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Funciones

  1. 1. Funciones Rosa Margarita López UNIVERSIDAD INTERAMERICANA DE PUERTO RICO Recinto de Ponce Departamento de Estudios Graduados
  2. 2. Funciones II <ul><li>Funciones </li></ul><ul><li>Inversas </li></ul>Funciones Exponenciales Funciones Logarítmicas Funciones Trigonométrica Inversas
  3. 3. Funciones Inversas
  4. 4. <ul><li>Definir la inversa de una función. </li></ul><ul><li>Verificar si dos funciones son inversas. </li></ul><ul><li>Trazar la gráfica de la inversa de una función. </li></ul><ul><li>Dada la tabla de valores de una función, encontrar los valores de la inversa. </li></ul><ul><li>Encontrar la inversa de una función algebraicamente. </li></ul>Objetivos
  5. 5. Def. Una función f se dice que es uno a uno si, para cualquiera números x 1 y x 2 , x 1  x 2 , en el dominio de f , tenemos que f ( x 1 )  f ( x 2 ). Ejemplos: Determina si las funciones son 1-1. La función es u n o a u n o. 2. {(-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1)} La función n o es u n o a u n o . 1. {(1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16)}
  6. 6. Teorem a: Prueba de la línea Horizontal. Si alguna líne a horizontal intersec a la gr áfica de un a funci ó n f e n m á s de u n p u nt o , en tonces f no es una función 1-1.
  7. 7. Ej . Use la gr áfica para determin ar si la funci ó n es 1-1.
  8. 8. Def. Sea una función uno a uno. Decimos que es es la función inversa de si y para todo en el dominio de y todo en el dominio . Denotamos la inversa de por . Nota:
  9. 9. Domin io de f Alcance de f
  10. 10. ¿ Cu á ndo una función tiene una función inversa? <ul><li>Considere la siguiente función: </li></ul><ul><li>Halla su función inversa: </li></ul>x 3 2 - 2 4 7 5 10 2 3 4 -1 6 8 -3 x 2 3 4 -1 6 8 -3 3 2 -2 4 7 5 10
  11. 11. Teorem a: La gr áfica de un a funci ó n f y la gr áfica de s u invers a son s i m é tric as con respect o a la líne a identidad y = x .
  12. 12. y = x (2, 0) (0, 2)
  13. 13. Ej. Verificar si las funciones son inversas.
  14. 14.
  15. 15. Ej. Construir la tabla de la función inversa. x -6 -4 -2 0 2 4 6 -10 -8 -4 1 3 7 10 x -10 -8 -4 1 3 7 10
  16. 16. Ej. Halla la invers a de La funci ó n e s 1- 1 . 3 . f x x x ( ) ,    5 3
  17. 17.
  18. 18.
  19. 19. Ej. Encuentra la función inversa de:
  20. 20. Función Logarítmica
  21. 21. Objetivos <ul><li>Reconocer y analizar las funciones logarítmicas </li></ul><ul><li>Estudiar sus gráficas. </li></ul><ul><li>Aplicar dichas funciones a la solución de problemas. </li></ul>
  22. 22. Tabla de contenido Definición de logaritmo Logaritmo natural Funición inversa exponencial Escribir ecuaciones logarítmicas como ecuaciones Determinar logaritmos comunes y naturales Función inversa logaritmo Evaluar logaritmos Logaritmo común Dominio y alcance de la función logaritmo Gráficas de funciones logarítmicas con base mayor que 1 Ecuaciones logarítmicas Problemas de Aplicación Gráficas de funciones logarítmicas con base menor que 1 Selecciona el tema que trabajarás Leyes de los logaritmos
  23. 23. Logaritmos El logaritmo de x con base b está definido por: Ej.
  24. 24. Escribir ecuaciones logarítmicas como ecuaciones exponenciales y viceversa <ul><li>La ecuación exponencial es de la forma donde </li></ul>argumento o resultado Presiona aquí para continuar Si observas la base 2 en la forma exponencial se escribe un poco más abajo del logaritmo, el resultado se escribe al lado del logaritmo y el exponente fuera. Es muy distinto a la forma exponencial. Entonces si tenemos 2 4 = 16 en forma exponencial al escribirla en forma logarítmica es así: log 2 16 = 4 b c = a Forma logarítmica log b a = c
  25. 25. Ejemplos Ej. Resuelve cada ecuación
  26. 26. Escribir ecuaciones logarítmicas como exponenciales y viceversa <ul><li>Intenta lo siguiente: Selecciona la respuesta </li></ul><ul><li>correcta . </li></ul><ul><li>La forma exponencial del log 10 10 = 1 es: </li></ul><ul><li>a . 10 10 = 1 b . 1 10 = 10 c . 10 1 = 10 </li></ul><ul><li>2. La forma logarítmica de 3 3 = 27 es: </li></ul><ul><li>a . log 3 27 = 3 b . log 27 3 = 3 c . log 3 3 = 27 </li></ul>
  27. 27. Notación: Logaritmo Común Logaritmo Natural Leyes de Logaritmos Conociendo las propiedades podrás evaluar los logaritmos Presiona aquí para continuar
  28. 28. Ejemplo Utilizando las leyes de logaritmo simplifica la expresión:
  29. 29. Evaluar logaritmos <ul><li>Para evaluar un logaritmo observa el siguiente ejemplo: </li></ul><ul><li>log 4 16 = x </li></ul><ul><li>Puedes hacerte la siguiente pregunta: ¿ 4 elevado a qué potencia es 16? </li></ul><ul><li>En este momento puedes cambiarlo a forma exponencial, así: </li></ul><ul><li>4 x = 16 </li></ul><ul><li>4 x = 4 2 </li></ul><ul><li>x = 2 </li></ul>El 16 lo represento en forma exponencial Al ser las bases iguales los exponentes también son iguales Entonces: log 4 16 = 2 Presiona aquí para continuar
  30. 30. Evaluar logaritmos <ul><li>Evalúa los siguientes logaritmos. </li></ul><ul><li>log 3 81 = </li></ul><ul><li>log 5 125 = </li></ul><ul><li>log 4 256 = </li></ul><ul><li>log 2 32 = </li></ul>Es tu turmo Presiona para verificar tus respuestas
  31. 31. Evaluar logaritmos <ul><li>Soluciones </li></ul><ul><li>log 3 81 = 4 </li></ul><ul><li>log 5 125 = 3 </li></ul><ul><li>log 4 256 = 4 </li></ul><ul><li>log 2 32 = 5 </li></ul>
  32. 32. Logaritmo Común ( denominados también como logaritmos de Brigg) <ul><li>La función logarítmica con base 10 se conoce como función logaritmo común. </li></ul><ul><li>La misma se evalúa con la tecla de </li></ul><ul><li>en la calculadora. Para usar esta tecla, debes cambiar la base. </li></ul><ul><li>Fórmula de Cambio de base: </li></ul><ul><li>log a x = log 10 x </li></ul><ul><li>log 10 a </li></ul>log
  33. 33. Logaritmo Natural ( logaritmos neperianos ) <ul><li>Si x es un número real positivo, entonces el logaritmo natural de x se denota por: </li></ul><ul><li>log e x o ln x </li></ul><ul><li>( la segunda notación es la más común) </li></ul><ul><li>Una función dada por f ( x ) = a + ln b x es llamada función logaritmo natural. </li></ul><ul><li>Ejemplo: Resuelve </li></ul>Presiona aquí para continuar
  34. 34. Logaritmo Natural ( logaritmos neperianos ) <ul><li>Ejemplo: Resuelve </li></ul>Aplicar ln en ambos lados
  35. 35. Determinar logaritmos comunes y naturales <ul><li>Intenta tu lo siguiente: </li></ul><ul><li>Halla el logartimo </li></ul><ul><li>común de: </li></ul><ul><li>log 2 10 = </li></ul><ul><li>log 3 10 = </li></ul><ul><li>log 6 216 = </li></ul><ul><li>log 5 12 = </li></ul>e. ln 52400 f. ln 2.35 g. ln x = 2.386 Verifica tu respuesta
  36. 36. Determinar logaritmos comunes y naturales <ul><li>Soluciones: </li></ul><ul><li>log 2 10 ≈ 3.32 </li></ul><ul><li>log 3 10 ≈ 2.10 </li></ul><ul><li>log 6 216 = 3 </li></ul><ul><li>log 5 12 ≈ 1.54 </li></ul><ul><li>e. ln 52400 ≈ 10.87 </li></ul><ul><li>f. ln 2.35 ≈ 0.85 </li></ul><ul><li>g. ln x = 2.386 </li></ul>Verifica tu respuesta ln x = 2.386 e 2.386 = x 10.87
  37. 37. Dominio y alcance de la función logaritmo <ul><li>El dominio de una función logarítmica es el conjunto de todos los números reales positivos y su rango es el conjunto de los números reales. </li></ul>Presiona aquí para continuar
  38. 38. Función Logarítmica La función logarítmica de x con base b está definida por: Propiedades: 1. Dominio: ( 0,  ) 2. Rango: ( -  ,  ) 3. Intercepto en x : (1, 0) 4. Continua en (0,  ) 5. Creciente en (0,  ) si b > 1 6. Decresiente en (0,  ) si b < 1
  39. 39. Gráficas de funciones logarítmicas con base mayor que 1 <ul><li>La gráfica siempre contendrá al punto (1,0), ya que log a 1 = 0 </li></ul><ul><li>y = log a x ( a > 1) </li></ul><ul><li>Dominio ( 0, ∞ ) </li></ul><ul><li>Recorrido ℝ </li></ul><ul><li>Puntos ( 1, 0) y ( a, 1) </li></ul><ul><li>Creciente </li></ul><ul><li>Continua </li></ul>
  40. 40. Gráficas de funciones logarítmicas con base menor que 1 <ul><li>La gráfica siempre contendrá al punto (1,0), ya que log a 1 = 0 </li></ul><ul><li>Cuando 0 < a < 1, entonces </li></ul><ul><li>Dominio ( 0, ∞ ) </li></ul><ul><li>Recorrido ℝ </li></ul><ul><li>Puntos ( 1, 0) y ( a, 1) </li></ul><ul><li>Decreciente </li></ul><ul><li>Continua </li></ul>Presiona aquí para continuar
  41. 41. Gráficas de Funciones Logarítmicas Ej. (1,0) x x y y (1,0) (0, 1) (0, 1)
  42. 42. Función inversa exponencial <ul><li>Las funciones exponenciales también son inyectivas y tiene su inversa. Si y = b x ( a 0 = 1) entonces la función inversa de ésta debería intercambiar la x y y de modo que x = b y . Definiremos la inversa de la fórmula como: </li></ul><ul><li>y = log b x </li></ul>Presiona aquí para continuar
  43. 43. Función inversa exponencial Ejemplo: y = 2 x x = 2 y y = log 2 x <ul><li>Pasos: </li></ul><ul><li>Intercambiar las variables, o sea la y la cambias por la x en la función y la x por la y . </li></ul><ul><li>Escribir la función en forma logarítmica. </li></ul>
  44. 44. Función inversa logarítmica <ul><li>La inversa de la función logarítmica es la función exponencial. </li></ul>Ejemplo: ln x = y ln y = x e x = y
  45. 45. Ecuaciones logarítmicas <ul><li>Para resolver las ecuaciones logarítmicas debes repasar las propiedades logarítmicas ya estudiadas. Observa el ejercicio a continuación. </li></ul><ul><li>Resuelve la ecuación: log 4 64 = - x + 3 </li></ul>Presiona aquí para continuar
  46. 46. Ecuaciones logarítmicas <ul><li>log 4 64 = - x + 3 </li></ul><ul><li>Solución: </li></ul><ul><li>log 4 64 = - x + 3 </li></ul><ul><li>4 - x + 3 = 64 </li></ul><ul><li>4 - x + 3 = 4 3 </li></ul><ul><li>- x + 3 = 3 </li></ul><ul><li>3-3 = x </li></ul><ul><li>0 = x </li></ul>Cambiar a forma exponencial Expresar el 64 como exponente Despejas para x . Presiona aquí para continuar
  47. 47. Ecuaciones logarítmicas <ul><li>Otro ejemplo: </li></ul><ul><li>log x + log ( x + 3) = 2 log ( x + 1) </li></ul><ul><li>log [ x ( x + 3) ] = log ( x + 1) 2 </li></ul><ul><li>x ( x + 3) = ( x + 1) 2 </li></ul><ul><li>x 2 + 3 x = x 2 + 2 x + 1 </li></ul><ul><li>x = 1 </li></ul>Se aplicaron las reglas de producto y la de potencia de los logaritmos.
  48. 48. Problemas de Aplicación de Funciones logarítmicas <ul><li>Ejercicio 1: Crecimiento de una colonia de hormigas </li></ul><ul><li>Ejercicio 2: Rapidez al caminar </li></ul><ul><li>Ejercicio 3: La presión arterial de un niño </li></ul>Selecciona en el menú de la izquierda que ejercicio quieres trabajar.
  49. 49. Ejercicio 1 <ul><li>Una colonia de hormigas se triplica cada semana. Si actualmente hay unas 8,000 hormigas, ¿cuántas semanas tomará para que hallan 100,000? </li></ul>Presiona aquí para continuar
  50. 50. Ejercicio 1 <ul><li>Si definimos y como el número de hormigas en la colonia cada t semanas entonces </li></ul><ul><li>y = 8,000 (3) t </li></ul><ul><li>Debemos calcular t con y = 100,000. Al sustituir este número en la fórmula obtenemos que </li></ul><ul><li>100,000 = 8,000 (3) t </li></ul>Presiona aquí para continuar
  51. 51. Ejercicio 1 <ul><li>Solución: </li></ul><ul><li>y = 8,000 (3) t </li></ul><ul><li>100,000 = 8,000 (3) t </li></ul><ul><li>8,000 8,000 </li></ul><ul><li>12.5 = 3 t </li></ul><ul><li>t = log 3 12.5 </li></ul>Presiona aquí para continuar
  52. 52. Problemas de Aplicación de Funciones Logarítmicas <ul><li>Solución: </li></ul><ul><li>t = log 3 12.5 </li></ul><ul><li>Necesitamos hacer un cambio de base: </li></ul><ul><li>t ≈ 2.30 </li></ul><ul><li>Así que se tomará más de 2 semanas, </li></ul><ul><li>aproximadamente dos y un tercio de semanas, </li></ul><ul><li>para que hallan 100,000. </li></ul>
  53. 53. Ejercicio 2 <ul><li>En una investigación realizada por los sicólogos Boinstein y Bornstein se llegó a la conclusión de que la función </li></ul><ul><li>R(P) = .37 ln P + .05 </li></ul><ul><li>da la rapidez del caminar de las personas, en pies, en una comunidad de población P, dada en miles. La población en Seattle, Washington es 531,000. ¿Con qué rapidez caminan sus habitantes? </li></ul>Solución
  54. 54. Ejercicio 2 <ul><li>Solución: </li></ul><ul><li>R(P) = .37 ln P + .05 </li></ul><ul><li>R(531,000) = .37 ln (531,00) + .05 </li></ul><ul><li>= .37 (13.18) +.05 </li></ul><ul><li>= 4.88 + .05 </li></ul><ul><li>= 4.93 ft/sec </li></ul>
  55. 55. Ejercicio 3 <ul><li>La presión sistólica normal de un niño es aproximada a la función </li></ul><ul><li>donde p ( x ) es la medida en milímetros del mercurio, x es el peso en libras, y m y b son constantes. Dado que m = 19.4 y b = 18, determina la presión sistólina de un niño que pesa 92 lb. </li></ul><ul><li>= 105.72lb </li></ul>
  56. 56. Muy bien, felicitaciones.
  57. 57. Inténtalo nuevamente.
  58. 58. Funciones Trigonométricas Inversas
  59. 59. Objetivos <ul><li>Representar las funciones trigonométricas inversas. </li></ul><ul><li>Hallar el periodo de las funciones trigonométricas inversas </li></ul><ul><li>Construir la  función inversa de la funciones: </li></ul><ul><ul><li>y = sen x. </li></ul></ul><ul><ul><li>y = cos x. </li></ul></ul><ul><ul><li>y = tan x </li></ul></ul><ul><li>Conocer el dominio y recorrido de las funciones: </li></ul><ul><ul><li>y = arc sen x </li></ul></ul><ul><ul><li>y = arc cos x </li></ul></ul><ul><ul><li>y = arc tan x </li></ul></ul>
  60. 60. ArcoSeno <ul><li>En trigonometría, cuando el ángulo se expresa en radianes (dado que un radián es el arco de circunferencia de longitud igual al radio), suele denominarse arco a cualquier cantidad expresada en radianes; por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco, así que: </li></ul><ul><li>y es igual al seno de x , la función inversa: lo que significa que: lo que significa que </li></ul><ul><li>Si sin 30° = 0.5, el seno inverso de 0.5 es 30°, es </li></ul><ul><li>decir, arc sin 0.5 = 30°. </li></ul>
  61. 61. Arcoseno <ul><li>La función f(x)=sin x, definida en el intervalo cerrado [- π /2, π /2], es continua, estrictamente creciente y transforma dicho intervalo en el [-1, 1]. A su función inversa la denotaremos por </li></ul><ul><li>   f -1 (x)=arc sin x </li></ul><ul><li>estará definida de [-1, 1] siendo también continua y estrictamente creciente . </li></ul>
  62. 62. Arco Coseno <ul><li>La función f(x)=cos x , definida en el intervalo cerrado [0,  ], es continua, estrictamente decreciente y transforma dicho intervalo en el [-1, 1]. Esta función es pues un homeomorfismo del primer intervalo sobre el segundo y su función inversa que denotaremos por                          f -1 (x)=arc cos x   </li></ul><ul><li>estará definida de [-1, 1] siendo también continua y estrictamente decreciente. </li></ul>
  63. 63. Arco Coseno
  64. 64. Arc Tangente <ul><li>En la función tangente, esta tiene un periodo de π y completa un ciclo en el intervalo </li></ul><ul><li>( −  /2 ,  /2 ). Cuando y = tan x está restringida a −  /2 ≤ x ≤  /2 tenemos una función uno a uno cuyo rango consta de todos los números Reales. </li></ul>
  65. 65. Gráfica de Arctan
  66. 66. Gráfica de Arctan
  67. 67. Hallar el inverso de Seno, coseno y tangente utilizando la calculadora Localiza en la calculadora las teclas de sin, cos y tan. sin cos tan
  68. 68. Hallar el inverso de Seno, coseno y tangente utilizando la calculadora Sobre estas teclas están sin -1 , cos -1 y tan -1 . sin -1 cos -1 tan -1
  69. 69. Calculadora <ul><li>Sin -1 no quiere decir </li></ul><ul><li>Cos -1 no quiere decir </li></ul><ul><li>Al igual que con la tangente </li></ul><ul><li>Sino que sin -1 es el arcsin </li></ul><ul><li>Y el cos -1 es el arcocoseno. </li></ul><ul><li>Lo mismo sucede con la tangente </li></ul>
  70. 70. Ejercicios de Práctica <ul><li>Encuentra el valor. </li></ul><ul><li>1. Tan -1 ( − 1) = </li></ul><ul><li>2. Sin -1 ( cos  /2 ) = </li></ul><ul><li>3. Arcsin ( - 1 ) = </li></ul><ul><li>4. Arccos (− ½ ) = </li></ul><ul><li>5. Cos ( arcsin 0 ) = </li></ul><ul><li>6. Sin ( arcsin 1 ) = </li></ul>

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