Approximations Algorithmen

Approximative Algorithmen Robert B. Inhalt Einleitung Approximative Algorithmen Grundlegende Eigenschaften G¨ te/Performance u ¨ ”Wie genau ist ungefahr?” Approximationsklass Beispiel JS Algorithmus Analyse Robert Bahmann Ergebnis Fragen Hochschule RheinMain University of Applied Sciences Wiesbaden R¨sselsheim Geisenheim u July 23, 2009 1 / 20

Approximative Algorithmen Robert B. 1 Einleitung Inhalt Einleitung 2 Grundlegende Eigenschaften Grundlegende Eigenschaften G¨te/Performance u G¨ te/Performance u Approximationsklass Approximationsklassen Beispiel JS Algorithmus Analyse Ergebnis 3 Beispiel Fragen JS Algorithmus Analyse Ergebnis 4 Fragen 2 / 20

Approximative Algorithmen Robert B. Inhalt Einleitung Grundlegende Eigenschaften G¨ te/Performance u Viele Probleme sind nicht eﬃzient exakt l¨sbar o Approximationsklass Beispiel solange P = NP JS Algorithmus Analyse Ergebnis Fragen 3 / 20

Approximative Approximationsalgorithmen Algorithmen Robert B. Inhalt Einleitung Grundlegende Eigenschaften G¨ te/Performance u Approximationsklass Warum Approximationsalgorithmen? Beispiel JS Algorithmus Analyse arbeiten in polynomieller Zeit Ergebnis produzieren L¨sungen mit garantierter G¨te o u Fragen 4 / 20

Approximative ¨ Gute/Performance Algorithmen Robert B. Inhalt Einleitung Grundlegende Eigenschaften G¨ te/Performance u Approximationsklass ¨ Gute/Performance Beispiel JS Algorithmus Absolut AG A (I) = |A(I) − OPT(I)| Analyse Ergebnis A(I) OPT (I) Fragen Relativ RG A (I) = max OPT (I) , A(I) 5 / 20

Approximative Approximationsklassen Algorithmen Robert B. Inhalt Einleitung Grundlegende Eigenschaften G¨ te/Performance u Approximationsklass Beispiel APX JS Algorithmus Analyse Approximable - Gut approximierbare Probleme. Ergebnis Fragen 6 / 20

Approximative Algorithmen Robert B. Inhalt Einleitung Grundlegende Eigenschaften G¨ te/Performance u PTAS Approximationsklass Beispiel Polynomial Time Approximation Scheme JS Algorithmus Beliebig gut Approximierbar auf Kosten des Fehlers. Analyse Ergebnis Fragen 7 / 20

Approximative Algorithmen Robert B. Inhalt Einleitung Grundlegende Eigenschaften G¨ te/Performance u FPTAS Approximationsklass Fully Polynomial Time Approximation Scheme Beispiel JS Algorithmus Beliebig gut und schnell Approximierbar auf Kosten des Analyse Ergebnis Fehlers un der Laufzeit. Fragen 8 / 20

Approximative Job Scheduling Algorithmen Robert B. Inhalt Einleitung Grundlegende Eigenschaften G¨ te/Performance u Approximationsklass Job Scheduling Beispiel Auf p Prozessoren (P1 , P2 , ..., Pn ) sollen t Tasks JS Algorithmus Analyse (T1 , T2 , ..., Ti ) verteilt werden. Dabei hat jeder Tasks eine Ergebnis Fragen Laufzeit li die der Prozessor ben¨tigt, um diesen o abzuarbeiten. 9 / 20

Approximative Job Scheduling - Beispiel Algorithmen Robert B. Inhalt Einleitung Auf einem Rechner mit einem Dual-Core m¨ssen folgende u Grundlegende Eigenschaften Tasks abgearbeitet werden: G¨ te/Performance u Approximationsklass Beispiel Task Zeit JS Algorithmus Analyse 1 1 Ergebnis 2 2 Fragen 3 2 4 4 5 1 10 / 20

Approximative Job Scheduling - Beispiel Algorithmen Robert B. Inhalt Einleitung Grundlegende Eigenschaften Core 1: (0, P1 ), (1, P3 ), (3, P2 ) G¨ te/Performance u Approximationsklass Core 2: (0, P4 ), (4, P5 ) Beispiel JS Algorithmus Analyse Ergebnis Fragen 11 / 20

Approximative Job Scheduling - Algorithmus Algorithmen Robert B. Algorithmus 1 : Job Schedule Inhalt Input : p Prozessoren,t Taks und die Laufzeiten li f¨r jeden u Einleitung Task Grundlegende Eigenschaften Output : Eine Prozessorbelegung S mit minimalen G¨ te/Performance u Approximationsklass Makespan Beispiel S = null ; JS Algorithmus Analyse for i = 1 to m do Ergebnis ai = null; Fragen for k = 1 to n do Berechne das kleinste i mit ai = min{aj ; j ∈ {1..., m}}; Sk = ai ; ai = ai + pk ; S = S ∪ {(Sk , Mi )} return S; 12 / 20

Approximative Job Scheduling - Ausgabe Algorithmen Robert B. Inhalt Einleitung Grundlegende Algorithmusausgabe Eigenschaften G¨ te/Performance u Core 1: (0, P1 ), (1, P3 ), (4, P5 ) Approximationsklass Beispiel Core 2: (0, P2 ), (2, P4 ) JS Algorithmus Analyse Ergebnis Fragen 13 / 20

Approximative Analyse Algorithmen Robert B. Inhalt Einleitung Grundlegende Sei Zk = sk + lk die Zeit in der der k-te Task endet. Eigenschaften G¨ te/Performance u Approximationsklass Beispiel JS Algorithmus Analyse Ergebnis Fragen 14 / 20

Approximative Analyse Algorithmen Robert B. Inhalt Einleitung Grundlegende Sei Zk = sk + lk die Zeit in der der k-te Task endet. Eigenschaften G¨ te/Performance u Sei Tlast der Task der als letztes beendet wird. Approximationsklass Beispiel JS Algorithmus Analyse Ergebnis Fragen 14 / 20

Approximative Analyse Algorithmen Robert B. Inhalt Einleitung Grundlegende Sei Zk = sk + lk die Zeit in der der k-te Task endet. Eigenschaften G¨ te/Performance u Sei Tlast der Task der als letztes beendet wird. Approximationsklass Beispiel Dann ist die Gesamtlaufzeit Zgesamt = slast + llast JS Algorithmus Analyse Ergebnis Fragen 14 / 20

Approximative Analyse Algorithmen Robert B. Inhalt Einleitung Grundlegende 1 Sei Zk = sk + lk die Zeit in der der k-te Task endet. Eigenschaften G¨ te/Performance u 2 Sei Tlast der Task der als letztes beendet wird. Approximationsklass Beispiel 3 Dann ist die Gesamtlaufzeit Zgesamt = slast + llast JS Algorithmus Analyse 4 Damit ist die durchschnittliche Laufzeit bis zum Start Ergebnis 1 des letzten Jobs h¨chstens: n k∈{1,..,i}{last} lk o Fragen 15 / 20

Approximative Analyse Algorithmen Robert B. Inhalt Einleitung Grundlegende 1 Sei Zk = sk + lk die Zeit in der der k-te Task endet. Eigenschaften G¨ te/Performance u 2 Sei Tlast der Task der als letztes beendet wird. Approximationsklass Beispiel 3 Dann ist die Gesamtlaufzeit Zgesamt = slast + llast JS Algorithmus Analyse 4 Damit ist die durchschnittliche Laufzeit bis zum Start Ergebnis 1 des letzten Jobs h¨chstens: n k∈{1,..,i}{last} lk o Fragen 5 Es existiert also mindestens ein Prozessor dessen Gesamtlaufzeit h¨chstens von dieser Gr¨ße ist, also: o o 1 slast ≤ n k∈{1,..,i}{last} lk 15 / 20

Approximative Analyse Algorithmen Robert B. Inhalt Einleitung Grundlegende Eigenschaften G¨ te/Performance u Approximationsklass 1 1 slast ≤ n k∈{1,..,i}{last} lk Beispiel JS Algorithmus 2 oﬀensichtlich gilt: OPT ≥ llast Analyse Ergebnis 1 i 3 ebenso: OPT ≥ n k=1 lk Fragen 16 / 20

Approximative Analyse Algorithmen Robert B. Inhalt Einleitung Zgesamt = Zlast (1) Grundlegende Eigenschaften = slast + llast (2) G¨ te/Performance u Approximationsklass 1 ≤ lk + llast (3) Beispiel n JS Algorithmus k∈{1,..,i}{last} Analyse Ergebnis i Fragen 1 1 = lk + 1 − llast (4) n n k=1 1 ≤ OPT + 1 − ∗ OPT (5) n 1 = 2− ∗ OPT (6) n 17 / 20

Approximative Ergebnis Algorithmen Robert B. Inhalt Einleitung Grundlegende Eigenschaften Und jetzt? G¨ te/Performance u Approximationsklass Wir haben gerade gezeigt das List Schedule eine Beispiel 1 relative G¨te von 2 − n hat. (juhu!) u JS Algorithmus Analyse Kann als Basis genutzt werden um List Schedule zu Ergebnis verbessern Fragen Eingabe komplett erfassen und Sortieren Alternativ nur vorhandene Eingabe sortieren und den rest nach altem Verfahren sortieren usw. 18 / 20

Approximative Fragen? Algorithmen Robert B. Inhalt Einleitung Grundlegende Eigenschaften G¨ te/Performance u Approximationsklass Beispiel JS Algorithmus Fragen? Analyse Ergebnis Fragen 19 / 20

Approximative Ende Algorithmen Robert B. Inhalt Einleitung Grundlegende Eigenschaften G¨ te/Performance u Approximationsklass Beispiel Quellen JS Algorithmus Analyse Diese Pr¨sentation beruht auf der Ausarbeitung im Rahmen a Ergebnis dieses Fachseminars. S¨mtliche Quellen sind dort zu ﬁnden. a Fragen 20 / 20

Approximations Algorithmen

by Robert B. on Apr 04, 2010

Accessibility

Categories

Tags

Upload Details

Usage Rights

2 Embeds 22

Statistics

Approximations Algorithmen — Presentation Transcript

http://www.kv0.org	21
http://www.slideshare.net	1