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Módulo 02 vectores
 

Módulo 02 vectores

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TEXTO DE VECTORES PRE UNIVERSITARIO

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    Módulo 02 vectores Módulo 02 vectores Document Transcript

    • CENTRO PRE UNIVERSITARIO UPT-CIENCIAS VECTORESVECTORES1. Magnitud Vectorial Es aquella magnitud que Vectores coplanares: Son aquellos vectoresaparte de conocer su valor numérico y su unidad que están contenidos en un mismo plano.respectiva, es necesario conocer también la Vectores iguales: Son aquellos vectoresdirección y sentido para que así dicha magnitud que tienen la misma intensidad, dirección ylogre estar perfectamente determinada. sentido. Vector opuesto (-A) Se llama vector2. Vector: Es un segmento de línea recta orientada opuesto (-A) de un vector A cuando tienen elque sirve para representar a las magnitudes mismo módulo, la misma dirección, perovectoriales. sentido contrario.    (a) A B C dirección sentido   C (b) A  ángulo direccional B θFigura 01: Representación de un vector (c)  B    A CA A : Se lee Vector A A A A : Se lee módulo del vector A2.1 Elementos de un vector:  (d) A Punto de aplicación.- Está dado por el origen del vector.  B Intensidad, módulo o magnitud.- Es el valor del vector, y generalmente, está dado en escala. ejm. 5 unidades de longitud equivale a 5 N (si se tratase de fuerza).  Sentido.- Es la orientación del vector. (Se (e) A indica viendo hacia a dónde apunta la flecha)  Dirección.- Está dada por la línea de acción A del vector o por todas las líneas rectas paralelas a él. (Lo indicamos por lo general Figura 02: Tipos de Vectores (a).colineales, por el ángulo direccional, medido desde el (b).concurentes, (c).coplanares, (d).iguales, eje positivo de x) (e).opuestos.2.2 Algunos tipos de vectores: 2.3 Operaciones Vectoriales Vectores colineales Son aquellos vectores 2.3.1 Producto De Un Vector Por Un Escalar que están contenidos en una misma línea de Cuando un vector se multiplica por un escalar, acción. resulta otro vector en la misma dirección y de Vectores concurrentes Son aquellos módulo igual a tantas veces el escalar por el vectores cuyas líneas de acción,se cortan en módulo del vector dado. Algunos ejemplos se un solo punto. muestran en la figura 3.Gladys Ofelia Cruz Villar 1 2009-II
    • CENTRO PRE UNIVERSITARIO UPT-CIENCIAS VECTORES Método del Triángulo Válido sólo para dos  vectores concurrentes y coplanares. El método -2 A es el siguiente. Se unen los dos vectores uno a  continuación del otro para luego formar un A Figura 03:  triángulo, el vector resultante se encontrará en 0.5 A Representación del la línea que forma el triángulo y su punto de Producto de los aplicación coincidirá con el origen del primer escalares 0.5 y -2 vector. por un vector A  B   B  A A 2.3.2 Adición De Vectores Sumar dos o más R vectores, es representarlos por uno sólo Figura 05: Suma de los vectores A y B llamado resultante. Este vector resultante por el método del triángulo. produce los mismos efectos que todos juntos. Hay que tener en cuenta que la suma vectorial Método del Polígono Válido sólo para dos o más no es lo mismo que la suma aritmética. vectores concurrentes y coplanares. El método es el siguiente. Se unen los dos vectores uno a      continuación del otro para luego formar un R A B C D polígono, el vector resultante se encontrará en la línea que forma el polígono y su punto de   aplicación coincidirá con el origen del primer A C vector     R B B D   C A Figura 03: Adición de Vectores por el método gráfico. Los vectores A, B, C, D, se convierten en un solo vector resultante  R. R Figura 06: Suma de los vectores A, B, C, Método del Paralelogramo Este método es por el método del polígono. válido sólo para dos vectores coplanares y concurrentes, para hallar la resultante se En el caso de que el origen del primer vector une a los vectores por el origen coincida con el extremo del último, el vector (deslizándolos) para luego formar un resultante es nulo; y al sistema se le llama paralelogramo, el vector resultante se “polígono cerrado” encontrará en una de las diagonales, y su punto de aplicación coincidirá con el origen común de los dos vectores.  A   R A θ θ   B B Figura 04: Suma de los vectores A y B Figura 07: Polígono cerrado La Suma de por el método del paralelogramo. los vectores A, B, C, D da como resultante cero.Gladys Ofelia Cruz Villar 2 2009-II
    • CENTRO PRE UNIVERSITARIO UPT-CIENCIAS VECTORES Resultante mínima de dos vectores: Dos Suma de Vectores Colineales: En este caso vectores tendrán una resultante mínima la resultante se determina mediante la suma cuando éstos se encuentren en la misma algebraica de los módulos de los vectores, dirección; pero en sentidos contrarios (θ= teniendo en cuenta la siguiente regla de 180°). signos.   A B + R=A-B Figura 10: Ejemplo de dos vectores en la __ + misma dirección pero sentido contrario. __ 2.3.3 Sustracción De Vectores Método del Triángulo En este caso se unen los dos vectores por sus orígenes y luego se Suma de Vectores Concurrentes y unen sus extremos, el vector “D” será el Coplanares: En este caso el módulo de la vector diferencia. resultante se halla mediante la siguiente fórmula (Ver Figura 08)  A  R A2 B2 2 AB cos  La dirección del vector se halla según la ley B de los senos (Ver Figura 08):   R A B A A sen sen sen   D D    B    B   D A B D B A   A R Figura 11: El vector diferencia con el β θ método del triángulo. α  Método del Paralelogramo En este caso se B invierte el sentido del vector que está Figura 08: Gráfica utilizada para acompañado del signo negativo; y luego se ejemplificar la ley de senos y cosenos. sigue el mismo procedimiento para adición de vectores por el método del Resultante máxima de dos vectores: Dos paralelogramo. vectores tendrán una resultante máxima cuando éstos se encuentren en la misma dirección y sentido (θ = 0°).  A    A B  D A θ 180 -θ R=A+B   B B Figura 09: Ejemplo de dos vectores en la Figura 12: Sustracción de vectores por el misma dirección y sentido. método del paralelogramo.Gladys Ofelia Cruz Villar 3 2009-II
    • CENTRO PRE UNIVERSITARIO UPT-CIENCIAS VECTORES Se cumple: y     A D A B D A2 B2 2 AB cos(180 ) u D A2 B2 2 AB cos x2.4 Componentes de un vector: Se denominan componentes de un vector a todos aquellos Figura 15: Representación del vector vectores que sumados por el método del Unitario polígono, dan como resultado un determinado El módulo del vector unitario siempre es uno. vector. Hay que tomar en cuenta que un vector puede tener infinitas componentes. 2.6 Versores Rectangulares Son aquellos vectores unitarios que se encuentran en los ejes coordenados rectangulares. Ahora tendremos: i : Vector unitario en el eje x (positivo). - i : Vector unitario en el eje x (negativo). j : Vector unitario en el eje y (positivo). Figura 13: Componentes del vector R. - j : Vector unitario en el eje y (negativo).2.4.1 Componentes rectangulares de un vector: Son aquellos vectores componentes de un ˆ j vector que forman entre sí un ángulo de 90°. y ˆ i ˆ i   Ax A ˆ j θ x  Ay Figura 14: Componentes rectangulares del Figura 16: Representación de los versores vector A rectangulares. En función de la figura 14, se cumple:    Aquí se cumple: A Ax Ay    A Ax Ay Ax A cos  A ˆ Ax i Ay ˆ j Ay Asen2.5 Vector Unitario Es un vector cuyo módulo es la 2.6 Suma de vectores por el método de unidad y tiene por misión indicar la dirección y componentes rectangulares Para hallar la sentido de un determinado vector. A dicho resultante por este método, se sigue los vector se le llama también versor. siguientes pasos:  1.- Se descomponen los vectores en sus El vector unitario u del vector A se representa componentes rectangulares. mediante la ecuación: 2.- Se halla la resultante en el eje x e y (Rx,  Ry), por el método de vectores colineales. A 3.- El módulo del vector resultante se halla u  A aplicando el teorema de Pitágoras. Podríamos representar el vector unitario como 2 2 se aprecia en la figura 15. R Rx RyGladys Ofelia Cruz Villar 4 2009-II
    • CENTRO PRE UNIVERSITARIO UPT-CIENCIAS VECTORES2.7 Producto escalar de dos vectores: el resultado es un vector, la dirección y el  ˆ sentido de este vector vienen determinados Sean los vectores u u x iˆ u y ˆ u z k j y  por la regla de la mano derecha v ˆ j ˆ v x i v y ˆ v z k que forman un ángulo Θ.  Se define el producto escalar u.v u v cos ,   u v el resultado no es un vector, es un escalar. El producto escalar cumple con la propiedad conmutativa.  v De esta definición se seduce que el producto escalar de dos vectores perpendiculares es  u siempre nulo y que el de dos vectores paralelos es el producto de sus módulos.   v u ˆ j ˆ Para los vectores unitarios i , ˆ, k , resultan las siguientes relaciones: El producto vectorial de dos vectores no ˆˆ i .i j j ˆˆ ˆ. ˆ k .k 1 cumple con la propiedad conmutativa, i. ˆ ˆj j ˆ ˆˆ ˆ.k k .i 0 cumpliéndose que:     En el caso de que los vectores estén u v =- v u expresados en componentes y utilizando las relaciones anteriores se obtiene que el PROBLEMAS producto escalar se calcula:  1. Para los vectores A, B, R, se tiene que R es el u.v u x v x u y v y u z vz vector resultante entre A y B.2.8 Producto vectorial de dos vectores:  ˆ Sean los vectores u u x iˆ u y ˆ u z k j y A B R  ˆ v v x i v y ˆ v z k que forman un ángulo Θ. ˆ j 7 15 20 Determinar el ángulo formado por los vectores Se define el producto escalar A y B.   u v u v sen , Para los vectores unitarios a) 37º b) 53º c) 30º d) 60º e) 45º ˆ j ˆ i , ˆ, k , resultan las siguientes relaciones: 3. Hallar el módulo de la resultante de los ˆ i j ˆ ˆ k vectores mostrados en la figura: j ˆ ˆ ˆ k i 25 u ˆ ˆ j k i ˆ a) 10 143º 2u En el caso de que los vectores estén b) 5 expresados en componentes y se obtiene el producto vectorial: c) 15 127º 10 u j ˆ iˆ ˆ k d) 25   u v ux uy uz e) N.A. vx v y vzGladys Ofelia Cruz Villar 5 2009-II
    • CENTRO PRE UNIVERSITARIO UPT-CIENCIAS VECTORES 9. En el hexágono regular de lado “L” 4. Determina el módulo de la resultante de los determinar el módulo de la resultante. Si “O” vectores colocados en el triángulo equilátero. es el centro del hexágono. a) 5√3 u a) 2L b) 7L b) 5√2 u 5u c) 9L O c) 10 √3 u d) 4L d) 10√2 u 10 u e) 6L e) 3 √3 u 10. Determine el módulo del vector resultante del sistema mostrado si “M”: punto medio, y 15 u  “O”: centro de la circunferencia, y a 4. 5. Dados dos vectores uno de módulo 5 y otro de módulo 3. ¿Qué ángulo existe entre ellos para obtener uno de módulo 7?  a) √5 a M  a) 15º b) 30º c) 45º d) 60º e) 120º b) √6 b 37º c) 2√5  6. Si el sistema mostrado tiene resultante 53º O c horizontal, determinar el módulo de los d) 3√5  vectores mostrados en la figura: e) 3√6 d a) 30 u 45 u 11. b) 15 u   La     Figura muestra 6 vectores A, B, C, D, E y F Halle 50 u        c) 10 u S A B 2C D E F . 53º   d) 50 u  60 u a) 2A  A D b) 2B e) 25 u    c) C+D  C d) E    B E e) 0 7. Se tienen dos vectores de igual módulo “a” que forman entre sí un ángulo Θ. Hallar el  F módulo de su diferencia. 12. Para el conjunto de vectores dados determine el vector unitario del vector a) 2a senΘ b) 2a cosΘ c) 2a sen resultante. 2 d) 2a sen e) 2a cos a) ( i ˆ) 2 ˆ j z 2 2 5 b) (i ˆ) 2 ˆ j 8. En el cuadrado el lado mide 2 u. Hallar el c) ˆ -i módulo de la resultante. d) -ˆj e) ˆ k y a) 2u b) 4u 5 c) 3u 5 d) 5u e) 0 xGladys Ofelia Cruz Villar 6 2009-II
    • CENTRO PRE UNIVERSITARIO UPT-CIENCIAS VECTORES 18. Se sabe que al sumar las tres fuerzas que   13. Se tienen los vectores A i ; B i ˆ y ˆ ˆ j se indican con una cuarta fuerza, se obtiene  que el módulo de la resultante es 50 N y que C ˆ j ˆ i ˆ k . Halle el valor de la expresión:    forma 53º con el semieje +x. Determine la V A B C. cuarta fuerza en N.  F =50N 1 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5  3 14. Dados los vectores A 2i 3 ˆ ; ˆ j    A B -7 4 ˆ 2 ˆ , determine   B i j A B -4 -4 a) 1,75 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ k b)0,68 k c)-1,75 k d)1,92 k e)-1,92 k  -7  15. En un sistema de coordenadas x,y,z, F3 =20√2 N F2 =60N rectangulares se dan los vectores:   A 0,8iˆ 0,6 ˆ y B j ˆ 4 ˆ . Indique 3i j a) 20i 60 ˆ ˆ j verdadero (V) o falso (F) en las siguientes proposiciones. b) 20i 40 ˆ ˆ j c) 28i 56 ˆ ˆ j i. Sólo A es vector unitario. d) 38i 66 ˆ ˆ j   ii. La magnitud A B es 4,8 e) 50iˆ 28 ˆ j   iii. El producto A ˆ B es 5 k      19. Si S A B , sonde A y B son vectores a) VVV b) FVV c) VFV d) VVF e) FFF unitarios, identifique la veracidad (V) o falsedad (F), de las proposiciones siguientes: 16. Hallar el ángulo β para que el módulo de la suma de los vectores sea mínimo  i. El módulo de S satisface: 0≤S≤2. y  ii. S también puede ser unitario.   a) 10º a iii. Si α = 60º es el ángulo entre A y B , b) 20º  luego S =3 c) 15º a 10º 50º x d) 25º a) VVV b) FVV c) VFF d) FFF e) VVF e) 30º β    a 20. Tres vectores A, B y C , tienen componentes x e y como se muestra en la tabla. 17. Si la resultante de los 3 vectores  Calcular el ángulo que forma el vector 3 A - mostrados es nula, hallar F y   2B+ C , con el eje x.  F a) 10 √3 12    A B C b) 12 √3 20º 70º x x 3 4 -1 c) 14√3 y 1 -2 1 d) 16√3 α a) 0 b) 45º c) 60º d) 90º e) 180º e) 2√3 24Gladys Ofelia Cruz Villar 7 2009-II