Reglas de la derivación
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Reglas de la derivación Reglas de la derivación Document Transcript

  • Reglas de derivación Daniel Leonardo Mariño Lizarazo 8 de agosto de 20081. Introducción Para determinar la derivada de una función f(x), denotada como f (x), seusa la siguiente fórmula: f (x + h) − f (x) f (x) = l´ ım h→0 hPero para algunas funciones este proceso resulta largo y tedioso, por esto esque se han deducido algunas reglas como:1.1. Regla de la constante si f (x) = c, entonces la derivada es f (x) = 0Ejemplo: f (x) = 23 =⇒ f (x) = 01.2. Regla de la potencia la derivada de una función f (x) = xn , es f (x) = nxn−1 , n ∈ R o n∈QEjemplo: f (x) = 2x3 =⇒ f (x) = 6x2 1
  • 1.3. Regla del producto Sean f (x) y g(x) dos funciones derivables, la derivada del producto deestas dos funciones derivables, notada [f (x) ∗ g(x)] es: [f (x) ∗ g(x)] = f (x) ∗ g (x) + g(x) ∗ f (x)Ejemplo: f (x) = (x3 )(2x + 1) f (x) = (x3 )(2) + (2x + 1)(3x2 ) f (x) = 2x3 + 6x3 + 3x2 f (x) = 8x3 + 3x21.4. Regla del cociente Sean f (x) y g(x) dos funciones derivables, la derivada del producto de d f (x)estas dos funciones, notada [ dx g(x) ] es: d d d f (x) g(x) ∗ dx [f (x)] − f (x) ∗ dx [g(x)] [ ]= dx g(x) [g(x)]2Ejemplo: x f (x) = 1 + x2 (1 + x2 )(1) − x(2x) f (x) = (1 + x2 )2 x2 − 2x2 + 1 f (x) = x4 + 2x2 + 1 −x2 + 1 f (x) = (x2 + 1)2 −1 f (x) = x2 +1 2
  • 1.5. Derivada del logaritmo natural La derivada del logaritmo natural de x es: d 1 ln (x) = dx xEjemplo: 1 f (x) = ln 9x =⇒ f (x) = 9x1.6. Derivada del logaritmo general La derivada de una función logaritmica general y = loga x, a > 0 y a=1es: d 1 1 (loga x) = ∗ dx x ln aEjemplo: 1 1 f (x) = log5 (4x3 ) =⇒ f (x) = 3 ∗ 4x ln 51.7. Derivada de la función exponencial natural La derivada para una función exponencial natural y = ex es: d x [e ] = ex dxEjemplo: f (x) = e3x =⇒ f (x) = e3x1.8. Derivada de la función exponencial general La derivada para una función exponencial general y = ax , a > 0 y a=1es: d x [a ] = ax ln a dxEjemplo: f (x) = 9x =⇒ f (x) = 9x ln 9 3
  • 1.9. Derivada de las funciónes trigonométricas Acontinuación se mostrara un listado de las funciones trigonométricas consus respectivas derivadas, en todas x esta medida en radianes: f (x) = sen x =⇒ f (x) = cos x f (x) = cos x =⇒ f (x) = − sen x f (x) = tan x =⇒ f (x) = sec2 x f (x) = cot x =⇒ f (x) = − csc2 x f (x) = sec x =⇒ f (x) = sec x tan x f (x) = csc x =⇒ f (x) = − csc x cot xEjemplos: f (x) = sen 5x =⇒ f (x) = cos 5x f (x) = cos 56x =⇒ f (x) = − sen 56x f (x) = tan πx =⇒ f (x) = sec2 πx f (x) = cot 34x =⇒ f (x) = − csc2 34x f (x) = sec 39x =⇒ f (x) = sec 39x tan 39x f (x) = csc 7x =⇒ f (x) = − csc 7x cot 7x1.10. Ejercicios propuestos √ f (x) = x f (x) = 3x2 + 2x − 1 f (x) = (sen2x)(3x ) 4
  • 3x2 +3f (x) = 4x+2f (x) = 49x 3f (x) = 5 x 2 3 16 3f (x) = 7 x − 6x2f (x) = sec π + 4x3 − tan 3π + π 2 −6x4 +3x2f (x) = 2 5