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Luis Alberto Laguado Villamizar               Diseñador Industrial         Mg Ingeniería de Materiales
CONTENIDO Estructura amorfa y cristalina Celdas Unitarias Redes de Bravais Parámetros de Red Índices de Miller
Estructuras en estado sólido  Amorfa               Cristalina
Estructura Amorfa Sus partículas presentan atracciones lo    suficientemente fuertes para impedir que la sustancia    flu...
Estructura Cristalina Presentan un arreglo interno ordenado, basado en    minúsculos cristales individuales cada uno con ...
Celda Unitaria El cristal individual es llamado  celda unitaria, está formado por  la repetición de ocho átomos. El cris...
Red Cristalina         Ordenamiento espacial de átomos y         moléculas que se repite sistemáticamente         hasta f...
Estructura Cristalina
Sistemas Cristalinos   http://naturalesmorato.blogspot.com/2010/10/los-tipos-de-cristales-y-sistemas.html
Redes de Bravaishttp://recursostic.educacion.es/ciencias/biosfera/web/alumno/1bachillerato/cristalizacion/contenido1.htm
Redes de BravaisSistema Cristalino   Redes de Bravais        NomenclaturaCÚBICO               Simple                  P o ...
Parámetros de Red El tamaño y la forma de la celda unitaria  se especifica por la longitud de las  aristas y los ángulos ...
Parámetros de Red  Sistema        Ejes      Ángulos                      Volumen Cristalino               entre ejesCúbica...
 Parámetro ao                                            (CS)                         a = 2r                             ...
(FCC)(Vista Frontal)  a√2         a      a                  a√2 = 4r                  a = 4r/√2
Posiciones atómicas   (CS)      (BCC)    (FCC)Esferas Rígidas   (CS)      (BCC)                      (FCC)
Átomos / Celda Cada una de las celdas unitarias tiene una  cantidad específica de puntos de red:  los vértices y los cent...
 Red Cúbica Simple (CS)  (8 vértices) x (1/8 átomos)= 1 átomo/celda Red Cúbica Centrada en el Cuerpo (BCC)  (1 átomo/cel...
Número de coordinación Es la cantidad de átomos que se encuentran en  contacto directo alrededor de un átomo, o la cantid...
No. Coordinación = 6                        No. Coordinación = 8                                (CS)                  (BCC...
Factor de empaquetamiento Es la fracción de espacio ocupada por los átomos,  suponiendo que son esferas duras que se encu...
Cálculo del factor: Estructura Cúbica Simple (a = 2r)FE = __(1 atomo/celda) (4πr³/3)___ = (4πr³/3)_ = π                 a...
Estructuras principales                 ao        Átomos                en                  Número de         Factor de Es...
Parámetros de red BCCmetal       Constante de red a (nm)   radio atómico r (nm)Cromo                0,289                 ...
Parámetros de red FCCmetal      Constante de red a (nm)   radio atòmico r (nm)Aluminio            0,405                   ...
Densidad teórica ρ La densidad teórica de un material se puede calcular con las propiedades de su estructura cristalina. ...
Cálculo de la densidad Determine la densidad del hierro (BCC),  parámetro de red: a = 0.2866nm  átomos/celda = 2  masa at...
Índices de MillerCOORDENADAS            VECTORES              PLANOS
Puntos de Red                z                0,0,1              0,1,1                        1,1,1        1,0,1          ...
Direcciones cristalográficas Los índices de Miller de las direcciones cristalográficas  se utilizan para describir direcc...
Procedimiento para determinar las direccionescristalográficas:1. Determinar las coordenadas del punto inicial y final2. Re...
z                                              Direcciones:                                    0,1,1     A = (1-0, 1-0, 0-...
Familias de direcciones Una Familia de direcciones es un grupo de direcciones  equivalentes, y se representa entre parént...
 Un material tiene las mismas propiedades en cada una  de las direcciones de una familia. Los metales se deforman con fa...
Ejercicio: Para las siguientes familias de direcciones, definir  todos los vectores posibles y dibujarlos en la celda  un...
Ejercicio:Por medio de los índices de Miller, identificar lassiguientes direcciones cristalográficas:                     ...
Solución:
Ejercicio:Por medio de los índices de Miller, identificar lassiguientes direcciones cristalográficas:
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Planos cristalográficos Un plano es un conjunto de átomos ubicados    en un área determinada                             ...
Procedimiento para identificación de planos:1. Identificar los puntos en donde el plano cruza los   ejes x, y, z. Si el pl...
Determinar los índices de Miller de los siguientes planos:    A: x=1, y=1, z=1    B: x=1, y=2, z=∞ (El plano no cruza el e...
Planos:(001), (110), (220), (020), (221), (1̄12), (1̄̄11)                                                ̄
 Los planos y sus negativos son iguales (0 2 0) = (0 2̄ 0) Los planos y sus múltiplos no son iguales, En cada celda uni...
Planos de la familia {1 1 1}    (111), (1̄11), (11̄1), (111̄), (1̄11), (11̄1̄), (1̄11̄), (1̄1̄1̄)                         ...
Ejercicio:En una celda unitaria cúbica, trazar la dirección [1 2̄ 1]y el plano (2̄ 1 0)   z                               ...
Ejercicio:Identificar los siguientes planos cristalográficos pormedio de los índices de Miller:
Solución:
Ejercicio:Identificar los siguientes planos cristalográficos pormedio de los índices de Miller:                           ...
Solución:
Direcciones y Planos de Deslizamientos
Densidad Planar En los planos metalográficos se puede medir la  cantidad de masa que ocupan los átomos con respecto  al á...
 Calcular la densidad planar de un plano 100 en una celda CS de Polonio, cuyo radio atómico es de 0.167nm                ...
Fracción de empaquetamiento planar Es la fracción de área ocupada por átomos dentro de un  plano específico. El resultad...
 Calcular la Fracción de empaquetamiento planar de un plano 100 en una celda CS                                  1       ...
Densidad lineal Cantidad de puntos de red por unidad de longitud a lo  largo de una dirección específica. Las direccione...
 Calcular la densidad lineal de la dirección [0 1 1] en  una celda FCC de cobre, cuyo radio atómico es de  0.127nm       ...
Fracción de empaquetamiento lineal Es la fracción de longitud ocupada por átomos dentro de una dirección específica.     ...
 Calcular la Fracción de empaquetamiento lineal en la  dirección [0 1 1] en una celda FCC de cobre, cuyo radio  atómico e...
Bibliografía ASKELAND Donald, PHULÉ Pradeep. Ciencia e  Ingeniería de los Materiales. Cuarta edición, Thomson,  México, 2...
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  1. 1. Luis Alberto Laguado Villamizar Diseñador Industrial Mg Ingeniería de Materiales
  2. 2. CONTENIDO Estructura amorfa y cristalina Celdas Unitarias Redes de Bravais Parámetros de Red Índices de Miller
  3. 3. Estructuras en estado sólido  Amorfa  Cristalina
  4. 4. Estructura Amorfa Sus partículas presentan atracciones lo suficientemente fuertes para impedir que la sustancia fluya, obteniendo un sólido rígido y con cierta dureza. No presentan arreglo interno ordenado sino que sus partículas se agregan al azar. Al romperse se obtienen formas irregulares Se ablandan dentro de un amplio rango de temperatura y luego funden o se descomponen. Ejemplos: Asfalto, Parafina, Ceras, Vidrios, algunos polímeros, algunos cerámicos.
  5. 5. Estructura Cristalina Presentan un arreglo interno ordenado, basado en minúsculos cristales individuales cada uno con una forma geométrica determinada. Los cristales se obtienen como consecuencia de la repetición ordenada y constante de las unidades estructurales (átomos, moléculas, iones) Al romperse se obtienen caras y planos bien definidos. Presentan puntos de fusión definidos, al calentarlos suficientemente el cambio de fase ocurre de una manera abrupta. Ejemplos: NaCl, Sacarosa, Sales en general, Metales, Algunos polímeros, Algunos cerámicos.
  6. 6. Celda Unitaria El cristal individual es llamado celda unitaria, está formado por la repetición de ocho átomos. El cristal se puede representar mediante puntos en los centros de esos átomos.
  7. 7. Red Cristalina  Ordenamiento espacial de átomos y moléculas que se repite sistemáticamente hasta formar un Cristal
  8. 8. Estructura Cristalina
  9. 9. Sistemas Cristalinos http://naturalesmorato.blogspot.com/2010/10/los-tipos-de-cristales-y-sistemas.html
  10. 10. Redes de Bravaishttp://recursostic.educacion.es/ciencias/biosfera/web/alumno/1bachillerato/cristalizacion/contenido1.htm
  11. 11. Redes de BravaisSistema Cristalino Redes de Bravais NomenclaturaCÚBICO Simple P o S (CS) Centrado en el Cuerpo I (CC) (BCC) Centrado en las Caras F (CCC) (FCC)TETRAGONAL Simple P o S (TS) Centrado en el Cuerpo I (TC)ORTORRÓMBICO Simple P o S (OS) Centrado en el Cuerpo I (OC) Centrado en las Caras F (OCC) Centrado en la Base C (OB)ROMBOÉDRICO Simple P o S (R)HEXAGONAL Simple P o S (H)MONOCLÍNICO Simple P o S (MS) Centrado en la Base C (MB)TRICLÍNICO Simple P o S (TS)
  12. 12. Parámetros de Red El tamaño y la forma de la celda unitaria se especifica por la longitud de las aristas y los ángulos entre las caras. Cada celda unitaria se caracteriza por seis números llamados Parámetros de Red, Constantes de Red o Ejes Cristalográficos. La longitud de las aristas se expresa en nanómetros o Angstrom, esta longitud depende de los diámetros de los átomos que componen la red
  13. 13. Parámetros de Red Sistema Ejes Ángulos Volumen Cristalino entre ejesCúbica a=b=c 90° los tres a³Tetragonal a=b≠c 90° los tres a²cOrtorrómbica a≠b≠c 90° los tres abcHexagonal a=b≠c Dos de 90° 0.866a²c y uno de 120°Romboédrica o a=b=c Diferentes a 90° a³√1-3cos²α+2cos³αTrigonal (todos iguales)Monoclínica a≠b≠c Dos de 90° abc senβ y uno diferente βTriclínica a≠b≠c Diferentes a 90° abc√1-cos²α-cos²β-cos²γ+2cosα (todos diferentes) cosβ cos γ
  14. 14.  Parámetro ao (CS) a = 2r (BCC)(Vista Superior) (Alzado del Triángulo) a√2 a a√3 a a a√2 a√3 = 4r a = 4r/√3
  15. 15. (FCC)(Vista Frontal) a√2 a a a√2 = 4r a = 4r/√2
  16. 16. Posiciones atómicas (CS) (BCC) (FCC)Esferas Rígidas (CS) (BCC) (FCC)
  17. 17. Átomos / Celda Cada una de las celdas unitarias tiene una cantidad específica de puntos de red: los vértices y los centros de las caras o el centro de la celda. Estos puntos de red están compartidos con las celdas vecinas:  un punto de red en un vértice pertenece simultáneamente a ocho celdas.  Un punto de red en una cara está compartido por dos celdas  Un punto de red centrado en el cuerpo solo pertenece a una celda.
  18. 18.  Red Cúbica Simple (CS) (8 vértices) x (1/8 átomos)= 1 átomo/celda Red Cúbica Centrada en el Cuerpo (BCC) (1 átomo/celda) + (1 átomo centro)= 2 átomos/celda Red Cúbica Centrada en las caras (FCC) (1 átomo/celda) + (6 caras x ½ átomo) = 4 átomos/celda
  19. 19. Número de coordinación Es la cantidad de átomos que se encuentran en contacto directo alrededor de un átomo, o la cantidad de vecinos más cercanos. Es una medida de qué tan compacto y eficiente es el empaquetamiento de los átomos. En la estructura cúbica simple, cada átomo tiene seis vecinos más cercanos en contacto. En la estructura cúbica centrada en el cuerpo, cada átomo tiene 8 vecinos más cercanos en contacto.
  20. 20. No. Coordinación = 6 No. Coordinación = 8 (CS) (BCC)(c) 2003 Brooks/Cole Publishing / ThomsonLearning™
  21. 21. Factor de empaquetamiento Es la fracción de espacio ocupada por los átomos, suponiendo que son esferas duras que se encuentran en contacto con su vecino más cercano Factor de empaquetamiento FE = __volumen de átomos)__ volumen de celda unitaria FE = (átomos/celda)(volumen de átomos) volumen de celda unitaria
  22. 22. Cálculo del factor: Estructura Cúbica Simple (a = 2r)FE = __(1 atomo/celda) (4πr³/3)___ = (4πr³/3)_ = π a³ 8r³ 6 FE = 0.52 = 52% empaquetamiento Porcentaje de la celda ocupada por los átomos
  23. 23. Estructuras principales ao Átomos en Número de Factor de Estructura por Ejemplos función coordinación empaquetamiento celda de rCúbica ao = 2r 1 6 0.52 Polonio,Simple (CS) MnαCúbica ao = 4r/√3 2 8 0.68 Fe, Ti, W,centrada en Mo, Nb, Ta,el cuerpo K, Na, V, Zr,(BCC) CrCúbica ao = 4r/√2 4 12 0.74 Fe, Cu, Au,centrada en Pt, Ag, Pb,las caras Ni, Al(FCC)Hexagonal ao = 2r 2 12 0.74 Ti, Mg, Zn,compacta co = Be, Co, Zr,(HCP) 1.633ao Cd
  24. 24. Parámetros de red BCCmetal Constante de red a (nm) radio atómico r (nm)Cromo 0,289 0,125Hierro 0,287 0,124Molibdeno 0,315 0,136Potasio 0,533 0,231Sodio 0,429 0,186Tántalo 0,330 0,143Volframio 0,316 0,137Vanadio 0,304 0,132
  25. 25. Parámetros de red FCCmetal Constante de red a (nm) radio atòmico r (nm)Aluminio 0,405 0,143Cobre 0,3615 0,128Oro 0,408 0,144Plomo 0,495 0,175Níquel 0,352 0,125Platino 0,393 0,139Plata 0,409 0,144
  26. 26. Densidad teórica ρ La densidad teórica de un material se puede calcular con las propiedades de su estructura cristalina. Densidad = __masa átomos__ volumen celda (# atomos / celda )(masa _ atomica ) Densidad _   (vol _ celda _ unitaria )(# avogadro)
  27. 27. Cálculo de la densidad Determine la densidad del hierro (BCC), parámetro de red: a = 0.2866nm átomos/celda = 2 masa atómica = 55.847gr/molvolumen = a³ = (2.866x10^-8cm)³ = 23.54x10^-24cm³/celda ρ = ______(2)(55.847)_______ = 7.882g/cm³ (23.54x10^-24)(6.02x10^23)
  28. 28. Índices de MillerCOORDENADAS VECTORES PLANOS
  29. 29. Puntos de Red z 0,0,1 0,1,1 1,1,1 1,0,1 0,0,0 0,1,0 y 1,0,0 1/2,1,0 1,1,0 x
  30. 30. Direcciones cristalográficas Los índices de Miller de las direcciones cristalográficas se utilizan para describir direcciones específicas en la celda unitaria Las direcciones cristalográficas se usan para indicar determinada orientación de un cristal Como las direcciones son vectores, una dirección y su negativa representan la misma línea, pero en direcciones opuestas Una dirección y su múltiplo son iguales, es necesario reducir a enteros mínimos
  31. 31. Procedimiento para determinar las direccionescristalográficas:1. Determinar las coordenadas del punto inicial y final2. Restar las coordenadas del final menos el inicial3. Eliminar las fracciones o reducir los resultados obtenidos a los enteros mínimos4. Encerrar los índices entre corchetes rectos [ ], los signos negativos se representan con una barra horizontal sobre el número
  32. 32. z Direcciones: 0,1,1 A = (1-0, 1-0, 0-0) = [1 1 0] 0,0,1 B = (1/2-0, 1-0, 0-0) = [1/2, 1, 0] = [1 2 0] D 1,1,1 C = (1-0, 1-0, 1-0) = [1 1 1] 1,0,1 D = (0-1, 0-0, 1-0) = [-1, 0, 1] = [̄ 1̄ 0 1] C E E = (1-0, 1-1, 1-0) = [1, 0, 1] = [ 0 1] 0,0,0 0,1,0 y A B 1/2,1,0 1,0,0 1,1,0x
  33. 33. Familias de direcciones Una Familia de direcciones es un grupo de direcciones equivalentes, y se representa entre paréntesis z -1,0,1 inclinados < > 0,-1,1 0,1,1 1,0,1 -1,-1,0 -1,1,0 0,0,0 y 1,-1,0 1,1,0 -1,0,-1 0,-1,-1 0,1,-1 x 1,0,-1
  34. 34.  Un material tiene las mismas propiedades en cada una de las direcciones de una familia. Los metales se deforman con facilidad en direcciones donde los átomos están en contacto más estrecho Las propiedades magnéticas del hierro y otros materiales dependen de las direcciones metalográficas Es más fácil magnetizar el hierro en las direcciones 100
  35. 35. Ejercicio: Para las siguientes familias de direcciones, definir todos los vectores posibles y dibujarlos en la celda unitaria Cúbica: < 100 > < 111 >
  36. 36. Ejercicio:Por medio de los índices de Miller, identificar lassiguientes direcciones cristalográficas: (c) 2003 Brooks/Cole Publishing / Thomson Learning
  37. 37. Solución:
  38. 38. Ejercicio:Por medio de los índices de Miller, identificar lassiguientes direcciones cristalográficas:
  39. 39. Solución:
  40. 40. Planos cristalográficos Un plano es un conjunto de átomos ubicados en un área determinada Learning Publishing / Thomson Los índices de Miller sirven para identificar planos específicos dentro de una estructura cristalina Este sistema sirve para identificar planos de deformación o de deslizamiento Se utiliza para determinar diferentes niveles de energía superficial Sirven para determinar el sentido de crecimiento de cristales en algunos materiales
  41. 41. Procedimiento para identificación de planos:1. Identificar los puntos en donde el plano cruza los ejes x, y, z. Si el plano pasa por el origen de coordenadas, este se debe mover para poder ubicar una distancia.2. Determinar los recíprocos de esas intersecciones.3. Simplificar las fracciones, sin reducir a enteros mínimos.4. Los tres números del plano se representan entre paréntesis, los negativos se identifican con una línea horizontal sobre el número
  42. 42. Determinar los índices de Miller de los siguientes planos: A: x=1, y=1, z=1 B: x=1, y=2, z=∞ (El plano no cruza el eje z) C: x=∞, y=-1, z= ∞ (El plano pasa por el origen, mover a y=1) z A: 1/1, 1/1, 1/1 (1 1 1) 0,0,1 B: 1/1, 1/2, 1/∞ (2 1 0) C C: 1/∞, 1/-1, 1/∞ (0 1̄ 0) 1,0,1 A B 0,0,0 0,1,0 0,2,0 y 1,0,0x
  43. 43. Planos:(001), (110), (220), (020), (221), (1̄12), (1̄̄11) ̄
  44. 44.  Los planos y sus negativos son iguales (0 2 0) = (0 2̄ 0) Los planos y sus múltiplos no son iguales, En cada celda unitaria, los planos de una familia representan grupos de planos equivalentes, se representan con corchetes { } En los sistemas cúbicos, una dirección que tiene los mismos índices que un plano es perpendicular a ese plano Planos de la familia {110}
  45. 45. Planos de la familia {1 1 1} (111), (1̄11), (11̄1), (111̄), (1̄11), (11̄1̄), (1̄11̄), (1̄1̄1̄) ̄ z z (111) (1̄1̄1) ̄ yx Los Planos 111 y (1̄1̄1̄) son x paralelos
  46. 46. Ejercicio:En una celda unitaria cúbica, trazar la dirección [1 2̄ 1]y el plano (2̄ 1 0) z y x
  47. 47. Ejercicio:Identificar los siguientes planos cristalográficos pormedio de los índices de Miller:
  48. 48. Solución:
  49. 49. Ejercicio:Identificar los siguientes planos cristalográficos pormedio de los índices de Miller: Learning (c) 2003 Brooks/Cole Publishing / Thomson
  50. 50. Solución:
  51. 51. Direcciones y Planos de Deslizamientos
  52. 52. Densidad Planar En los planos metalográficos se puede medir la cantidad de masa que ocupan los átomos con respecto al área del plano. Los procesos de deformación de los materiales se producen donde la densidad es alta, y se deforma por el deslizamiento de los átomos en ese plano. (𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜) 𝜌𝑝 = 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜
  53. 53.  Calcular la densidad planar de un plano 100 en una celda CS de Polonio, cuyo radio atómico es de 0.167nm 1 ( 4 ∗ 4) 𝜌𝑝 = (2𝑟)2 1 𝜌𝑝 = (2𝑟)2 = 8.96 átomos/nm² a = 2r
  54. 54. Fracción de empaquetamiento planar Es la fracción de área ocupada por átomos dentro de un plano específico. El resultado se multiplica por 100 y se obtiene el porcentaje de área de átomos que ocupan el plano. (𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜)(𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜)𝐹𝐸 𝑝 = 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜
  55. 55.  Calcular la Fracción de empaquetamiento planar de un plano 100 en una celda CS 1 ( 4 ∗ 4)(𝜋𝑟 2 ) 𝐹𝐸 𝑝 = (2𝑟)2 a = 2r 1 (𝜋𝑟 2 ) 𝜋 𝐹𝐸 𝑝 = 2 = 4 = 0.78 = 78% (2𝑟)
  56. 56. Densidad lineal Cantidad de puntos de red por unidad de longitud a lo largo de una dirección específica. Las direcciones con alta densidad lineal indican direcciones de deformación. (𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑙í𝑛𝑒𝑎) 𝜌𝑙 = 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎
  57. 57.  Calcular la densidad lineal de la dirección [0 1 1] en una celda FCC de cobre, cuyo radio atómico es de 0.127nm 2 𝜌𝑙 = 4𝑟 2 𝜌𝑙 = 4(0.127) = 3.93 átomos/nm
  58. 58. Fracción de empaquetamiento lineal Es la fracción de longitud ocupada por átomos dentro de una dirección específica. 𝐹𝐸 𝑙 = (𝐷𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙)(𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑒𝑡𝑖𝑐𝑖ó𝑛)
  59. 59.  Calcular la Fracción de empaquetamiento lineal en la dirección [0 1 1] en una celda FCC de cobre, cuyo radio atómico es de 0.127nm 𝐹𝐸 𝑙 = (𝜌 𝑙 )(2𝑟) 𝐹𝐸 𝑙 = (3.93)(2𝑟) =1 100% Esta es una dirección compacta
  60. 60. Bibliografía ASKELAND Donald, PHULÉ Pradeep. Ciencia e Ingeniería de los Materiales. Cuarta edición, Thomson, México, 2004. ARENAS de Pulido Helena. El estado sólido y propiedades de los materiales. Universidad Industrial de Santander, Bucaramanga, 1994.
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