Your SlideShare is downloading. ×
Geometria - przekształcenia
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×

Introducing the official SlideShare app

Stunning, full-screen experience for iPhone and Android

Text the download link to your phone

Standard text messaging rates apply

Geometria - przekształcenia

2,347
views

Published on

Skrypt dla studentów matematyki. …

Skrypt dla studentów matematyki.
Autor: Maciej Czarnecki.
Tytuł: Przekształcenia

Published in: Education, Technology

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total Views
2,347
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
21
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. Maciej Czarnecki Geometria szkolna skrypt dla studentów matematyki Rozdział IV Przekształcenia Rozważamy przestrzeń afiniczną En ze standardowym iloczynem skalarnym. Norma wektorów i odległość punktów pochodzą od tego iloczynu. Definicja 1. Niech f bedzie funkcją działającą ze zbioru En w zbiór En . Funkcję f nazywamy przekształceniem afinicznym, jeżeli środek ciężkości dowolnego skończonego układu punktów z En przekształca na środek ciężkości ich obrazów o tych samych wagach. Innymi słowy, dla p0 , . . . , pk ∈ En oraz a0 , . . . , ak ∈ R, gdzie a0 + . . . + ak = 1, f (a0 p0 + . . . + ak pk ) = a0 f (p0 ) + . . . + ak f (pk ). Twierdzenie 2. Przekształcenie afiniczne przekształca podprzestrzeń afiniczną H przestrzeni afinicznej En na podprzestrzeń afiniczną przestrzeni afinicznej En wymiaru nieprzekraczającego dim H. W szczególności, przekształcenie afiniczne przekształca prostą na prostą lub punkt, a płaszczyznę — na płaszczyznę, prostą lub punkt. Różnowartościowe przekształcenie afiniczne przekształca podprzestrzeń k–wymiarową na podprzestrzen k–wymiarową, w szcególności prostą na prostą a płaszczyznę na płaszczyznę. Twierdzenie 3. Funkcja f : En → En jest przekształceniem afinicznym wtedy i tylko wtedy, gdy f przekształca środek ciężkości dowolnego układu dwupunktowego (p, q) na środek ciężkości układu (f (p), f (q)) o tych samych wagach. Twierdzenie 4. Funkcja f : En → En jest przekształceniem afinicznym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje przekształcenie liniowe f : Rn → Rn takie, że dla pewnego (odpowiednio: dowolnego) punktu p ∈ En i dowolnego wektora v ∈ Rn zachodzi równość f (p + v) = f (p) + f (v). Definicja 5. Translacją (przesunięciem równoległym) o wektor v ∈ Rn nazywamy przekształcenie Tv : En → En dane wzorem Tv (x) = x + v dla x ∈ En . 1
  • 2. 2 Uwaga 6. Często mówi się, że przekształcenie afiniczne jest złożeniem przekształce- nia liniowego z translacją, co odpowiada twierdzeniu 5. po utożsamieniu przestrzeni liniowej Rn z przestrzenią afiniczną p + Rn (odpowiednio przestrzenią f (p) + Rn ). Twierdzenie 7. Każda translacja jest przekształceniem afinicznym. Zbiór translacji z działaniem składania stanowi grupę izomorficzną z grupą (Rn , +). Dowód: Aby wykazać, że Tv jest przekształceniem afinicznym wystarczy przyjąć Tv = idRn . Grupowość działania składania translacji wynika ze wzoru Tu ◦ Tv = Tu+v prawdziwego dla u, v ∈ Rn . Izomorfizm na grupę (Rn , +) jest dany wzorem Tv → v. Definicja 8. Niech H bedzie podprzestrzenią afiniczną wymiaru k, a H podprze- strzenią afiniczną taką, że S(H) ⊕ S(H ) = Rn (wynika stąd w szczególności, że dim H = n − k). Rzutem równoległym na podprzestrzeń H w kierunku podprzestrzeni H nazywamy przekształcenie πH : En → En takie, że dla każdego p ∈ En H H πH (p) ∈ (p + S(H )) ∩ H. Jeżeli H ⊥ H, to na oznaczenie rzutu piszemy πH . Uwaga 9. Dowód poprawności definicji rzutu równoległego przebiega tak samo jak dowód twierdzenia III.18. Określony w definicji III.19 rzut prostopadły na H jest rzutem równoległym na H w kierunku q + S(H)⊥ , gdzie q ∈ En . Twierdzenie 10. Każdy rzut równoległy jest przekształceniem afinicznym. Dowód: Twierdzenie 11. (Talesa) Stosunek długości rzutów równoległych odcinków nie- zdegenerowanych pq i rs na podprzestrzeń H w kierunku podprzestrzeni H , gdzie pq rs H , jest równy stosunkowi długości odcinków pq i rs. Innymi słowy H H |πH (p)πH (q)| |pq| H (r)π H (s)| = . |πH H |rs| Dowód: Twierdzenie 12. (odwrotne do twierdzenia Talesa) Niech dane będą proste L i L oraz punkty p, q, r, s ∈ L, p , q , r , s ∈ L parami różne z wyjątkiem być może par (p, p ), (q, r) i (q , r ). Jeżeli |pq| |p q | = , |rs| |r s | to proste qq , rr i ss są równoległe. Dowód:
  • 3. 3 Definicja 13. Jednokładnością o środku p ∈ En i skali s = 0 nazywamy przekształ- cenie Jp : En → En dane wzorem s Jp (x) = p + s · − s → px dla x ∈ En . Twierdzenie 14. Każda jednokładność jest przekształceniem afinicznym. Dla ustalonego punktu p zbiór wszystkich jednokładności o środku p z działaniem składania tworzy grupę izomorficzną z grupą (R {0}, ·). s Dowód: Aby wykazać, że Jp jest przekształceniem afinicznym wystarczy przyjąć s Jp = s · idRn . s Grupowość działania składania jednokładności w zbiorze {Jp ; s = 0} wynika ze wzoru s Jp 1 ◦ Jp 2 = Jp 1 s2 s s s prawdziwego dla s1 , s2 = 0. Izomorfizm na grupę (R{0}, ·) jest dany wzorem Jp → s. Definicja 15. Izometrią przestrzeni afinicznej E (z odległością d indukowaną przez iloczyn skalarny) nazywamy każde przekształcenie E na E zachowujące odległość, tzn. spełniające warunek d(f (x), f (y)) = d(x, y) dla x, y ∈ E. Zbiór wszystkich izometrii przestrzeni E oznaczamy przez Isom(E). Twierdzenie 16. Zbiór Isom(E) z działaniem składania przekształceń tworzy grupę. Dowód: Jeżeli f ∈ Isom(E), to warunek f (x) = f (y) pociąga za sobą kolejno warunki d(f (x), f (y)) = 0, d(x, y) = 0, x = y. Oznacza to, że każda izometria jest przekształceniem różnowartościowym. Wystarczy zatem sprawdzić, że Isom(E) jest podgrupą grupy wszystkich bijekcji zbioru E na siebie. Jeżeli f ∈ Isom(E), to dla x, y ∈ E d(f −1 (x), f −1 (y)) = d(f (f −1 (x)), f (f −1 (y))) = d(x, y), czyli odwzorowanie odwrotne do izometrii jest izometrią. Jeżeli teraz f1 , f2 ∈ Isom(E), to dla x, y ∈ E d(f1 ◦ f2 (x), f1 ◦ f2 (y)) = d(f1 (f2 (x)), f1 (f2 (y))) = d(f2 (x), f2 (y)) = d(x, y) czyli także złożenie dwóch izometrii jest także izometrią. Przykład 17. Każda translacja jest izometrią, bo dla v ∈ V oraz x, y ∈ E −− − −→ −−−− d(Tv (x), Tv (y)) = d(x + v, y + v) = x + v, y + v = |− y| = d(x, y). → x, Rzut równoległy na podprzestrzeń wymiaru mniejszego niż n nie jest izometrią, bo nie jest różnowartościowy (wszystkie punkty kierunku rzutowania H1 przekształcane są na jeden punkt). Jednokładność o skali ±1 jest izometrią. Jednokładności o innych skalach nie są s s izometriami, bo dla x, y ∈ E zachodzi d(Jp (x), Jp (y)) = |s|d(x, y). Definicja 18. Niech H będzie podprzestrzenią afiniczną przestrzeni afinicznej E, a πH rzutem prostopadłym na tę podprzestrzeń. Przekształcenie sH : E → E dane wzorem −− − − −→ sH (x) = x + 2xπH (x) dla x ∈ E
  • 4. 4 nazywamy symetrią względem podprzestrzeni H. Symetrię wzgledem punktu nazywamy symetrią środkową, względem prostej — symetrią osiową, a względem płaszczyzny — symetrią płaszczyznową. Przykład 19. Jeżeli H = {p}, to rzut πH jest odwzorowaniem stałym πH : E → {p} i symetria środkowa wyraża się wzorem s (x) = x + 2− = p + (−1) · − p → xp → px, czyli jest także jednokładnością o środku p i skali −1. Jeżeli H jest hiperpłaszczyną przechodzącą przez punkt p o jednostkowym wektorze normalnym u, to dla x ∈ E −−→ − −− pπ (x) = px − − u · u, H → → px, skąd πH (x) = x − − u · u. → px, Zatem sH (x) = x − 2 − u u. → px, W szczególności rozważając symetrię osiową w E2 wzgledem prostej L : y = mx + n (m,−1) otrzymujemy, że p = (0, n), u = √m2 +1 . Zatem dla dowolnego punktu (x, y) ∈ E2 (m, −1) (m, −1) sL (x, y) =(x, y) − 2 (x, y − n), √ ·√ m2 + 1 m2 + 1 (1 − m 2 )x + 2my − 2mn 2mx − (1 − m2 )y + 2n = , m2 + 1 m2 + 1 Jeżeli natomiast prosta L jest dana w E2 równaniem x = c, to sL (x, y) = (2c − x, y) dla (x, y) ∈ E2 . Twierdzenie 20. Niech H bedzie podprzestrzenią afiniczną przestrzeni afinicznej E. Symetria sH względem podprzestrzeni H ma następujące własności: (1) sH jest inwolucją, tzn. sH ◦ sH = idE , (2) sH jest izometrią, (3) podprzestrzeń H jest zbiorem wszystkich punktów stałych przekształcenia sH , tzn. sH (x) = x wtedy i tylko wtedy, gdy x ∈ H. Dowód: Oznaczmy krótko przez s symetrię wzgledem podprzestrzeni H, a przez π rzut prostopadły na tę podprzestrzeń. (1) Dla x ∈ E mamy −− −→ −− −→ − − − − −→− − − − −− → − − −− − − − − − −− → −− − − −− s ◦ s(x) =s x + 2xπ(x) = x + 2xπ(x) + 2 x + 2xπ(x) π x + 2xπ(x) −− −→ − − −− − − − → − − −− − − − −−→ −− −→ −− −→ =x + 2xπ(x) + 2 x + 2xπ(x) π(x) = x + 2xπ(x) − 2xπ(x) = x. (2) Zauważmy, że dla x, y ∈ E −− − − −→ − − −− − → −− −→ − − − −−− −−→ s(x)s(y) =s(x)π(x) + π(x)π(y) + π(y)s(y) − − −− − − − → − − − → − − −− − − − → − − −− − − − −− → −−− − − −− → − − −−− = x + 2xπ(x) π(x) + π(x)π(y) + y + 2yπ(y) π(y) −− −→ −− −→ −− −→ −−− = − xπ(x) + xπ(x) + π(x)π(y)
  • 5. 5 i ostatni wektor jako należący do S(H) jest prostopadły do sumu dwóch po- zostałych (każdy z nich należy do S(H)⊥ ). Stąd i z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy −− − − −→ 2 −− −→ −− 2 −→ −− −→ −−− 2 (d(s(x), s(y)))2 = s(x)s(y) = xπ(x) + xπ(x) + π(x)π(y) −− −→ −− − → −− −→ −−− 2 = xπ(x) + xπ(x) + π(x)π(y) = |− = (d(x, y))2 , →2 xy| co wraz z (1) oznacza, że przekształcenie s jest izometrią. −− −→ (3) Dla x ∈ E następujące warunki są równoważne s(x) = x, 2xπ(x) = θ, x = π(x), x ∈ H. Twierdzenie 21. Składanie symetrii środkowych ma nastepujące własności: (1) złożenie dwóch symetrii środkowych jest translacją, a dokładniej sq ◦ sp = T2− → pq dla p, q ∈ E. (2) złożenie trzech symetrii środkowych jest symetrią środkową, a dokładniej sr ◦ sq ◦ sp = sr+− → pq dla p, q, r ∈ E. (3) każda translacja jest złożeniem pewnych dwóch symetrii środkowych. Dowód: (1) Dla x ∈ E mamy − − −→ → −−− − sq ◦ sp (x) =sq (x + 2− = x + 2− + 2(x + 2− q → xp) → xp xp) =x + 2− + 2 (− − 2− = x + 2− = T → xp → xq → xp) → pq 2− (x). → pq (2) Z (1) dla x ∈ E otrzymujemy −− − − − − →→ − sr ◦ sq ◦ sp (x) =sr (x + 2− = x + 2− + 2(x + 2− r → pq) → pq pq) − − −→ −−− → =x + 2− + 2 (− − 2− = x + 2x (r + − = sr+− (x). → pq → xr → pq) pq) → pq (3) Na mocy (1) wystarczy dla dowolnej translacji Tv i dowolnego punktu p ∈ E przyjąć q = p + 1 v. 2 Definicja 22. Macierzą ortogonalną stopnia n nazywamy macierz kwadratową A stopnia n spełniającą warunek A · AT = I. Zbiór wszystkich macierzy ortogonalnych stopnia n oznaczamy przez O(n), a jego podzbiór zawierający wszystkie macierze o wyznaczniku 1 — przez SO(n). Twierdzenie 23. O(n) z działaniem mnożenia macierzy stanowi grupę, a SO(n) jej podgrupę. Dowód:
  • 6. 6 a b Przykład 24. Macierz A = jest ortogonalna wtedy i tylko wtedy, gdy c d  2 2  a +b =1 ac + bd = 0 c2 + d2 = 1  Wówczas przyjmując a = cos ϕ, b = − sin ϕ, c = sin ψ, d = cos ψ otrzymujemy, że A ∈ O(2) wtedy i tylko wtedy, gdy sin(ψ − ϕ) = 0. Stąd cos ϕ sin ϕ cos ϕ − sin ϕ O(2) = ; ϕ∈R , SO(2) = ; ϕ∈R sin ϕ ± cos ϕ sin ϕ cos ϕ Twierdzenie 25. Przekształcenie liniowe przestrzeni liniowej Rn w siebie zachowuje standardowy iloczyn skalarny wtedy i tylko wtedy, gdy jego macierz należy do O(n). Definicja 26. Obrotem przestrzeni En dookoła punktu p ∈ En nazywamy przekształ- cenie postaci −1 T− ◦ A ◦ T− , → θp → θp gdzie A jest przekształceniem afinicznym, dla którego macierz przekształcenia linio- wego należy do SO(n) i A(θ) = θ. Inaczej mówiąc, obrót jest sprzężony za pomocą translacji ze specjalnym odwzoro- waniem ortogonalnym. Przykład 27. Z postaci grupy SO(2) wynika, że dowolny obrót płaszczyzny E2 dookoła punktu (0, 0) wyraża się wzorem Rϕ (x, y) = (x cos ϕ − y sin ϕ, x sin ϕ + y cos ϕ) dla (x, y) ∈ E2 . Liczbę ϕ nazywamy wtedy kątem obrotu Rϕ . Lemat 28. Dla dowolnych punktów x, , y, z ∈ E warunek z ∈ xy jest równoważny warunkowi d(x, y) = d(x, z) + d(z, y). Dowód: Jeżeli którekolwiek dwa punkty są równe, to teza jest oczywista. Załóżmy, że punkty x, y, z są parami różne Warunek d(x, y) = d(x, z) + d(z, y) jest równoważny równości |− 2 = |− − 2 = |− 2 +|− 2 +2 − − = |− 2 +|− 2 +2|− − = (|− + |− → xy| → → xz+ zy| → xz| → zy| → → xz, zy → xz| → zy| → → xz|·|zy| → → 2 xz| zy|) , która zgodnie z nierównością Schwarza zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wektory niezerowe − − są zgodnie zorientowane. → → xz, zy 1 r To zaś jest równoważne istnieniu liczby r > 0 takiej, że z = r+1 x + r+1 y czyli faktowi, że z ∈ xy {x, y}. Definicja 29. Załóżmy, że grupa H działa na grupę G, tzn. istnieje homomorfizm Ψ działający z H do grupy automorfizmów grupy G. Niech Ψ(h) = ϕh dla h ∈ H. Iloczynem półprostym grup G i H nazywamy zbiór G × H z działaniem określonym wzorem (g, h) · (g , h ) = (gΨh (g ), hh ) dla (g, h), (g , h ) ∈ G × H.
  • 7. 7 Twierdzenie 30. (klasyfikacja izometrii przestrzeni En ) Każda izometria przestrzeni En jest przekształceniem afinicznym. Co więcej, grupa Isom(En ) jest izomorficzna z iloczynem półprostym grup Rn i O(n). Dowód: Dla dowodu pierwszej części wystarczy wykazać, że każde przekształcenie ϕ : Rn → Rn zachowujące θ oraz odległość d daną wzorem d(u, v) = |u − v| dla u, v ∈ Rn jest odwzorowaniem liniowym. Wniosek 31. Każda izometria przestzreni En zachowuje kąt pomiędzy wektorami. Dowód: Wynika z twierdzeń 25. i 30. Wniosek 32. Każda izometria przestrzeni En zachowuje k–wymiarową objętość dla k n, tzn. jeżeli P jest k–wymiarowym wielościanem w En a f izometrią, to volk (f (P)) = volk (P). Dowód: Objętość wielościanu jest sumą objętości sympleksów, a objętość sym- pleksów zależy tylko od wyznacznika Grama wektorów je rozpinających. Z twierdzeń 25 i 30 wynika, że izometria przestrzeni En zachowuje iloczyn skalarny, a więc także wyznacznik Grama. Definicja 33. Podobieństwem o skali s > 0 nazywamy każde przekształcenie f prze- strzeni En na siebie takie, że dla x, y ∈ En d(f (x), f (y)) = s · d(x, y). Twierdzenie 34. Zbiór podobieństw przestrzeni En z działaniem składania stanowi grupę. Dowód: Wystarczy zauważyć, że złożenie podobieństwa o skali s1 z podobień- stwem o skali s2 jest podobieństwem o skali s1 s2 . Twierdzenie 35. Każde podobieństwo przestrzeni En jest złożeniem jednokładności z izometrią. 1 Dowód: Jeżeli f jest podobieństwem w En o skali s > 0, to złożenie ϕ = Jθs ◦ f jest izometrią przestrzeni En . Ale wtedy f = Jθ ◦ ϕ. s Wniosek 36. Każde podobieństwo przestrzeni En o skali s > 0 mnoży k–wymiarową objętość przez sk dla k n, tzn. jeżeli P jest k–wymiarowym wielościanem w En a f podobieństwem o skali s, to volk (f (P)) = sk · volk (P). Dowód: Na mocy wniosku 33. i twierdzenia 35. wystarczy sprawdzić tylko, że Jθ s mnoży k–wymiarową objętość przez sk . s Przekształceniem liniowym dla Jθ jest s · idRn , które powoduje mnożenie wyznacz- nika Grama przez s 2k . Objętość pojedynczego sympleksu jest równa stałej razy pier- wiastek z wyznacznika Grama, czyli jednokładność mnoży ją przez sk .
  • 8. 8 Przykład 37. Istnieją przekształcenia afiniczne, które nie są podobieństwami. Powi- nowactwo prostokątne o osi x i skali l > 1 dane na E2 wzorem F (x, y) = (x, ly) zachowuje długość odcinków równoległych do osi x, a zwiększa długość tych równo- ległych do osi y.