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Funzione 01

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  • 1. Math.it applicazioni didattiche ©2001STUDIO DI FUNZIONE: razionale frazionaria x2 − 9y = f (x ) y= x2 + 4Campo di CDE = { x ∈ R} ∀EsistenzaEventualiintersezioni con gli intersezioni con l’asse x : (− 3,0) ; (3,0)assi coordinati  9 intersezione con l’asse y :  0,−   4segno della la funzione è positiva in : x < −3 , x > 3funzionecomportamento x2 − 9 x2 − 9agli estremi del lim = +1− ; lim = +1−dominio x →−∞ x2 + 4 x →+∞ x2 + 4eventuali asintoti asintoti verticali: nessuno asintoti orizzontali: y =1 asintoti obliqui: nessunoderivate 26 x y = (x 2 +4 ) 2 y = ( 26 − 3 x 2 + 4 ) (x 2 +4 ) 3monotonia la funzione è decrescente nell’intervallo in cui : x<0 la funzione è crescente nell’intervallo in cui : x>0eventuali massimi  9e minimi relativi minimo :  0,−   4 massimo : nessunoconcavità e 2 3 2 3convessità la funzione presenta la concavità verso l’alto in : − <x< 3 3 2 3 2 3 la funzione presenta la concavità verso il basso in : x < − ,x> 3 3eventuali punti di  2 3 23   2 3 23 flesso punti di flesso : − ,−  ;  ,−   3 16   3 16     grafico y 4 2 0 x -6 -4 -2 0 2 4 6 -2
  • 2. Math.it applicazioni didattiche ©2001STUDIO DI FUNZIONE: razionale frazionaria 2 x −9y= x2 + 4Campo di Esistenza x2 − 9y= 2 è una funzione razionale fratta, perciò basterà imporre che il denominatore non sia nullo: x +4x + 4 ≠ 0 ⇒ x 2 ≠ −4 . 2Questo si verifica sempre nel campo dei numeri Reali, quindi il CDE della funzione è costituito dall’intero asse Reale:CDE = { x ∈ R} . ∀Intersezioni con gli assi coordinatiIntersezione con l’asse x:  x2 − 9  x2 − 9  2  y =  = 0 , x − 9 = 0 , x 2 = 9  x = ±3  x +4 2 ,  2 x +4   , y = 0 y = 0 y = 0  y = 0  y = 0 I due punti in cui la curva interseca l’asse x sono: (− 3,0) ; (3,0)Intersezione con l’asse y:  x −9 2  0−9y = y = x2 + 4 ,  0+4x = 0 x = 0   9Il punto in cui la curva interseca l’asse y è :  0,−   4Segno della funzioneStudiamo in quali intervalli la funzione è positiva, ovvero in quali regioni del CDE la funzione si dispone sopra l’asse delleascisse: -3 3x2 − 9 N > 0 x2 − 9 > 0 x2 > 9 x < −3, x > 3 >0 ,x2 + 4 D>0 x 2 + 4 > 0 sempre vero ∀x + - +La funzione risulta positiva per valori x < −3 , x > 3 .Studio coi limiti del comportamento della funzione agli estremi del dominio. x −9 2 ∞ lim =x →−∞ x +4 2 ∞la forma di indeterminazione si elimina confrontando gli ordini di infinito del numeratore e del denominatore.La funzione, quando x tende ad ∞ , tende al valore 1.Un altro metodo di calcolo consiste nel raccogliere al numeratore e al denominatore la stessa quantità:  9  x 2 1 −  x −9 2  x2  lim = lim =x →−∞ x 2 + 4 x →−∞ 2  4  x 1 +   x2  9 4ora semplificando per x2 e notando che il lim 2 =0 e il lim = 0, x →−∞ x x →−∞ x2 x2 − 9si ottiene: lim = 1− . x →−∞ x +42 x2 − 9In modo analogo si procede per l’altro limite, ottenendo lim = 1− . x →+∞ x2 + 4Asintoti orizzontali x2 − 9 x2 − 9Dal calcolo del limite lim =1 e lim = 1 , si deduce che la funzione tende al valore 1. x →−∞ x2 + 4 x →+∞ x2 + 4La retta y =1 è un asintoto orizzontale. 2
  • 3. Math.it applicazioni didattiche ©2001Calcolo delle derivatey = 2 ( 2 ) 2x x + 4 − 2x x − 9 ( ) = 2x (x 2 + 4 − x2 + 9 )= 26 x (x 2 +4 ) 2 (x + 4) (x 2 +4 ) 2 2 2 26 (x + 4) − 26 x (2)(x + 4)(2 x ) 26 (x + 4 )(x + 4 − 4 x ) 26 (− 3 x + 4 ) 2 2 2 2 2 2 2y = = = (x + 4) 2 (x + 4) 4 (x + 4) 2 4 2 3Ricerca di eventuali punti di massimo o minimo relativi 26 xy = 0 ⇒ = 0 26 x = 0 x = 0 . +4 2 (x 2 )Il punto di ascissa x = 0 è un probabile punto di massimo o minimo.Studio della monotonia 0 26 x N > 0 26 x > 0 x>0y > 0 ⇒ >0 (x 2 +4 ) 2 D>0 (x 2 +4 ) 2 > 0 sempre vero - +quindi la curva risulta crescente per valori di x positivi, mentre risulta decrescente per valori negativi di x.Inoltre possiamo affermare che il punto di ascissa x = 0 è un punto di minimo per la funzione.Calcoliamo ora l’ordinata di tale punto sostituendo il valore dell’ascissa nella funzione: x2 − 9 9 y= 2 =− . x +4 4  9In conclusione il punto di coordinate  0,−  è un punto di minimo relativo.  4Ricerca di eventuali punti di flessoy = 0 ⇒ ( 26 − 3x 2 + 4 )= 0 , − 3 x 2 + 4 = 0 , − 3x 2 = −4 , x2 = 4 x=± 2 , (x ) 3 , 2 +4 3 3 2 3da cui razionalizzando otteniamo le ascisse dei due probabili punti di flesso x=± . 3Studio della concavità ( )> 0 4 2 3 2 3 26 − 3x 2 + 4 N > 0 − 3 x 2 + 4 > 0 − 3 x 2 > −4 3 x 2 < 4 x2 < − <x<+y > 0 ⇒ 3 3 3 (x 2 +4 ) 3 D>0 (x 2 ) 3 +4 >0 x2 + 4 > 0 sempre vero 2 3 2 3 − 3 3N>0D>0 - + - 2 3 2 3La curva quindi presenta la concavità verso l’alto in : − <x< , 3 3 2 3 2 3mentre presenta la concavità verso il basso in : x<− ,x> . 3 3Calcoliamo ora le ordinate dei punti di flesso sostituendo i valori ottenuti nella funzione: 4 4 − 27 −9 x −9 32 23y= 2 = = 3 =− . x +4 4 4 + 12 16 +4 3 3  2 3 23   2 3 23 Per cui i punti di flesso hanno coordinate − ,−  ;  ,−  .  3 16   3 16      3