Your SlideShare is downloading. ×
Geometria - przestrzenie afiniczne
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×

Saving this for later?

Get the SlideShare app to save on your phone or tablet. Read anywhere, anytime - even offline.

Text the download link to your phone

Standard text messaging rates apply

Geometria - przestrzenie afiniczne

3,148
views

Published on

Skrypt dla studentów matematyki. …

Skrypt dla studentów matematyki.
Autor: Maciej Czarnecki.
Tytuł: Przestrzenie afiniczne

Published in: Education, Technology

0 Comments
1 Like
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total Views
3,148
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
61
Comments
0
Likes
1
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. Maciej Czarnecki Geometria szkolna skrypt dla studentów matematyki Rozdział II Przestrzenie afiniczne Definicja 1. Niech V bedzie rzeczywista przestrzenia liniowa. Przestrzenia afiniczna o przestrzeni wektorów swobodnych V nazywamy układ (E, V, − ), gdzie E jest zbio- → rem niepustym, a − : E × E → V jest funkcja taka, że → (1) Dla dowolnych p ∈ E i v ∈ V istnieje dokładnie jeden q ∈ E taki, że − = v. → pq (2) Dla dowolnych p, q, r ∈ E zachodzi zwiazek − + − = − → → → pq qr pr. Elementy zbioru E nazywamy punktami, a elementy zbioru V wektorami (swobod- nymi). Przykład 2. Niech dla p = (p1 , . . . , pn ) oraz q = (q1 , . . . qn ) → − = (q − p , . . . , q − p ). pq 1 1 n n Wówczas trójka (Rn , Rn , − ) → jest przestrzenia afiniczna. Bedziemy oznaczać ja przez En . W dalszym ciagu, o ile nie zaznaczymy inaczej, bedziemy rozważać przestrzeń afi- niczna (E, V, − ), przy czym przestrzeń V jest skończonego wymiaru. → Definicja 3. Suma punktu p ∈ E i wektora v ∈ V nazywamy jedyny taki punkt q ∈ E, że − = v. Piszemy wóczas q = p + v. → pq Jeżeli U ⊂ V , to p + U jest zbiorem wszystkich sum postaci p + u, gdzie u ∈ U . Twierdzenie 4. Dla dowolnych p, q ∈ E oraz u, v ∈ V spełnione sa nastepujace warunki: −− − −→ −−−− (1) p + u, p + v = v − u. (2) Jeżeli p + v = q + v, to p = q. (3) Jeżeli p + u = p + v, to u = v. (4) (p + u) + v = p + (u + v). Dowód: Zauważmy, że − = θ wtedy i tylko wtedy, gdy p = q oraz że − = −− → pq → qp → pq. → − = u i − = v. Stad (1) Niech p + u = q i p + v = r. Wówczas pq → pr −− − −→ − −−−− p + u, p + v = → = − + − = v − u. qr → → qp pr 1
  • 2. 2 (2) Jeżeli r = p + v = q + v, to v = − = − Stad − = − − − = θ. → → pr qr. → → → pq pr qr (3) Wynika z 1. (4) Niech p + u = q i q + v = r. Wówczas − = − + − = u + v. → → → pr pq qr Definicja 5. Środkiem cieżkości układu punktów (p0 , . . . , pm ) z przestrzeni E o wa- gach odpowiednio a0 , . . . , am ∈ R takich, że a0 + . . . am = 1, nazywamy punkt p ∈ E, który dla dowolnego q ∈ E spełnia warunek → − = a · − + . . . a · −→. qp → qp − qp 0 0 m m Piszemy wówczas m p = a0 p0 + . . . + am pm = ai pi . i=0 Zbiór wszystkich środków cieżkości układu (p0 , . . . , pm ) oznaczamy przez af(p0 , . . . , pm ). Przykład 6. Jedynym środkiem cieżzkości układu jednopunktowego (p0 ) jest punkt p0 . Środkiem odcinka p0 p1 nazywamy punkt 1 p0 + 1 p1 . Środkiem cieżzkości trójkata 2 2 p0 p1 p2 (odpowiednio czworościanu p0 p1 p2 p3 ) jest punkt 3 p0 + 1 p1 + 1 p2 (odpowiednio 1 3 3 1 1 1 1 4 p0 + 4 p1 + 4 p2 + 4 p3 ). Uwaga 7. Łatwo zauważyć, że punkt p środkiem cieżkości układu punktów (p0 , . . . , pm ) z przestrzeni E o wagach odpowiednio a0 , . . . , am ∈ R takich, że a0 +. . . am = 1, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje punkt q ∈ E taki, że → − = a · − + . . . a · −→. qp → qp − qp 0 0 m m Definicja 8. Podprzestrzenia afiniczna przestrzeni afinicznej E nazywamy niepusty podzbiór H ⊂ E, który wraz z dowolnym skończonym układem punktów zawiera jego wszystkie środki cieżkości. Twierdzenie 9. Podzbiór niepusty H ⊂ E stanowi podprzestrzeń afiniczna prze- strzeni afinicznej E wtedy i tylko wtedy, gdy każdy środek cieżkości dowolnego układu dwupunktowego z H należy do H. Dowód: ⇒) oczywiste. ⇐) Indukcja ze wzgledu na ilość elementów układu. Jeżeli p0 , p1 ∈ H, to z założenia af(p0 , p1 ) ⊂ H. Załóżmy teraz, że każdy środek cieżkości dowolnego układu m-elementowego (m 2) z H należy do H. Niech p0 , . . . , pm ∈ H oraz a0 , . . . , am ∈ R i a0 + . . . + am = 1. Istnieje takie j ∈ {0, . . . , m}, że aj = 1 (w przeciwnym wypadku suma wag wynosiłaby m = 1), a co za tym idzie m a= ai = 0. i=0,i=j Rozważmy punkt m ai p= pi . i=0,i=j a
  • 3. 3 m ai Jest on środkiem cieżkości ( i=0,i=j a = 1) układu m punktów z H, czyli p ∈ H. Z drugiej strony m m ai ai pi = a pi + aj pj = ap + (1 − a)pj ∈ H. i=0 i=0,i=j a Niech odtad, dla podzbioru niepustego H ⊂ E, S(H) bedzie zbiorem wszystkich wektorów − takich, że p, q ∈ H. → pq Twierdzenie 10. Niech ∅ = H ⊂ E. Wówczas H jest podprzestrzenia afiniczna przestrzeni afinicznej E wtedy i tylko wtedy, gdy S(H) jest podprzestrzenia liniowa przestrzeni liniowej V . Dowód: ⇐) Załóżmy, że S(H) jest podprzestrzenia liniowa V i weźmy dowolne p0 , p1 ∈ H oraz a0 ∈ R. Wówczas − → ∈ S(H). Kładac q = a0 p0 + (1 − a0 )p1 p− 1 0p otrzymujemy − q = a · − → + (1 − a ) · − → = (−a ) · − → ∈ S(H) p→ − p− 1 p− 1 1 0 p1 p0 0 1p 0 0p (bo S(H) jest podprzestrzenia liniowa), czyli q ∈ H. Na mocy twierdzenia 9, H jest podprzestrzenia afiniczna. ⇒) Zalóżmy, że H jest podprzestrzenia afiniczna E i weźmy dowolne u, v ∈ S(H) oraz a ∈ R. Wówczas istnieja takie punkty p1 , p2 , q1 , q2 ∈ H, że u = − →, v = − →. p− 1 1q p− 2 2q − q, gdzie q = ap + (1 − a)q ∈ H. Stad au ∈ S(H). Zauważmy, że a · u = p1→ 1 1 Kładac r = 1 · q1 + 1 · q2 + (−1) · p2 ∈ H otrzymujemy na podstawie twierdzenia 4.1, że S(H) − r = − → + − → − − → = − → + − → = u + v. p→ p− 1 q p− q 1 1 p−p 1 2 p− q 1 2 p−q 1 1 2 2 Zatem S(H) jest podprzestrzenia liniowa. Definicja 11. Jeżeli H jest podprzestrzenia afiniczna przestrzeni afinicznej E, to przedstawienie H w postaci H = p + S(H) nazywamy jej przedstawieniem liniowym, a sama podprzestrzeń S(H) — przestrzenia nośna podprzestrzeni H. Definicja 12. Wymiarem podprzestrzeni afinicznej nazywamy wymiar jej przestrzeni nośnej. Punkt jest podprzestrzenia afiniczna wymiaru 0. Podprzestrzeń afiniczna wymiaru 1 nazywamy prosta a wymiaru 2 — płaszczyzna. Jeżeli przestrzeń afiniczna E jest wymiaru n (tzn. dim V = n), to jej podprzestrzeń afiniczna wymiaru k nazywamy k–wymiarowa hiperpłaszczyzna, a gdy k = n − 1 — po prostu hiperpłaszczyzna. Uwaga 13. Zgodnie z twierdzeniem Kroneckera–Cappellego k–wymiarowa hiperpłasz- czyzna przestrzeni En jest zbiorem wszystkich rozwiazań układu równań liniowych o n niewiadomych, o ile rzad macierzy układu wynosi k. W szczególności hiperpłaszczyzne H (kowymiaru 1) przestrzeni En można opisać nastepujaco H = {(x1 , . . . , xn ) ∈ En ; a1 x1 + . . . + an xn = b} , gdzie a1 , . . . , an , b ∈ R oraz a2 + . . . + a2 > 0. 1 n
  • 4. 4 Twierdzenie 14. Jeżeli H1 , . . . , Hm sa podprzestrzeniami afinicznymi przestrzeni afinicznej E oraz H1 ∩ . . . ∩ Hm = ∅, to H1 ∩ . . . ∩ Hm jest podprzestrzenia afiniczna przestrzeni afinicznej E i S(H1 ∩ . . . ∩ Hm ) = S(H1 ) ∩ . . . ∩ S(Hm ). Dowód: Niech p ∈ H1 ∩ . . . ∩ Hm . Wystarczy pokazać, że H1 ∩ . . . ∩ Hm = p + S(H1 ) ∩ . . . ∩ S(Hm ), bo cześć wspólna podprzestrzeni liniowych jest podprzestrzenia liniowa. Jeżeli q ∈ H1 ∩ . . . ∩ Hm , to dla każdego i = 1, . . . , m spełniony jest warunek → − ∈ S(H ). Na odwrót, jeżeli q ∈ p + S(H ) ∩ . . . ∩ S(H ), to q ∈ p + S(H ) = H pq i 1 m i i dla i = 1, . . . , m. Definicja 15. Niech H1 , H2 beda podprzestrzeniami afinicznymi przestrzeni afinicz- nej E. Mówimy, że H1 jest równoległa do H2 i piszemy H1 H2 , gdy S(H1 ) ⊂ S(H2 ) lub S(H2 ) ⊂ S(H1 ). Twierdzenie 16. Relacja równoległości podprzestrzeni afinicznych jest (1) zwrotna i symetryczna. (2) relacja równoległości w zbiorze podprzestrzeni afinicznych tego samego wy- miaru. Dowód: Cześć 1 jest oczywista, a 2 wynika z faktu, że jeżeli przestrzeń liniowa k–wymiarowa W1 jest zawarta w przestrzeni liniowej k–wymiarowej W2 , to W1 = W2 . Twierdzenie 17. (V postulat Euklidesa) Niech H bedzie k –wymiarowa podprze- strzenia afiniczna przestrzeni afinicznej E. Dla każdego punktu p ∈ E istnieje dokład- nie jedna k–wymiarowa podprzestrzeń afiniczna H0 zawierajaca punkt p i równoległa do H. Dowód: Wystarczy przyjać H0 = p + S(H). Zalóżmy teraz, że H1 jest k-wymiarowa podprzestrzenia afiniczna przechodzaca przez punkt p i równoległa do H. Wówczas ze wzgledu na równość wymiarów pod- przestrzeni S(H1 ) = S(H) = S(H0 ), skad H1 = p + S(H1 ) = p + S(H) = H0 . Uwaga 18. Możliwość udowodnienia V postulatu Euklidesa wynika z oparcia geometrii afinicznej na przestrzeni liniowej Rn . Istnieja modele geometrii, w której wszystkie postulaty Euklidesa poza piatym sa spełnione, a istnieje nieskończenie wiele różnych prostych przechodzacych przez dany punkt i równoległych do danej prostej. Taka geometria jest geometria Bolyai–Łobaczewskiego lub inaczej geometria hiper- boliczna. W wymiarze 2 cała przestrzenia (czyli płaszczyzna) jest otwarte koło jed- nostkowe, a prostymi — średnice tego koła i łuki okregów prostopadłych do brzegu tego koła. Twierdzenie 19. (wzajemne położenie prostych i płaszczyzn) (1) Dwie proste na płaszczyźnie sa równoległe lub maja dokładnie jeden punkt wspólny. (2) Dwie proste w przestrzeni trójwymiarowej sa równoległe lub maja dokładnie jeden punkt wspólny lub sa skośne, tzn. sa nierównoległe i rozłaczne.
  • 5. 5 (3) Dwie płaszczyzny w przestrzeni trójwymiarowej sa równoległe lub ich cześcia wspólna jest prosta. (4) Prosta i płaszczyzna w przestrzeni trójwymiarowej sa równoległe lub maja do- kładnie jeden punkt wspólny. Dowód: Z twierdzenia 14 wynika, że cześcia wspólna hiperpłaszczyzn H1 i H2 jest hiperpłaszczyzna wymiaru nie przekraczajacego min(dim H1 , dim H2 ). (1) Jeżeli rozważanymi prostymi sa Li = pi + lin(vi ), i = 1, 2, to możliwe sa trzy przypadki: – układ (v1 , v2 ) jest liniowo zależny i p1 ∈ L2 — proste pokrywajace sie (czyli w szczególności równoległe), – układ (v1 , v2 ) jest liniowo zależny i p1 ∈ L2 — proste równoległe i / rozłaczne, – układ (v1 , v2 ) jest liniowo niezależny i co za tym idzie stanowi baze prze- strzeni nośnej płaszczyzny. Zatem istnieja takie liczby r, s, że − → = p− 2 1p rv1 − sv2 . Wówczas punkt q = p1 + rv1 = p2 + sv2 należy do obu prostych i jest ich jedynym punktem wspólnym, bo L1 ∩ L2 jest hiperpłaszczyzna wymiaru 1, a proste te nie pokrywaja sie. (2) Wprowadzajac oznaczenia jak w punkcie 1 otrzymujemy identyczne wnioski w pierwszych dwóch przypadkach, a w przypadku trzecim układ (v1 , v2 ) nie generuje przestrzeni nośnej przestrzeni trójwymiarowej, wiec proste L1 i L2 moga sie przecinać (oczywiście w dokładnie jednym punkcie) lub być rozłaczne (wtedy nazywamy je skośnymi). (3) Rozważmy płaszczyzny Pi = pi + lin(ui , vi ), i = 1, 2. Możliwe sa trzy przy- padki: – lin(u1 , v1 ) = lin(u2 , v2 ) i p1 ∈ P2 — płaszczyzny pokrywaja sie. – lin(u1 , v1 ) = lin(u2 , v2 ) i p1 ∈ P2 — płaszczyzny sa równoległe i rozłaczne. / – lin(u1 , v1 ) = lin(u2 , v2 ). Wówczas układ (u1 , v1 , u2 , v2 ) generuje prze- strzeń nośna przestrzeni trójwymiarowej, a układ (u1 , v1 , u2 ) stanowi jej baze (analogiczne rozumowanie można przeprowadzić, gdy baza jest układ (u1 , v1 , v2 )). (4) Niech płaszczyzna P i prosta L będą dane następująco: P = p + lin(u, v), L = q + lin(w). Możliwe sa trzy przypadki: – układ (u, v, w) jest liniowo zależny i q ∈ P ; wtedy L ⊂ P . – układ (u, v, w) jest liniowo zależny i q ∈ P ; wtedy L P i L ∩ P = ∅. / – układ (u, v, w) jest liniowo niezależny, czyli stanowi bazę przestrzeni trój- wymiarowej. Zatem istnieją r, s, t ∈ R takie, że − = s · u + t · v − r · w. → pq Ale wówczas punkt q + r · w = p + s · u + t · v ∈ L ∩ P , a z uwagi na S(L) ∩ S(P ) = {θ} taki punkt jest tylko jeden. Definicja 20. Układ punktów (p0 , . . . , pm ) przestrzeni aficznej E jest w położeniu szczególnym, jeżeli dla pewnego j = 0, . . . , m punkt pj jest środkiem cieżkości układu pozostałych punktów (tzn. (pi )i=m ). i=0,i=j W przeciwnym wypadku układ jest w położeniu ogólnym. Punkty układu nazywamy współliniowymi (odpowiednio współpłaszczyznowymi), jeżeli dowolny podukład trzypunktowy (odpowiednio czteropunktowy) tego układu jest w położeniu szczególnym.
  • 6. 6 Baza punktowa przestrzeni afinicznej nazywamy dowolny maksymalny układ punk- tów w położeniu ogólnym. Twierdzenie 21. (1) Przez dowolne dwa różne punkty przechodzi dokładnie jedna prosta. (2) Przez dowolne trzy niewspółliniowe punkty przechodzi dokładnie jedna płasz- czyzna. Dowód: Dla p, q ∈ E, p = q, jedyna prosta przechodzaca przez punkty p i q jest af(p, q) = {p + a− a ∈ R}. → pq; Istotnie, jeżeli L jest prosta przechodzaca przez p i q, to S(L) = lin(v), gdzie v − → pq, czyli L = af(p, q). Dla niewspółliniowych punktów p, q, r ∈ E jedyna płaszczyzna przechodzaca przez punkty p, q, r jest af(p, q, r) = {p + a− + a− a, b ∈ R}. → pq → pr; Istotnie, jeżeli P jest płaszczyzna przechodzaca przez p, q, r, to − i − należa do → → pq pr S(P ) i jako liniowo niezależne stanowia jej baze. Stad P = af(p, q, r). Uwaga 22. Prosta przechodzaca przez dwa różne punkty p i q bedziemy oznaczać pq, a płaszczyzne przechodzaca przez trzy niewspółliniowe punkty p, q, r — przez pqr. W dalszym ciagu znaczek nad elementem układu bedzie oznaczał, że element ten został z układu usuniety, np. (p0 , . . . , pj , . . . , pm ) = (pi )i=m . i=0,i=j Twierdzenie 23. Niech p0 , . . . , pm ∈ E. Nastepujace warunki sa równoważne: (1) Układ (p0 , . . . , pm ) jest w położeniu ogólnym. (2) Dla każdego j = 0, . . . , m układ wektorów (− →, . . . , − →, . . . , − − ) jest li- p− 0 jp p− j jp −→ pj pm niowo niezależny. (3) Istnieje j = 0, . . . , m takie, że układ wektorów (− →, . . . , − →, . . . , − − ) jest p− 0 jp p− j jp −→ p j pm liniowo niezależny. Dowód: 1 ⇒ 2) Przypuścmy, że dla pewnego j = 0, . . . , m układ − →, . . . , − →, . . . , − − ) jest liniowo zależny. − (pj p0 − pj pj −→ pj pm Istnieja zatem takie liczby a0 , . . . , aj , . . . am , że m ai −→ = θ p− i jp i=0,i=j oraz pewien współczynnik al = 0. Wówczas m −→ = − ai −→ p− l jp p− i , jp i=0,i=j,l al skad   m m ai − ai pl =pj + −→ = pj + p− l jp − −→ + 1 − pj p i −  −→ p− j jp i=0,i=j,l al i=1,i=j,l al   m m ai ai = − pi + 1 − −  pj ∈ af(p0 , . . . , pl , . . . , pm ), i=0,i=j,l al i=0,i=j,l al co jest sprzeczne z ogólnościa położenia układu (p0 , . . . , pm ).
  • 7. 7 2 ⇒ 3) oczywiste. 3 ⇒ 1) Załóżmy, że dla pewnego j = 0, . . . , m układ (− →, . . . , − →, . . . , − − ) jest p− 0 jp p− j jp −→ pj pm liniowo niezależny i przypuśćmy, że dla pewnego l = 0, . . . , m m pl = ai pi . i=0,i=l Wówczas m −→ = p− l ai −→, p− i jp jp i=0,i=j,l co przeczy liniowej niezależności układu (− →, . . . , − →, . . . , − − ). p− 0 jp p− j jp −→ pj pm Twierdzenie 24. Niech p0 , . . . , pm ∈ E. Nastepujace warunki sa równoważne: (1) Układ (p0 , . . . , pm ) jest baza punktowa przestrzeni E. (2) Dla każdego j = 0, . . . , m układ wektorów (− →, . . . , − →, . . . , − − ) jest baza p− 0 jp p− j jp −→ pj pm przestrzeni liniowej S(E) = V . (3) Istnieje j = 0, . . . , m takie, że układ wektorów (− →, . . . , − →, . . . , − − ) jest p− 0 jp p− j jp −→ pj pm baza przestrzeni liniowej S(E) = V . (4) Każdy punkt p ∈ E można jednoznacznie przedstawić jako środek cieżkości układu (p0 , . . . , pm ). Dowód: Punkt 2 wynika z 1 na podstawie twierdzenia 21, a wynikanie 2 ⇒ 3 jest oczywiste. 3 ⇒ 4) Załóżmy, że dla pewnego j = 0, . . . m układ (− →, . . . , − →, . . . , − − ) jest p− 0 jp p− j jp −→ p j pm baza przestrzeni V i niech p ∈ E. Wówczas istnieja takie liczby a0 , . . . , aj , . . . , am , że m −p = p→ ai −→, p− i j jp i=0,i=j a co za tym idzie m m p= ai pi , gdzie aj = 1 − ai . i=0 i=0,i=j Jednoznaczość tego przedstawienia wynika z jednoznaczności przedstawienia wektora − p w bazie przestrzeni V . p→ j 4 ⇒ 1) Jeżeli każdy punkt można jednoznacznie przedstawić w postaci środka cieżzkości układu (p0 , . . . , pm ), to w szczególności pj = 1 pj + 0 pi dla j = 0, . . . , m i=0,i=j i żaden punkt pj nie jest środkiem cieżkości układu złożonego z pozostałych punktów. Zatem układ (p0 , . . . , pm ) jest w położeniu ogólnym. Bezpośrednio z założenia 4 wynika, że układ ten jest maksymalny. Definicja 25. Niech p0 ∈ E oraz układ wektorów (v1 , . . . vn ) bedzie baza przestrzeni V. Układ (p0 ; v1 , . . . , vn ) nazywamy układem współrzednych przestrzeni E o poczatku w punkcie p0 rozpietym na wektorach v1 , . . . , vn .
  • 8. 8 Dla dowolnego punktu p ∈ E układ współczynników (a1 , . . . , an ) jednoznacznego (na podstawie twierdzenia 22) przedstawienia punktu p w postaci p = p0 + n ai vi i=0 nazywamy współrzednymi punktu p. Przykład 26. W przestrzeni En czesto rozważamy standardowy układ współrzednych o poczatku w punkcie (0, . . . , 0) i rozpiety na wektorach bazy kanonicznej e1 , . . . , en przestrzeni Rn . Definicja 27. Odcinkiem o końcach p, q ∈ E nazywamy zbiór pq = {ap + bq; a + b = 1, a, b 0}. Otoczka wypukła zbioru A ⊂ E nazywamy zbiór conv(A) wszystkich środków cieżkości skończonych układów punktów ze zbioru A o nieujemnych wagach. Twierdzenie 28. Jeżeli p, q ∈ E, to (1) pq ⊂ af(p, q). (2) pq = conv(p, q). (3) pq = {p + a− a ∈ [0, 1]}. → pq; Dowód: wynika bezpośrednio z definicji. Definicja 29. Zbiór A ⊂ E nazywamy wypukłym, jeżeli dla dowlonych p, q ∈ A odcinek pq zawiera sie w A. Przykład 30. Zbiorami wypukłymi sa odcinki i wszystkie podprzestrzenie afiniczne, w szczególności proste i płaszczyzny. Twierdzenie 31. Jeżeli A ⊂ E, to conv(A) jest najmniejszym zbiorem wpukłym zawierajacym zbiór A. Dowód: Wykażemy najpierw, że conv(A) jest zbiorem wypukłym. Niech r1 , r2 ∈ conv(A). Wówcza istnieja takie punkty p0 , . . . , pm , q0 , . . . , ql ∈ A oraz układy nieujem- nych wag (a0 , . . . , am ), (b0 , . . . , bl ), że m l r1 = ai pi , r2 = bj q j . i=0 j=0 Niech r ∈ pq, r = (1 − a)r1 + ar2 , gdzie a ∈ [0, 1]. Wtedy r = ((1 − a)a0 )p0 + . . . + ((1 − a)am )pm + (ab0 )q0 + . . . + (abl )ql ∈ conv(A), bo liczby (1 − a)a0 , . . . , (1 − a)am , ab0 , . . . , abl sa nieujemne oraz m l (1 − a)a0 + . . . + (1 − a)am + ab0 + . . . + abl = (1 − a) ai + a bj = (1 − a) + a = 1. i=0 j=0 Załóżmy teraz, że B ⊂ E jest zbiorem wypukłym zawierajacym A. Wykażemy indukcyjnie, że dla dowolnego m ∈ N środek cieżkości dowolnego układu m + 1 punk- tów ze zbioru A o nieujemnych wagach należy do B, z czego bedzie wynikała inkluzja conv(A) ⊂ B. Dla m = 0 stwierdzenie jest oczywiste, bo jedynym środkiem cieżkości układu jednopunktowego (p0 ) jest 1p0 = p0 . Przypuśćmy, że dla pewnego m 0 środek cieżkości dowolnego układu o co najwyżej m + 1 punktach ze zbioru A o nieujemnych wagach należy do B. Niech
  • 9. 9 p0 , . . . , pm , pm+1 ∈ A oraz a0 , . . . , am , am+1 0, a0 + . . . + am + am+1 = 1. Jedna z wag aj = 1 (bo m + 2 = 1), wiec liczby a0 aj am+1 ,..., ,..., 1 − aj 1 − aj 1 − aj tworza układ m + 1 nieujemnych wag. Z założenia indukcyjnego mamy, że m+1 ai pi ∈ B, i=0,i=j 1 − aj co wraz z wypukłościa zbioru B daje ostatecznie m+1 m+1 ai ai pi = aj pj + (1 − aj ) pi ∈ B i=0 i=0,i=j 1 − aj kończac indukcje. Twierdzenie 32. Niech H bedzie hiperpłaszczyzna (kowymiaru 1) przestrzeni afi- nicznej E. Zbiór EH można jednoznacznie przedstawić w postaci sumy mnogościowej zbiorów wypukłych W1 i W2 . Ponadto zbiory W1 ∩ W2 = ∅ oraz zbiory W1 ∪ H i W2 ∪ H sa wypukłe. Dowód: Niech p0 ∈ H oraz q ∈ E H. Ponieważ wektor − q nie należy do S(H) p→0 oraz kowymiar H jest równy 1, wiec V = S(H) ⊕ lin(− q). Zatem każdy punkt p ∈ E p→ 0 można jednoznacznie przedstawić w postaci p = p0 + a − q + v, p→ 0 gdzie a ∈ R oraz v ∈ S(H). Niech W1 = {p0 + a− q + v; v ∈ S(H), a < 0}, p→ 0 W2 = {p0 + a− q + v; v ∈ S(H), a > 0}. p→ 0 Oczywiście W1 ∩ W2 = ∅ i W1 ∪ W2 = E H, gdyż H = {p0 + v; v ∈ S(H)}. Pokażemy, że W1 jest zbiorem wypukłym. Niech p, q ∈ W1 , czyli p = p0 + a1 − q + v1 , p→ 0 q = p0 + a2 − q + v2 , p→ 0 gdzie v1 , v2 ∈ S(H) oraz a1 , a2 > 0. Dla a ∈ [0, 1] otrzymujemy p + a− =p0 + a1 − q + v1 + a ((a2 − a1 )− q + v2 − v1 ) → pq p→ 0 p→ 0 − q + ((1 − a)v + av ) , → =p0 + ((1 − a)a1 + aa2 ) p0 1 2 skad z uwagi na (1 − a)a1 + aa2 > 0 otrzymujemy, że p + a− ∈ W1 . To implikuje → pq wypukłość zbioru W1 . Analogicznie dowodzimy wypukłości zbiorów W2 , W1 ∪ H, W2 ∪ H. Pokażemy teraz, że jeżeli U1 ∪ U2 = E H oraz zbiory U1 I U2 sa wypukłe, to U1 = W1 i U2 = W2 lub U1 = W2 i U2 = W1 . Przypuśćmy przeciwnie; istnieja wtedy punkty p1 ∈ W1 , p2 ∈ W2 należace do jednego ze zbiorów Ui (np. U1 ). Mamy zatem, że p = p + a −q + v , 1 0 p→ 1 0 p = p + a −q + v , 1 2 p→ 0 2 0 2 gdzie a1 < 0 i a2 > 0.
  • 10. 10 Połóżmy a = a1a1 2 i zauważmy, że a ∈ (0, 1). Z wypukłości U1 dostajemy p1 p2 ⊂ −a U1 , a wiec p1 + a− → ∈ U1 ⊂ E H. Z drugiej strony p− 2 1p 1p + a− → =p + a ((a − a )− q + v − v ) p−p 1 2 1 2 p→ 1 0 2 1 a1 =p1 − a1 − q + p→ 0 (v2 − v1 ) a1 − a2 a1 a2 a1 =p0 + v1 + (v2 − v1 ) = p0 − v1 + v2 ∈ H, a1 − a2 a1 − a2 a1 − a2 sprzeczność. Definicja 33. Dla hiperpłaszczyzny H przestrzeni afinicznej E każda z dwóch skła- dowych wypukłych zbioru E H nazywamy półprzestrzenia otwarta, a sume półprze- strzeni otwartej i wyznaczajacej ja hiperpłaszczyzny — półprzestrzenia. Pólprzestrzeń wymiaru 1 (pochodzaca od hiperpłaszczyzny wymiaru 0 — punktu) nazywamy pół- prosta, a półprzestrzeń wymiaru 2 (wyznaczona przez prosta) — półpłaszczyzna. Uwaga 34. Półprosta wyznaczona przez punkt p i zawierajaca punkt q = p oznaczamy przez pq → . Jeżeli punkty p, q, r sa niewspółliniowe, to symbol pqr→ oznacza półpłaszczyzne wyznaczona przez prosta pq i zawierajaca punkt q. Analogicznie dla niewspółpłaszczyznowych punktów p, q, r, s symbolem pqrs→ ozna- czamy półprzestrzeń trójwymiarowa wyznaczona przez płaszczyzne pqr i zawierajaca punkt s. Przykład 35. Jeżeli w przestrzeni En hiperpłaszczyzna H jest dana (na podstawie uwagi 13) równaniem a1 x1 + . . . an xn = b, to każda z półprzestrzeni jest opisana jedna z nierówności a1 x1 + . . . an xn b, a1 x1 + . . . an xn b, a każda z nierówności a1 x1 + . . . an xn < b, a1 x1 + . . . an xn > b opisuje półprzestrzeń otwarta.