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Esercizi svolti di_ro_4_e
 

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programmazione lineare

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    Esercizi svolti di_ro_4_e Esercizi svolti di_ro_4_e Document Transcript

    • Soluzioni di alcuni esercizi di Ricerca Operativa – classe 4E tur. Docente: Libero CancelliereEsercizio n° 1Lesercizio si propone di risolvere il problema di R.O. Dato dalla seguente funzione obbiettivoed i seguenti vincoli: z =x−4y5  funzione obbiettivo x− y ≤2 x y ≤3 vincoli x6y≥3 x≥0Si noti intanto come ognuno dei vincoli rappresenti una regione del piano cartesiano x,y. Inparticolare considerate le uguaglianze al posto delle disuguaglianze le relative equazionirappresentano una serie di rette che si incrociano: x− y =2 x y =3 x6y =3 x=0Per disegnare le rette basta individuare due punti su esse, usualmente individuati calcolandolintersezione con lasse delle x e delle y.Per individuare i punti di intersezione basta porre nella equazione della retta rispettivamentex = 0 o y = 0, quindi si ha: x− y =2 x− y =2 y=−2 x=2 x=0 y=0 P x 0,−2 P y 2,0 x y =3 x y =3 y=3 x=3 x=0 y=0 P x 0,3 P y 3,0 x6y=3 x6y=3 y=2 x=3 x=0 y=0 1 A. Veneziani – Svolgimento di alcuni esercizi di R.O.
    • 1 P x 0,  P y 3,0 2La precedente zona di ammissibilità indicata alla pagina successiva, deriva dalle intersezioni divari semipiani, i cui grafici riportati qui sotto:Le rispettive rette saranno individuate dalla connessione dei punti Px e PyLa retta x = 0 invece coincide di per sé con lasse y.Si ha quindi una cosiddetta zona di ammissibilità di questo tipo: 2 A. Veneziani – Svolgimento di alcuni esercizi di R.O.
    • Per trovare i punti di intersezione tra le rette è possibile risolvere di volta in volta i sistemi cherappresentano appunto lintersezione, vale a dire (considerato che alcuni di essi sono giàespliciti e quindi non da calcolare a parte): x− y =2 y=x −2 y=x −2 y=x −2 y=x −2 x y =3 x x−2=3 2x−2=3 2x=5 x y =3 y=x −2 5 1 y= −2 y= 2 2 5 5 x= 5 x= 2 x= 2 2 1 15 x− y =2 x=2 x= x=2 y x=2 y 7 7 x6y =3 2 y6y=3 1 1 7y=3−2 y= y= 7 7 Infine trovata larea di ammissibilità e i suoi vertici, per un teorema sappiamo che (nelle Max condizioni lineari in cui siamo), i massimi e minimi del problema si trovano proprio sui vertici di questa zona. Quando parliamo di massimi e minimi ci riferiamo alla coordinata z del piano (espresso alla funzione obbiettivo) in un certo punto x,y. La zona in cui studiare tale piano viene delimitata proprio dalla zona di ammissibilità sul piano cartesiano x-y, come indicato dalla sequenza di immagini 3D sopra e a lato, relative al nostro problema. 3 A. Veneziani – Svolgimento di alcuni esercizi di R.O.
    • MinQui sopra riporto dei grafici 3D generati con il software CAS Mathematica che mostrano laproiezione della zona di ammissibilità sulla funzione obbiettivo (ossia il piano corrispondente adessa). Il terzo grafico è parzialmente ruotato per evidenziare i tagli effettuati sul piano(funzione obbiettivo). [Si noti come il vertice più in basso corrisponda alla proiezione di quelloche nel piano cartesiano è il vertice (0,3), mentre il punto più alto alla proiezione del punto(15/7, 1/7).Ora che abbiamo individuato i vertici della zona di ammissibilità, andiamo dunque a calcolaresu ogni vertice il valore della funzione obbiettivo; risulta: z  x ; y= x −4y5In (0,3): z  0,3=0−4⋅35=0−125=−7In (0,1/2): 1 1 z  0, =0−4⋅ 5=0−25=3 2 2In (5/2, 1/2): 5 1 5 1 5 5 4 10 −5410 9 z  , = −4 5=− 25=   = = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2In (15/7, 1/7): 15 1 15 1 15 4 35 15−435 46 z , = −4 5= −  = = 7 7 7 7 7 7 7 7 7quindi il massimo risulta essere presente nel punto Pmax(15/7,1/7), mentre il minimo inPmin(0,3)Esercizio n° 2Lesercizio si propone di risolvere il problema di R.O. Dato dalla seguente funzione obbiettivo ei seguenti vincoli: z  x ; y=5x9y  funzione obbiettivo  x y −8≤0 x y −2≥0 vincoli x≥0 y≥0 4 A. Veneziani – Svolgimento di alcuni esercizi di R.O.
    • Tutti questi vincoli rappresentano come al solito dei semipiani, delimitati da delle linee ( omeglio rette) che sono definite dalle rispettive uguaglianze, vale a dire: x y −8=0 x y −2=0 x=0 y=0Le rette coi loro relativi semipiani sono i seguenti:E quindi la zona di ammissibilità nel complesso risulta: 5 A. Veneziani – Svolgimento di alcuni esercizi di R.O.
    • Tutti i grafici sopra sono stati ricavati con lausilio di Derive. Individuiamo ora, perpermettere il tracciamento delle rette, i punti di intersezione con gli assi x e y: x y −8=0 x y 0 y−8=0 y=8 8 0 x =0 8 0 x y −8=0 x0−8=0 x=8 y=0quindi i punti di intersezione con gli assi per la retta x y −8=0 sono Px(8,0) e Py(0,8). x y −2=0 x y 0 y−2=0 y=2 x =0 0 2 2 0 x y −2=0 x0−2=0 x=2 y=0quindi i punti di intersezione con gli assi per la retta x y −2=0 sono Px(2,0) e Py(0,2).Le altre due rette sono proprio lasse x e lasse y di equazioni rispettivamente y = 0 e x = 0, equindi non necessitano di particolari attenzioni per il tracciamento.Le due rette x y −8=0 e x y −2=0 tra laltro non hanno intersezioni, infatticalcolandole con metodo algebrico ossia con il sistema tra le due 6 A. Veneziani – Svolgimento di alcuni esercizi di R.O.
    • equazioni delle rette si ottiene: x y −8=0 y=−x8 y=−x8 y=−x8 x y −2=0 x y −2=0 x−x8−2=0 8−2=0 y=−x8 impossibile 6=0ossia tradotto in termini geometrici le due rette messe a sistema non hanno intersezione (edinfatti anche nel disegno si nota che “viaggiano” parallele).I vertici della zona di ammissibilità indicata prima sono quindi proprio le intersezioni con gliassi delle due rette x y −8=0 e x y −2=0 e quindi risultano: P1(0,8) P2(8,0) P3(2,0) P4(0,2)Per un teorema sappiamo che il massimo ed il minimo nella zona di ammissibilità per funzioniobbiettivo lineari (come quelle qui trattate), cadono sempre nei vertici e quindi nei puntiindicati sopra; verifichiamo su quali dei 4 punti, calcolando il valore della funzione obbiettivoin ognuno dei quattro: z  x ; y=5x9y  funzione obbiettivo  z  0,8=5⋅09⋅8=072=72 z 8,0=5⋅89⋅0=400=40 z  2,0=5⋅29⋅0=100=10 z  0,2=5⋅09⋅2=018=18Quindi il massimo risulta in (0,8) ed il minimo in (2,0). 7 A. Veneziani – Svolgimento di alcuni esercizi di R.O.
    • Infatti ricavata una proiezione della zona di ammissibilità sul piano descritto dallafunziona obbiettivo risulta il seguente grafico 3D: Max Min Max Min 8 A. Veneziani – Svolgimento di alcuni esercizi di R.O.