2014
Polinomios Interpolantes

Realizado por: Dismery Martínez
03/02/2014
Polinomios interpolantes a través de
las formas de Newton-Gregory, Gauss,
Hermite y Lagrange
Objetivo Terminal
1- Escribir...
El Problema De La Interpolación

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construir una función que pase por

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Tabla De Diferencias
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Polinomios interpolantes

  1. 1. 2014 Polinomios Interpolantes Realizado por: Dismery Martínez 03/02/2014
  2. 2. Polinomios interpolantes a través de las formas de Newton-Gregory, Gauss, Hermite y Lagrange Objetivo Terminal 1- Escribir correctamente las tablas de diferencia 2- Formular correctamente los polinomios interpolantes a través de las formas de NewtonGregory,Gauss 3- Formular polinomios interpolantes a través del polinomio interpolante de Hermite y la forma de Lagrange. 4- Escribir correctamente la tabla de diferencias divididas 5- Formular polinomios interpolantes a través de la fórmula general de Newton. Polinomios Interpolantes Página 2
  3. 3. El Problema De La Interpolación interpolación, que consiste en construir una función que pase por Muchas veces, de una función sólo conocemos un conjunto de valores. Esto puede suceder, por ejemplo, porque son los resultados de un experimento gobernado por una ley que desconocemos. Si queremos calcular el valor de la los valores conocidos (llamados polos) y utilizar aproximación ésta de como la función primitiva. Si se utilizan polinomios como funciones de aproximación, hablamos de interpolación polinómica. función para una abscisa diferente de las conocidas, debemos utilizar Si la abscisa para queremos naturalmente, que aproximado de la función se una encuentra valor real. intervalo definido por las abscisas suceder que de los polos, se dice que estamos obtengamos aproximación También valor será del puede sepamos la expresión analítica de la función, pero sea fuera un que otra función que la aproxime y, el encontrar la del valor mayor haciendo extrapolación. lo suficientemente complicada como para calcular aproximaciones a los valores de la función a partir de Siempre que se utiliza un valor aproximado se está cometiendo un error. El estudio del error queda fuera de los límites del curso al que otros ya conocidos. está dirigida esta unidad didáctica. Existen varias formas de hacer esto, pero la más sencilla y una de las más utilizadas Polinomios Interpolantes es la Página 3
  4. 4. Tabla De Diferencias Dados los valores una se deberán tabular las diferencias desconocida de los valores funcionales. Cada correspondiente a dichos valores una de las columnas de la derecha de x, ¿cuál es el comportamiento de f(x), se estima o determina de la función?; el propósito es calculando las diferencias entre los determinar dicho comportamiento, valores de la columna a su con las muestras de los pares de izquierda. La siguiente tabla es una datos (x, f(x)); se encontrará un tabla polinomio (ejemplo): función que de de las columnas para x y para f(x) satisfaga un típica de diferencias conjunto de puntos seleccionados (xi, f(xi)) donde los valores que aporten el Polinomio y la función x f(x) 0,0 manera, en el intervalo en 0,2 0,203 desea encontrar 0,423 un polinomio que pase a través de los 0,6 0,8 0,085 1,030 0,052 0,096 0,181 0,527 1,0 0,020 0,044 0,346 1,557 0,211 0,307 0,488 1,015 resulta conveniente arreglar los datos en una tabla con los valores 0,041 0,684 un sistema de ecuaciones, pero este proceso es un poco engorroso; 0,024 0,261 mismos puntos que la función desconocida se puede establecer 1,2 2,572 de x en forma ascendente. Además Polinomios Interpolantes D 4f(x) 0,017 0,220 0,4 se D 3f(x) 0,203 cuestión. Si D 2f(x) 0,000 se comportan casi de la misma D f(x) Página 4
  5. 5. Polinomio Interpolante de desde el punto de partida Xo serán Newton-Gregory seleccionados en forma de zig-zag. Cuando la función ha sido En el caso de la fórmula de avance tabulada, se comporta como un los valores son tomados en forma polinomio, se le puede aproximar de zig-zag, iniciando primero hacia al polinomio que se le parece. Una abajo, luego hacia arriba, luego forma sencilla de escribir un hacia abajo, y así sucesivamente. polinomio un En fórmula de avance los valores puntos son tomados en forma de zig-zag, equiespaciados, es la fórmula del iniciando primero hacia arriba, Polinomio Interpolante de Newton- luego hacia abajo, luego hacia Gregory (en avance y retroceso). arriba, y así sucesivamente. que conjunto pasa de por Interpolación De Hermite Polinomio Interpolante de Gauss Hay una gran variedad de fórmulas de interpolación Método difieren de del pedazos Hn(x) que sea cúbico en Newton-Gregory, de además Aquí buscamos un polinomio por cada subintervalo, y que interpole la forma las a f(x) y f'(x) en los puntos . La trayectorias tomadas en la tabla de función Hn(x) queda determinada diferencias; Por ejemplo la fórmula en del de condiciones y su cálculo requiere Gauss (en avance y retroceso), de la solución de n sistemas donde la trayectoria es en forma lineales de tamaño 4x4 cada uno. de Zig-Zag, es decir los valores La desventaja de la interpolación Polinomio de Interpolante forma única por estas de Hermite es que requiere de la Polinomios Interpolantes Página 5
  6. 6. disponibilidad de los lo cual no es el caso en muchas en muchas aplicaciones. continua en el intervalo. un total de 4n desconocidas. Las Los dos tipos de polinomios por pedazos que hemos discutidos hasta ahora tienen la desventaja de que su segunda derivada no es en es Si escribimos , entonces tenemos Interpolación Usando Splines continua 4. s(x) los puntos de interpolación. Se ha observado que condiciones 2) y 4) nos dan 3(n-1) ecuaciones mientras que de 3) obtenemos n+1 para un total de 4n-3(n-1)-(n+1)=2 grados de libertad. Estos grados de libertad se fijan imponiendo condiciones de frontera adicionales en s(x). en aplicaciones gráficas, el ojo humano es capaz de detectar discontinuidades en la segundas derivadas de una función, haciendo que los gráficos con este tipo de funciones no luscan uniformes. Esto motiva el uso de los splines que son funciones s(x) continuas por pedazos con las siguientes propiedades: 1. s(x) es polinomio cúbico en . 2. existen y son continuas en . 3. s(x) interpola a la función f en los datos . Polinomios Interpolantes Página 6
  7. 7. Polinomio Interpolante De La diferencia dividida de Newton Lagrange para la Interpolación de Polinomios está Para construir un polinomio de grado menor o igual que n que pase por los n+1 puntos: , donde se supone que si i ¹ j. Este Polinomio Pn es la fórmula del Polinomio Interpolante de Lagrange. populares los y modelos útiles. más Para un polinomio de grado n se requiere de n + 1 puntos: ... , , Se usan estos datos para determinar los coeficientes para las diferencias divididas. Esta fórmula si puede aplicarse independientemente entre del espaciamiento de la tabla, pero tiene el inconveniente de que no se Aplicación De Los Métodos Numéricos De Interpolación En La Resolución De Problemas. conoce el grado del polinomio. Para datos tabulados en forma Como no se conoce, se tiene que equiespaciada o no esquiespaciada, determinar Se a través de una serie de técnicas propone un grado, se realiza la que antes de la llegada de las interpolación, el computadoras tenían gran utilidad a para la interpolación, sin embargo, interpolar y se compara con algún con fórmulas como las de Newton- criterio de convergencia, si se Gregory, Gauss, Lagrange, Hermite, cumple terminamos si no, se repite Newton, etc., son compatibles con el procedimiento. computadoras y debido a las siguiente iterativamente. se grado, propone se vuelve Diferencias Divididas Y La fórmula General De Newton Polinomios Interpolantes muchas funciones tabulares disponibles, como subrutinas de Página 7
  8. 8. librerías; dichas fórmulas tienen ortogonales, existen relaciones de relevancia recurrencia en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias. Una gran cantidad de problemas físicos están descritos por ecuaciones diferenciales en las que interviene un operador Laplaciano (la ecuación de Laplace, la ecuación de onda, la ecuación de Schrödinger, etc.). Matemáticamente, estas ecuaciones corresponden a casos particulares del Sturm-Liouville, problema vale de decir, ecuaciones de autovalores para un operador diferencial autoadjunto. polinomio que vinculan cada con los de grados inmediatamente anterior y posterior, y típicamente poseen una función generatriz, así_ como operadores de subida y de bajada. En los capítulos siguientes encontraremos nuevas familias de polinomios ellos ortogonales. provienen de Todos sendos problemas de Sturm-Liouville, y por tanto no será extraño encontrar las mismas características que hemos identificado en los polinomios de Hermite. No entraremos en los detalles de esta discusión. Sólo diremos que los polinomios de Hermite son un caso particular de soluciones a un problema Dichas de soluciones Sturm-Liouville. forman un conjunto completo y ortogonal, con cierta función de peso. En el caso de familias de polinomios Polinomios Interpolantes Página 8

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