Your SlideShare is downloading. ×
Geometria - przestrzeń euklidesowa liniowa
Geometria - przestrzeń euklidesowa liniowa
Geometria - przestrzeń euklidesowa liniowa
Geometria - przestrzeń euklidesowa liniowa
Geometria - przestrzeń euklidesowa liniowa
Geometria - przestrzeń euklidesowa liniowa
Geometria - przestrzeń euklidesowa liniowa
Geometria - przestrzeń euklidesowa liniowa
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×
Saving this for later? Get the SlideShare app to save on your phone or tablet. Read anywhere, anytime – even offline.
Text the download link to your phone
Standard text messaging rates apply

Geometria - przestrzeń euklidesowa liniowa

2,464

Published on

Skrypt dla studentów matematyki. …

Skrypt dla studentów matematyki.
Autor: Maciej Czarnecki.
Tytuł: Przestrzeń euklidesowa liniowa

Published in: Education, Technology
0 Comments
1 Like
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total Views
2,464
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
33
Comments
0
Likes
1
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. Maciej Czarnecki Geometria szkolna skrypt dla studentów matematyki Rozdział I Przestrzeń euklidesowa liniowa Niech n ∈ N oraz n 2. Niech Rn oznacza zbiór uporzadkowanych n–tek liczb rzeczywistych Rn = {(x1 , . . . , xn ) ; x1 , . . . , xn ∈ R}. Elementy zbioru Rn nazywamy wektorami. W zbiorze Rn wprowadzamy naturalne działania + (dodawania wektorów) x + y = (x1 + y1 , . . . , xn + yn ) dla x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn oraz · (mnożenia wektora przez liczbe) a · x = (ax1 , . . . , axn ) dla x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , a ∈ R Twierdzenie 1. (Rn , R, +, ·) jest rzeczywista przestrzenia liniowa wymiaru n. Definicja 2. Niech u, v ∈ Rn . Mówimy, że wektor u jest równoległy do wektora v jeżeli układ (u, v) jest liniowo zależny. Piszemy wówczas u v. Mówimy, że wektor u ma ten sam zwrot co wektor v (lub jest zgodnie zorientowany z wektorem v) jeżeli istnieje s 0 takie, że s · u = v lub s · v = u. Piszemy wówczas u ↑↑ v. Uwaga 3. Wektor u jest równoległy do wektora v wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje s ∈ R takie, że s · u = v lub s · v = u. Twierdzenie 4. Dla dowolnych u, v ∈ Rn sa spełnione nastepujace warunki: (1) u θ oraz u ↑↑ θ. (2) u −u. (3) u v wtedy i tylko wtedy, gdy u ↑↑ v lub u ↑↑ −v. (4) u ↑↑ −u wtedy i tylko wtedy, gdy u = θ. Ponadto (5) Relacja równoległości wektorów jest zwrotna i symetryczna w Rn i jest relacja równoważności w Rn {θ}. (6) Relacja zgodnej orientacji wektorów jest zwrotna i symetryczna w Rn i jest relacja równoważności w Rn {θ}. 1
  • 2. 2 Dowód: 1. i 2. sa oczywiste (wystarczy przyjać s = 0 lub s = −1). Punkt 3. wynika bezpośrednio z Uwagi 3. Dla dowodu 4. przyjmijmy, że u = θ (przypadek u = θ jest trywialny) i istnieje s > 0 spełniajace warunek s · u = −u. Wówczas jednak (s + 1) · u = θ, co daje s = −1, sprzeczność. Relacje równoległości i zgodnej orientacji sa zwrotne i symetryczne z samej definicji (oraz na mocy Uwagi 3.). Wykażemy przechodniość relacji równoległości w Rn {θ}. Jeżeli u, v, w ∈ Rn {θ} sa takie, że u v i v w, to istnieja liczby s, t = 0 spełniajace warunki v = s · u i w = t · v. Stad w = ts · u, czyli u w. Dowód przechodniości relacji zgodnej orientacji jest analogiczny. Definicja 5. Standardowym iloczynem skalarnym (lub krótko iloczynem skalarnym) nazywamy funkcje ., . : Rn × Rn → R dana wzorem n u, v = ui vi dla u = (u1 , . . . , un ), v = (v1 , . . . , vn ) ∈ Rn . i=1 Twierdzenie 6. (Rn , ., . ) jest liniowa przestrzenia euklidesowa, to znaczy dla u, v, w ∈ Rn oraz a, b ∈ R sa spełnione warunki: (1) u, v = v, u . (2) a · u + b · v, w = a u, w + b v, w . (3) Jeżeli u = θ, to u, u > 0. Definicja 7. Norma (długościa) wektora u = (u1 , . . . , un ) ∈ Rn nazywamy liczbe n |u| = u, u = u2 . i i=1 Twierdzenie 8. (Rn , |.|) jest przestrzenia unormowana, to znaczy dla u, v ∈ Rn oraz a ∈ R zachodza warunki: (1) |u| 0. (2) |u| = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy u = θ. (3) |a · u| = |a| |u|. (4) |u + v| |u| + |v|. Twierdzenie 9. (nierówność Schwarza) Dla dowolnych wektorów u, v ∈ Rn zachodza nastepujace warunki: (1) | u, v | |u| |v|. (2) | u, v | = |u| |v| wtedy i tylko wtedy, gdy u v. (3) u, v = |u| |v| wtedy i tylko wtedy, gdy u ↑↑ v. Dowód: Zauważmy, że jeżeli chociaż jeden z wektorów jest zerowy, to nierówność 1. i równości z punktów 2.,3. sa spełnione, zatem na mocy twierdzenia 4.1 równoważ- ności sa prawdziwe. Załóżmy teraz, że u, v = θ. (1) Dla dowolnego λ ∈ R (na podstawie własności iloczynu skalarnego – Twier- dzenie 6.) otrzymujemy 0 u + λ · v, u + λ · v = |v|2 λ2 + 2λ u, v + |u|2
  • 3. 3 Ostatnie wyrażenie jest trójmianem kwadratowym zmiennej λ o dodatnim współczynniku przy λ2 (v = θ), wiec jego wyróżnik jest niedodatni: 0 4 u, v − 4|u|2 |v|2 , co jest już równoważne tezie. (2) ⇐) Na mocy uwagi 3. możemy założyć, że istnieje s = 0 takie, że v = s · u. Wówczas z twierdzeń 6 i 8 otrzymujemy | u, v | = |s u, u | = |s| |u|2 = |u| |s · u| = |u| |v|. ⇒) Jeżeli | u, v | = |u| |v|, to 4 u, v − 4|u|2 |v|2 = 0. Tym samym trójmian kwadratowy v − λ · u, v − λ · u = |u|2 λ2 − 2 u, v λ + |v|2 ma pierwiastek (podwójny) λ0 = 0 (bo u = θ). Stad v − λ0 · u, v − λ0 · u = 0 i co za tym idzie v = λ0 · u. (3) ⇐) Dowodzimy analogicznie jak w punkcie 2 korzystajac z tego, że dla s > 0 zachodzi równość |s| = s. ⇒) Analogicznie jak w punkcie 2. otrzymujemy, że istnieje takie λ0 = 0, że v = λ0 · u. Korzystamy z założenia i dostajemy λ0 |u|2 = u, v = |u| |v| = |λ0 | |u|2 , skad λ0 > 0. Twierdzenie 10. (równość równoległoboku) Dla dowolnych u, v ∈ Rn zachodzi rów- ność |u + v|2 + |u − v|2 = 2|u|2 + 2|v|2 . Dowód: Bezpośredni rachunek. Twierdzenie 11. (zwiazek iloczynu skalarnego z norma) Dla dowolnych u, v ∈ Rn zachodzi równość 1 u, v = |u + v|2 − |u − v|2 . 4 Dowód: Bezpośredni rachunek. Twierdzenie 12. (zwiazek równoległości i zgodnej orientacji z norma Dla dowolnych wektorów u, v ∈ Rn spełnione sa nastepujace warunki: (1) u v wtedy i tylko wtedy, gdy |u + v| = |u| + |v| lub |u + v| = | |u| − |v| |. (2) u ↑↑ v wtedy i tylko wtedy, gdy |u + v| = |u| + |v|. (3) u v wtedy itylko wtedy, gdy | |u| − |v| | < |u + v| < |u| + |v|. Dowód: Zauważmy, że jeźeli którykolwiek z wektorów jest zerowy, to stwierdzenia 1,2,3 sa oczywiste. Załóżmy wiec, że u, v = θ. (1) ⇐) Jeżeli zachodzi prawa strona równoważności, to |u + v|2 = (|u| ± |v|)2 . Stad |u| |v| = | u, v | i na mocy twierdzenia 9.2 wektory u i v sa równoległe. ⇒) Załóżmy, że u v i niech s = 0 bedzie takie, że v = s · u. Wówczas |u + v| = |1 + s| |u|. Dla s > 0 mamy zatem |u + v| = (1 + s)|u| = |u| + |s| |u| = |u| + |v|.
  • 4. 4 Jeżeli s ∈ [−1, 0), to |u + v| = (1 + s)|u| = |u| − |s| |u| = |u| − |v|, a dla s < −1 otrzymujemy |u + v| = −(1 + s)|u| = −|u| + |s| |u| = |v| − |u|. (2) Dowód przebiega tak samo jak w 1. (3) Z twierdzenia 8.4 wynika, że zawsze | |u| − |v| | |u + v| |u| + |v|, ale na mocy 1. zachodzenie którejkolwiek z równości jest równoważne równo- ległości wektorów u i v. Definicja 13. Katem (nieskierowanym) pomiedzy wektorami u, v ∈ Rn {0} nazy- wamy liczbe u, v (u, v) = arc cos . |u| |v| Wektory u i v sa prostopadłe jeżeli u, v = 0. Piszemy wtedy u ⊥ v. Uwaga 14. Z twierdzenia 9.1 wynika, że kat miedzy wektorami niezerowymi jest do- brze określony. Wektory niezerowe sa prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy (u, v) = π . Ponadto 2 z twierdzenia 9 wynika, że wektory sa zgodnie zorientowane jeżeli tworza kat 0, a równoległe — gdy tworza kat 0 lub π. Twierdzenie 15. (cosinusów) Dla dowolnych wektorów u, v ∈ Rn {θ} zachodzi równość |u + v|2 = |u|2 + |v|2 + 2|u| |v| cos (u, v). Dowód: Wynika bezpośrednio z definicji kata i własności iloczynu skalarnego. Wniosek 16. (twierdzenie Pitagorasa) Dla dowolnych u, v ∈ Rn spełniony jest wa- runek u ⊥ v wtedy i tylko wtedy, gdy |u + v|2 = |u|2 + |v|2 . Definicja 17. Niech dane beda wektory v1 , . . . , vk ∈ Rn . Macierz G(v1 , . . . , vk ) = [ vi , vj ]1 i,j k nazywamy macierza Grama, a jej wyznacznik det G(v1 , . . . , vk ) — wyznacznikiem Grama. Przykład 18. det G(v1 ) = |v1 |2 det G(v1 , v2 ) = |v1 |2 |v2 |2 − v1 , v2 2 Twierdzenie 19. Dla dowolnych (v1 , . . . , vk ) ∈ Rn spełnione sa nastepujace warunki: (1) det G(v1 , . . . , vk ) 0. (2) det G(v1 , . . . , vk ) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy (v1 , . . . , vk ) jest układem liniowo zależnym.
  • 5. 5 Dowód: Niech v1 , . . . , vk ∈ Rn . Niech (u1 , . . . , up ) bedzie baza ortonormalna pod- przestrzeni liniowej lin(v1 , . . . , vk ) przestrzeni Rn . Położmy wi = ( vi , u1 , . . . , vi , up ) ∈ Rp dla i = 1, . . . k. Zauważmy, że wi , wj = vi , vj dla i, j = 1, . . . , k (iloczyny skalarne odpowiednio w Rp i Rn ). Istotnie, p p p wi , wj = vi , ul vj , ul = vi , ul vj , um ul , um l=1 l=1 m=1 p p = vi , ul ul , vj , um um = vi , vj . l=1 m=1 Ponadto w przestrzeni R p T w1 w1 w1      .  T T  .  .  G(w1 , . . . , wk ) = [ wi , wj ]= .  . w1 . . . wk =  .  .  , . . wk wk wk skad 2 w1    .  det G(w1 , . . . , wk ) = det  .  .  . wk Ostatecznie otrzymujemy det G(v1 , . . . , vk ) = det [ vi , vj ]1 i,j k = det [ wi , wj ]1 i,j k 2 w1   = det G(w1 , . . . , wk ) = det  .    .  . wk Z ostatniej równości natychmiast otrzymujemy 1. Ponadto det G(v1 , . . . , vk ) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy układ (w1 , . . . , wk ) jest liniowo zależny, a to z kolei jest rów- noważne faktowi, że p = dim lin(v1 , . . . , vk ) < k czyli zależności układu (v1 , . . . , vk ). Wniosek 20. Jeżeli v1 , . . . , vn ∈ Rn , to 2 v1    .  det G(v1 , . . . , vn ) = det  .  .  . vn Nastepujace właności wynikaja bezpośrednio z definicji wyznacznika Grama Twierdzenie 21. Dla dowolnych v1 , . . . , vk ∈ Rn k 2 (1) det G(v1 , . . . , vk ) i=1 |vi | . k 2 (2) Jeżeli v1 , . . . , vk = θ, to det G(v1 , . . . , vk ) = i=1 |vi | wtedy i tylko wtedy, gdy układ (v1 , . . . , vk ) jest ortogonalny. (3) Dla dowolnej permutacji σ zbioru {1, . . . , k} det G(v1 , . . . , vk ) = det G(vσ(1) , . . . , vσ(k) ).
  • 6. 6 (4) det G(−v1 , . . . , vk ) = det G(v1 , . . . , vk ). (5) Jeżeli a2 , . . . , ak ∈ R, to   k det G v1 + aj vj , v2 , . . . , vk  = det G(v1 , . . . , vk ) j=2 . Definicja 22. Niech v1 , . . . , vn−1 ∈ Rn i niech A bedzie macierza, której kolejne wiersze sa współrzednymi wektorów v1 , . . . , vn−1 . Niech ponadto Aj oznacza macierz powstała z macierzy A przez skreślenie w niej j–tej kolumny. Wektor v1 × . . . × vn−1 = (−1)1+n det A1 , . . . , (−1)n+n det An nazywamy iloczynem wektorowym wektorów v1 , . . . vn−1 . Przykład 23. W przestrzeni R3 iloczyn wektorowy wektorów u = (u1 , u2 , u3 ) i v = (v1 , v2 , v3 ) jest równy u2 u3 u u3 u u2 u×v = ,− 1 , 1 . v2 v3 v1 v3 v1 v2 Twierdzenie 24. (własności iloczynu wektorowego) Niech v1 , . . . , vn−1 ∈ Rn oraz v = v1 × . . . × vn−1 . Wówczas (1) v ⊥ lin(v1 , . . . , vn−1 ). (2) |v| = det G(v1 , . . . , vn−1 ). (3) Jeżeli układ (v1 , . . . , vn−1 ) jest liniowo zależny, to v = θ. (4) Jeżeli układ (v1 , . . . , vn−1 ) jest liniowo niezależny, to układ (v1 , . . . , vn−1 , v) jest dodatnio zorientowana baza przestrzeni Rn (to znaczy wyznacznik tego układu wektorów jest dodatni). Ponadto jeżeli pewien wektor v ∈ Rn spełnia warunki 1–4, to v = v1 × . . . × vn−1 . Dowód: Załóżmy, że v1 , . . . , vn−1 ∈ Rn oraz v = v1 × . . . × vn−1 . (1) Dla i = 1, . . . , n − 1 z definicji iloczynu wektorowego otrzymujemy v1   n  .  .  (1) vi , v = j (−1)n+j vi det Aj = det  .  = 0,   vn−1  j=1 vi ponieważ ostatni wyznacznik ma dwa takie same wiersze vi . (2) Podobnie jak w punkcie 1. otrzymujemy v1    .  .  (2) |v|2 = v, v = det  . .   vn−1  v Zależność (1) pozwala przedstawić poszerzona o v macierz Grama w postaci 0    G(v , . . . , v .  .  1 n−1 ) . G(v1 , . . . , vn−1 , v) =  ,   0  0 ... 0 |v|2
  • 7. 7 skad na podstawie wniosku 20 i (2) dostajemy 2 v1    .  .   (3) |v|4 = det   .  = det G(v1 , . . . , vn−1 , v) = |v|2 det G(v1 , . . . , vn−1 ).    vn−1  v To zaś przy v = θ daje |v| = det G(v1 , . . . , vn−1 ). (3) Wynika natychmiast z (3) i twierdzenia 19.2. Gdy v = θ, to rzad macierzy A jest mniejszy od n − 1 i układ (v1 , . . . , vn−1 ) jest liniowo zależny. Wówczas na mocy twierdzenia 19.2 jego wyznacznik Grama jest zerowy, co dowodzi 2. także w tym przypadku. (4) Jeżeli układ (v1 , . . . , vn−1 ) jest liniowo niezależny, to z (3) otrzymujemy, że v = θ, skad w oparciu o (2) v1    .  .  det  .  > 0.   vn−1  v Załóżmy teraz, że wektor v spełnia warunki 1.–4. Gdyby v = θ, to z 2. wyznacznik Grama układu (v1 , . . . , vn−1 ) jest równy 0, układ ten jest liniowo zależny i z 3. v1 × . . . × vn−1 = θ = v. Jeżeli v = θ, to z 1. i 4. wynika, że v jest generatorem (jednowymiarowej) podprze- strzeni (lin(v1 , . . . , vn−1 ))⊥ . Do wyznaczenia jego długości służy warunek 2, a zwrotu — ponownie 4. Wniosek 25. Jeżeli u, v ∈ R3 {θ}, to |u × v| = |u| |v| sin (u, v). Dowód: Z twierdzenia 24.2 oraz definicji kata pomiedzy wektorami otrzymujemy |u × v|2 = det G(u, v) = |u|2 |v|2 − u, v 2 =|u|2 |v|2 − |u|2 |v|2 cos2 (u, v) = |u|2 |v|2 sin2 (u, v), co daje teze, ponieważ (u, v) ∈ [0, π] Uwaga 26. Zwrot wektora u×v można wyznaczyć za pomoca tzw. reguły śruby prawo- skretnej. Podczas krecenia zwinieta prawa dłonia z wysunietym kciukiem od wektora u do wektora v kierunek ruchu kciuka wskazuje zwrot wektora u × v. Definicja 27. Niech u, v, w ∈ R3 . Liczbe (u; v; w) = u × v, w nazywamy iloczynem mieszanym wektorów u, v, w. Twierdzenie 28. W przestrzeni R3 iloczyn wektorowy jest dwuliniowym operato- rem alternujacym, a iloczyn mieszany trójliniowym operatorem alternujacym. Innymi słowy, dla u, v, w, z ∈ R3 oraz a, b ∈ R spełnione sa warunki: (1) (a · u + b · v) × w = a · (u × w) + b · (v × w). (2) v × u = −u × v. (3) (a · u + b · v; w; z) = a(u; w; z) + b(v; w; z).
  • 8. 8 (4) (u; v; w) = −(v; u; w) = −(w; v; u) = −(u; w; v). Ponadto (5) (u × v) × w = u, w v − v, w u. Dowód: Warunki 1. i 2. wynikaja bezpośrednio z własności wyznacznika. Dla dowodu 3. i 4. wystarczy zauważyć, że  u  u2 u3 u1 u3 u1 u2 (u; v; w) = w1 − w2 + w3 = det  v  v2 v3 v1 v3 v1 v2 w i ponownie skorzystać z własności wyznacznika. Warunku 5. dowodzimy bezpośrednio (u × v) × w =(u2 v3 − u3 v2 , −u1 v3 + u3 v1 , u1 v2 − u2 v1 ) × (w1 , w2 , w3 ) =((−u1 v3 + u3 v1 )w3 − (u1 v2 − u2 v1 )w2 , − (u2 v3 − u3 v2 )w3 + (u1 v2 − u2 v1 )w1 , (u2 v3 − u3 v2 )w1 − (−u1 v3 + u3 v1 )w2 ) =((u2 w2 + u3 w3 )v1 − (v2 w2 + v3 w3 )u1 , (u1 w1 + u3 w3 )v2 − (v1 w1 + v3 w3 )u2 , (u1 w1 + u2 w2 )v3 − (v1 w1 + v2 w2 )u3 ) = u, w v − v, w u

×