1. ACTIVIDADES DE REFUERZO
16 Estudio y representacio´n de funciones
1. Considera la funcio´n f(x) ϭ Ϫx2
Ϫ 3x ϩ 10.
a) Calcula su dominio. d) Indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
b) Halla los puntos de corte con los ejes coordenados. e) Estudia la curvatura.
c) Determina sus extremos. f) Dibuja su gra´fica.
2. A la vista de la siguiente gra´fica, determina:
Y
O 1
1
f(x)
X
a) El dominio de la funcio´n.
b) Las ası´ntotas.
c) Los intervalos de monotonı´a.
d) Los extremos.
e) La curvatura.
f) Los puntos de inflexio´n.
3. La siguiente gra´fica representa la funcio´n derivada de una funcio´n f:
Y
O 1
f'(x)
1
X
a) ¿Cua´l es el dominio de f?
b) ¿Puede tener f ası´ntotas verticales?
c) ¿Do´nde crece y do´nde decrece f?
d) ¿Cua´les son los ma´ximos y los mı´nimos de f?
4. Representa la funcio´n f(x) ϭ x Ϫ x3
.
5. Representa la funcio´n f(x) ϭ .
2
x ϩ 1
2
x Ϫ 4
6. Representa la funcio´n f(x) ϭ .
2
2x
x ϩ 1
Algoritmo Matema´ticas aplicadas a las CC.SS. I – 1.o
Bachillerato Actividades de refuerzo

2. SOLUCIONES
1. a) D (f) ϭ ‫ޒ‬
b) (Ϫ5, 0), (2, 0) y (0, 10)
c) fЈ(x) ϭ Ϫ2x Ϫ 3
fЈ(x) ϭ 0 K x ϭ Ϫ
3
2
fЉ(x) ϭ Ϫ2 Ͻ 0 ma´ximo.
3 49
Ϫ ,΂ ΃2 4
d) fЈ(x) ϭ Ϫ2
3
x ϩ΂ ΃2
f creciente en y decreciente en
3 3
Ϫϱ, Ϫ Ϫ , ϩϱ΂ ΃ ΂ ΃2 2
e) f es siempre co´ncava ya que fЉ(x) ϭ Ϫ2 Ͻ 0.
Y
O 2
f(x)
2
X
f)
2. a) D (f) ϭ ‫ޒ‬ Ϫ {Ϫ1, 1}
b) Las rectas x ϭ Ϫ1 y x ϭ 1 son las ası´ntotas
verticales. La recta y ϭ 0 es la ası´ntota hori-
zontal. La funcio´n no tiene ası´ntotas oblicuas.
c) f es creciente en (Ϫϱ, Ϫ1) y en (Ϫ1, 0), y es
decreciente en (0, 1) y en (1, ϩϱ).
d) Tiene un ma´ximo en (0, Ϫ1). No tiene mı´nimos.
e) f es convexa en (Ϫϱ, Ϫ1) y en (1, ϱ), y es co´n-
cava en (Ϫ1, 1).
f) No tiene puntos de inflexio´n.
3. a) D (f) ϭ ‫,ޒ‬ pues su funcio´n derivada existe siem-
pre, luego f existe y es derivable en todo ‫.ޒ‬
b) No, por ser derivable en ‫,ޒ‬ es continua en ‫.ޒ‬
c) Creciente en (Ϫϱ, 1), pues fЈ Ͼ 0, y decreciente
en (1, ϩϱ), pues fЈ Ͻ 0.
d) No tiene extremos. El posible extremo serı´a el
punto (1, 0), pues fЈ(1) ϭ 0, pero se trata de un
punto de inflexio´n ya que fЉ(1) ϭ 0 (la tangente
a fЈ en el punto de abscisa x ϭ 1 es horizontal)
y la funcio´n cambia de curvatura (a su izquierda
fЉ Ͻ 0 por ser fЈ decreciente y a su derecha
fЉ Ͼ 0 por ser fЈ creciente).
4. D (f) ϭ ‫;ޒ‬ fЈ(x) ϭ 1 Ϫ 3x2
ϭ Ϫ3
1 1
x Ϫ x ϩ΂ ΃΂ ΃3 3͙ ͙
fЈ(x) ϭ 0 K x ϭ Ϯ
1
3͙
fЉ(x) ϭ Ϫ6x; fЉ Ͻ 0 es ma´ximo.
1 1 2
,΂ ΃ ΂ ΃3 3 3 3͙ ͙ ͙
fЉ Ͼ 0 es mı´nimo.
1 1 2
Ϫ Ϫ , Ϫ΂ ΃ ΂ ΃3 3 3 3͙ ͙ ͙
f es decreciente en y y es
1 1
Ϫϱ, Ϫ , ϩϱ΂ ΃ ΂ ΃3 3͙ ͙
creciente en .
1 1
Ϫ ,΂ ΃3 3͙ ͙
Y
O 1
1
X
f(x) = x – x3
fЉ(x) ϭ 0 K x ϭ 0
f es convexa en (Ϫϱ, 0);
f es co´ncava en (0, ϩϱ).
El punto (0, 0) es de inflexio´n.
Y
O 2
2
X
f(x)5. D (f) ϭ ‫ޒ‬ Ϫ {Ϫ2, 2}
fЈ(x) ϭ Ϫ
10x
2 2
(x Ϫ 4)
fЉ(x) ϭ
2
30x ϩ 40
2 3
(x Ϫ 4)
fЈ(x) ϭ 0 K x ϭ 0
f es creciente en (Ϫϱ, Ϫ2) y (2, 0), y es decreciente
en (0, 2) y (2, ϩϱ); fЉ(0) Ͻ 0 0, es un
Ϫ1
΂ ΃4ma´ximo.
fЉ(x) ϭ 0 K 30x2
ϩ 40 ϭ 0, lo que es imposible.
No hay puntos de inflexio´n.
Si x Ͻ Ϫ2, fЉ(x) Ͼ 0 f es convexa en (Ϫϱ, Ϫ2).
Si Ϫ2 Ͻ x Ͻ 2, fЉ(x) Ͻ 0 f es co´ncava en (Ϫ2, 2).
Si x Ͼ 2, fЉ(x) Ͼ 0, f es convexa en (2, ϩϱ).
Las rectas x ϭ Ϫ2 y x ϭ 2 son ası´ntotas verticales.
Como f(x) ϭ 1, y ϭ 1 es ası´ntota horizontal.lim
xAϮϱ
Y
O 2
2
X
f(x)6. D (x) ϭ ‫ޒ‬ Ϫ {Ϫ1}
fЈ(x) ϭ
2x(x ϩ 2)
2
(x ϩ 1)
fЉ(x) ϭ
4
3
(x ϩ 1)
fЈ(x) ϭ 0 K x ϭ 0, x ϭ Ϫ2
fЉ(Ϫ2) Ͻ 0 (Ϫ2, Ϫ8) es un ma´ximo.
fЉ(0) Ͼ 0 (0, 0) es un mı´nimo.
f es creciente en (Ϫϱ, Ϫ2) y (0, ϩϱ), y es decre-
ciente en (Ϫ2, Ϫ1) y en (Ϫ1, 0).
fЉ(x) ϭ 0 K 4 ϭ 0, lo que es imposible. No hay
puntos de inflexio´n.
Si x Ͻ Ϫ1, fЉ(x) Ͻ 0 f es co´ncava en (Ϫϱ, Ϫ1).
Si x Ͼ Ϫ1, fЉ(x) Ͼ 0, f es convexa en (Ϫ1, ϩϱ).
La recta x ϭ Ϫ1 es ası´ntota vertical.
No hay ası´ntotas horizontales.
La recta y ϭ 2x Ϫ 2 es ası´ntota oblicua.
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