaSeja P = {x ∈ Rn : Ax = b, x ≥ 0} um poliedro n˜o vazio, onde aA∈R m×n possui linhas a′ , a′ , . . . , a′ . 1 2 mAssuma que o posto de A seja k < m e que as primeiras k linhas de A, ′ ′ ′a1 , a2 , . . . , ak , sejam l.i.Ent˜o o poliedro a Q = {x ∈ Rn : ai′ x = bi , ∀i = 1, . . . , k, ≥ 0}e P s˜o idˆnticos (P = Q) e n˜o h´ perda de generalidade na hip´tese de a e a a oposto completo de A. Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 37. ProvaProva Observe que se as primeiras k linhas n˜o forem l.i. podemos a rearranjar a ordem das linhas de forma que isto aconte¸a. c Claramente P ⊂ Q. Vamos mostrar que Q ⊂ P e ent˜o P = Q. a Se o posto de A ´ k, ent˜o o espa¸o linha de A possui dimens˜o k e e a c a qualquer linha de A pode ser escrita como combina¸˜o linear destas k ca linhas, isto ´, ai′ = k λij aj′ para escalares λij . e j=1 Considere x ∈ P. Observe que ai′ x = bi , ∀i = 1, . . . , m. Logo bi = ai′ x = k λij aj′ x = k λij bj , ∀i = 1, . . . , m j=1 j=1 k k Tome agora y ∈ Q. Ent˜o ai′ y = a ′ j=1 λij aj y = j=1 λij bj = bi . Logo y ∈ P e Q ⊂ P. Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 38. Degenera¸˜o ca De acordo com a nossa defini¸˜o, em uma solu¸ao b´sica, dispomos ca c˜ a de n restri¸˜es ativas linearmente independentes. co Obviamente, o m´ximo n´mero de restri¸˜es linearmente a u co independentes ´ n, mas podemos ter em uma solu¸˜o b´sica mais de e ca a n restri¸˜es ativas. coDefini¸˜o caUma solu¸˜o b´sica x ∈ Rn ´ chamada degenerada se mais de n restri¸˜es ca a e cos˜o ativas em x. a Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 39. Degenera¸˜o - Exemplo caConsidere o politopo P dado pelas restri¸˜es: co x1 + x2 + 2x3 ≤ 8 x2 + 6x3 ≤ 12 x1 ≤ 4 x2 ≤ 6 x1 , x2 , x3 ≥ 0. (2, 6, 0) n˜o degenerada, uma vez que h´ exatamente trˆs restri¸˜es a a e co ativas no ponto (s˜o justas: x3 = 0, x2 ≤ 6, x1 + x2 + 2x3 ≤ 8) a (4, 0, 2) ´ uma solu¸˜o degenerada (s˜o justas: e ca a x1 + x2 + 2x3 ≤ 8, x2 + 6x3 ≤ 12, x1 ≤ 4, x2 ≥ 0). Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 40. Degenera¸˜o ca Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 41. Degenera¸˜o no formato padr˜o ca a Em uma solu¸˜o b´sica de um poliedro na forma padr˜o, as m ca a a restri¸˜es de igualdade s˜o ativas. co a Assim sendo, ter mais que n desigualdades ativas em um ponto, equivale a ter mais de n − m vari´veis no n´ zero. a ıvelDefini¸˜o caConsidere o poliedro na forma padr˜o P = {x ∈ Rn : Ax = b, x ≥ 0}. aAssuma que x seja uma solu¸˜o b´sica ´ uma solu¸˜o b´sica e que m seja ca a e ca ao n´mero de linhas de A. O vetor x ´ chamado degenerado se mais de u en − m componentes do vetor x s˜o nulas. a Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 42. ExemploConsideremos o poliedro do exemplo anterior, ap´s introdu¸˜o de vari´veis o ca ade folga.     1 1 2 1 0 0 0 8  0 1 6 0 1 0 0   12  A=  1 b =   0 0 0 0 1 0   4  0 1 0 0 0 0 1 6 Vamos considerar a solu¸˜o b´sica associada `s colunas ca a a A1 , A2 , A3 , A7. Fixando x4 = x5 = x6 = 0 e resolvendo linear BxB = b, temos que x = (4, 0, 2, 0, 0, 0, 6) que ´ uma solu¸˜o b´sica (vi´vel) degenerada, e ca a a uma vez que x2 = 0 ´ uma vari´vel b´sica em 0. e a a Consequentemente, temos 4 vari´veis no n´ zero e n˜o a ıvel a n − m = 7 − 4 = 3 apenas. Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 43. Interpretando a degenera¸˜o ca Escolhemos uma solu¸˜o b´sica selecionando n restri¸˜es linearmente ca a co independentes para serem satisfeitas na igualdade. Percebemos em seguida que outras restri¸˜es, al´m das n que selecionamos, s˜o co e a tamb´m justas naquela solu¸˜o b´sica. e ca a Se as entradas de A e b forem escolhidas aleatoriamente, a chance das solu¸˜es b´sicas decorrentes serem degeneradas ´ muito pequena. co a e Em muitas aplica¸˜es (onde A e b possui estrutura n˜o aleat´ria), a co a o degenera¸˜o ´ bastante comum. ca e A figura abaixo procura ilustrar que pequenas perturba¸˜es nos dados co do Programa Linear permitem eliminar a degenera¸˜o. ca Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 44. Visualizando a degenera¸˜o na forma padr˜o ca aNeste exemplo temos n = 6, m = 4, n − m = 2. Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 45. A degenera¸˜o n˜o ´ uma propriedade puramente ca a egeom´trica eA degenera¸˜o n˜o ´ independente do modo como representamos o ca a epoliedro. Considere o poliedro P representado de duas formas: P = {x ∈ R3 : x1 − x2 = 0, x1 + x2 + 2x3 = 2, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0 e P = {x ∈ R3 : x1 − x2 = 0, x1 + x2 + 2x3 = 2, x1 ≥ 0, x3 ≥ 0.O ponto x = (0, 0, 1) ´ edegenerado diante da primeirarepresenta¸˜o, e n˜o degenerado ca adiante da segunda. Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 46. Outro exemplo Considere uma solu¸˜o x ∗ b´sica vi´vel n˜o degenerada para um ca a a a poliedro na forma padr˜o P = {x ∈ R a n : Ax = b, x ≥ 0}, onde A ∈ Rm×n . Temos ent˜o exatamente n − m vari´veis satisfazendo a a ∗ = 0. xi Se reescrevermos o poliedro da seguinte forma P = {x ∈ Rn : Ax ≥ b, −Ax ≥ −b, x ≥ 0} temos exatamente as mesmas n − m vari´veis satisfazendo xi∗ = 0 e mais 2m restri¸˜es a co justas em x ∗ (totalizando n + m justas). Portanto, para esta nova representa¸˜o, x ∗ ´ uma solu¸˜o b´sica vi´vel degenerada. ca e ca a a Mostramos casos onde uma solu¸˜o ´ degenerada diante de uma ca e representa¸˜o e n˜o ´ diante de outra. ca a e ´ poss˜ mostrar que se uma solu¸˜o b´sica ´ degenerada diante de E ivel ca a e uma forma padr˜o particular, ent˜o ser´ degenerada diante de a a a qualquer outra forma padr˜o do mesmo poliedro. a Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 47. Existˆncia de pontos extremos e Vamos obter uma condi¸˜o suficiente para um poliedro possuir um ca ponto extremo. Nem todo poliedro possui um ponto extremo. Exemplo: um semiespa¸o em Rn (n > 1) n˜o possui ponto extremo. c a O poliedro P = {x ∈ R n : Ax ≥ b} onde A ∈ Rm×n e m < n n˜oa possui ponto extremo. Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 48. Existˆncia de pontos extremos eDefini¸˜o caUm poliedro P ⊂ Rn possui uma linha se existir um vetor x ∈ P e umadire¸˜o d ∈ Rn n˜o nula tal que x + λd ∈ P para todo λ. ca aTeoremaSuponha que o poliedro P = {x ∈ Rn : ai′ x ≥ bi , i = 1, . . . , m} ´ n˜o e avazio. Ent˜o, as seguintes afirmativas s˜o equivalentes: a a 1 O poliedro P possui pelo menos um ponto extremo. 2 O poliedro P n˜o possui uma linha. a 3 Dentre os vetores ai : i = 1, . . . , m, existem n linearmente independentes. Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 49. ProvaProva(2) → (1) Seja x ∈ P e I = {i : ai′ x = bi }. Se n dos vetores em I s˜o l.i. nada a temos a provar (x seria, por defini¸˜o uma solu¸` b´sica). Ent˜o ca c.ao a a assumimos n˜o ser este o caso. a Ent˜o os vetores em I formam um subespa¸o pr´prio de Rn , existindo a c o portanto d ∈ Rn tal que ai′ d = 0, i ∈ I . Consideremos os pontos da forma y = x + λd. Para todo i ∈ I , temos ai′ y = ai′ x + λai′ d = ai′ x = bi . Como n˜o h´ uma linha e como ao longo de d todas as restri¸˜es em a a co I permanecem ativas, h´ um valor para λ, digamos λ∗ , para o qual a uma nova restri¸˜o se torna justa. Isto ´, existe ca e λ∗ : aj′ (x + λ∗ d) = bj , j ∈ I . Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 50. ProvaProva(2) → (1) - Continua¸˜o ca Afirmamos que aj n˜o ´ uma combina¸˜o linear dos vetores ai : i ∈ I . a e ca ′ x = b e a′ (x + λd) = b . Logo a′ d = 0. Isto porque aj j j j j Recorde que d ⊥ span({ai : i ∈ I }), logo ai′ d = 0. Uma vez que aj n˜o ´ ortogonal a d e ai : i ∈ I s˜o ortogonais a d, aj a e a n˜o pode ser uma combina¸˜o linear dos vetores ai : i ∈ I . a ca Logo, o n´mero de restri¸˜es l.i. aumentou em uma unidade ao u co movermos de x para x + λ∗ d. Repetindo o processo quantas vezes forem necess´rias, terminamos a em um ponto em que o n´mero de restri¸˜es l.i. ´ n e, por defini¸˜o, u co e ca este ponto ´ uma solu¸˜o b´sica. e ca a Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 51. ProvaProva(1) → (3) Se P possui um ponto extremo x, ent˜o x ´ uma solu¸˜o b´sica a e ca a vi´vel. a Por defini¸˜o, existem para x, n restri¸˜es ativas em x cujos vetores ca co ai s˜o l.i. a Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 52. ProvaProva(3) → (2) Assuma que n dos vetores ai , digamos, a1 , . . . , an , sejam l.i. Suponha que P contenha uma linha x + λd, onde d ´ um vetor n˜o e a nulo. Ent˜o temos ai′ (x + λd) ≥ bi , ∀i , ∀λ ∈ R. Para que isto ocorra, a ai′ d = 0 (se ai′ d < 0, tomar´ ıamos λ suficientemente grande e violariamos a restri¸˜o. Racioc´ an´logo vale se ai′ d > 0.) ca ınio a Entretanto, como os vetores a1 , . . . , an s˜o l.i., temos que d = 0. a Logo, temos uma contradi¸˜o e P n˜o pode conter uma linha. ca a Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 53. Otimalidade de pontos extremos Na medida em que um Programa Linear possui uma solu¸˜o ´tima e ca o na medida em que o conjunto de pontos vi´veis de um PL inclui pelo a menos um ponto extremo, ent˜o podemos sempre encontrar uma a solu¸˜o ´tima no conjunto de pontos extremos. ca oTeoremaConsidere o Programa Linear que consiste em minimizar c ′ x em umpoliedro P. Assuma que P possui pelo menos um ponto extremo e queexista uma solu¸˜o ´tima para o Programa Linear. Ent˜o, existe uma ca o asolu¸˜o ´tima que ´ um ponto extremo de P. ca o eTeoremaConsidere o Programa Linear que consiste em minimizar c ′ x em umpoliedro P. Assuma que P possui pelo menos um ponto extremo. Ent˜o, aou o custo ´timo ´ −∞ ou existe um ponto extremo de P que ´ ´timo. o e eo Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca