Programimi Linear
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Like this? Share it with your network

Share

Programimi Linear

on

  • 8,669 views

 

Statistics

Views

Total Views
8,669
Views on SlideShare
8,662
Embed Views
7

Actions

Likes
5
Downloads
191
Comments
2

3 Embeds 7

http://search.mywebsearch.com 4
http://wildfire.gigya.com 2
http://www.facebook.com 1

Accessibility

Upload Details

Uploaded via as Microsoft Word

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
  • ej e kam nsr ne mesim ... si mund ta bej copy -paste?!?!??!
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
  • pse nuk kopjohet kjo....?//////////////////
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

Programimi Linear Document Transcript

  • 1. Programimi Linear Probleme praktike siç janë: a) Problemi i dietës, b) Problemi i prodhimit, c) Problemi i investimeve, d) Problemi i caktimit të punëve, dhe e) Problemi i transportit mund të shtrohen si probleme të programimit linear të cilat pastaj zgjidhen duke zbatuar metodat ose algoritmet përkatëse në mënyrë që të gjejmë zgjidhjen optimale (minimunim apo maksimumin). Veqoritë e përbashkëta të problemeve të programimit linear janë: 1. Kërkohet të minimizohet ose maksimizohet funksioni i qëllimit që është funksion linear i të panjohurave, 2. Të panjohurat plotësojnë një sistem kushtesh që përbëhet nga ekuacione ose inekuacione lineare ose nga të dyja së bashku, 3. Të panjohurit kërkohet të jenë jo-negativ . a) Problemi i dietës Një dietë ditore i përmban 3 lloje ushqimesh (Ui) dhe secila nga këto ushqime përmban 3 lloje vitaminash (A,B,C) të domosdoshme në sasi të caktuara për tu marrë nga pacientët (ose punëtorët e fabrikës). Ky shembull jepet në tabelë Ushqimet Kërkesat minimale U1 U2 U3 për vitamina Vitaminat A a11 a12 a13 b1 B a21 a22 a23 b2 C a31 a32 a33 b3 Çmimi c1 c2 c3 a11 - sasia e vitaminës A që përmban një njësi e ushqimit U1, b2 - sasia minimale e vitaminës B, e caktuar nga mjeku që duhet ta përmbajë dieta ditore, c3 – çmimi i kushtimit të një njësie ushqimi U3 (psh. 1kg). Problemi i dhënë pra nënkupton se në çfarë sasie duhet përfshirë në dietën ditore secilin nga ushqimet Ui që të plotësohen kërkesat minimale me vitamina, të personave që ushqehen dhe kostoja e kësaj diete të jetë sa më e ultë.
  • 2. e) Problemi i transportit Në K1 K2 nga P1 7$ 10 90 P2 12 9 50 P3 7 3 80 Shpenzimet e 120 $ 100 $ transportit Si problem i programimit linear do të dukej kështu: Zgjidhja në mënyrë grafike e problemeve të programimit linear Le të jetë dhënë një problem i programimit linear me dy të panjohura i cili kërkohet të minimizohet ose maksimizohet dhe që përmban inekuacione. Bashkësia e zgjidhjeve të këtij sistemi të kushteve quhet zona e zgjidhjeve të lejuara e cila në paraqitje grafike është një shumëkëndësh i kufizuar ndërsa zgjidhje optimale do të jetë njëra nga kulmet e tij.
  • 3. Shembulli 1:
  • 4. Shembulli 2
  • 5. Zgjidhja e problemit të programimit linear me Algoritmin Simpleks Trajta standarde e problemit të programimit linear Para se të fillohet me zgjidhjen e problemit ai duhet të sillet në trajtën standarde si më poshtë: Çdo problem i programimit linear kthehet në trajtë standarde. Kjo trajtë përbëhet nga sistem ekuacionesh dhe për funksion të qëllimit kërkohet vlera më e vogël. Në qoftë se në funksion të qëllimit f kërkohet vlera më e madhe atëherë në vend të tij vendoset si funksion qëllimi f’= - f dhe për të kërkohet vlera më e vogël. Në qoftë se sistemi përmban inekuacione ato mund të kthehen në ekuacione duke i shtuar të panjohurat shtesë. Shembulli 3 f X1 5 X 2 (m in ) X1 X2 4 2X1 X2 1 X1 X2 2 X 1, X 2 0 Kthehet në trajtë standarde si më poshtë: f X1 5 X 2 (m in ) X1 X2 X3 4 2X1 X2 X4 1 X1 X2 X5 2 X 1 ,.., X 5 0 Trajta Kanonike – quhen të panjohurat e lira - quhen terma të lira
  • 6. d0 - termi i lirë i funksionit në rast se të panjohurat e lira marrin vlerën zero dmth. x4=0 dhe x5=0 gjejmë zgjidhjen e lejuar të sistemit XB= {b1, b2, b3, 0, 0} Vlera e funksionit të qëllimit për zgjidhjen bazë XB është f(xB)=d0 A. Në qoftë se problemi i i dhënë në trajtë kanonike ka të gjithë koeficientët pran të panjohurve të lirë tek funksioni i qëllimit negativ ose zero, pra: , atëherë fmin= d0 B. Ndër koeficientët d4 dhe d5 ka pozitiv (nëse janë të dy pozitivë fiksojmë njërin nga ata) prandaj kemi 2 nënraste: B1. ndërsa , , zgjidhja optimale nuk ekziston. B2. ndërsa , , atëherë zgjedhim raportin më të vogël dhe koeficienti quhet element çelës . Shembulli 4 Faktorët te Llojet e produkteve Rezervat (në orë pune) prodhimit I II III IV Shërbime 1 1 1 1 100 Punë 10 4 5 4 600 Administratë 2 2 6 6 300 Fitimi për njësi $ 10 6 6 8 Nga tabela e mësipërme mund të përkufizojmë detyrën si problem të programimit linear: me kushtet dhe si hap i radhës për të zgjidhur këtë problem është kthimi i tij në trajtë standarde: me kushtet Meqë trajta standarde kërkon që funksioni i qëllimit të minimizohet prandaj është dashur të shkruajmë f’=-f dhe prapëseprapë funksioni i qëllimit (f’ min) është i njëvlershëm me atë (f max) që e kërkon detyra e dhënë pasi që po për të njëjtat zgjidhje ( ) për të cilat funksioni f do kishte max , funksioni f’ do të ketë minimum.
  • 7. Gjithashtu problemi në trajtë standarde përbëhet vetëm nga barazimet prandaj i shtuam të panjohurat e reja x5, x6 dhe x7 që janë jonegative në mënyrë që të barazohen 2 anët e jobarazimit (inekuacionit) dhe i njëjti të bëhet barazim ose ekuacion. Para se të fillojmë metodën simpleks duhet problemi të jetë në trajtën kanonike që jepet në vijim: me kushtet dhe ndërtojmë tabelën simpleks me koeficientët para variablave. Fillimisht duhet cekur se x5, x6 dhe x7 janë të panjohurat bazë (PB) ndërsa 100, 600 dhe 300 janë termat e lirë (TL). Tabela 1 simpleks PB TL x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x5 100 1 1 1 1 1 0 0 x6 600 10 4 5 4 0 1 0 x7 300 2 2 6 6 0 0 1 f’ 0 10 6 6 8 0 0 0 Meqë 10 është qelës, në vend të x6 në të panjohurën bazë futet x1në tabelën vijuese. Njëherit ky reshtë (me ngjyrë të kuqe) pasi në të është qelësi (10) pjesëtohet më 10 dhe shkruhet në tabelën vijuese por në vend të x6 tash kemi x1 (reshti i gjelber). Reshtin e gjelbërt në tabelën 2 e shumzojmë me -1 dhe e mbledhim me reshtin e parë të tabelës 1, poashtu e shumzojmë me -2 dhe ia shtojmë reshtit të tretë të tabelës 1 dhe rezultatin e shkruajmë në tab. 2 në reshin e tretë. Në mënyrë të njejtë reshin e gjelbër të shumzuar me -10 e mbledhim me reshtin e f’ në tab.1 dhe rezultatin e vendosim ne tab 2. Tab.2. PB TL x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x5 40 0 0.6 0.5 0.6 1 -0.1 0 x1 60 1 0.4 0.5 0.4 0 0.1 0 x7 180 0 1.2 5 5.2 0 0.2 1 f’ -600 0 6 6 8 0 0 0 Pasi që 5.2 është qelësi i tab.2. atëherë x4 në tabelën e ardhshme do të jetë në vend të x7. Pse 5.2 është qelës? Sepse raporti 180/5.2 është më i vogli nga të tjerët si psh 60/0.4 dhe 40/0.6. Edhe ky resht ku gjendet 5.2 do të pjesëtohet me 5.2 dhe pastaj do të vendoset në tab vijuese numër 3. Po ky resht i vendosur në tab.3. do të shumzohet me -0.4 dhe do të mblidhet me reshtin e 2t të tab2.(reshtin x1) e pastaj rezultati shkruhet ne tabelën 3 po në të njëjtin resht më të cilin u mbledh, dhe do të shumzohet me -0.6 dhe i shtohet reshtit të 1 të tab.2 e rezultati shkruhet në reshtin e parë të tab.3. e njëjta vlen dhe për reshtin e f’ në tab 2 por ai shumzohet me -8.
  • 8. Tab.3. PB TL x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 Ky resht është pjesëtuar 0.46 dhe pastaj x5 19.23 0 0.46 0.07 0 1 -0.077 -0.115 është vendosur në reshtin e 1 të tab 4. I x1 46.15 1 0.31 0.115 0 0 -0.115 -0.077 njëjti resht është shumzuar (ai i x2 në x4 34.62 0 0.23 0.96 1 0 -0.038 0.19 f’ 0 0 1.08 -2.84 0 0 -0.84 -0.77 tab.4) me -0.31, -0.23 dhe -1.08 dhe është mbledhur me reshtat përkatës (të dytin, t’tretin dhe t’katërtin f’). Tab.4. Zgjidhja optimale e problemit primar Meqë në reshtin e katërt ska pozitiv PB TL x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 asnjë numër atëher problemi është x2 41.67 0 1 -0.167 0 2.16 -0.16 -0.25 x1 33.33 1 0 0.167 0 -0.67 0.167 0 zgjidhur dhe atë meqë -783.33 është min x4 25 0 0 1 1 -0.5 0 0.25 i f’ rjedh se 783.33 është max i kërkuar në f’ -783.33 0 0 -2.67 0 -2.33 -0.667 -0.5 f në fillim: x1=33.33, x2=41.67, x3=0, x4=25 .