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Esercizi applicativi compito_17-11-2010
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Esercizi applicativi compito_17-11-2010

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Soluzione compito del 17/

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  • 1. Matematica – classe 5EturA. Veneziani - svolgimento degli esercizi applicativi del compito in classe diMatematica del 17/11/2010 (docente prof. L. G. Cancelliere) 2 1xEsercizio 2 - Verificare che la solzuione della disequazione 2 0 è un intorno di ? x −1Nelle disequazioni fratte, come nelle disequazioni formate da un prodotto osserviamo che ilsegno della disequazione viene studiato studiando quello dei fattori o di numeratore edenominatore (ed è questo il nostro caso – ovviamente).Detto questo si spiega facilmente con esempi numerici il metodo da tenere per determinare sela frazione considerata sia maggiore di 0 o viceversa. Ad esempio se consideriamo unadisequazione ove il numeratore sia positivo e il denominatore negativo potremo dire che essanon può essere maggiore di 0, infatti ad esempio: 9 / -2 = - (9/2) < 0Analogamente per altri casi se sia numeratore che denominatore sono positivi, il rapporto epositivo, se essi sono entrambi negativi il rapporto e positivo (si pensi ad esempio a 3 / 2 > 0e – 4 / -5 = 4 / 5 > 0).Con tali semplici esempi in mente si può quindi capire come si procede in analoga maniera nelcaso di complesse espressioni in x al numeratore e denominatore di una frazione in x.Allora studiamo quindi ove il numeratore è positivo ed ove il denominatore è positivo, di mododa poter poi combinare i due dati e osservare ove è positiva lintera frazione.Iniziamo dal numeratore. Essa è una ben nota forma in cui un quadrato di un numerogenerico (x ) è sommato ad una costante (1). 2Siccome sappiamo che il quadrato di un numero è sempre maggiore o uguale a 0, e a questovalore viene assommato, lespressione nel suo complesso è sempre positiva per qualunque x.Questo ragionamento può essere verificato e confermato facilmente con il plottaggio tramite ilcalcolatore:Si tratta infatti evidentemente di una parabola che stà sopra lasse delle x, e quindi i cui valori 1 A. Veneziani- svolgimento compito in classe 17/11/2010
  • 2. di y sono tutti positivi.Lespressione 1 + x2 non è scomponibile in fattori, in quanto lequazione x2 + 1 = 0 non hasoluzioni (evidente dal grafico riportato sopra).Il denominatore invece è scomponibile in un prodotto di fattori, essendo una differenza di duequadrati: x 2−1= x1⋅ x−1Chiediamoci ora per ognuno di essi quando i due fattori sono maggioridi zero:  x10 per x−1  x−10 per x1Il grafico dei segni risulta quindi: -1 1 Xe si può constatare che solo per x > 1 o x < -1 il prodotto risulta maggiore di 0.[ In effetti la curva corrispondente alla equazione x2 – 1 è:segnando le zone sopra e sotto lasse sul grafico che come si vedono risultano negative tra -1e1 - (osservare attentamente le divisioni proposte dal programma di calcolo) ]Nel complesso, ossia conseiderando il segno del numeratore e denominatore, essendo il 2 A. Veneziani- svolgimento compito in classe 17/11/2010
  • 3. numeratore sempre maggiore di 0, il segno della frazione risulta positivo nello stesso intervalloper cui il segno del denominatore risulta positivo, quindi: 1x 2 0 per x1 e x−1 x 2−1Questi intervalli aperti rappresentano un intorno rispettivamente di: I ∞=1,∞ intorno destro di∞ I −∞=−∞ ,−1 intorno sinistro di−∞complessivamente i due intorni combinati risultano un intorno complessivamente di infinito eprecisamente un intorno circolare di infinito (in quanto i punti estremi sono simmetrici rispettoallorigine (x = 0): I c ∞= I −∞ ∪ I ∞=−∞ ,−1 ∪ 1,∞Esercizio 3 - Verificare che la soluzione della disequazione x 3− x 2x−10 è unintorno di ?Si tratta di una disequazione di terzo grado. Si deve cercare di scomporre la stessa di mododa studiare opportunamente i suo singoli fattori in modo opportuno (considerazioni analoghe aquelle fatte sopra valgolno anche in questo caso).Invece di applicare Ruffini e tentare una divisione tra polinomi è possibile osservare chemettendo un x2 in evidenza tra i primi due termini del polinomio risulta: si può osservare poi che uno dei termini del prodotto è x 2  x−1x−10 uguale agli ultimi due termini del polinomioe quindi è possibile concludere: a questo punto è possibile considerare come in precedenza che x2  x 21⋅ x−10 + 1 è sempre maggiore di 0.Resta quindi da studiare il segno del fattore (x – 1) > 0; risulta:  x−10 quando x1E quindi anche tutto il prodotto è maggiore di 0 quando x > 1, che risulta la soluzione.[ Anche con il calcolatore è possibile trovare questo risultato in maniera automatica:che graficamente viene confermato dalla forma della curva che rappresenta lespressione data: 3 A. Veneziani- svolgimento compito in classe 17/11/2010
  • 4. I ∞=1,∞ intorno destro di∞ ]In conclusione quindi i valori dellasse x che verificano la disequazione data rappresentano unintorno di + infinito:Esercizio 4 - Verificare che la soluzione della disequazione 2x 2−10x120 è un intornocircolare di x0 = ?in questo caso siamo di fronte ad una disequazione di II° grado per la quale è possibileutilizzare il classico metodo di risoluzione:Calcoliamo quindi il ∆ della equazione per vedere se esistono soluzioni reali e coincidenti: =b2−4⋅a⋅c=102 −4⋅2⋅12=100−96=40quindi concludiamo che esistono soluzioni reali e coincidenti (∆ > 0).Passiamo allora calcolare le soluzioni vere e proprie con lusuale e ben nota formula: −b±  b2−4⋅a⋅c −b±  10± 4 x 1,2= = = 2⋅a 2⋅a 4da questo risultano le due soluzioni: 102 12 10−2 8 x 1= = =3 x 2= = =2 4 4 4 4quindi lespressione assegnata può essere scomposta come:  x−2⋅ x−30a questo punto non resta che studiare il segno dei due fattori ossia capire, ad esempio, quandoessi risultano maggiori di 0:  x−20 per x2  x−30 per x3 4 A. Veneziani- svolgimento compito in classe 17/11/2010
  • 5. quindi è possibile disegnare il seguente grafico dei segni (ove andremoa ricercare le zone oveil segno sia negativo, in questo caso): +2 +3 Xe quindi risulta negativa nellintervallo compreso tra 2 e 3 ossia per 2 < x < 3.[ Tale soluzione è ovviamente ricavabile anche con mezzi automatici al calcolatore, ad esempioin Mathematica lopportuno comando “Reduce” rende la soluzione:inoltre è possibile come al solito tracciareil grafico della espressione considerata:da cui si può chiaramente osservare che la zona ove la curva y=2x −10x12 è negativa 2è per x compreso tra 2 e 3. ]Per concludere la richiesta dellesercizio 4 ci chiede di individuare il punto x0 per cui taleintervallo risulta intorno circolare. E piuttosto evidente che lintervallo può essere intornocircolare solo del punto che soddisfa la seguente relazione (già data a lezione): x 1 x 2 23 5 x 0= 2 = 2 = =2,5 2 Risulta quindi che: I c  x 0= I c  5 2 = 2,3 5 A. Veneziani- svolgimento compito in classe 17/11/2010

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