Este documento presenta varios ejemplos de modelos matemáticos, incluyendo modelos de crecimiento de población, el problema del carpintero, un modelo de mezclas y un problema de distribución. También describe el proceso general de modelización matemática, que involucra simplificar un problema del mundo real, traducirlo a términos matemáticos para crear un modelo matemático, resolver el modelo y aplicar la solución al problema original.

1. Curso: Modelosmatemáticosy funciones
Alumno: Diego Landa Cuyubamba
Modelos matemáticos
Población
872
881
889,8
898,4
906,9
915,2
922,8
930,3
937,7
PoblaciónVIIRegión(Chile)
población
Año
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
950
940
930
920
910
900
890
880
870
860
1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003
años
Actividad:Leerlossiguientescomentariosquediversosautoreshanexpresadosobrelatemáticadela
modelaciónenmatemática.Acontinuaciónredactarunpárrafoexplicando,ensuspropiaspalabras, lo
entiende por modelo matemático.
¿Cómo podemos explicar
que las matemáticas,
un producto de la mente humana
independiente de la experiencia,
encajentanbien
en los objetos
y elementos
de la realidad?.
Albert Einstein, 1938.
que
La Modelación Matemática es un proceso de
elegir características que describen
adecuadamente un problema de origen no
matemático, para llegar a colocarlo en un
lenguaje matemático. La Modelación es un
proceso iterativo en que una etapa de
validación frecuentemente lleva a
diferencias entre las predicciones basadas
en el modelo y la realidad.
TimO’Shea, John Berry, 1982.
Un modelo matemático es una estructura
matemática que describe
aproximadamente las características de
un fenómeno concreto.
Frank Swetz, 1992.
A Modelación matemática es un proceso
dinámico de busca de modelos adecuados,
que sirvan de prototipos
de alguna situación. Rodney Bassanezi,
1994.
Un conjunto de símbolos e relaciones
matemáticas que traducen, de alguna
forma, un fenómeno particular o un
problema de la realidad
Maria Salett Biembengut, 1998.
El modelaje es
"el arte de aplicar las matemáticas
a la vida real".
Mogen Niss, 1991.
Universidad deTalca
Instituto deMatemática y Física
Profesores:Juanita ContrerasS.
Claudio delPino O.
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2. Curso: Modelosmatemáticosy funciones
Alumno: Diego Landa Cuyubamba
Un primer ejemplo: Alumbrado Público
Elconsejomunicipalhadecididoponerunreflectorenunpequeñoparquetriangulardemanera
ilumine todo el parque. ¿Dónde debería ubicarse el reflector?
que
éste
Esteproblema,decaráctersocial,sepuederesolver siguiendo la estrategia general que aplican los
matemáticos,esdecir,a travésdelamatematizacióndelproblema.Lamatematizaciónconstade cinco
aspectos:
a)Separtedeunproblemadelmundoreal: Establecerlaubicaciónóptimaparaunreflectorenun parque.
b)Seformulaelproblemaentérminosdeconceptosmatemáticos: Elparquesepuederepresentar como un
triángulo, y la iluminación como uncírculo con el reflector en el centro.
c)Gradualmenteseabstraedelarealidadatravésdeprocesostalescomohacersupuestossobre
cuáles
aspectos del problema son importantes, la generalización del problema y su
formalización(estospermitentransformarelproblemarealenunproblemamatemático
que
representala situaciónenformafehaciente).Elproblemaseconvierteen ubicarelcentrodeun círculo
que circunscriba el triángulo.
d)Seresuelveelproblemamatemático:basándoseen
elhechodequeelcentrodeuncírculoque
circunscribeuntriánguloyaceenelpuntodeinterseccióndelosbisectoresperpendicularesde
losladosdeltriángulo,construirlosbisectores perpendicularesdedosdelosladosdeltriángulo.
El
punto de intersección de los bisectores es el centro del círculo.
e)Se hace conciencia de la solución matemática en términos de la situación real.
Relacionar este hallazgo con el parque real. Reflexionar sobre la solución y reconocer, por
ejemplo, que si una de las tres esquinas del parque fuera un ángulo obtuso, está solución no
funcionaría, pues el reflector quedaría por fuera del parque. Reconocer que la localización y
tamaño de los árboles del parque son otros factores que afectan la utilidad de la solución
matemática.
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3. Curso: Modelosmatemáticosy funciones
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Un ejemplo clásico: Ley de enfriamiento de Newton
La expresión general de la función que modela la “Ley de enfriamiento de Newton” es
T=A+(T0 −A)e−kt
siendo:
ƒ T=T(t) temperatura (en grados) comofunción del tiempo t (en minutos).
ƒ A= temperatura del medio ambiente
ƒ T0= temperatura inicial del elemento que se enfría (agua en este caso).
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4. Curso: Modelosmatemáticosy funciones
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Esquema general del proceso de modelización
Problema
SITUACIÓN DEL MUNDO
(1) Simplificación
Problema simplificado
MODELO DEL MUNDO REAL
(4) Solución
(2) Traducción
matemática
Ecuación,función,sistema,…
MODELO MATEMÁTICO
(3) Aplicación de
métodosmatemáticos
Resolver,graficar,…
CONCLUSIONES
(1) Presentación de una situación simplificada del mundo real.
(2) Traducción de la situación en terminología matemática y obtención del modelo.
(3) Trabajar sobre el modelo y resolución del problema.
(4) Presentación de la solución (en términos no matemáticos).
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5. Curso: Modelosmatemáticosy funciones
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Ejemplos de modelos
a)Crecimientode poblaciones
Enelaño1980lapoblacióndeunaciudaderade2500yen1990de3350.
Suponiendo
poblacióncreceaunritmoconstanteproporcionalalapoblaciónexistenteencadamomento,
población para el año 2010.
Modelodelproblema:SiN=N(t)eslafunciónquerepresentaeltamañodelapoblaciónenel
entonces la relación matemática que modela esta situación es:
que
estimar
la
la
instante
t,
dN
=kN
dt
.
Contenidomatemático:ecuacionesdiferenciales.
b)El Problema del Carpintero
Durante un par de sesiones de tormenta de ideas con un carpintero (nuestro cliente), éste nos
comunicaquesólofabricamesasysillasyquevende todaslasmesasylassillasquefabricaenun mercado. Sin
embargo, no tiene un ingreso estable y desea optimizar esta situación.
Elobjetivo esdeterminarcuántas mesasysillas deberíafabricarparamaximizarsusingresosnetos.
Comenzamos concentrándonos en un horizonte de tiempo, es decir, un plazo de planificación, para
revisar nuestra solución semanalmente,sifueranecesario.Parasabermásacercadeesteproblema,
debemosiralnegociodelcarpinteroyobservarloquesucedey medirloquenecesitamospara formular (para
crear un modelo de) su problema. Debemos confirmar que su objetivo es maximizar sus ingresos
netos. Debemos comunicarnos con el cliente.
Elproblemadelcarpinterosetratadedeterminarcuántasmesasysillasdebefabricarporsemana;
pero primero se debe establecer una función objetivo.
Lafunciónobjetivoes:5X1+3X2,dondeX1yX2representanlacantidaddemesasysillas;y5y
3representanlosingresosnetos(porejemplo,enpesosocientosdepesos)delaventadeunamesa
yunasilla,respectivamente.Losfactoreslimitantes,quenormalmenteprovienendelexterior,son
las
limitaciones de la mano de obra (esta limitación proviene de la familia del carpintero) y los
recursosdemateriaprima(estalimitaciónprovienedelaentregaprogramada).Semidenlos tiempos de
producción requeridos para una mesa yuna silla en distintos momentos del día y se
calculanen2horasy1hora,respectivamente.Lashoraslaboralestotalesporsemanasonsólo40.
Lamateriaprimarequeridaparaunamesayunasillaesde1y2unidades,respectivamente.El abastecimiento
total de materia prima es de 50 unidades por semana. En consecuencia, esta situación viene
modelada por:
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6. Curso: Modelosmatemáticosy funciones
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Maximizar 5 X1+ 3 X2
Sujeta a: 2 X1+ X2 ≤40
X1+ 2 X2 ≤50
X1 ≥0
X2 ≥0
Contenido matemático: programación lineal.
c)Un modelo para mezclas
Un farmacéuticodebe preparar 15ml de gotas especiales para un paciente con glaucoma. La
solucióndebetener2%deingredienteactivo,perosólotienedisponiblessolucionesal10%yal
1%. ¿Qué cantidad de cada solucióndebe usar para completar la receta?
Para ayudar a entender el problema, setraza un esquema, como el siguiente.
Sea x = cantidad de ml de la solución al 10%
Cantidad de ml en cada caso
Cantidad de ingrediente activo
en cada caso
A
x
0.1x
B
15-x
0.01(15-x)
C
15
0.02⋅15
Luego, la situación presentada queda modelada por:
0.1x+(15−x )=0.02⋅15
Contenido matemático: ecuaciones lineales.
d)Problema de los 7 puentes de Koenigsberg
"EnlaciudaddeKoenigsberg,enPrusia,hayunaislaA,llamadaKneiphof,rodeadaporlosdos
brazosdelríoPregel.Haysietepuentes,a,b,c,d,e,fyg,quecruzanlosdosbrazosdelrío.La
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7. Curso: Modelosmatemáticosy funciones
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cuestiónconsisteendeterminarsiunapersonapuederealizarunpaseodetalformaquecrucecada uno de
estos puentes una sola vez".
Contenido matemático: Teoría de grafos1.
e)Un problema de distribución
Una compañía maderera tiene un contrato con una distribuidora local para proveerlesdemaderade
tresvariedades:A(lodgepolepine),B(spruce)yC(Douglasfir).Mensualmentedebeentregar,de la primera
variedad 1000m3, de la segunda 800m3 y de la última 600m3. La compañía maderera
disponedetresregionesplantadasconlasvariedadesdemaderassolicitadas.Enlasiguientetabla
sedetalla,porregión,losporcentajesdisponiblesdecadavariedad(densidad),juntoalvolumen total de
madera disponible por hectárea.
Región
Oeste
Norte
Este
Vol/Há(en m3)
330
390
290
A (en %)
70
10
5
B (en %)
20
60
20
C (en %)
10
30
75
¿Cuántashectáreassedebencortarencadaregiónparaentregarexactamenteelvolumenrequerido de cada
variedad de madera?
Sean:
x= Númerode hectáreas aserradas en la región Oeste.
y= Número de hectáreasaserradas en la región Norte.
z= Número de hectáreasaserradas en la región Este.
Luego el problema queda modelado por:
0.7x+0.1y+0.05z=1000
0.2x+0.6y+0.2z =800
0.1x+0.3y+0.75z=600
Contenido matemático: Sistema de ecuaciones lineales.
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Este tema será desarrolladoenel curso: Matemática discreta.
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