2. DIBUJO TÉCNICO II
Sistema Diédrico III.
Abatimientos. Sobre los planos de proyección: PH y PV.
Desabatmiento de puntos paso a paso.
Sobre planos paralelos a los de proyección.
Figuras planas y VM. Desabatimientos por afinidad.
La circunferencia.
Ejercicios resueltos. Casos particulares.
Cambios de plano.
Sólidos y poliédros.
Tetraedro. Héxaedro. Octaedro. Secciones principales y representaciones básicas.
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3. DIBUJO TÉCNICO II
Sistema Diédrico III.
Abatimientos Abatimiento de una recta sobre el PH.
PASO 0. Realizamos la operación anterior con dos puntos por ejemplo, el A y B, de la misma
recta r.
Abatimientos, sobre los planos de PASO 1. Uniendo Ao y Bo tendré la recta ro.
proyección: PH y PV.
FIJAROS. La recta r que contiene a A y B, es una horizontal del plano, y por tanto h’ es paralela a
a1. La recta abatida es una horizontal del plano abatida y conserva su paralelismo con a1. (Fig.3)
Abatir un plano sobre otro significa girarlo hasta hacerlos Abatimiento del plano a sobre el PH.
coincidir, de manera que tengamos el plano en VM. Los
PASO 0. Solamente debemos abatir la traza V de la recta, un punto que pertenece a la traza del
abatimientos son la forma mas utilizada de obtener figuras plano. Como V pertenece a r, Vo pertenecerá a ro. Si no tuviesemos ro. abatiríamos V por el proce-
planas en VM. (Fig.1) En la figura del lateral izquierdo vemos dimiento general.
el artificio del abatimiento, tumbamos el plano a sobre otro, PASO 1. Uniendo Vo y el punto de la LT donde se cortan a1 y a2, que pertenece al plano y a su
abatimiento, tendré el plano a2o. (Fig.3)
en este caso el PH, a1, es usado como eje de giro o charnela y
sus puntos coinciden con ellos mismos abatidos.
Abatimiento de un punto sobre el PH.
PASO 0. Es importente saber que
usaremos a1, como bisagra para
tumbar el plano a, luego a1, será
nuestra charnela para abatir sobre
el PH.
PASO 1. Por la proyección A’, se
dibuja una línea perpedicular a la
traza a1 ,cortandola en el punto G.
PASO 2. Nuevamente por la
proyección A’, se dibuja una línea
paralela a la traza a1. Esta línea
coincide con la proyección r’, ya
que es la horizontal que contiene
a A.
PASO 3 . Sobre la paralela
anterior, se lleva la cota del
punto A, obteniendo 1.
PASO 5. Con centro en el punto G
y radio G 1, se dibuja un arco que
corta a la perpendicular
del paso 1º, en el abatimiento
buscado Ao. (Fig.2)
(Fig.2)
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4. DIBUJO TÉCNICO II
Sistema Diédrico III.
Desabatimiento de puntos. Existen varias formas de desabatir elementos para hallar las proyecciones
diédricas de las formas abatidas: desabatiendo puntos y afinidad.
(cuando hemos abatido sobre el PH).
Desabatiendo los puntos mediante horizontales
Ya hemos dicho que los abatimientos me sirven para obtener figuras en VM del plano, (cuando hemos abatido sobre el PH).
y trabajar con el plano abatido como si furse geometría plana. Una vez que
lo tengo resuelto en el plano abatido debo de hallar las proyecciones diédri-
cas de mis figuras planas, debemos desabatir la solución.
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5. DIBUJO TÉCNICO II
Sistema Diédrico III.
Abatimientos Abatimiento de una recta sobre el PV.
PASO 0. Realizamos la operación anterior con dos puntos por ejemplo, el A y B, de la misma
recta r.
Abatimientos sobre el PV. PASO 1. Uniendo Ao y Bo tendré la recta ro.
FIJAROS. La recta r que contiene a A y B, es una frontal del plano, y por tanto f’’ es paralela a a2
La recta abatida es una frontal del plano abatida y conserva su paralelismo con a2 . (Fig.3)
El artificio del abatimiento es el mismo que en los casos anteriores sobre el
plano PH, solamente que ahora usamos de charnela o eje de giro a2, con Abatimiento del plano a sobre el PV.
lo que todos los puntos de a2, son puntos del PV y coinciden con
PASO 0. Solamente debemos abatir la traza H de la recta, un punto que pertenece a la traza del
ellos mismos abatidos. Ahora abatiremos a1. plano. Como H pertenece a r, Ho pertenecerá a ro. Si no tuviesemos ro abatiríamos H por el
procedimiento general.
PASO 1. Uniendo Ho y el punto de la LT donde se cortan a1 y a2 , que pertenece al plano y a su
abatimiento, tendré el plano ao. (Fig.3)
Abatimiento de un punto sobre el PV.
PASO 0. Es importente
saber que usaremos a2, como
bisagra para tumbar el plano
a, luego a2, será nuestra
charnela para abatir sobre
el PV.
PASO 1. Por la proyección
A’’, se dibuja una línea
perpedicular a la traza a2
,cortandola en el punto G.
PASO 2. Nuevamente por
la proyección A’’, se dibuja
una línea paralela a la traza
a2. Esta línea coincide con
la proyección r’’, ya que es la
frontal que contiene a A.
PASO 3 . Sobre la paralela
anterior, se lleva el aleja-
miento del
punto A, obteniendo 1.
PASO 5. Con centro en
el punto G y radio G 1, se
dibuja un arco que corta a la
perpendicular
del paso 1º, en el abatimiento
buscado Ao. (Fig.2)
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6. DIBUJO TÉCNICO II
Sistema Diédrico III.
Abatimientos, sobre planos paralelos Abatimiento sobre un plano paralelo al PV.
a los planos de proyección.
Para abatir los elementos de un plano sobre otro paralelo al PV, se opera de
la misma manera que abatiendo sobre el PV pero usando una frontal del pla-
Abatimiento sobre un plano paralelo no. El abatimiento conservará la caracteristica de VM, solamente que ahora
al PH. f’ se convertirá en la nueva LT y f’’ se convertirá en la nueva a2.
Para abatir los elementos de un plano sobre otro paralelo al PASO 0. Imaginemos que no tenemos a2, o que podemos resolver simplemente sin hallar las
trazas del plano.
PH, se opera de la misma manera pero usando una horizontal PASO 1. Usaremos una frontal del plano para abatir. de manera que f’ opera ahora como la nueva
del plano. El abatimiento conservará la caracteristica de VM, LT y f’’ como la traza de a2. Como A’ está en la NLT, tendrá de alejamiento 0,
solamente que ahora h’’ se convertirá en la nueva LT y h’ se luego A’’=Ao.
convertirá en la nueva a 1. (Fig. 1) Este procedimiento es PASO 2. Para abatir B realizamos el mismo procedimiento que para abatir un punto respecto del
PV pero ahora tomando f’ como nueva LT y f’’ como nuevo a2.
útil cuando no tenemos las trazas del plano o no nos cabe el PASO 3. Para abatir la recta que r, (AB) solamente debemos unir A0 y Bo.
abatimiento o simplemente para ahorrar tiempo. Ao y Bo esta por estár abatido en VM.
Abatimiento de un punto sobre un plano
paralelo al PH.
PASO 0. Imaginemos que no
tenemos a1, o que podemos
resolver simplemente sin
hallar las trazas del plano.
PASO 1. Usaremos una ho-
rizontal del plano para abatir.
de manera que h’’ opera ahora
como la nueva LT y h’ como la
traza de a1. Como A’’ está en
la NLT, tendrá de cota 0,
luego A’=Ao.
PASO 2. Para abatir B reali-
zamos el mismo procedimien-
to que para abatir un punto
pero ahora tomando h’’ como
nueva LT y h’ como nuevo a1.
PASO 3. Para abatir la recta
que r, (AB) solamente debe-
mos unir A0 y Bo.
Ao y Bo esta por estár abatido
en VM.
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7. DIBUJO TÉCNICO II
Sistema Diédrico III.
Figuras planas y verdaderas Desabatimiento de una figura plana mediante
magnitudes. VM. afinidad, o desabatimiento de rectas cualquiera.
PASO 0. Partimos de la figura abatida, por lo tanto tenemos solamente 1o, 2o, 3o, 4o.
PASO 1. Abatimos mediante horizontales solamente un punto por ejemplo el 2o, obteniendo
El abatimiento nos permite trabajar con el plano como si fuese geometría el punto en proyección diédrica 2’, y 2’’, mediante la horizontal del plano que hemos llamado t.
plana. Una vez halladas las figuras en VM en el plano abatido debemos Desabatimos Vto, (ya sabemos desabatir por horizontales caso anterior).
desabatir los puntos para hallar las proyecciones diédricas. PASO 2. Una vez que tenemos un punto 2o, y 2’, hacemos rectas cualquiera, por ejemplo la que
pasa por 2o y 3o, pasa a su vez por un punto que es doble por estar en a1. A esta recta la llama-
mos so, que pasa por 3o,2o y Ao, la recta desabatida s’ pasará por A’, 2’ y por tanto por 3’.
Desabatimiento de una figura plana mediante Además 3’ está unido a su abatido 3o por una recta perpendicular a la
horizontales. charnela o a1.
PASO 3. Una vez que tenemos un punto 3’, el 3’’ lo hallamos por pertenencia de un punto a un
PASO 0. Las horizontales del plano una vez abatidas conservan su característica de paralelismo plano, metiendolo en una recta cualquiera del plano, (horizontales por ejemplo).
con a1, si hemos abatido sobre el PH. PASO 4. Repetimos el proceso con todos los puntos que queramos.
PASO 1. Por tanto introducimos a nuestros puntos abatidos 1o, 2o, 3o, 4o en rectas horizontales
abatidas, por tanto paralelas a a1.
PASO 2. Donde estas rectas horozontales abatidas, llamadas so, ro, to, cortan a a2o, tenemos
sus trazas verticales abatidas, Vso, Vro, Vto, podemos desabatir estos puntos y hallar nuestras
rectas horizontales del plano a, en proyección diédrica, s, r y t.
PASO 3. Las proyecciones diédricas 1’, 2’, 3’ y 4’, estan en una línea recta y perpendicular con
sus homólogos abatidos, 1o, 2o, 3o, y 4o.
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8. DIBUJO TÉCNICO II
Sistema Diédrico III.
Figuras planas y VM. Casos especiales
verticales las hallamos por pertenencia de un punto a un plano, horizontales por ejemplo.
PASO 4. Obtenemos por horizontales o afinidad puntos hasta que la elipse quede definida.
PASO 5. Fijarse que los ejes mayor y menor de la circunferencia en proyección horizontal dan
ejes conjugados en proyección vertical, no son perpendiculares.
La circunferencia. PASO 6. Si queremos los ejes mayor y menor perpendiculares que son los que conocemos de la
elipse, debemos desabatir el diametro de la frontal que pasa por O, fo, y su diámetro perpendi-
cular, po, que es la recta de máxima inclinación, cuya traza Vpo es el punto de tangencia de la
Uno de los casos especiales es el de la circunferencia. Es sencillo abatir el circunferencia con el PV, obteniendo ahora en proyección vertical los ejes mayor y menor.
plano, sin embargo la circunferencia que ya no es una figura poligonal sencilla,
no tiene vértices y debemos desabatirla por puntos singulares, como los diáme-
tros, los puntos de tangencia, etc... en este sentido es muy funcional desabatir
mediante afinidad.
Si abatimos el sosbre el PH, vemos que los diámetros 3o4o y 1o2o, desabatidos
en proyección diédrica horizontal nos dán los ejes mayor 3’4’, y menor 1’2’, de
una elipse, y mediante afinidad (línea roja), vamos buscando puntos cualquiera
como el Y hasta definirla.
Sin embargo cuando tratamos de hallar la proyección vertical de la circunferen-
cia nos encontramos que los ejes mayor 3’’4’’, y menor 1’’2’’, de la elipse en
proyección vertical son áhora diámetros conjugados de la misma.
Si abatiesemos sobre el PV obtendríamos los ejes mayor y menor. También
puedo obtenerlos desabatiendo la frontal fo, f’, f’’ que pasa por O, y el diámetro
perpendicular, que es la recta de máxima inclinación de a.
Para obtener las proyecciones diédricas verticales aplicamos el concepto de
pertenencia de un punto a un plano y obtenemos mas puntos de la elipse hasta
que quede definida mediante horizontales o frontales del plano, como hemos
obtenido el punto Y.
Proyecciones diédricas de una circunferencia.
Obtener las proyecciones diédricas de una circunferencia:
- tangente a los planos de proyección PH y PV,
- de radio determinado
- contenida en el plano dado a.
PASO 0. Resolvemos el problema de tangencia en al plano abatido: Circunferencia tangente a
dos rectas de radio dado. (Repasar apuntes de tangencias)
PASO 1. Desabatimos los diámetros, el 4o3o que está en la horizontal del plano ro, para obte-
ner el eje mayor de la elipse.
PASO 2. Desabatiremos el diámetro perpendicular a 4o3o, el 1o2o, que nos dará el eje menor.
PASO 3. Una vez que tenemos las proyecciones horizontales de los ejes, las proyecciones
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9. DIBUJO TÉCNICO II
Sistema Diédrico III.
Como abatir casos especiales.
Planos paralelos a la LT.
Uno de los casos especiales es el abatimiento de planos paralelos a la
LT y el caso de planos que pasan por la LT.
En el PP vemos la VM del plano, en el caso de la figura adjunta
la VM del plano que contiene la circunferencia en 1’’’3’’’, y es
esa magnitud la que tumbamos sobre el PH en este caso.
Proyecciones diédricas de una circunferencia en
un plano paralelo a la LT.
Obtener las proyecciones diédricas de una circunferencia:
- tangente a los planos de proyección PH y PV,
- contenida en el plano dado a.
PASO 0. Abatimos el plano y la circunferencia en VM será tangente a dos rectas
a1, y a2o.
PASO 1. En este caso al desabatir los diametros de la circunferencia 5o1o, y 3o7o,
nos dán en ambas proyecciones diédricas, la horizontal y la vertical, los ejes princi-
pales de la elipse, el eje mayor 51, y el eje menor 73, siendo 3 y 7 los puntos donde
la circunferencia está apoyada y tangente a los PH y PV, respectivamente.
PASO 2. Para desabatir la circunferencia desabatimos puntos que están en rectas
paralelas al PV y PH, y por tanto en VM, de ahí obtenemos 42, y 68. Para ello debe-
mos llevarlos antes al perfil para conocer sus cotas y alejamientos.
PASO 3. Podriámos también aplicar afinidad, por ejemplo en la recta que pasa por
6, O y 2, y despues en la que pasa por 8, O y 4.
Los planos que contienen a la LT tienen también la VM en el PP. y se opera
igual que esn los paralelos a la LT.
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10. DIBUJO TÉCNICO II
Sistema Diédrico III.
PASO 4. Si trazamos desde Ao, Bo y Co perpendiculares a a1o, obtenemos los alejemientos de
Planos proyectantes. los puntos, A’, B’ y C’, y como A’’, B’’ y C’’ se unen a sus proyecciones A’, B’ y C’ en una línea
perpendicular a la LT, ya tenemos las proyecciones diédricas.
Uno de los casos especiales es el abatimiento de los planos proyectantes. Los La digicultad de este tipo de prblemas radica en conocel las caracteristicas de los proyec-
proyectantes tanto verticales como horizontales al abatirse, la traza que hace de tantes y en la solución de los problemas en el plano abatido, ya que debemos dominar las
charnela y la otra abatida forman 90 º, ya que son perpendiculares a los planos construciones de la geometría plana.
de proyección. Podemos observar como se abaten sobre el PH. (Fig.1)
(Fig.1)
Los proyectantes verticales poseen la característica de que todos los ele-
mentos contenidos en el plano se proyectan verticalmente coincidentes con
su traza vertical a2, como en el caso de la figura adjunta. Los proyectantes
horizontales poseen la característica de que todos los elementos conte-
nidos en el plano se proyectan horizontalmente coincidentes con su traza
horizontal a1, como en el caso de la figura adjunta. Estas características
son importantes al buscar las figuras contenidas en este tipo de planos.
Proyecciones diédricas de un triángulo equilátero
contenido en un proyectante vertical.
PASO 0. Vamos a aprovechar para abatir sobre el PV, aunque podriamos hacerlo sobre el PH.
PASO 1. La traza de a1o, forma 90º con la charnela a2, por ser proyectante.
PASO 2. En el ao, se dibuja el triángulo buscado.
PASO 3. Por ser proyectante vertical, todos los puntos del triángulo ABC, se proyectarán
verticalmente A’’, B’’ y C’’ coincidentes en a2, y como los Ao, Bo y Co se unen a sus proyec-
ciones en una línea perpendicular a la charnela a2, son directos.
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11. DIBUJO TÉCNICO II
Sistema Diédrico III.
Cambios de plano.
Abatimientos, sobre los planos de proyección:
PH y PV.
Abatir un plano sobre otro significa girarlo hasta hacerlos coincidir, de
manera que tengamos el plano en VM. Los abatimientos son la forma mas
utilizada de obtener figuras planas en VM. (Fig.1) En la figura del lateral iz-
quierdo vemos el artificio del abatimiento, tumbamos el plano a sobre otro,
en este caso el PH, a1, es usado como eje de giro o charnela y sus puntos
coinciden con ellos mismos abatidos.
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12. DIBUJO TÉCNICO II
Sistema Diédrico III.
Poliédros.
Superficie poliçedrica es la que está formada por caras planas, si estas caras
son iguales la superficie es poliédrica regular. Los poliedros regulares son
cinco de los cuales vermos solamente tres, y situados en posiciones singula-
res básicas: el tetraedro, hexaedro y octaedro.
Tetraedro, sección principal
El tetraedro es el poliedro regular formado por 4 triángulos equiláteros. (Fig. 1)
En la figura de la derecha, podeis ver su sección principal y sus relacciones
gemetricas básicas, necesarias para su representación. (Fig. 1) 2 Representación de un tetraedro apoyado en el PV.
PASO 0. Representamos la base del tetraedro, triángulo equilátero BCD, en proyección
Representación de un tetraedro apoyado en el PH. vertical, B’’C’’D’’. Las proyecciones horizontales están an la LT, ya que son puntos del PV.
1 PASO 1. Hallamos A’’, en centro del triángulo.
PASO 0. Representamos la base del tetraedro, triángulo equilátero BCD, en proyección hori- PASO 2. Hallamos la altura del tetraedro ht, basandonos en la sección principal, y con ello A’.
zontal, B’C’D’. Las proyecciones verticales están an la LT, ya que son puntos del PH. En el caso del tetraedro apoyado en un plano paralelo al PV, por ejemplo el p1. Es igual
PASO 1. Hallamos A’, en centro del triángulo. que el caso general pero tomando p1 como LT.
PASO 2. Hallamos la altura del tetraedro ht, basandonos en la sección principal, y con ello A’’.
En el caso del tetraedro
apoyado en un plano
paralelo al PH, por
ejemplo el p2. Es igual
que el caso general
pero tomando p2 como
LT.
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13. DIBUJO TÉCNICO II
Sistema Diédrico III.
Hexaedro, sección principal
El hexaedro es el poliedro regular formado por 6 cuadrados.
En la figura de la derecha, podeis ver su sección principal y sus relacciones
gemetricas básicas, necesarias para su representación. (Fig. 1)
1 Representación de un hexaedro apoyado en el PH.
PASO 0. Representamos la base del hexaedro, un cuadrado ABCD, en proyección horizontal,
A’B’C’D’. Las proyecciones verticales están an la LT, ya que son puntos del PH.
PASO 1. La cara superior del cubo es paralela a la base y sus proyecciones horizontales se
solapan, E’F’G’H’. (Fig. 1)
PASO 2. Las proyeciones verticales de la cara superior están a la altura del hexaedro o cubo que
es la arista, o el lado del cuadrado de base.
En el caso del hexaedro apoyado en un plano paralelo al PH, por ejemplo el p2. Es igual que el
caso general pero tomando p2 como LT.
2 Representación de un hexaedro apoyado en el PV.
PASO 0. Realizamos los mismos pasos pero en el PV. Igual que como vimos en el tetraedro.
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14. DIBUJO TÉCNICO II
Sistema Diédrico III.
Octaedro, sección principal
El octaedro es el poliedro regular formado por 8 triángulos equiláteros.
En la figura de la derecha, podeis ver su sección principal y sus relacciones
gemetricas básicas, necesarias para su representación. (Fig. 1)
1 Representación de un octaedro apoyado en el PH.
PASO 0. Representamos la base del octaedro, un triángulo equilátero ABCD, en proyección
horizontal, A’B’C’D’. Las proyecciones verticales están an la LT, ya que son puntos del PH.
PASO 1. La cara superior del cubo es paralela a la base y sus proyecciones horizontales se
solapan, E’F’G’H’.
PASO 2. Las proyeciones verticales de la cara superior están a la altura del hexaedro o cubo que (Fig. 1)
es la arista, o el lado del cuadrado de base.
En el caso del octaedro apoyado en un plano paralelo al PH, por ejemplo el p2. Es igual que el
caso general pero tomando p2 como LT.
2 Representación de un octaedro apoyado en el PV.
PASO 0. Realizamos los mismos pasos pero en el PV. Igual que como vimos en el tetraedro y
el hexaedro.
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15. DIBUJO TÉCNICO II
Sistema Diédrico III.
Poliédros apoyados sobre planos oblicuos.
Representación de un tetraedro.
Representación de un hexaedro.
Representación de un octaedro.
PASO 0. Representamos la base del octaedro, un triángulo equilátero ABCD, en proyección
horizontal, A’B’C’D’. Las proyecciones verticales están an la LT, ya que son puntos del PH.
PASO 1. La cara superior del cubo es paralela a la base y sus proyecciones horizontales se
solapan, E’F’G’H’.
PASO 2. Las proyeciones verticales de la cara superior están a la altura del hexaedro o cubo que
es la arista, o el lado del cuadrado de base.
En el caso del octaedro apoyado en un plano paralelo al PH, por ejemplo el p2. Es igual que el
caso general pero tomando p2 como LT.
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