Esercizi 14 1-2011-equaz_logaritmiche

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esercizi svolti equazioni logaritmiche

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Esercizi 14 1-2011-equaz_logaritmiche

  1. 1. Esercizi di Matematica svolti durante la lezionedel prof. L.G. Cancelliereil 14/1/2011 - classe 4A liceoEsercizio 1 – trovare il campo di esistenza della seguente eqauzione esponenziale etrovarne le soluzioni: log 3  x 2 x−log3  x 2− x=1Individuiamo per prima cosa il campo di esistenza della espressione richiesta. E noto cheper i logaritmi deve sempre essere: se loga(b) allora b > 0Quindi applicando questa regola ai logaritmi della espressione risulta che deve esserecontemporaneamente: per ognuna delle disequazioni di secondo x 2 x0 x  x10 grado bisogna trovare la/e condizione/i di (*) che le soddisfano: 2 x − x0 x  x−10relativamente al primo prodotto possiamo scrivere (ossia studiamo come al solito ove idue fattori sono maggiori di 0): x0 x0 x10 x−1componiamo ora il diagramma che indica ove tutti e due i fattori sono positivi e quindicomponiamo il segno risultante della disequazione costituita dal primo prodotto: + - + -1 0 XQuindi il prodotto dei fattori risulta maggiore di 0 quando x < -1 o quando x > 0.Studiamo la seconda disequazione del sistema (*): x0 x0 x−10 x1 1 A. Veneziani – Analisi esercizi svolti 14-1-2011
  2. 2. A questo punto disegnamo come prima il diagramma dei segni per le disequazioni fruttodello studio dei segni dei singoli fattori del prodotto: + - + 0 1 XIn questo caso il prodotto risulta positivo solo per x > 1 e x < 0Componendo le condizioni del sistema (*) risulta: x1 e x0 x0 e x−1La condizione risultante dalle due indicate è: -1 > x > 1Trovata il campo di esistenza possiamo andare a svolgere lequazione proposta: log 3  x 2 x−log 3  x 2−x=1 log 3  x 2 x=1log3  x 2− x log 3  x 2 x=log3 3log3  x 2− xlindicazione log3(3) = 1 deriva dalla stessa definizione per la quale il risultato di unlogaritmo è quel numero per il quale elevare la base per ottenere largomento:31 = 3 quindi è corretto. log 3  x 2 x=log3 3⋅ x 2− x log 3  x 2 x=log3 3⋅ x 2− xArrivati alla forma che uguaglia due logaritmi, si possono eguagliare anche i loroargomenti per soddisfare una uguaglianza: x 2 x=3⋅ x 2− x  x 2 x=3 x 2−3 x −2 x 24 x=0 −2 x x−2=0Le soluzioni di questo prodotto uguagliato a zero sono individuabili uguagliando, come alsolito, i fattori contenti la x a zero: x 1=0  x−2=0 x 2=2 2 A. Veneziani – Analisi esercizi svolti 14-1-2011
  3. 3. La soluzione x1 = 0 non è cade nel campo di esistenza previsto dal nostro studio; lunicasoluzione accettabile è quindi la x2 = 2.Graficamente è possibile rendere in modo visivo quanto calcolato in modo algebrico,osservando i punti di intersezione delle linee rappresentanti le espressioni al primo esecondo membro della uguaglianza originale:Esercizio 2 – trovare il campo di esistenza della seguente eqauzione esponenziale etrovarne le soluzioni: 2⋅log 10  x3=log 10  x−14⋅log 10  2Individuiamo per prima cosa, come abbiamo fatto prima, il campo di esistenza:ricordiamo che per i logaritmi vale la regola: se loga(b) allora b > 0 x30 x−3 x−10 x1In questo caso le due condizioni relative alla esistenza dei logaritmi danno luogo a due 3 A. Veneziani – Analisi esercizi svolti 14-1-2011
  4. 4. disequazioni semplici (non sono prodotti). In questo caso quindi dobbiamo solo comporretali condizioni:In questo caso la composizione delle condizioni si limita a rendere valida la condizione piùrestrittiva, vale a dire x > 1, cheSvolgiamo ora il calcolo della equazione logaritmica vera e propria: log 10  x32 =log 10  x−1log10 2 4 in questo caso abbiamo applicato la regola dei logaritmi: k loga(b) = loga(bk)applichiamo ora al secondo membro della equazione la regola dei logaritmi: loga(b) + loga(c) = loga(b c) log 10  x32 =log 10  x−1⋅16 log 10  x32 =log 10  x−1⋅16siamo arrivati ad un espressione ove compare al membro di destra e a quello di sinistrauna uguaglianza di soli due logaritmi (uno a destra e uno a sinistra) con la stessa base, edè quindi possibile eguagliare gli argomenti dei logaritmi: log 10  x32 =log 10  x−1⋅16  x32= x−1⋅16successivamente si svolgono calcoli routinari: x 296x=16x −16 x 2−10 x25=0 questa è una equazione di 2° grado facilmente risolubile.Individuiamo subito se esistano per essa soluzioni reali, calcolando il delta: =b 2−4⋅a⋅c=−102−4⋅1⋅ 25=100−100=0il calcolo del Δ indica che esistono soluzioni reali e coincidenti (Δ = 0).A questo punto passiamo a calcolarle: −b±  10±  0 10 x 1,2= = = =5 2⋅a 2 2In questo caso queste soluzioni coincidenti sono accettabili, in quanto soddisfano lacondizione di esistenza che imponeva x > 1.Graficamente è possibile visualizzare la soluzione trovata, tramite il computer plottando unopportuno grafico relativo alle due funzioni coinvolte al primo e secondo membro delluguaglianza: 4 A. Veneziani – Analisi esercizi svolti 14-1-2011
  5. 5. 5 A. Veneziani – Analisi esercizi svolti 14-1-2011

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