Semana 2 Sesión 1 Dinámica del cuerpo rígido Posición, velocidad y aceleración angular. Aceleración tangencial y centrípeta. Energía rotacional. Momento de inercia.

Cuerpo rígido Es un sistema de partículas que interactúan entre sí, pero cuyas posiciones relativas permanecen constantes en el tiempo. Todo cuerpo rígido posee un centro de masas, el cual describe un movimiento de traslación debido a la acción de las fuerzas externas que actúan sobre él. Dicho movimiento se rige por las leyes de Newton.

Es un sistema de partículas que interactúan entre sí, pero cuyas posiciones relativas permanecen constantes en el tiempo.

Todo cuerpo rígido posee un centro de masas, el cual describe un movimiento de traslación debido a la acción de las fuerzas externas que actúan sobre él.

Dicho movimiento se rige por las leyes de Newton.

Rotación de cuerpos rígidos Un cuerpo rígido se define como aquel que no es deformable . O sea, en el que las distancias entre todos sus pares de partículas permanecen constantes. Al rotar, el cuerpo rígido realiza un movimiento circular que puede ser descrito usando el concepto de velocidad angular,  . Posición inicial Posición final

Un cuerpo rígido se define como aquel que no es deformable . O sea, en el que las distancias entre todos sus pares de partículas permanecen constantes.

Al rotar, el cuerpo rígido realiza un movimiento circular que puede ser descrito usando el concepto de velocidad angular,  .

Ejemplo 9.1 Cálculo de la velocidad angular El volante del un motor de automóvil sometido a prueba recorre una posición angular que está dada por: El diámetro del volante es de 0,36 m . a) Calcule el ángulo  , en radianes y grados, en t 1 =2,0 s y t 2 = 5,0 s . b) Calcule la distancia que una partícula en el borde se mueve durante ese intervalo. c) Calcule la velocidad angular media, en rad/s y en rpm, entre t 1 =2,0 s y t 2 = 5,0 s . d) Calcule la velocidad angular instantánea a los t = t 2 = 5,0 s .

El volante del un motor de automóvil sometido a prueba recorre una posición angular que está dada por:

El diámetro del volante es de 0,36 m . a) Calcule el ángulo  , en radianes y grados, en t 1 =2,0 s y t 2 = 5,0 s . b) Calcule la distancia que una partícula en el borde se mueve durante ese intervalo. c) Calcule la velocidad angular media, en rad/s y en rpm, entre t 1 =2,0 s y t 2 = 5,0 s . d) Calcule la velocidad angular instantánea a los t = t 2 = 5,0 s .

Dirección de la velocidad angular

Aceleración angular constante La aceleración angular es la rapidez de cambio de la velocidad angular. En el caso de que la aceleración angular es constante, antiderivando, se puede hallar la expresión de la velocidad angular. Antiderivando la expresión de la velocidad angular se tiene la expresión de la posición angular.

La aceleración angular es la rapidez de cambio de la velocidad angular.

En el caso de que la aceleración angular es constante, antiderivando, se puede hallar la expresión de la velocidad angular.

Antiderivando la expresión de la velocidad angular se tiene la expresión de la posición angular.

Ejemplo 9.3 Rotación con aceleración angular constante El disco de una película de DVD se está deteniendo. La velocidad angular del disco en t = 0 es de 27,5 rad/s y su aceleración angular constante es de -10,0 rad/s 2 . Una línea PQ en la superficie del disco está a lo largo del eje +x en t = 0 . a) ¿Qué velocidad angular tiene el disco en t = 0,300 s ? b) ¿Qué ángulo forma la línea PQ con el eje +x en ese instante?

El disco de una película de DVD se está deteniendo. La velocidad angular del disco en t = 0 es de 27,5 rad/s y su aceleración angular constante es de -10,0 rad/s 2 . Una línea PQ en la superficie del disco está a lo largo del eje +x en t = 0 . a) ¿Qué velocidad angular tiene el disco en t = 0,300 s ? b) ¿Qué ángulo forma la línea PQ con el eje +x en ese instante?

Aceleraciones tangencial y centrípeta Por otro lado, la aceleración centrípeta o radial también se puede expresar a través de la velocidad angular. El módulo de la aceleración de la partícula se calcula por: Como la velocidad tangencial se relaciona con la velocidad angular. La aceleración tangencial también se relaciona con la aceleración angular.

Por otro lado, la aceleración centrípeta o radial también se puede expresar a través de la velocidad angular.

El módulo de la aceleración de la partícula se calcula por:

Como la velocidad tangencial se relaciona con la velocidad angular.

La aceleración tangencial también se relaciona con la aceleración angular.

Ejemplo 9.4 Un lanzador de disco gira el disco un círculo de radio 80,0 cm . En cierto instante, el lanzador gira con una rapidez angular de 10,0 rad/s y la rapidez angular está aumentando a razón de 50 rad/s 2 . Calcule las componentes de la aceleración tangencial y centrípeta del disco y la magnitud de la aceleración.

Un lanzador de disco gira el disco un círculo de radio 80,0 cm . En cierto instante, el lanzador gira con una rapidez angular de 10,0 rad/s y la rapidez angular está aumentando a razón de 50 rad/s 2 . Calcule las componentes de la aceleración tangencial y centrípeta del disco y la magnitud de la aceleración.

Energía del movimiento rotacional Si suponemos que un cuerpo rígido es un conjunto de partículas, cada una girando con velocidad angular  alrededor del eje fijo en z, entonces la energía cinética de una de las partículas será: La energía cinética total será la suma de las energías cinéticas de las partículas; y como todas giran con la misma rapidez angular, la expresión final será:

Si suponemos que un cuerpo rígido es un conjunto de partículas, cada una girando con velocidad angular  alrededor del eje fijo en z, entonces la energía cinética de una de las partículas será:

La energía cinética total será la suma de las energías cinéticas de las partículas; y como todas giran con la misma rapidez angular, la expresión final será:

Momento de inercia La cantidad entre paréntesis se conoce como momento de inercia para un conjunto discreto de partículas, I : Para un cuerpo con un eje de rotación dado y una masa total dada, cuanto mayor sea la distancia del eje a las partículas que constituyen el cuerpo, mayor será el momento de inercia. El momento de inercia es una medida de la resistencia que presentan todos los cuerpos a cambiar su estado de rotación . Así pues, un cuerpo que tenga un mayor momento de inercia presentará una mayor resistencia a cambiar su estado de rotación. Si un cuerpo tiene un gran momento de inercia, es difícil ponerlo a girar si está en reposo o es difícil frenarlo si está en movimiento. Por esta razón, I también se denomina inercia rotacional . ¿En qué caso es mas fácil girar el aparato? En función de I , la energía K total de un cuerpo rígido será.

La cantidad entre paréntesis se conoce como momento de inercia para un conjunto discreto de partículas, I :

Para un cuerpo con un eje de rotación dado y una masa total dada, cuanto mayor sea la distancia del eje a las partículas que constituyen el cuerpo, mayor será el momento de inercia.

El momento de inercia es una medida de la resistencia que presentan todos los cuerpos a cambiar su estado de rotación . Así pues, un cuerpo que tenga un mayor momento de inercia presentará una mayor resistencia a cambiar su estado de rotación.

Si un cuerpo tiene un gran momento de inercia, es difícil ponerlo a girar si está en reposo o es difícil frenarlo si está en movimiento. Por esta razón, I también se denomina inercia rotacional .

¿En qué caso es mas fácil girar el aparato?

En función de I , la energía K total de un cuerpo rígido será.

Ejemplo 9.7 Un ingeniero está diseñando una pieza mecánica formada por tres conectores gruesos unidos por puntales ligeros moldeados. a) ¿Qué momento de inercia tiene este cuerpo alrededor de un eje que pasa por el punto A y es perpendicular al plano del diagrama? b) ¿Y alrededor de un eje coincidente con la varilla BC? c) Si el cuerpo gira sobre el eje que pasa por A y es perpendicular al plano del diagrama, con rapidez angular  = 4,0 rad/s , ¿qué energía cinética tiene?

Un ingeniero está diseñando una pieza mecánica formada por tres conectores gruesos unidos por puntales ligeros moldeados. a) ¿Qué momento de inercia tiene este cuerpo alrededor de un eje que pasa por el punto A y es perpendicular al plano del diagrama? b) ¿Y alrededor de un eje coincidente con la varilla BC? c) Si el cuerpo gira sobre el eje que pasa por A y es perpendicular al plano del diagrama, con rapidez angular  = 4,0 rad/s , ¿qué energía cinética tiene?

Ejercicio Considere una molécula agua que gira en el plano xy alrededor del eje z . El eje pasa por ese centro de la molécula de oxígeno. Si d = 9,57 x 10 -11 m y cada átomo de hidrógeno tiene una masa de 1,0 u y el de oxígeno 16,0 u , determine la energía cinética de la molécula si se sabe que el conjunto rota con una velocidad angular de 4,60 x 10 12 rad/s. Considere que los átomos son puntos materiales. 1 u = 1,66  10 -27 kg

Considere una molécula agua que gira en el plano xy alrededor del eje z . El eje pasa por ese centro de la molécula de oxígeno. Si d = 9,57 x 10 -11 m y cada átomo de hidrógeno tiene una masa de 1,0 u y el de oxígeno 16,0 u , determine la energía cinética de la molécula si se sabe que el conjunto rota con una velocidad angular de 4,60 x 10 12 rad/s. Considere que los átomos son puntos materiales.

1 u = 1,66  10 -27 kg

Fin de la presentación