Oscilaciones amortiguadas, forzadas y resonancia

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Se estudian las oscilaciones amortiguadas, forzadas y las condiciones de la resonancia.

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  • 1. Oscilaciones amortiguadas y forzadas. Resonancia Oscilaciones amortiguadas. Oscilaciones forzadas. Resonancia. Caso Puente Tacoma
  • 2. Oscilaciones amortiguadas
    • Los sistemas reales tienen siempre fuerzas disipadoras como el rozamiento, por lo que las oscilaciones cesan con el tiempo.
    • La disminución de la amplitud se denomina amortiguación y el movimiento que realiza se llama oscilación amortiguada .
    • Cuando colgamos un bloque del resorte, éste se deforma hasta llegar a su posición de equilibrio; x = 0. Alrededor de dicho punto, el bloque realizará un movimiento armónico simple si no hay fricción.
    • Si el medio en el que está el bloque es viscoso, se debe agregar al modelo del oscilador armónico la componente de la fuerza de amortiguación, la cual es directamente proporcional a la velocidad del cuerpo oscilante.
    Ver animación de la oscilación amortiguada Posición de equilibrio
  • 3. Amortiguador de autos
  • 4. Puente Franjo Tudjman (Duvrobnik)
  • 5. Oscilaciones amortiguadas
    • De acuerdo con la segunda ley de Newton, se tiene la expresión:
    • De donde se obtiene una ecuación diferencial de segundo orden, cuya solución para valores de b pequeños es la expresión
    • La frecuencia angular de la oscilación  ´  está dada por:
  • 6.
    • Si hacemos que  ’ sea nula, tendremos la expresión de la derecha;
    • En estos casos, el sistema ya no oscila, sino que vuelve a su posición de equilibrio sin oscilar, entonces se dice que se tiene una amortiguación critica.
    • Si se cumple que b > , se dice que la oscilación es sobreamortiguada . Los sistemas de amortiguación de un auto deben estar críticamente amortiguados o un poco sub amortiguados.
    Oscilaciones crítica
  • 7. Gráfica de
  • 8. Movimiento amortiguado
  • 9. Ejercicios
    • Problema . Un ratón de 0,300 kg se mueve en el extremo de un resorte con k = 2,50 N/m , sometido a la acción de una fuerza amortiguadora F x =-bv x . A) Si b = 0,900 kg/s , ¿qué frecuencia de oscilación tiene el ratón? B) ¿Con qué valor de b la amortiguación será crítica?
    • Solución
    • A) De la ecuación
    • De donde,
    • B)
    • Problema . Un objeto de 50,0 g se mueve en el extremo de un resorte con k=25,0 N/m . Su desplazamiento inicial es de 0,300 m . Una fuerza amortiguadora actúa sobre el objeto y la amplitud del movimiento disminuye a 0,100 m en 5,00 s . Calcule al constante de amortiguación.
    • Solución
    • Resolviendo b de
  • 10. Oscilaciones forzadas y resonancia
    • Un oscilador armónico amortiguado aislado dejará de moverse tarde o temprano, pero podemos mantener una oscilación de amplitud constante aplicando una fuerza que varíe con el tiempo periódicamente, con un periodo definido.
    • La solución de la ecuación es la expresión:
    • Donde la amplitud se expresa a través de la frecuencia angular y las constantes k y m .
    • La amplitud es máxima cuando
  • 11. Oscilaciones forzadas y resonancia La frecuencia angular para la que la amplitud es máxima se llama frecuencia de resonancia .
  • 12. Caso: Puente Tacoma Narrow
  • 13. Ejercicios
    • Problema . Una fuerza impulsora que varía senoidalmente se aplica a un oscilador armónico amortiguado con constante de fuerza k y una masa m . Si la constante de amortiguación tiene el valor b 1 , la amplitud es A 1 cuando la frecuencia angular impulsora es (k/m) 1/2 . En términos de A 1 , ¿cuánto vale la amplitud con la misma frecuencia impulsora y la misma amplitud de la fuerza impulsora F máx si la constante de amortiguación es 3b ?
    • Solución
    • Cuando tiene lugar la resonancia,
    • Problema . Un paquete experimental y su estructura de soporte que se colocarán a bordo de la estación espacial actúa como sistema resorte-masa subamortiguado con constante de fuerza 2,10 x 10 6 N/m y masa 108 kg . Un requisito de la NASA es que no haya resonancia para oscilaciones forzadas en ninguna frecuencia menor que 35,0 Hz , ¿satisface el paquete tal requisito? Es decir, ¿tiene frecuencias naturales coincidentes?
    • Solución
    • La frecuencia resonante es:
    • De acuerdo con el resultado, el paquete no cumple con el requisito solicitado.