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Vector Proyección OrtogonalAeProyA A cos eo Un vector proyección de A en lasdirección e es el vector cuyamagnitud es la co...
Producto VectorialC A BA B A Bseno El producto vectorial oproducto cruz de dos vectoresA y B, es un tercer vector C, elcua...
Propiedades del producto vectorialA B B AA B C A C B CEl producto vectorial no es conmutativoEl producto vectorial es dist...
Propiedades el producto vectorial5.El producto vectorial de dos vectores en componentes esLa magnitud del producto vectori...
Ejercicioo La figura muestra un cubo endonde se han trazado distintosdesplazamientos de un abejacuando cambia de laposicio...
EjercicioDescomponga el vector fuerza de 400 kN representado en la figuraen dos componentes, una según la dirección AB y l...
EjercicioLa resultante de la tres fuerzas mostradas en la figura es vertical.Determine: (a) la magnitud de la fuerza A y (...
EjercicioDetermine la resultante del sistema de vectores fuerza mostradosen la figura
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  1. 1. Facultad de Ingeniería y ArquitecturaSemana 1VectoresSílabo. Definición. Métodos de composición vectorial:método del polígono, de las componentes.MECÁNICA, OSCILACIONES Y ONDASYuri Milachay Vicenteyur@upnorte.edu.pe
  2. 2. Magnitudes FísicasMagnitud Físicao Se denominan magnitudesfísicas a las propiedades de loscuerpos que son susceptibles aser medidas. Por ejemplo, lalongitud, la masa y el volumenson magnitudes físicas ya quesiempre se pueden medir yexpresar a través de números:5,0 metros, 2,0 kilogramos, 6,0metros cúbicos.5 kgmasa
  3. 3. Magnitudes escalareso Son aquellas magnitudesfísicas que quedan totalmentedescritas mediante un númeroy una unidad.o Las operaciones conmagnitudes escalares serealizan siguiendo las reglas delas operaciones con númerosreales.200 g300 g500 g
  4. 4. Magnitudes vectoriales• Existen magnitudes físicas, como la fuerza, que para quedardefinidas requiere conocerse el valor, la unidad y la dirección. Aestas las magnitudes se les denomina vectoriales.La fuerza F produce un movimientohacia adelanteLa fuerza F produce un movimientohacia atrásF F
  5. 5. Representación de un vector60o La longitud de la flecha indica el valor de la magnitud física y suorientación es su dirección.origenFdirecciónF 30N
  6. 6. Vectores iguales y Vectores opuestoso Dos vectores son iguales si tienenel mismo módulo y la mismadirección.o Dos vectores son opuestos sitienen el mismo módulo perodirecciones opuestas.A B180AB AA B
  7. 7. Suma de vectores. Método gráficoRo Para sumar vectores con elmétodo gráfico, se unen demanera consecutiva la punta deun vector con la cola delsiguiente. La resultante seobtiene uniendo la cola delprimer vector con la punta delúltimo.ABA B RRB A REsta operación es conmutativa;es decir, puede cambiarse elorden de los vectores que seestán sumando y la resultanteserá la misma.
  8. 8. Método de componentes vectorialesAxAo El vector A puede representarsecomo la suma de dos vectores quese encuentran sobre los ejes x y yrespectivamente. Estos vectoresreciben el nombre de componentesdel vector A.o Ax y Ay se denominancomponentes del vector A y sepueden calcular mediante lasiguiente relación:yAx yA A AxA AcosyA Asen2 2x yA A Ay1xAtan ( )A
  9. 9. Un vector unitario es un vector conmagnitud 1, no tiene unidades y suúnico fin es especificar una dirección.En un sistema de coordenadas x-y elvector unitario i tiene la dirección deleje +x y el vector j la dirección +y.Vectores unitariosjio Escriba en función de los vectoresunitarios cada uno de losdesplazamientos realizados porun cartero en el recorrido de laruta mostrada en la figura.x yA A i A jAxAyA
  10. 10. Suma de vectores. Método de las componentesx yA A i A jx yB B i B jo Para vectores con el método de lascomponentes, debe sumarindependientemente lascomponentes x y y de dichosvectores.o Calcule el desplazamiento totalde cartero del ejercicio anteriorutilizando el método de lascomponentes.x yC C i C jx x x y y yR (A B C )i (A B C ) j
  11. 11. Ejercicioso Calcule la resultante de losvectores A y B mostrados en lafigura.o Calcule la resultante de losvectores A y B mostrados en lafigura.
  12. 12. EjercicioEl vector A tiene componentes Ax =1,30 cm, Ay = 2,55 cm; el vector Btiene componentes Bx = 4,10 cm, By= - 3,75 cm. Calcule:a) Las componentes de la resultanteA+Bb) La magnitud y dirección de B-A2 2A B (5,40cm) ( 1,20cm) A B 5,53cm ˆ ˆB A (2,80cm)i ( 6,30cm)j 2 2B A (2,80cm) ( 6,30cm) 1 1,20cmtan 12,5º5,40cmB A 6,89cm 
  13. 13. Producto EscalarA B A BcosEl producto escalar o productopunto de dos vectores A y Bdenotado por A.B y expresadocomo «A multiplicado escalarmentecon B», se define como el productode los módulos de los vectores A yB por el coseno del ángulo queforman ellos.AB
  14. 14. Interpretación geométrica del producto escalarGeométricamente, se muestra la disposición de los vectores en elproducto escalar en la figura.BBcosA ABAcos
  15. 15. Propiedades del producto escalarx y zB B i B j B kx y zA A i A j A ko Producto escalar de dos vectoresen forma de componenteso Si el producto escalar de dosvectores es nulo. Entoncesdichos vectores sonperpendiculares.o Producto escalar de vectoresunitarios.A.B 0 A B   x x y y z zA B A B A B A Bi j 0 i i 0
  16. 16. Vector Proyección OrtogonalAeProyA A cos eo Un vector proyección de A en lasdirección e es el vector cuyamagnitud es la componenteescalar de A en dicha direcciónA.e=A cosθ, y que está orientadoen la dirección de e.θ
  17. 17. Producto VectorialC A BA B A Bseno El producto vectorial oproducto cruz de dos vectoresA y B, es un tercer vector C, elcual es perpendicular al planoformado por los dos vectores ycuya magnitud es igual alproducto de sus magnitudesmultiplicado por el seno delángulo entre ellos, y cuyo sentidose determina mediante la reglade la mano derecha.
  18. 18. Propiedades del producto vectorialA B B AA B C A C B CEl producto vectorial no es conmutativoEl producto vectorial es distributivoMultiplicación de un escalar por elproducto vectorial.Multiplicación vectorial de vectoresunitariosA B C A B A CcA B c A B
  19. 19. Propiedades el producto vectorial5.El producto vectorial de dos vectores en componentes esLa magnitud del producto vectorial es igual al área del paralelogramoque tiene a los vectores A y BSi el producto vectorial es nulo entonces los dos vectores sonparalelos.x y z y z z y x z z x x y y zx y zˆˆ ˆi j kˆˆ ˆAxB A A A i(A B A B ) j(A B A B ) k(A B A B )B B B Área AxB A(Bsen ) A(h) 
  20. 20. Ejercicioo La figura muestra un cubo endonde se han trazado distintosdesplazamientos de un abejacuando cambia de laposiciones:1,2,3 y 1.o ¿Cuanto vale cada uno de losdesplazamientos?o ¿Cual es el desplazamiento total?.
  21. 21. EjercicioDescomponga el vector fuerza de 400 kN representado en la figuraen dos componentes, una según la dirección AB y la otraperpendicular a ella
  22. 22. EjercicioLa resultante de la tres fuerzas mostradas en la figura es vertical.Determine: (a) la magnitud de la fuerza A y (b) la resultante delsistema
  23. 23. EjercicioDetermine la resultante del sistema de vectores fuerza mostradosen la figura

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