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Upn moo s09 Upn moo s09 Presentation Transcript

  • Facultad de Ingeniería y Arquitectura
  • Cuerpo rígido2Fo Es un sistema de partículas queinteractúan entre sí, pero cuyasposiciones relativas permanecenconstantes en el tiempo.o Todo cuerpo rígido posee uncentro de masas, el cual describeun movimiento de traslacióndebido a la acción de las fuerzasexternas que actúan sobre él.o Dicho movimiento se rige por lasleyes de Newton.29/05/2013 Mg. Yuri Milachay Vicente 2CMidmvFdt1F3F
  • Ejemplo 9.1 Cálculo de la velocidad angularo El volante del un motor de automóvil sometido aprueba recorre una posición angular que estádada por:o El diámetro del volante es de 0,36 m. a) Calculeel ángulo , en radianes y grados, en t1=2,0 s yt2 = 5,0 s. b) Calcule la distancia que unapartícula en el borde se mueve durante eseintervalo. c) Calcule la velocidad angularmedia, en rad/s y en rpm, entre t1=2,0 s y t2 =5,0 s. d) Calcule la velocidad angularinstantánea a los t = t2 = 5,0 s.3( ) 2,0t t0,18 250 16 42s r m m29/05/2013 3Mg. Yuri Milachay Vicente1116 920250 14 000radrad78 / 740 /minrad s revt26,0150 rad/sdtdt3( ) 2,0t t View slide
  • Dirección de la velocidad angular29/05/2013 Mg. Yuri Milachay Vicente 4 View slide
  • Aceleración angular constanteddt0(t) t29/05/2013 Mg. Yuri Milachay Vicente 5o La aceleración angular es la rapidezde cambio de la velocidad angular.o En el caso de que la aceleraciónangular esconstante, antiderivando, se puedehallar la expresión de la velocidadangular.o Antiderivando la expresión de lavelocidad angular se tiene laexpresión de la posición angular. 20 01(t) t t2
  • Rotación con aceleración angular constante27,5 10,0 0,300 24,5 rad/s 27,5 10,0 0,300 24,5 rad/s29/05/2013 Mg. Yuri Milachay Vicente 6o El disco de una película de DVDse está deteniendo. La velocidadangular del disco en t = 0 es de27,5 rad/s y su aceleraciónangular constante es de -10,0rad/s2. Una línea PQ en lasuperficie del disco está a lolargo del eje +x en t = 0. a) ¿Quévelocidad angular tiene el discoen t = 0,300 s? b) ¿Qué ánguloforma la línea PQ con el eje +xen ese instante?210 27,5 0,300 10,0 0,30027,80 rad 447 1,24 rev
  • Aceleraciones tangencial y centrípetav rta r29/05/2013 Mg. Yuri Milachay Vicente 7o Por otro lado, la aceleracióncentrípeta o radial también sepuede expresar a través de lavelocidad angular.o El módulo de la aceleración dela partícula se calcula por:o Como la velocidad tangencial serelaciona con la velocidadangular, la aceleración tangencialtambién se relaciona con laaceleración angular. 2cvar2ca r2 2t ca a a
  • Ejemplo 9.42t2 2ca r 40,0 m/sa r 80,0 m/so Un lanzador de disco gira el discoun círculo de radio 80,0 cm. Encierto instante, el lanzador giracon una rapidez angular de 10,0rad/s y la rapidez angular estáaumentando a razón de 50rad/s2. Calcule las componentesde la aceleración tangencial ycentrípeta del disco y lamagnitud de la aceleración.29/05/2013 Mg. Yuri Milachay Vicente 82 2 2t ca a a 89,4 m/s
  • Energía del movimiento rotacionalo Si suponemos que un cuerporígido es un conjunto departículas, cada una girando convelocidad angular alrededordel eje fijo en z, entonces laenergía cinética de una de laspartículas será:o La energía cinética total será lasuma de las energías cinéticasde las partículas; y como todasgiran con la misma rapidezangular, la expresión final será:2i i i1K K m v22 2i i1K mr229/05/2013 9Mg. Yuri Milachay Vicente2i i i1K m v2
  • Momento de inerciao La cantidad entre paréntesis seconoce como momento de inerciapara un conjunto discreto departículas, I:o El momento de inercia es unamedida de la resistencia quepresentan todos los cuerpos acambiar su estado de rotación.Así pues, un cuerpo que tenga unmayor momento de inerciapresentará una mayor resistenciaa cambiar su estado de rotación.o I también se denomina inerciarotacional.o ¿En qué caso es mas fácil girar elaparato?o En función de I, la energía Ktotal de un cuerpo rígido será.29/05/2013 Mg. Yuri Milachay Vicente 102i iI mr21K I2
  • Ejemplo 9.72 2 2 22I 0,30 0,40 0,10 0 0,20 0 kg mI 0,048 kg m2 2 2 22I 0,30 0 0,10 0,50 0,20 0,40 kg mI 0,057 kg m29/05/2013 Mg. Yuri Milachay Vicente 11o Un ingeniero está diseñando unapieza mecánica formada por tresconectores gruesos unidos porpuntales ligeros moldeados. a)¿Qué momento de inercia tieneeste cuerpo alrededor de un ejeque pasa por el punto A y esperpendicular al plano deldiagrama? b) ¿Y alrededor deun eje coincidente con la varillaBC? c) Si el cuerpo gira sobre eleje que pasa por A y esperpendicular al plano deldiagrama, con rapidez angular= 4,0 rad/s, ¿qué energíacinética tiene? 21K 0,057 4,0 J 0,46 J2
  • Cálculo del momento d einercia0m2i iI mr29/05/2013 Mg. Yuri Milachay Vicente 12o El momento de inercia de un sistema departículas está dado por:o Si se trata de una distribución continua demasa, una primera aproximación para elcálculo del momento de inercia consiste enconsiderar que la masa total es la suma demasas infinitesimales.o El valor del momento de inercia se obtendrácuando tienda a cero la porción de masaconsiderada, lo que convertirá la suma enuna integral.o El diferencial de masa puede ser descritocomo:20limmI r m2I r dmalambresparassuperficieparavolúmenesparadxdmdAdmdVdm
  • Momentos de inercia de diversos cuerpos29/05/2013 Mg. Yuri Milachay Vicente 13
  • Cálculo del momento de inercia de una varilla2I r dmdm dx/23 3/23 12LLx LI/22/2LLI x dx29/05/2013 14Mg. Yuri Milachay Vicente212LI Mxdxdm
  • Cálculo del momento de inercia de una varilla (2)29/05/2013 Mg. Yuri Milachay Vicente 152I r dmdm dx3 303 3Lx LI20LI x dx23LI MLa única variación se da en la cotade integraciónxdxdm
  • Cálculo del momento de inercia de una placarectangular (3)29/05/2013 Mg. Yuri Milachay Vicente 162I r dmdm bdx3 303 3ax baI b20aI x bdx23aI Mx dxdm
  • Cálculo del momento de inercia (4)29/05/2013 Mg. Yuri Milachay Vicente 172I r dmdm dxdy2 2 2r x y2I r dxdy2 21( )12I M a bxdydmdxr
  • Cálculo del momento de inercia de un cilindro hueco(5)29/05/2013 Mg. Yuri Milachay Vicente 182I r dm(2 )dm rL dr4 42 12( )4LI R R212(2 )RRI r rL dr2 21 21( )2I M R R
  • Teorema de ejes paraleloso Supóngase que el I de un cuerporespecto a un eje que pasa por el CM es:ICM. entonces el I respecto a otro ejeparalelo al primero y separado unadistancia d es:o Ejercicio 9.52o Calcule el momento de inercia de un arocon masa M y radio R alrededor de uneje perpendicular al plano del aro y quepasa por un borde.29/05/2013 Mg. Yuri Milachay Vicente 19Ejealrededordel CMEje derotación d2CMI I MdR22MRMRI
  • Ejercicio 9.41o Una rueda de carreta tiene un radio de0,300 m y la masa de su borde es de 1,40kg. Cada rayo, que está sobre undiámetro y tiene 0,300 m de longitudtiene una masa de 0,280 kg. ¿Quémomento de inercia tiene la ruedaalrededor de un eje que pasa por sucentro y es perpendicular a su plano?o Observar que el sistema está formadopor 8 varillas de longitud 0,300m quegiran por su borde y por un aro de radio0,300. Usando la tabla de momentos deinercia se obtiene:29/05/2013 Mg. Yuri Milachay Vicente 20222mkg300040130002800318 ,,,,I
  • Torque y aceleración angular de un cuerpo rígidoo Supóngase una partícula girando enuna trayectoria circular bajo la acciónde la fuerza tangencial FT y unafuerza centrípeta que asegura elmovimiento circularo El torque es igual a su momentode inercia por su aceleraciónangular instantánea.o Podemos extender esta propiedada todos los cuerpos rígidos quegiran alrededor de uneje, siempre y cuando el eje derotación sea un eje de simetríadel sólido.29/05/2013 Mg. Yuri Milachay Vicente 21r( )C Tr F r F F    Tr F ωˆTr F k2ˆ ˆ( ) ( )r m r k mr k2( )mrR ICFTF
  • Ejemplo 10.2 Pág. 36722FR 2Fa R R RMRI M2a 0,36 m/so Se enrolla un cable varias vecesen un cilindro sólido uniforme de50 kg con diámetro de 0,12m, que puede girar sobre su eje.Se tira del cable con una fuerzade 9,0 N. Suponiendo que elcable se desenrolla sin estirarseni resbalar, ¿qué aceleracióntiene? I = MR2/2.o DCL29/05/2013 Mg. Yuri Milachay Vicente 22
  • Ejercicio 10.7 Pág. 394o Un casco esférico uniforme de 8,40 kg y 50,0cm de diámetro tiene cuatro masas pequeñasde 2,00 kg pegadas a su superficie exterior, adistancias equidistantes. Esta combinación girarespecto a un eje que pasa por el centro de laesfera y dos de las masas pequeñas (observela figura) ¿Qué momento de torsión porfricción se requiere para reducir la rapidezangular del sistema, de 75,0 rpm a 50,0 rpmen 30,0 s?29/05/2013 Mg. Yuri Milachay Vicente 2335,24 10 .N m2mkg600,0I2 223 2I MR mR0 75,0 rpm 7,854 rad s50,0 rpm 5,236 rad s;ωω020,08726 rad s,0,0524 N mfω ω αtατ Iατ
  • Ejercicio 10.13o Una piedra de afilar en forma dedisco sólido de 0,520 m de diámetroy masa de 50,0 kg gira a 850 rpm.Usted presiona un hacha contra elborde con una fuerza normal de 160N y la piedra se detiene en 7,50 s .Calcule el coeficiente de fricciónentre el hacha y la piedra.o La magnitud de F = No La fuerza que produce torque es lafuerza de fricción29/05/2013 Mg. Yuri Milachay Vicente 24INf kfR/a R0kMR tRf IN N RN 2NK 0,4822I MR
  • o Si un cuerpo rígido gira y setraslada, después de dibujar elDCL del sólido, como semencionó ya, deberá aplicarselas leyes de Newton en el casode la traslación del centro demasas y la rotación respecto alcentro de masas.o Para la traslación:o Para la rotación:Dinámica de la traslación y la rotación combinadas del CRCMext aMF29/05/2013 Mg. Yuri Milachay Vicente 25zCMz IaCMFEn el caso del movimiento dela moneda, se puede apreciarque ésta tiene un CM queacelera, pero que tambiénposee una aceleración angularproducto de la rotación de lamoneda respecto al CM.
  • Dinámica de la esfera rodante25f Ma2sin5Mg Ma Ma29/05/2013 Mg. Yuri Milachay Vicente 26o Una bola de bolos rueda sinresbalar por la rampa deretorno junto a la mesa. Larampa forma un ángulo b conla horizontal. ¿qué aceleracióntiene la bola?sinMg f Ma. CMf R I225CMI MR22.5f R MR(1)(2)(1) y (2)57a g sen
  • Dinámica del yo-yoo Se fabrica un yo-yo enrollando uncordel varias veces alrededor deun cilindro sólido de masa M yradio R. Se sostiene el extremodel cordel fijo mientras se sueltael yoyo desde el reposo. El cordelse desenrolla sin resbalar niestirarse al caer y girar.Considerando al yoyo como uncilindro calcule la aceleraciónlineal y la tensión del cordel29/05/2013 Mg. Yuri Milachay Vicente 27TMgycmy MaTMgF )(212z cm z zTR I MRga ycm32MgT31