Your SlideShare is downloading. ×
  • Like
Geometria - wielokąty
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×

Now you can save presentations on your phone or tablet

Available for both IPhone and Android

Text the download link to your phone

Standard text messaging rates apply

Geometria - wielokąty

  • 3,611 views
Published

Skrypt dla studentów matematyki. …

Skrypt dla studentów matematyki.
Autor: Maciej Czarnecki.
Tytuł: Wielokąty

Published in Education
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Be the first to comment
    Be the first to like this
No Downloads

Views

Total Views
3,611
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0

Actions

Shares
Downloads
25
Comments
0
Likes
0

Embeds 0

No embeds

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. Maciej Czarnecki Geometria szkolna skrypt dla studentów matematyki Rozdział V Wielokąty Niech p będzie ustaloną płaszczyzną w przestrzeni euklidesowej E. Definicja 1. Niech punkty A, B, C ∈ p będą niewspółliniowe. Bokami trójkąta ABC nazywamy odcinki AB, BC oraz CA, długościami boków — liczby a = d(B, C), b = d(C, A) oraz c = d(A, B), a miarami nieskierowanych kątów wewnętrznych (lub − − − → → − −→ − − → po prostu kątami wewnętrznymi) — liczby α = AB, AC , β = BA, BC oraz − −→ → − γ= CA, CB . Powyższe przypisanie liczb a, b, c oraz α, β, γ traktujemy jako oznaczenia standar- dowe. Mówimy, że bok BC leży naprzeciw kąta α, bok CA — naprzeciw kąta β, a bok AB — naprzeciw kąta γ. Mówimy także, że bok przylega do kąta, jeżeli nie leży naprzeciw tego kąta. Kąt jest zawarty między bokami, które do niego przylegają. Twierdzenie 2. (twierdzenie cosinusów) W trójkącie kwadrat długości boku jest równy sumie kwadratów długości pozostałych boków pomniejszonej o podwojony ilo- czyn długości tych boków i cosinusa kąta zawartego pomiędzy nimi. Innymi słowy, przy standardowych oznaczeniach w trójkącie ABC zachodzą rów- ności c2 =a2 + b2 − 2ab cos α, b2 =c2 + a2 − 2ca cos β, a2 =b2 + c2 − 2bc cos γ. Dowód: Z twierdzenia cosinusów w przestrzeni euklidesowej otrzymujemy − 2 −→ − 2 → −→ 2 − − −→ → − c2 = AB = AC + CB + 2 AC, CB − −→ → − −→ −→ − − −→ → − =b2 + a2 − 2 CA, CB = b2 + a2 − 2 CA · CB · cos CA, CB =b2 + a2 − 2ba cos γ 1
  • 2. 2 Wniosek 3. (twierdzenie Pitagorasa) W trójkącie jeden z kątów jest prosty wtedy i tylko wtedy, gdy kwadrat długości boku leżącego naprzeciw tego kąta jest równy sumie kwadratów długości pozostałych boków. Innym słowy, przy standardowych oznaczeniach w trójkącie ABC: π γ = ⇐⇒ c2 = a2 + b2 . 2 Twierdzenie 4. (twierdzenie sinusów) W trójkącie stosunek długości boku do sinusa kąta leżącego naprzeciw tego boku jest stały. Innym słowy, przy standardowych oznaczeniach w trójkącie ABC: a b c = = . sin α sin β sin γ Dowód: Ze względu na symetrię oznaczeń wystarczy udowodnić pierwszą rów- ność. −→ − −→ − −→ Niech u = BC, v = CA. Wówczas AB = −u − v oraz α = (−u − v, −v), β = (u + v, u), skąd | − u − v|2 · | − v|2 − −u − v, −v 2 |u + v|2 · |v|2 − u + v, v 2 sin α = = | − u − v| · | − v| |u + v| · |v| |u|2 · |v|2 − u, v 2 = |u + v| · |v| oraz |u + v|2 · |u|2 − u + v, u 2 |u|2 · |v|2 − u, v 2 sin β = = . |u + v| · |u| |u + v| · |u| Zatem a |u| |u + v| · |u| · |v| |v| b = = = = . sin α sin α |u|2 · |v|2 − u, v 2 sin β sin β Twierdzenie 5. Suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie wynosi π. Innym słowy, przy standardowych oznaczeniach w trójkącie ABC: α + β + γ = π. Dowód: Załóżmy, że α β γ. Z twierdzenia sinusów wynika, że istnieje liczba dodatnia D taka, że a b c D= = = . sin α sin β sin γ Podstawiając stąd za a, b, c do pierwszego wzoru w twierdzeniu cosinusów otrzymu- jemy równość D2 sin2 γ = D2 sin2 α + D2 sin2 β − 2D2 sin α sin β cos γ, która po zastosowaniu jedynki trygonometrycznej staje się rónaniem kwadratowym ze względu na cos γ: cos2 γ − 2 sin α sin β cos γ + sin2 α + sin2 β − 1 = 0
  • 3. 3 o nieujemnym wyróżniku ∆ = 4(1 − sin2 α)(1 − sin2 β). Zatem cos γ = sin α sin β − cos α cos β = cos(π − (α + β)) lub cos γ = sin α sin β + cos α cos β = cos(α − β). Ponieważ α, β, γ ∈ (0, π), więc także |π − (α + β)|, |α − β| ∈ (0, π), a to wraz z powyższymi warunkami na cos γ daje γ = |π − (α + β)| lub γ = |α − β|. Tym samym spełniony jest co najmniej jeden z warunków α + β + γ = π, π + γ = α + β, α = γ + β, β = γ + α. Teza wynika ze sprzeczności ostatnich trzech z nich z założeniem 0 < α β γ < π. Definicja 6. Okręgiem o środku S ∈ p i promieniu r > 0 zawartym w płaszczyźnie p nazywamy zbiór O(S, r) = {X ∈ p ; |XS| = r}. Zbiory K(S, r) = {X ∈ p ; |XS| < r}, K(S, r) = {X ∈ p ; |XS| r} nazywamy odpowiednio kołem otwartym i kołem domkniętym o środku S i promieniu r. Definicja 7. Niech S ∈ p i r > 0. Prostą l zawartą w płaszczyźnie p nazywamy (1) styczną do okręgu O(S, r), jeżeli d(S, l) = r, (2) sieczną okręgu O(S, r), jeżeli d(S, l) < r, (3) zewnętrzną do okręgu O(S, r), jeżeli d(S, l) > r. Uwaga 8. Z twierdzenia III.22 wynika, że jeżeli prosta l jest styczna do okręgu O(S, r), to zbiór l ∩ O(S, r) jest jednopunktowy i jego jedyny element A spełnia warunek −→ SA ⊥ l. Definicja 9. Niech P bedzie ustalonym wielokątem zawartym w płaszczyźnie p. Bokiem wielokąta P nazywamy odcinek w nim zawarty, który przy dowolnej trian- gulacji wielokąta P zawiera bok trójkąta należącego do tej triangulacji i niebędący bokiem żadnego innego trójkąta tej triangulacji. Wierzchołkiem wielokąta P nazy- wamy każdy koniec boku tego wielokąta. Okręgiem opisanym na wielokącie P nazywamy okrąg zawierający wszystkie wierz- chołki wielokąta P . Okręgiem wpisanym w wielokąt P nazywamy okrąg styczny do każdej z prostych zawierających boki wielokąta w punkcie należącym do boku wielo- kąta P , ale niebędącym wierzchołkiem tego wielokąta. Definicja 10. Osią symetrii zbioru f nazywamy prostą l taką, że sl (f ) = f (czyli gdy zbiór f jest niezmienniczy względem działania symetrii o osi l). Symetralną niezdegenerowanego odcinka AB nazywamy oś symetrii tego odcinka różną od prostej AB. Twierdzenie 11. Symetralną odcinka AB ⊂ p zawartą w płaszczyźnie p jest jest prosta l⊥ 2 A + 1 B , gdzie l = AB. 1 2
  • 4. 4 Dowód: Niech m ⊂ p będzie symetralną odcinka AB ⊂ p, to znaczy osią symetrii tego odcinka różną od prostej l = AB. Wówczas sm (A) = B, skąd i z definicji symetrii l ⊥ m. Ponadto wspólny rzut prostopadły D punktów A i B na prostą m spełnia warunki −→ − −→ − − −→ 2AD = 2DB = AB, co pociąga za sobą równości 1 |AB| = |AD| + |DB| i |AD| = |AB|. 2 Zgodnie z lematem IV.28 punkt D ∈ m jest środkiem odcinka AB. Ponieważ dim p = 2, więc istnieje dokładnie jedna prosta zawarta w płaszczyźnie p, prostopadła do prostej AB i przechodząca przez środek odcinka AB; jest nią właśnie l⊥ 1 A + 1 B . 2 2 Twierdzenie 12. Symetralna odcinka AB ⊂ p zawarta w płaszczyźnie p jest zbiorem wszystkich punktów płaszczyzny p równoodległych od A i B. Dowód: ⊂) Jeżeli m jest symetralną odcinka AB, to jak w dowodzie tw. 11 sm (A) = B. Ponieważ symetria osiowa sm jest izometrią i zbiorem jej punktów stałych jest prosta m, więc dla dowolnego punktu X ∈ m spełniony jest warunek |AX| = |sm (A)sm (X)| = |BX|. ⊃) Niech na odwrót punkt X ∈ p będzie równoodległy od punktów A i B, a D niech bedzie jego rzutem prostopadłym na prostą l = AB. Wówczas −→ −→ − − − −→ −→ −→ − − − −→ XD ⊥ DA AB i XD ⊥ DB AB, co wraz z twierdzeniem Pitagorasa i założeniem daje |DA|2 = |AX|2 − |XD|2 = |BX|2 − |XD|2 = |DB|2 . Zatem D ∈ l jest środkiem odcinka AB oraz XD ⊥ l. To na mocy tw. 11 oznacza, że XD jest symetralną odcinka AB, czyli punkt X należy do tej symetralnej. Definicja 13. Niech u, v ∈ S(p) {θ}, O ∈ p. Załóżmy, że wektory u i v nie są przeciwnie skierowane. (Wypukłym) kątem płaskim o wierzchołku O rozpiętym na wektorach u i v nazywamy zbiór ∠uOv = {O + s · u + t · v ; s, t 0}, Półproste Ou→ = O, O+ u→ iOv → nazywamy ramionami kąta, a zbiór {O + s · u + t · v ; s, t > 0} — obszarem kąta. Wklęsłym kątem płaskim o wierzchołku O rozpiętym na wektorach u i v nazywamy zbiór ∠− uOv = (p ∠uOv) ∪ Ou→ ∪ Ou→ Jego ramionami są półproste Ou→ = i Ov → , a obszarem — zbiór {O +s·u+t·v ; s < 0 lub t < 0}. Jeżeli u ↑↓ v, to (wypukłym) kątem płaskim ∠uOv nazywamy każdą z półpłasz- czyn domkniętych o krawędzi O, O + u = O, O + v, a jego obszarem — odpowiednią półpłaszczyznę otwartą. Miarą wypukłego kąta płaskiego ∠uOv jest liczba |∠uOv| = (u, v)
  • 5. 5 (czyli miara kąta pomiędzy wektorami u i v), natomiast miarą wklęsłego kąta płaskiego ∠− uOv liczba |∠− uOv| = 2π − (u, v). Uwaga 14. Kąt płaski zapisuje się często w postaci ∠AOB, gdzie A ∈ Ou→ , B ∈ Ov → . Wypukły kąt płaski jest zbiorem wypukłym. Wypukły kąt płaski ∠uOv nazywamy zerowym — gdy u ↑↑ v, a prostym — gdy u ⊥ v. Płaszczyznę z wyróżnioną półprostą nazywamy kątem pełnym, a półpłaszczynę domkniętą z wyróżnionym punktem na jej krawędzi— kątem półpełnym. Definicja 15. Dwusieczną kąta płaskiego o wierzchołku O nazywamy półprostą o początku O zawartą w tym kącie i jego osi symetrii (a w przypadku kąta pełnego uzupełniającą jedyne ramię do prostej). Twierdzenie 16. Dwusieczna kąta płaskiego zawartego w płaszczyźnie p, który nie jest pełny, jest zbiorem wszystkich punktów tego kąta równoodległych od jego obu ra- mion. Dowód: Twierdzenie 17. Na każdym trójkącie można opisać okrąg. Środek okręgu opisanego na trójkącie jest jedynym punktem wspólnym symetralnych wszystkich boków tego trójkąta. Dowód: W trójkącie ABC niech k, l, m oznaczają dopowiednio symetralne bo- ków BC, CA, AB. Dowolna para symetralnych przecina się w dokładnie jednym punk- cie ze względu na ogólne położenie wierzchołków. Niech O ∈ k ∩ l. Wtedy z tw. 12 wynika, że |OB| = |OC| i |OC| = |OA|. Stąd także |OA| = |OC| i stosując ponownie tw. 12 otrzymujemy, że O ∈ k ∩ l ∩ m. Wysatrczy przyjąć R = |OA|, a by okrąg O(O, R) był opisany na danym trójkącie. Na odwrót, jeżeli okrąg jest opisany na trójkącie, to jego środek leży na każdej z symetralnych (na mocy tw. 12). Twierdzenie 18. W każdy trójkąt można wpisać okrąg. Środek okręgu wpisanego w trójkąt jest jedynym punktem wspólnym dwusiecznych wszystkich wewnętrznych kątów płaskich tego trójkąta (to znaczy kątów wyznaczonych przez wektory wychodzące z danego wierzchołka). Dowód: Ze względu na analogię twierdzeń 12 i 16 dowód przebiega podobnie jak dla okręgu opisanego. Za środek okręgu wpisanego wystarczy przyjąć punkt O przecięcia dwusiecznych kątów wewnętrznych, a za promień — liczbę r = d(O, AB) = d(O, AB → ). Definicja 19. Środkową boku w trójkącie nazywamy odcinek, którego jednym z koń- ców jest środek tego boku, a drugim wierzchołek przeciwległy temu bokowi. Twierdzenie 20. (o środkowych w trójkącie) Środkowe w trójkącie mają dokładnie jeden punkt wspólny. Jest nim środek ciężkości tego trójkąta (czyli środek ciężkości układu jego wierzchołków o jednakowych wagach). Tym samym środkowe w trójkącie dzielą się wzajemnie w stosunku 2 : 1 (licząc od wierzchołka do przeciwległego boku).
  • 6. 6 Dowód: Wystarczy zauważyć, że w trójkącie A1 A2 A3 dla dowolnych parami różnych liczb i, j, k ∈ {1, 2, 3} zachodzi równość 1 1 1 2 1 1 1 A1 + A2 + A3 = Ai + Aj + Ak . 3 3 3 3 3 2 2 Twierdzenie 21. Przy oznaczeniach standardowych w trójkącie ABC środkowa boku BC ma długość √ 2b2 + 2c2 − a2 ma = . 2 Dowód: Niech D będzie środkiem odcinka BC oraz niech ϕ i ψ oznaczają miary kątów wewnętrznych przy wierzchołku D odpowiednio w ABD i DCA. Wówczas −→ −→ − − −→ −→ − − −→ −→ − − ψ= DA, DC = π − DA, −DC = π − DA, DB = π − ϕ. Stosując tweirdzenie cosinusów do trójkątów ABD i DCA otrzymujemy 1 c2 =m2 + a2 − ma a cos ϕ a 4 1 1 b =ma + a2 − ma a cos ψ = m2 + a2 + ma a cos ϕ, 2 2 a 4 4 skąd po dodaniu stronami wynika teza. Twierdzenie 22. (o kątach w kole) Jeżeli punkty A, B, C leżą na okręgu O(O, R), to dla wypukłych kątów płaskich ∠AOB i ∠ACB zachodzi równość |∠AOB| = 2 · |∠ACB|. Innymi słowy, kąt środkowy ma dwa razy większą miarę niż kąt wpisany oparty na tym samym łuku. Dowód: Twierdzenie 23. (ogólne twierdzenie sinusów) W trójkącie stosunek długości boku do sinusa kąta leżącego naprzeciw tego boku jest satły i równy średnicy (podwojonemu promieniowi) okręgu opisanego na tym trójkącie. Innymi słowy, jeżeli R oznacza pro- mień okręgu opisanego na ABC, to przy standardowych oznaczeniach a b c = = = 2R. sin α sin β sin γ Dowód: Niech α β γ. Wówczas z twierdzenia 5 wynika, że α < π . Jeżeli 2 O(O, R) jest okręgiem opisanym na trójkącie ABC, to z twierdzenia 22 otrzymu- jemy, że |∠COB| = 2α < π. Zastosowanie twierdzenia cosinusów do trójkąta COB daje równość a2 =|BC|2 = |BO|2 + |CO|2 − 2|BO| · |CO| · cos 2α =2R2 (1 − cos 2α) = 4R2 sin2 α równoważną tezie na mocy twierdzenia sinusów (tw. 4).
  • 7. 7 Definicja 24. Wysokością opuszczoną z wierzchołka X trójkąta na przeciwległy bok nazywamy odcinek łączący punkt X z jego rzutem prostopadłym X na prostą za- wierającą przeciwległy bok. Długość tej wysokości oznaczamy przez hX , a punkt X nazywamy spodkiem wysokości. Twierdzenie 25. Proste zawierające wysokości trójkąta przecinają się w jednym punkcie — ortocentrum trójkąta. Dowód: Niech w trójkącie ABC proste zawierające wysokości opuszczone z punktów A i B przecinają się w punkcie H (nie mogą być one równoległe, bo wierz- chołki trójkąta są w położeniu ogólnym). Zatem −→ −→ − − −→ − − → HA ⊥ BC i HB ⊥ CA. −→ − − −→ Wystarczy pokazać, że HC ⊥ AB. Z powyższych zależności wynika, że −→ − − − → −→ − − → −→ −→ − − HC, AB = − HC, CA − HC, BC −→ − − → −→ − − → −→ −→ − − − −→ → − = − HB, CA − BC, CA − HA, BC + CA, BC = 0. Uwaga 26. Do oznaczen standardowych w trójkącie ABC z definicji 1 dołączamy symbole hA , hB , hC na oznaczenie długości wysokości opuszczonych z odpowiednich wierzchołków, ma , mb , mc — na oznaczenie długości środkowych odpowiednich boków, R — promień okręgu opisanego na trójkącie, r — promien okręgu wpisanego w trójkąt, p = a+b+c — połowę obwodu trójkąta i S — pole trójkata. 2 Twierdzenie 27. (wzory na pole trójkata) Przy standardowych oznaczeniach w trój- kącie ABC prawdziwe są natępujace wzoryna pole trójkąta: 1 − → −→ − 1 − − → − −→ 1 − −→ − → (1) S = 2 CA × CB = 2 BC × BA = 2 AB × AC , 1 1 1 (2) S = 2 ab sin γ = 2 ca sin β = 2 bc sin α, 1 1 1 (3) S = 2 ahA = 2 bhB = 2 chC , (4) S = p(p − a)(p − b)(p − c) (wzór Herona), (5) S = rp, (6) S = abc , 4R (7) S = 2R2 sin α sin β sin γ. Dowód: (1) Wynika z wniosku III.35. (2) Wynika z (1) i wniosku I.25. (3) Wynika z wniosku III.32 i jest omówiony w przykładzie III.33.
  • 8. 8 (4) Z twierdzenia cosinusów wynika, że 2 2 2 a2 + b2 − c2 sin γ =1 − cos γ = 1 − (2ab)2 2ab − a2 − b2 + c2 2ab + a2 + b2 − c2 = 4a2 b2 c2 − (a − b)2 (a + b)2 − c2 = 4a2 b2 (c − a + b)(c + a − b)(a + b − c)(a + b + c) = 4a2 b2 4p(p − a)(p − b)(p − c) = . a2 b2 Stąd i z (2) 1 S 2 = a2 b2 sin2 γ = p(p − a)(p − b)(p − c). 4 (5) Niech O(O, r) będzie okręgiem wpisanym w trójkąt ABC. Wówczas odle- głości punktu O od wszystkich boków tego trójkąta są równe r. Tym samym długości wysokości opuszczonych z punktu O w trójkątach AOB, BOC i COA są równe r, co wraz z (2) i faktem, że trójkąty te stanowią triangulację trójkąta ABC pociąga za sobą 1 1 1 S = P ( AOB) + P ( BOC) + P ( COA) = cr + br + ar = pr. 2 2 2 c (6) Z tw. 23 sin γ = 2R i wystarczy zastosować (2). (7) Z tw. 23 a = 2R sin α, b = 2R sin β, c = 2R sin γ i wystarczy zastosować (6) Twierdzenie 28. (twierdzenie o dwusiecznej) Dwusieczna płaskiego kąta wewnętrz- nego w trójkącie dzieli bok przeciwległy na dwa odcinki proporcjonalne do boków trój- kata przylegających do tych odcinków. Jeżeli w trójkącie ABC D jest punktem przecięcia boku BC dwusieczną płaskiego kąta wewnętrznego ∠BAC, to przy standardowych oznaczeniach |BD| c = . |CD| b Co więcej ac ab |BD| = , |CD| = . a+c b+c Dowód: Niech w trójkącie ABC punkt D będzie punktem przecięcia boku BC przez dwusieczną płaskiego kąta wewnętrznego ∠BAC. Ponieważ symetria osiowa o osi AD jako izometria zachowuje miary kątów pomie- −→ − −→ − dzy wektorami, więc |∠DAB| = |∠DAC| = α . Ponadto DB ↑↓ DC, skąd |∠DAC| = 2 π − |∠DAB|. Stosując twierdzenie sinusów do trójkątów ABD i ACD otrzymu- jemy |BD| c b |CD| = , = , sin α 2 sin |∠DAB| sin |∠DAC| sin α 2
  • 9. 9 skąd |BD| c = . |CD| b Druga część tezy wynika z pierwszej po uwzglednieniu równości |BD| + |CD| = a.