Geometria - wielokąty
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Geometria - wielokąty

on

  • 5,017 views

Skrypt dla studentów matematyki.

Skrypt dla studentów matematyki.
Autor: Maciej Czarnecki.
Tytuł: Wielokąty

Statistics

Views

Total Views
5,017
Views on SlideShare
5,017
Embed Views
0

Actions

Likes
0
Downloads
25
Comments
0

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

Geometria - wielokąty Geometria - wielokąty Document Transcript

  • Maciej Czarnecki Geometria szkolna skrypt dla studentów matematyki Rozdział V Wielokąty Niech p będzie ustaloną płaszczyzną w przestrzeni euklidesowej E. Definicja 1. Niech punkty A, B, C ∈ p będą niewspółliniowe. Bokami trójkąta ABC nazywamy odcinki AB, BC oraz CA, długościami boków — liczby a = d(B, C), b = d(C, A) oraz c = d(A, B), a miarami nieskierowanych kątów wewnętrznych (lub − − − → → − −→ − − → po prostu kątami wewnętrznymi) — liczby α = AB, AC , β = BA, BC oraz − −→ → − γ= CA, CB . Powyższe przypisanie liczb a, b, c oraz α, β, γ traktujemy jako oznaczenia standar- dowe. Mówimy, że bok BC leży naprzeciw kąta α, bok CA — naprzeciw kąta β, a bok AB — naprzeciw kąta γ. Mówimy także, że bok przylega do kąta, jeżeli nie leży naprzeciw tego kąta. Kąt jest zawarty między bokami, które do niego przylegają. Twierdzenie 2. (twierdzenie cosinusów) W trójkącie kwadrat długości boku jest równy sumie kwadratów długości pozostałych boków pomniejszonej o podwojony ilo- czyn długości tych boków i cosinusa kąta zawartego pomiędzy nimi. Innymi słowy, przy standardowych oznaczeniach w trójkącie ABC zachodzą rów- ności c2 =a2 + b2 − 2ab cos α, b2 =c2 + a2 − 2ca cos β, a2 =b2 + c2 − 2bc cos γ. Dowód: Z twierdzenia cosinusów w przestrzeni euklidesowej otrzymujemy − 2 −→ − 2 → −→ 2 − − −→ → − c2 = AB = AC + CB + 2 AC, CB − −→ → − −→ −→ − − −→ → − =b2 + a2 − 2 CA, CB = b2 + a2 − 2 CA · CB · cos CA, CB =b2 + a2 − 2ba cos γ 1
  • 2 Wniosek 3. (twierdzenie Pitagorasa) W trójkącie jeden z kątów jest prosty wtedy i tylko wtedy, gdy kwadrat długości boku leżącego naprzeciw tego kąta jest równy sumie kwadratów długości pozostałych boków. Innym słowy, przy standardowych oznaczeniach w trójkącie ABC: π γ = ⇐⇒ c2 = a2 + b2 . 2 Twierdzenie 4. (twierdzenie sinusów) W trójkącie stosunek długości boku do sinusa kąta leżącego naprzeciw tego boku jest stały. Innym słowy, przy standardowych oznaczeniach w trójkącie ABC: a b c = = . sin α sin β sin γ Dowód: Ze względu na symetrię oznaczeń wystarczy udowodnić pierwszą rów- ność. −→ − −→ − −→ Niech u = BC, v = CA. Wówczas AB = −u − v oraz α = (−u − v, −v), β = (u + v, u), skąd | − u − v|2 · | − v|2 − −u − v, −v 2 |u + v|2 · |v|2 − u + v, v 2 sin α = = | − u − v| · | − v| |u + v| · |v| |u|2 · |v|2 − u, v 2 = |u + v| · |v| oraz |u + v|2 · |u|2 − u + v, u 2 |u|2 · |v|2 − u, v 2 sin β = = . |u + v| · |u| |u + v| · |u| Zatem a |u| |u + v| · |u| · |v| |v| b = = = = . sin α sin α |u|2 · |v|2 − u, v 2 sin β sin β Twierdzenie 5. Suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie wynosi π. Innym słowy, przy standardowych oznaczeniach w trójkącie ABC: α + β + γ = π. Dowód: Załóżmy, że α β γ. Z twierdzenia sinusów wynika, że istnieje liczba dodatnia D taka, że a b c D= = = . sin α sin β sin γ Podstawiając stąd za a, b, c do pierwszego wzoru w twierdzeniu cosinusów otrzymu- jemy równość D2 sin2 γ = D2 sin2 α + D2 sin2 β − 2D2 sin α sin β cos γ, która po zastosowaniu jedynki trygonometrycznej staje się rónaniem kwadratowym ze względu na cos γ: cos2 γ − 2 sin α sin β cos γ + sin2 α + sin2 β − 1 = 0
  • 3 o nieujemnym wyróżniku ∆ = 4(1 − sin2 α)(1 − sin2 β). Zatem cos γ = sin α sin β − cos α cos β = cos(π − (α + β)) lub cos γ = sin α sin β + cos α cos β = cos(α − β). Ponieważ α, β, γ ∈ (0, π), więc także |π − (α + β)|, |α − β| ∈ (0, π), a to wraz z powyższymi warunkami na cos γ daje γ = |π − (α + β)| lub γ = |α − β|. Tym samym spełniony jest co najmniej jeden z warunków α + β + γ = π, π + γ = α + β, α = γ + β, β = γ + α. Teza wynika ze sprzeczności ostatnich trzech z nich z założeniem 0 < α β γ < π. Definicja 6. Okręgiem o środku S ∈ p i promieniu r > 0 zawartym w płaszczyźnie p nazywamy zbiór O(S, r) = {X ∈ p ; |XS| = r}. Zbiory K(S, r) = {X ∈ p ; |XS| < r}, K(S, r) = {X ∈ p ; |XS| r} nazywamy odpowiednio kołem otwartym i kołem domkniętym o środku S i promieniu r. Definicja 7. Niech S ∈ p i r > 0. Prostą l zawartą w płaszczyźnie p nazywamy (1) styczną do okręgu O(S, r), jeżeli d(S, l) = r, (2) sieczną okręgu O(S, r), jeżeli d(S, l) < r, (3) zewnętrzną do okręgu O(S, r), jeżeli d(S, l) > r. Uwaga 8. Z twierdzenia III.22 wynika, że jeżeli prosta l jest styczna do okręgu O(S, r), to zbiór l ∩ O(S, r) jest jednopunktowy i jego jedyny element A spełnia warunek −→ SA ⊥ l. Definicja 9. Niech P bedzie ustalonym wielokątem zawartym w płaszczyźnie p. Bokiem wielokąta P nazywamy odcinek w nim zawarty, który przy dowolnej trian- gulacji wielokąta P zawiera bok trójkąta należącego do tej triangulacji i niebędący bokiem żadnego innego trójkąta tej triangulacji. Wierzchołkiem wielokąta P nazy- wamy każdy koniec boku tego wielokąta. Okręgiem opisanym na wielokącie P nazywamy okrąg zawierający wszystkie wierz- chołki wielokąta P . Okręgiem wpisanym w wielokąt P nazywamy okrąg styczny do każdej z prostych zawierających boki wielokąta w punkcie należącym do boku wielo- kąta P , ale niebędącym wierzchołkiem tego wielokąta. Definicja 10. Osią symetrii zbioru f nazywamy prostą l taką, że sl (f ) = f (czyli gdy zbiór f jest niezmienniczy względem działania symetrii o osi l). Symetralną niezdegenerowanego odcinka AB nazywamy oś symetrii tego odcinka różną od prostej AB. Twierdzenie 11. Symetralną odcinka AB ⊂ p zawartą w płaszczyźnie p jest jest prosta l⊥ 2 A + 1 B , gdzie l = AB. 1 2
  • 4 Dowód: Niech m ⊂ p będzie symetralną odcinka AB ⊂ p, to znaczy osią symetrii tego odcinka różną od prostej l = AB. Wówczas sm (A) = B, skąd i z definicji symetrii l ⊥ m. Ponadto wspólny rzut prostopadły D punktów A i B na prostą m spełnia warunki −→ − −→ − − −→ 2AD = 2DB = AB, co pociąga za sobą równości 1 |AB| = |AD| + |DB| i |AD| = |AB|. 2 Zgodnie z lematem IV.28 punkt D ∈ m jest środkiem odcinka AB. Ponieważ dim p = 2, więc istnieje dokładnie jedna prosta zawarta w płaszczyźnie p, prostopadła do prostej AB i przechodząca przez środek odcinka AB; jest nią właśnie l⊥ 1 A + 1 B . 2 2 Twierdzenie 12. Symetralna odcinka AB ⊂ p zawarta w płaszczyźnie p jest zbiorem wszystkich punktów płaszczyzny p równoodległych od A i B. Dowód: ⊂) Jeżeli m jest symetralną odcinka AB, to jak w dowodzie tw. 11 sm (A) = B. Ponieważ symetria osiowa sm jest izometrią i zbiorem jej punktów stałych jest prosta m, więc dla dowolnego punktu X ∈ m spełniony jest warunek |AX| = |sm (A)sm (X)| = |BX|. ⊃) Niech na odwrót punkt X ∈ p będzie równoodległy od punktów A i B, a D niech bedzie jego rzutem prostopadłym na prostą l = AB. Wówczas −→ −→ − − − −→ −→ −→ − − − −→ XD ⊥ DA AB i XD ⊥ DB AB, co wraz z twierdzeniem Pitagorasa i założeniem daje |DA|2 = |AX|2 − |XD|2 = |BX|2 − |XD|2 = |DB|2 . Zatem D ∈ l jest środkiem odcinka AB oraz XD ⊥ l. To na mocy tw. 11 oznacza, że XD jest symetralną odcinka AB, czyli punkt X należy do tej symetralnej. Definicja 13. Niech u, v ∈ S(p) {θ}, O ∈ p. Załóżmy, że wektory u i v nie są przeciwnie skierowane. (Wypukłym) kątem płaskim o wierzchołku O rozpiętym na wektorach u i v nazywamy zbiór ∠uOv = {O + s · u + t · v ; s, t 0}, Półproste Ou→ = O, O+ u→ iOv → nazywamy ramionami kąta, a zbiór {O + s · u + t · v ; s, t > 0} — obszarem kąta. Wklęsłym kątem płaskim o wierzchołku O rozpiętym na wektorach u i v nazywamy zbiór ∠− uOv = (p ∠uOv) ∪ Ou→ ∪ Ou→ Jego ramionami są półproste Ou→ = i Ov → , a obszarem — zbiór {O +s·u+t·v ; s < 0 lub t < 0}. Jeżeli u ↑↓ v, to (wypukłym) kątem płaskim ∠uOv nazywamy każdą z półpłasz- czyn domkniętych o krawędzi O, O + u = O, O + v, a jego obszarem — odpowiednią półpłaszczyznę otwartą. Miarą wypukłego kąta płaskiego ∠uOv jest liczba |∠uOv| = (u, v)
  • 5 (czyli miara kąta pomiędzy wektorami u i v), natomiast miarą wklęsłego kąta płaskiego ∠− uOv liczba |∠− uOv| = 2π − (u, v). Uwaga 14. Kąt płaski zapisuje się często w postaci ∠AOB, gdzie A ∈ Ou→ , B ∈ Ov → . Wypukły kąt płaski jest zbiorem wypukłym. Wypukły kąt płaski ∠uOv nazywamy zerowym — gdy u ↑↑ v, a prostym — gdy u ⊥ v. Płaszczyznę z wyróżnioną półprostą nazywamy kątem pełnym, a półpłaszczynę domkniętą z wyróżnionym punktem na jej krawędzi— kątem półpełnym. Definicja 15. Dwusieczną kąta płaskiego o wierzchołku O nazywamy półprostą o początku O zawartą w tym kącie i jego osi symetrii (a w przypadku kąta pełnego uzupełniającą jedyne ramię do prostej). Twierdzenie 16. Dwusieczna kąta płaskiego zawartego w płaszczyźnie p, który nie jest pełny, jest zbiorem wszystkich punktów tego kąta równoodległych od jego obu ra- mion. Dowód: Twierdzenie 17. Na każdym trójkącie można opisać okrąg. Środek okręgu opisanego na trójkącie jest jedynym punktem wspólnym symetralnych wszystkich boków tego trójkąta. Dowód: W trójkącie ABC niech k, l, m oznaczają dopowiednio symetralne bo- ków BC, CA, AB. Dowolna para symetralnych przecina się w dokładnie jednym punk- cie ze względu na ogólne położenie wierzchołków. Niech O ∈ k ∩ l. Wtedy z tw. 12 wynika, że |OB| = |OC| i |OC| = |OA|. Stąd także |OA| = |OC| i stosując ponownie tw. 12 otrzymujemy, że O ∈ k ∩ l ∩ m. Wysatrczy przyjąć R = |OA|, a by okrąg O(O, R) był opisany na danym trójkącie. Na odwrót, jeżeli okrąg jest opisany na trójkącie, to jego środek leży na każdej z symetralnych (na mocy tw. 12). Twierdzenie 18. W każdy trójkąt można wpisać okrąg. Środek okręgu wpisanego w trójkąt jest jedynym punktem wspólnym dwusiecznych wszystkich wewnętrznych kątów płaskich tego trójkąta (to znaczy kątów wyznaczonych przez wektory wychodzące z danego wierzchołka). Dowód: Ze względu na analogię twierdzeń 12 i 16 dowód przebiega podobnie jak dla okręgu opisanego. Za środek okręgu wpisanego wystarczy przyjąć punkt O przecięcia dwusiecznych kątów wewnętrznych, a za promień — liczbę r = d(O, AB) = d(O, AB → ). Definicja 19. Środkową boku w trójkącie nazywamy odcinek, którego jednym z koń- ców jest środek tego boku, a drugim wierzchołek przeciwległy temu bokowi. Twierdzenie 20. (o środkowych w trójkącie) Środkowe w trójkącie mają dokładnie jeden punkt wspólny. Jest nim środek ciężkości tego trójkąta (czyli środek ciężkości układu jego wierzchołków o jednakowych wagach). Tym samym środkowe w trójkącie dzielą się wzajemnie w stosunku 2 : 1 (licząc od wierzchołka do przeciwległego boku).
  • 6 Dowód: Wystarczy zauważyć, że w trójkącie A1 A2 A3 dla dowolnych parami różnych liczb i, j, k ∈ {1, 2, 3} zachodzi równość 1 1 1 2 1 1 1 A1 + A2 + A3 = Ai + Aj + Ak . 3 3 3 3 3 2 2 Twierdzenie 21. Przy oznaczeniach standardowych w trójkącie ABC środkowa boku BC ma długość √ 2b2 + 2c2 − a2 ma = . 2 Dowód: Niech D będzie środkiem odcinka BC oraz niech ϕ i ψ oznaczają miary kątów wewnętrznych przy wierzchołku D odpowiednio w ABD i DCA. Wówczas −→ −→ − − −→ −→ − − −→ −→ − − ψ= DA, DC = π − DA, −DC = π − DA, DB = π − ϕ. Stosując tweirdzenie cosinusów do trójkątów ABD i DCA otrzymujemy 1 c2 =m2 + a2 − ma a cos ϕ a 4 1 1 b =ma + a2 − ma a cos ψ = m2 + a2 + ma a cos ϕ, 2 2 a 4 4 skąd po dodaniu stronami wynika teza. Twierdzenie 22. (o kątach w kole) Jeżeli punkty A, B, C leżą na okręgu O(O, R), to dla wypukłych kątów płaskich ∠AOB i ∠ACB zachodzi równość |∠AOB| = 2 · |∠ACB|. Innymi słowy, kąt środkowy ma dwa razy większą miarę niż kąt wpisany oparty na tym samym łuku. Dowód: Twierdzenie 23. (ogólne twierdzenie sinusów) W trójkącie stosunek długości boku do sinusa kąta leżącego naprzeciw tego boku jest satły i równy średnicy (podwojonemu promieniowi) okręgu opisanego na tym trójkącie. Innymi słowy, jeżeli R oznacza pro- mień okręgu opisanego na ABC, to przy standardowych oznaczeniach a b c = = = 2R. sin α sin β sin γ Dowód: Niech α β γ. Wówczas z twierdzenia 5 wynika, że α < π . Jeżeli 2 O(O, R) jest okręgiem opisanym na trójkącie ABC, to z twierdzenia 22 otrzymu- jemy, że |∠COB| = 2α < π. Zastosowanie twierdzenia cosinusów do trójkąta COB daje równość a2 =|BC|2 = |BO|2 + |CO|2 − 2|BO| · |CO| · cos 2α =2R2 (1 − cos 2α) = 4R2 sin2 α równoważną tezie na mocy twierdzenia sinusów (tw. 4).
  • 7 Definicja 24. Wysokością opuszczoną z wierzchołka X trójkąta na przeciwległy bok nazywamy odcinek łączący punkt X z jego rzutem prostopadłym X na prostą za- wierającą przeciwległy bok. Długość tej wysokości oznaczamy przez hX , a punkt X nazywamy spodkiem wysokości. Twierdzenie 25. Proste zawierające wysokości trójkąta przecinają się w jednym punkcie — ortocentrum trójkąta. Dowód: Niech w trójkącie ABC proste zawierające wysokości opuszczone z punktów A i B przecinają się w punkcie H (nie mogą być one równoległe, bo wierz- chołki trójkąta są w położeniu ogólnym). Zatem −→ −→ − − −→ − − → HA ⊥ BC i HB ⊥ CA. −→ − − −→ Wystarczy pokazać, że HC ⊥ AB. Z powyższych zależności wynika, że −→ − − − → −→ − − → −→ −→ − − HC, AB = − HC, CA − HC, BC −→ − − → −→ − − → −→ −→ − − − −→ → − = − HB, CA − BC, CA − HA, BC + CA, BC = 0. Uwaga 26. Do oznaczen standardowych w trójkącie ABC z definicji 1 dołączamy symbole hA , hB , hC na oznaczenie długości wysokości opuszczonych z odpowiednich wierzchołków, ma , mb , mc — na oznaczenie długości środkowych odpowiednich boków, R — promień okręgu opisanego na trójkącie, r — promien okręgu wpisanego w trójkąt, p = a+b+c — połowę obwodu trójkąta i S — pole trójkata. 2 Twierdzenie 27. (wzory na pole trójkata) Przy standardowych oznaczeniach w trój- kącie ABC prawdziwe są natępujace wzoryna pole trójkąta: 1 − → −→ − 1 − − → − −→ 1 − −→ − → (1) S = 2 CA × CB = 2 BC × BA = 2 AB × AC , 1 1 1 (2) S = 2 ab sin γ = 2 ca sin β = 2 bc sin α, 1 1 1 (3) S = 2 ahA = 2 bhB = 2 chC , (4) S = p(p − a)(p − b)(p − c) (wzór Herona), (5) S = rp, (6) S = abc , 4R (7) S = 2R2 sin α sin β sin γ. Dowód: (1) Wynika z wniosku III.35. (2) Wynika z (1) i wniosku I.25. (3) Wynika z wniosku III.32 i jest omówiony w przykładzie III.33.
  • 8 (4) Z twierdzenia cosinusów wynika, że 2 2 2 a2 + b2 − c2 sin γ =1 − cos γ = 1 − (2ab)2 2ab − a2 − b2 + c2 2ab + a2 + b2 − c2 = 4a2 b2 c2 − (a − b)2 (a + b)2 − c2 = 4a2 b2 (c − a + b)(c + a − b)(a + b − c)(a + b + c) = 4a2 b2 4p(p − a)(p − b)(p − c) = . a2 b2 Stąd i z (2) 1 S 2 = a2 b2 sin2 γ = p(p − a)(p − b)(p − c). 4 (5) Niech O(O, r) będzie okręgiem wpisanym w trójkąt ABC. Wówczas odle- głości punktu O od wszystkich boków tego trójkąta są równe r. Tym samym długości wysokości opuszczonych z punktu O w trójkątach AOB, BOC i COA są równe r, co wraz z (2) i faktem, że trójkąty te stanowią triangulację trójkąta ABC pociąga za sobą 1 1 1 S = P ( AOB) + P ( BOC) + P ( COA) = cr + br + ar = pr. 2 2 2 c (6) Z tw. 23 sin γ = 2R i wystarczy zastosować (2). (7) Z tw. 23 a = 2R sin α, b = 2R sin β, c = 2R sin γ i wystarczy zastosować (6) Twierdzenie 28. (twierdzenie o dwusiecznej) Dwusieczna płaskiego kąta wewnętrz- nego w trójkącie dzieli bok przeciwległy na dwa odcinki proporcjonalne do boków trój- kata przylegających do tych odcinków. Jeżeli w trójkącie ABC D jest punktem przecięcia boku BC dwusieczną płaskiego kąta wewnętrznego ∠BAC, to przy standardowych oznaczeniach |BD| c = . |CD| b Co więcej ac ab |BD| = , |CD| = . a+c b+c Dowód: Niech w trójkącie ABC punkt D będzie punktem przecięcia boku BC przez dwusieczną płaskiego kąta wewnętrznego ∠BAC. Ponieważ symetria osiowa o osi AD jako izometria zachowuje miary kątów pomie- −→ − −→ − dzy wektorami, więc |∠DAB| = |∠DAC| = α . Ponadto DB ↑↓ DC, skąd |∠DAC| = 2 π − |∠DAB|. Stosując twierdzenie sinusów do trójkątów ABD i ACD otrzymu- jemy |BD| c b |CD| = , = , sin α 2 sin |∠DAB| sin |∠DAC| sin α 2
  • 9 skąd |BD| c = . |CD| b Druga część tezy wynika z pierwszej po uwzglednieniu równości |BD| + |CD| = a.