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Método dos mínimos quadrados

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  • 1. Cálculo NuméricoAproximação de funçõesMétodo dos mínimos quadradosKleber JacintoEng Eletricista – Mestre em Ciência da computação08/05/131
  • 2. Método dos mínimos quadrados08/05/132Caso discreto ou Aproximação LinearOnde qtd é o número de valores da amostra, F(x) a função“desconhecida”, e a função de aproximação será
  • 3. Método dos mínimos quadrados08/05/133Caso discreto ou Aproximação LinearExemplo 1: Num experimento foram feitas 5 amostras com osrespectivos valores. Qual a função linear que melhorrepresenta os dados?x 0 1 2 3 4F(x) 0.98 -3,01 -6,99 -11,01 -15
  • 4. Método dos mínimos quadrados08/05/134Caso discreto ou Aproximação LinearExemplo 1 – Resolução:Qtd é igual a cinco pois temos cinco amostras. Devemosobter os valores dos somatórios.
  • 5. Método dos mínimos quadrados08/05/135Caso discreto ou Aproximação LinearExemplo 1 – Resolução:xi F(xi) xi2F(xi). xi0 0,98 0 0,001 -3,01 1 -3,012 -6,99 4 -13,983 -11,01 9 -33,034 -15,00 16 -60,00Σ 10 35,03 30 -110,02
  • 6. Método dos mínimos quadrados08/05/136Caso discreto ou Aproximação LinearExemplo 1 – Resolução:Solucionando o sistema:a1=-3,9960 e a2=0,9860Então:g(x) = -3,9960.x + 0,9860Se desejássemos prever o valor da décima amostra,teríamos:g(10) = -3,9960.10+0,0960 = -39,864
  • 7. Método dos mínimos quadrados08/05/137Aproximação por polinômio de 2º GrauOnde qtd é o número de valores da amostra, F(x) a função“desconhecida”, e a função de aproximação será
  • 8. Método dos mínimos quadrados08/05/138Caso discreto ou Aproximação LinearExemplo 2: Num experimento foram feitas 6 amostras com osrespectivos valores. Qual o polinômio de segundo grau quemelhor representa os dados?x -2 -1 0 1 2 3F(x) 19,01 3,99 -1,00 4,01 18,99 45,00
  • 9. Método dos mínimos quadrados08/05/139Caso discreto ou Aproximação LinearExemplo 2 – Resolução:Qtd é igual a 6 pois temos seis amostras. Devemos obter osvalores dos somatórios.
  • 10. Método dos mínimos quadrados08/05/1310Caso discreto ou Aproximação LinearExemplo 1 – Resolução:xi xi2xi3xi4F(xi) F(xi).xi F(xi).xi2-2 4 -8 16 19,01 -38,02 76,04-1 1 -1 1 3,99 -3,99 3,990 0 0 0 -1,00 0,00 0,001 1 1 1 4,01 4,01 4,012 4 8 16 18,99 37,98 75,963 9 27 81 45,00 135,00 405,00Σ 3 19 27 115 90,00 134,98 565,00
  • 11. Método dos mínimos quadrados08/05/1311Caso discreto ou Aproximação LinearExemplo 2 – Resolução:Solucionando o sistema:a1 = 5,0893 , a2 = 0,0515 e a3 = -1,1403Então:g(x) = 5,0893.x2+ 0,0515.x -1,1403
  • 12. Exemplos adaptados do livroCálculo Numérico: Aprendizagem Com Apoiode SoftwareSelma ArenalesArtur Darezzo08/05/13 12

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