Oscilaciones amortiguadas, forzadas y resonancia

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Se estudian las oscilaciones amortiguadas, forzadas y las condiciones de la resonancia. Se aplican a casos actuales.

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Oscilaciones amortiguadas, forzadas y resonancia

  1. 1. Física II VIBRACIONES Vibraciones libres amortiguadas. Vibraciones forzadas y resonancia
  2. 2. CASO: PUENTE TACOMA NARROW 11/09/2016 Yuri Milachay 2
  3. 3. http://www.wsdot.wa.gov/tnbhistory/
  4. 4. ARCOS DE ALCONETAR SOBRE EL RIO TAJO https://www.youtube.com/watch?v=QTK7siHbAEk
  5. 5. EL DESASTRE POTENCIAL DEL CITY CORP 11/09/2016 Yuri Milachay 5
  6. 6. ¿POR QUÉ AMORTIGUADORES EN UN PUENTE? 6
  7. 7. Disminuye las oscilaciones del muelle ¿QUÉ FUNCIÓN CUMPLEN LOS AMORTIGUADORES?
  8. 8. OSCILACIONES AMORTIGUADAS • La fricción es una fuerza disipadora que mengua las oscilaciones. La disminución de la amplitud se denomina amortiguación y el movimiento que realiza se llama oscilación amortiguada. 𝐹𝑥 = −𝑘𝑥 − 𝑐𝑣 𝑥
  9. 9. VIBRACIÓN LIBRE VISCOSA AMORTIGUADA • La fuerza viscosa de amortiguación es proporcional a la velocidad. • 𝑐- coeficiente de amortiguación viscosa, 𝑁. 𝑠/𝑚 o 𝑙𝑏. 𝑠/𝑓𝑡. • La ecuación de movimiento es • Y la solución de la ecuación diferencial homogénea es 𝐹𝑥 = −𝑐 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝐹𝑥 = −𝑘𝑥 − 𝑐𝑣 𝑥 𝑥 = 𝑒 𝜆𝑡
  10. 10. ANÁLISIS DE LA SOLUCIÓN • Reemplazando en la ecuación original se llega a la expresión de λ. • Cuya expresión matemática es • Con lo cual se abren tres posibilidades de movimiento. • 1. Amortiguación crítica (cc) −𝑘𝑒 𝜆𝑡 − 𝑐𝜆𝑒 𝜆𝑡 = 𝑚𝜆2 𝑒 𝜆𝑡 𝜆 = − 𝑐 2𝑚 ± 𝑐2 − 4𝑚𝑘 4𝑚2 𝑐 𝑐 2 −𝑘 4𝑚2 =0 𝑐 𝑐 = 2𝑚 𝑘 𝑚 = 2𝑚𝜔 𝑜
  11. 11. • Lo que da como solución • Sistema sobreamortiguado 𝜆1 = 𝜆2 = −𝜔 𝑜 𝑥 𝑡 = (𝐴 + 𝐵𝑡)𝑒−𝜔 𝑜 𝑡 𝜆1, 𝜆2; reales 𝑥 𝑡 = 𝐴𝑒 𝜆1 𝑡 + 𝐵𝑒 𝜆2 𝑡 𝑐 2𝑚 2 − 𝑘 𝑚 > 0
  12. 12. • Sistema subamortiguado • Las soluciones son imaginarias 𝑐 2𝑚 2 − 𝑘 𝑚 < 0 𝑥 𝑡 = 𝐷𝑒− 𝑐 2𝑚 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝜔 𝑑 𝑡 + 𝜙 𝜔 𝑑 = 𝜔 𝑜 1 − 𝑐 𝑐 𝑐 2 Factor de amortiguación
  13. 13. GRÁFICA DEL PROCESO
  14. 14. EJERCICIO • Un bloque de 0,800 kg de masa se suspende de un resorte cuya rigidez es de 120 N/m. Si un amortiguador genera una fuerza de amortiguación de 2,5 N cuando la velocidad del bloque es de 0,200 m/s, determine el periodo de vibración libre.
  15. 15. • Dos amortiguadores idénticos se disponen paralelos entre sí, como se muestra. Demuestre que si el coeficiente de amortiguación 𝑐 < 𝑚𝑘 , entonces el bloque de masa 𝑚 vibrará como un sistema sobreamortiguado. EJERCICIO
  16. 16. OSCILACIONES FORZADAS Y RESONANCIA • Un oscilador armónico amortiguado aislado dejará de moverse, pero podemos mantener una oscilación de amplitud constante aplicando una fuerza que varíe con el tiempo periódicamente, con un periodo definido. • La solución de la ecuación es la expresión: 11/09/2016 Yuri Milachay 16 𝐹 𝑡 = 𝐹𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝜔 𝑑 𝑡 𝐹 = −𝑘𝑥 − 𝑐𝑣 + 𝐹𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝜔 𝑑 𝑡 𝑥 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝜔 𝑑 𝑡 + 𝜙 𝜔0 = 𝑘 𝑚 𝐴 = 𝐹max 𝑚 𝜔 𝑑 2 − 𝜔0 2 2 + 𝑐𝜔 𝑑 𝑚 2
  17. 17. • La frecuencia angular para la que la amplitud es máxima se llama frecuencia de resonancia. OSCILACIONES FORZADAS Y RESONANCIA 11/09/2016 Yuri Milachay 17
  18. 18. Una fuerza impulsora senoidal se aplica a un oscilador armónico amortiguado con constante de fuerza k y una masa m . Si la constante de amortiguación vale b1, la amplitud es A1 cuando la frecuencia angular impulsora es (k/m)1/2. En términos de A1, ¿cuánto vale la amplitud con la misma frecuencia impulsora y la misma amplitud de la fuerza impulsora Fmáx si la constante de amortiguación es 3b? Solución. EJERCICIOS 11/09/2016 Yuri Milachay 18 1b 𝐴1 = 𝐹max 𝑚 𝜔d 2 − 𝜔0 2 2 + 𝑏1 𝜔 𝑑 𝑚 2 𝐴1 = 𝐹max 𝑏1 𝜔 𝑑 𝐴2 = 𝐴1 3 𝜔0 2 = 𝑘 𝑚 ;
  19. 19. La estructura de soporte que se colocó a bordo de la estación espacial actúa como sistema resorte-masa subamortiguado con constante de fuerza 2,10 x 106 N/m y masa 108 kg. Un requisito de la NASA es que no haya resonancia para oscilaciones forzadas en ninguna frecuencia menor que 35,0 Hz, ¿satisface el paquete tal requisito? Es decir, ¿tiene frecuencias naturales coincidentes? • Solución EJERCICIO 11/09/2016 Yuri Milachay 19
  20. 20. • El motor eléctrico de 30 𝑘𝑔 está sostenido por 4 resortes, cada uno con una constante de 200 𝑁/𝑚. Si el rotor se desbalancea de modo que su efecto equivalga a una masa de 4 𝑘𝑔 situada a 60 𝑚𝑚 del eje de rotación, determine la amplitud de la vibración cuando el rotor gira a 𝜔 𝑜 = 10 𝑟𝑎𝑑/𝑠. El factor de amortiguación es 𝑐 = 0,15 𝑐 𝑐 EJERCICIO
  21. 21. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICASREFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1. Hibbeler R. Mecánica para Ingenieros, Dinámica. Ed. Prentice Hall. 12 edición. Cap. 22. 2. Gray. Dinámica. Ed. Mc Graw Hill. 3 edición. Cap.9

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