03. matrik-dan-transformasi-linear-ortonormal-dan-gram-schmidt

  • 1,912 views
Uploaded on

 

  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Be the first to comment
    Be the first to like this
No Downloads

Views

Total Views
1,912
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0

Actions

Shares
Downloads
34
Comments
0
Likes
0

Embeds 0

No embeds

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. Himpunan ortonormal, Proses Gram Schmidt By Yuwono MD
  • 2. Himpunan Ortonormal  Ruang Hasil Kali Dalam  Jk u = (u1, u2, u3, …, un) dan v = (v1, v2, v3, …,vn) adalah vektor-vektor dalam Rn , maka rumus : <u,v> = u.v = u1v1+ u2v2+ … unvn  Mendefinisikan <u,v> sebagai hasil kali dalam Eucledian pada Rn .
  • 3. Teorema :  Jk u,v, dan w adalah vektor-vektor dalam suatu ruang hasil kali dalam real, dan k adalah sebarang skalar, maka : 1. <0,v> = <v,0> = 0 2. <u,v+w> = <u,v> + <u,w> 3. <u,kv>= k <u,v> 4. <u-v,w> = <u,w> - <v,w> 5. <u,v-w> = <u,v> - <u,w>
  • 4. Sifat : 1. <u,v> = <v,u> 2. <u+v,w> = <u,w> + <v,w> 3. <ku,v> = k <u,v> 4. <v,v> 0 5. ||u|| = <u,u> Suatu hasil kali dalam pada suatu ruang vektor real V adalah suatu fungsi yang menghubungkan suatu bilangan real <u,v> dengan setiap pasangan vektor u dan v dalam V dengan cara sedemikian sehingga sifat-sifat berikut ini dipenuhi untuk semua vektor u,v dan w dalam V dan semua skalar k: 1/2
  • 5. contoh  Anggap u=(u1,u2) dan v= (v1,v2) adalah vektor dalam R2 . Tunjukkanlah bahwa hasil kali dalam Euclidean : <u,v> = 3u1v1 + 2u2v2 memenuhi keempat sifat hasil kali dalam.
  • 6. Jawaban :  Sifat 1  <u,v> = 3u1v1 + 2u2v2 = 3v1u1 + 2v2u2 = <u,v>  Sifat 2 <u+v,w> = <u,w> + <v,w>, jika w = < w1,w2 >, maka :  <u+v,w> = 3(u1+v1)w1 + 2(u2+v2)w2  = (3u1w1+3v1w1) + (2u2w2+2v2w2)  = (3u1w1+2u2w2) + (3v1w1+2v2w2)  = <u,w> + <v,w>
  • 7. Jawaban  Sifat 3 : <ku,v> = k <u,v>  <ku,v> = 3(ku1)v1 + 2(ku2)v2  = k (3u1v1+ 2u2v2)  = k <u,v>  Sifat 4 : <v,v> 0  <v,v> = (3v1v1+ 2v2v2) = 3v1 2 + 2v2 2  Jelas < v,v > = 3v1 2 + 2v2 2 0  Jadi terbukti bahwa <u,v> = 3u1v1 + 2u2v2 memenuhi ke 4 sifat hasil kali dalam
  • 8. Himpunan Orthogonal dan himpunan Orthonormal  Orthogonal  Dua vektor u dan v dalam suatu ruang hasil kali dalam < u,v > = 0  Definisi 1 : suatu himpunan vektor dalam suatu ruang hasil kali dalam di sebut suatu himpunan ortogonal jika semua pasangan vektor yang berbeda dalam himpunan ortogonal tersebut.
  • 9. Contoh :  Diketahui : u=(0,1,0), v =(1,0,1),w =(1,0,-1) tentukan apakah himpunan S = {u,v,w} merupakan himpunan orthogonal !
  • 10.  Definisi 2: Suatu himpunan orthogonal dimana masing-masing anggotanya mempunyai norma = 1, di sebut ortonormal.  Example :  Diketahui : u=(0,1,0), v =(1,0,1),w =(1,0,-1) tentukan apakah himpunan S = {u,v,w} merupakan himpunan ortonormal !  Langkah :  A. selidiki apakah S = {u,v,w} merupakan himpunan ortogonal  B. selidiki norma tiap vektor yang ada, apakah = 1
  • 11. Soal  u = v = dan w =  Tentukan apakah himpunan S = {u,v,w} merupakan himpunan ortonormal !
  • 12. Teorema  Jika S={v1, v2, v3,…. vn} adalah suatu basis ortonormal untuk suatu ruang hasil kali dalam V, dan u adalah sebarang vektor dalam V, maka akan membentuk suatu kombinasi linear sbb :  u = <u, v1 >v1 + <u, v2 >v2 + ….+ <u, vn >vn
  • 13. Contoh :  Jika S={v1, v2, v3}, dimana v1= (0,1,0), v2 = (-4/5,0,3/5), v3 = (3/5,0,4/5) merupakan himpunan orthonormal (buktikan) Nyatakan vektor u = (1,1,1) sebagai suatu kombinasi linear dari vektor dalam S.
  • 14. Proses Gram Schmidt - PGS  Suatu himpunan yang bukan ortonormal, dapat diubah menjadi himpunan ortonormal dengan menggunakan Proses Gram Schmidt  Langkah PGS :  Langkah 1 : v1 =  Langkah 2 : v2 =  Langkah 3 : v3 =  Dst….
  • 15. Soal  Diketahui : himpunan vektor S={u1, u2, u3} dimana u1= (1,-1,1) u2= (1,0,1) u3= (1,1,2).  Tentukan :  Apakah merupakan himpunan orthonormal?  Jika tidak, gunakan PGS untuk mengubah menjadi himpunan orthonormal.