Problemi di ro_01bis

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Programmmazione lineare (disequazioni in due variabili)

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  • 1. Svolgimento di un problema di Ricerca Operativa “Programmazione Lineare” Docente: Libero CancelliereSupponiamo che lanalisi un problema di Ricerca Operativa porti alla Modello Matematico:soluzione del sistema di disequazioni: Per prima cosa si ricavano le rette che corrispondono nel piano x y ≥30 a  cartesiano alle condizioni imposte dal problema. 5⋅x −2⋅y ≤10 b Quindi si ha: a  x y≥30 y≥−x 30 x≥10 c 5 y≥5 d  b 5⋅x −2⋅y ≤10 −2⋅y≤−5⋅x10 y ≥ ⋅x−5 2per (c) e (d) le relazioni sono già in forma elementare.Il passo successivo per arrivare ad una soluzione del sistema è disegnare le rette checorrispondono alle situazioni limite delle disequazioni indicate, esse ovviamente sono: a  y =−x30 5 c x=10 d  y=5 b y= ⋅x−5 2Siccome con un comune righello è possibile tirare una riga con precisione saputi solo 2 suoipunti, quindi dobbiamo individuare almeno due punti a cui appartengono; procediamo con ciò ecalcoliamo la (a) in x = 0 e x = 4, e così anche la (b), ricavando le relative coordinate y: a  y=−x30 y=−030 quindi per x=0  y =30 a  y=−x30 y=−430 quindi per x=4  y=26 5 5 b y= ⋅x−5= ⋅0−5=−5 quindi per x=0  y=−5 2 2 5 5 20 20 10 20−10 10 b y= ⋅x−5= ⋅4−5= −5= − = = quindi per x=4  y=5 2 2 2 2 2 2 2Quindi la retta (a) può essere tracciata utilizzando i punti p1a(0,30) e p2a(4,26), mentre la retta 1 A. Veneziani – Rianalisi di un esercizio di R.O.
  • 2. (b) può essere tracciata utilizzando i punti p 1b(0,5) e p2b(4,5); la posizione ed il disegno dellerette (c) e (d) sono viceversa immediati e non necessitano di particolari calcoli. x = 10corrisponde ad una retta verticale allasse y e y = 5 è la retta orizzontale che passa ad altezza5, ossia intercetta lasse y in +5.Il disegno di tutte le rette di vincolo risulta nel complesso: Individuiamo ora se esiste unarea che rappresenti una soluzione del problema posto (il problema potrebbe anche essere impossibile), tracciando prima di tutto i semipiani sui quali le disequazioni date sono verificate, e poi incrociando (sovrapponendo) tali semipiani tra loro. Per chiarezza traccio qua sotto i grafici1 di tutte e quattro ledisequazioni e successivamente di quello soluzione risultante dalla sovrapposizione:1 I grafici qui rappresentati sono stati tutti generati integralmente con il software di calcolo simbolico Derive 6. 2 A. Veneziani – Rianalisi di un esercizio di R.O.
  • 3. Il grafico soluzione risulta quindi, come detto dalla sovrapposizione delle quattro aree(semipiani) indicate, ossia: 3 A. Veneziani – Rianalisi di un esercizio di R.O.