[Alexandre] 1. Introducao

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[Alexandre] 1. Introducao

  1. 1. Programa¸˜o Linear ca Alexandre Salles da Cunha DCC-UFMG, Mar¸o 2010 cAlexandre Salles da Cunha Programa¸˜o Linear ca
  2. 2. Vamos considerar o seguinte problemaPedro deseja saber conhecer o m´ ınimo or¸amento que precisa gastar cdiariamente para satisfazer suas necessidades di´rias de nutrientes, a asaber: Prote´ınas: 55 g C´lcio: 800 mg a Energia: 2000 Kcal.Para obter estas fontes de nutrientes, Pedro disp˜e dos seguintes oalimentos: Alimento Tamanho da Energia Proteina C´lcio a Pre¸o da c por¸˜o ca (kcal) (g) (mg) por¸˜o ca (centavos) Cereais 28 g 110 4 2 3 Frango 100 g 205 32 12 24 Ovos 2 grandes 160 13 54 13 Leite 237 cc 160 8 285 9 Carne porco 260 g 260 14 80 19 Alexandre Salles da Cunha Programa¸˜o Linear ca
  3. 3. O problema a resolverDentre todas as dietas (combina¸˜es de alimentos) que garantam a cosatisfa¸˜o da ingest˜o m´ ca a ınima de nutrientes, apresente uma cujo custoseja m´ınimo. Identificar uma estrutura linear entre o custo e a satisfa¸ao das c˜ necessidades nutricionais com a ingest˜o de nutrientes. a Formular um Problema de Otimiza¸˜o adequado. ca Resolver o Problema. Alexandre Salles da Cunha Programa¸˜o Linear ca
  4. 4. Formulando o problemaSeparando os dados do problema dos valores atribu´ ıdos ` instˆncia do a aproblema. Conjunto de nutrientes a satisfazer: I . Necessidade di´ria de cada nutriente: {di : ∀i ∈ I } a Conjunto de alimentos considerados na dieta: J Pre¸o da por¸˜o do alimento j: pj c ca Quantidade do nutriente i fornecido por por¸˜o do alimento j: ca {Qij , ∀i ∈ I , ∀j ∈ J} Alexandre Salles da Cunha Programa¸˜o Linear ca
  5. 5. Formulando o problema 1 Vari´veis de decis˜o: xj ir´ representar a quantidade de por¸oes do a a a c alimento j que dever´ ser ingerida diariamente. a 2 Fun¸˜o objetivo: minimizar o custo da dieta: ca min pj xj j∈J 3 Restri¸˜es do problema: co 1 Satisfa¸˜o das necessidades di´rias de cada nutriente: ca a Qij xj ≥ di , ∀i ∈ I j∈J 2 N˜o negatividade da quantidade ingerida de cada alimento: a xj ≥ 0, ∀j ∈ J. Alexandre Salles da Cunha Programa¸˜o Linear ca
  6. 6. Resolvendo o Problema Trata-se de um Problema de Programa¸˜o Linear ca Para fins ilustrativos, usaremos o pacote GLPK para sua resolu¸˜o e a ca linguagem de modelagem AMPL do GLPK. glpsol --model dieta.mod --output dieta.out Alexandre Salles da Cunha Programa¸˜o Linear ca
  7. 7. Solu¸˜o do problema da dieta caStatus: OPTIMAL Objective: CustoTotal = 67.09635836 (MINimum)No. Row name St Activity Lower bound Upper bound Marginal------ ------------ -- ------------- ------------- ------------- -------------1 CustoTotal B 67.09642 MinNutrientes[Energia]NL 2000 2000 0.02697393 MinNutrientes[Proteina]B 78.6336 554 MinNutrientes[Calcio]NL 800 800 0.0164357No. Column name St Activity Lower bound Upper bound Marginal------ ------------ -- ------------- ------------- ------------- -------------1 x[Cereal] B 14.2443 02 x[Frango] NL 0 0 18.27313 x[Ovos] NL 0 0 7.796654 x[Leite] B 2.70706 05 x[Porco] NL 0 0 11.6745 Alexandre Salles da Cunha Programa¸˜o Linear ca
  8. 8. Resolvendo um pequeno problema graficamente max x1 + x2 x1 + 2x2 ≤ 3 2x1 + x2 ≤ 3 x1 , x2 ≥ 0 Alexandre Salles da Cunha Programa¸˜o Linear ca

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