Taphop diem thgap tren mp phuc
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Taphop diem thgap tren mp phuc

on

  • 300 views

 

Statistics

Views

Total Views
300
Views on SlideShare
300
Embed Views
0

Actions

Likes
0
Downloads
6
Comments
0

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Microsoft Word

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

Taphop diem thgap tren mp phuc Taphop diem thgap tren mp phuc Document Transcript

  • Các tập hợp điểm thường gặp trong mặt phẳng phức và ứng dụng---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CÁC TẬP HỢP ĐIỂM THƯỜNG GẶP TRONG MẶT PHẲNG PHỨC VÀ ỨNG DỤNG Nguyễn Văn Thiết GV THPT Vinh Xuân, Phú Vang, TT Huế Trong chương trình Toán Giải tích lớp 12 hiện hành có chương IV về số phức. Trongsách giáo khoa có các bài tập tìm tập hợp điểm trong mặt phẳng phức. Đây là dạng bài tập khóđối với học sinh. Bài viết này nhằm giúp các em học sinh có thể nhận dạng từng loại tập hợpđiểm và từ đó dễ dàng làm quen với dạng toán này, đồng thời có thể giúp các em làm được cácbài tập nâng cao để ôn thi tốt nghiệp 12 và ôn thi vào đại học. Trong bài này, để cho gọn, thay vì nói “ điểm M biểu diễn số phức z ” ta nói “ điểm Mcó tọa vị z ” và ký hiệu là M ( z ) , tương tự thay vì nói “ véctơ ur biểu diễn số phức w ” ta nói r“ véctơ r u có tọa vị w ” và ký hiệu là u ( w) .I- CÁC TẬP HỢP ĐIỂM THƯỜNG GẶP. 1) Tập hợp điểm là đường tròn hoặc hình tròn: Trong mặt phẳng phức cho điểm A có tọa vị a và số thực dương R. a) Tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn z −a = R là đường tròn tâm A, bán kính R. b) Tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn z −a < R là hình tròn tâm A, bán kính R ( không kể đường tròn biên ). c) Tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn z −a > R là phần của mặt phẳng nằm bên ngoài hình tròn tâm A, bán kính R ( không kể đường tròn biên ).Chứng minh: uuuu r Giả sử M là điểm bất kỳ có tọa vị z. Khi đó tọa vị của véctơ AM là , suy ra z −a uuuu r AM = AM = z − a . a) Ta có z −a = R ⇔AM =R ⇔ M thuộc đường tròn tâm A bán kính R. b) Ta có z − a < R M thuộc hình tròn tâm A, bán kính R ( không kể ⇔AM <R ⇔đường tròn biên ). c) Từ đó suy ra tập hợp điểm M có tọa vị z thỏa mãn z −a > R là phần của mặt phẳngnằm bên ngoài hình tròn tâm A, bán kính R ( không kể đường tròn biên ).Ví dụ 1: ( Bài tập 20 trang 214 SGK Giải tích 12 nâng cao ) Xác định tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn các số phức ( 1 + i ) 3 z +2trong đó z −1 ≤ 2 .Lời giải: w−2 Đặt ( w = 1 +i 3 z + 2 ) thì z= 1+ i 3 . w−2Do đó theo giả thiết z −1 ≤ 2 ⇔ 1+ i 3 −1 ≤ 2 ( ⇔ w − 3 +i 3 ) ≤ 2 1 +i 3 ( ⇔ w − 3 +i 3 ≤ 4 ) . Vậy tập hợp cần tìm là hình tròn có tâm ( E 3+i 3 ) , bán kính R =4kể cả đường tròn biên. Đó là hình tròn có phương trình ( x −3) +( y − ) 2 2 3 ≤16 .----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, TT Huế - ĐT 01697163373 1
  • Các tập hợp điểm thường gặp trong mặt phẳng phức và ứng dụng---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2) Tập hợp điểm là đường thẳng: Trong mặt phẳng phức cho hai điểm phân biệt A, B theo thứ tự có tọa vị a, b và k là tham số thực. z−a Nếu k ≠1 thì tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn z−b =k là đường thẳng AB, trừ điểm B.Chứng minh: z−a uuuu r Giả sử M là điểm có tọa vị z thỏa mãn z−b =k . Khi đó véctơ AM có tọa vị là z −a , uuuu rvéctơ BM có tọa vị là z −b . z−a ⇔ −a =k ( z −b ) uuuu r uuuu r uuur uuurNếu z ≠b và k ≠1 thì z−b =k z ⇔AM =k BM ⇔MA =k MB ⇔ Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỷ số k ≠1 ⇔ M thuộc đường thẳng AB, trừ điểm B( vì z ≠ b ). 3) Tập hợp điểm là đường trung trực hoặc nửa mặt phẳng: Trong mặt phẳng phức cho hai điểm phân biệt A và B lần lượt có tọa vị a và b. z−a a) Tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn =1 là đường trung trực của đoạn thẳng AB. z−b z−a b) Tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn <1 là nửa mặt phẳng chứa điểm A có bờ là z−b đường trung trực của đoạn thẳng AB ( không kể đường trung trực ). z−a c) Tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn >1 là nửa mặt phẳng không chứa điểm A có z−b bờ là đường trung trực của đoạn thẳng AB ( không kể đường trung trực ).Chứng minh: uuuu r Giả sử M là điểm bất kỳ có tọa vị z. Khi đó tọa vị của véctơ AM là z −a , tọa vị của uuuu r uuuu r uuuu rvéctơ BM là z −b , suy ra AM = AM = z −a và BM = BM = z −b . z−a a) Ta có =1 ⇔z −a = z −b ⇔AM =BM ⇔ M thuộc đường trung trực của z−bđoạn thẳng AB. z−a b) Ta có <1 ⇔z −a < z −b ⇔AM <BM (1) z−b Ta chứng minh tập hợp các điểm M thỏa mãn (1) là nửa mặt phẳng chứa điểm A có bờlà đường trung trực của đoạn thẳng AB. + Thật vậy, giả sử điểm M thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm A có bờ là đường trung trựccủa đoạn thẳng AB. Khi đó hiển nhiên đoạn thẳng MB cắt đường trung trực tại điểm N nằmgiữa M và B. Từ bất dẳng thức trong tam giác AMN ta có AM <MN +NA =MN +NB =MB( vì thuộc đường trung trực nên N ). Vậy (1) được thỏa mãn . NA =NB + Ngược lại, giả sử điểm M thỏa mãn (1). AM <BM- Nếu M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB thì ( mâu thuẩn với (1)). AM =BM- Nếu M thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm B có bờ là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Khiđó theo phần thuận ta có ( cũng mâu thuẩn với (1)). BM <AMVậy M thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm A có bờ là đường trung trực của đoạn thẳng AB. z−a c) Chứng minh tương tự cho trường hợp >1 . z−b----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, TT Huế - ĐT 01697163373 2
  • Các tập hợp điểm thường gặp trong mặt phẳng phức và ứng dụng----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 2: ( Bài tập 9 trang 190 SGK Giải tích 12 nâng cao ) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từngđiều kiện sau: z−i a) z − i =1 b) =1 c) z = z −3 +4i . z+iLời giải: a) Tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn z − i =1 là đường tròn tâm E ( i) bán kính R =1 ,tức là đường tròn có phương trình x 2 +( y −1) =1 . 2 z−i b) Tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn =1 là đường trung trực của đoạn thẳng AB, z+ivới A( i ) và B ( −i ) . Đường trung trực này đi qua trung điểm O ( 0) của đoạn thẳng AB và nhận uuu rvéctơ AB ( −2i ) làm véctơ pháp tuyến nên có phương trình là − ( y −0 ) =0 2 ⇔y =0 . c) Vì z = z nên z −3 +4i = z −3 +4i = z −3 −4i , z − 3 − 4i suy ra z = z −3 +4i ⇔z = z −3 −4i ⇔ =1 z z − 3 − 4i Tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn =1 là đường trung trực của đoạn thẳng z O ( 0) A ( 3 + 4i ) 3 OA, với và . Đường trung trực này đi qua trung điểm K  + 2i ÷ của đoạn  2  uuu rthẳng OA và nhận véctơ OA ( 3 + 4i ) làm véctơ pháp tuyến nên có phương trình là:  3 25 3  x − ÷+ 4 ( y − 2 ) = 0 ⇔ 3x + 4 y − =0 .  2 2 4) Tập hợp điểm là đường tròn đường kính AB: Trong mặt phẳng phức cho hai điểm phân biệt A, B theo thứ tự có tọa vị a, b và λ là tham số thực. z−a Nếu λ ≠0 thì tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn = λi là đường tròn đường kính AB, z −b  a+b trừ hai điểm A và B. Đường tròn này có tâm E ÷ là trung điểm của đoạn thẳng AB và  2  1 có bán kính là R= 2 a −b .Chứng minh: z−a a − λbiGiả sử M là điểm bất kỳ có tọa vị z thỏa mãn = λi , với z ≠b . Khi đó ta có z= . z −b 1 − λi a+bSuy ra z ≠a ( vì λ ≠0 ). Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng AB thì E có tọa vị là e= 2 . a − λbi a + b 2 ( a − λbi ) − ( 1 − λi ) ( a + b )Do đó tọa vị của véctơ uuuu EM r là z −e = − = 1 − λi 2 2 ( 1 − λi ) a − b − ( a − b ) λi ( a − b ) ( 1 − λi ) a−b = = = . 2 ( 1 − λi ) 2 ( 1 − λi ) 2----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, TT Huế - ĐT 01697163373 3
  • Các tập hợp điểm thường gặp trong mặt phẳng phức và ứng dụng---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1  a+b 1Suy ra z −e = a −b ⇔ M thuộc đường tròn tâm E ÷ bán kính R= a −b , trừ hai 2  2  2điểm A và B ( vì z ≠a và z ≠b ). 5) Tập hợp điểm là đường tròn Appollonius: Trong mặt phẳng phức cho hai điểm phân biệt A, B lần lượt có tọa vị a, b và k là số thực dương khác 1. z−a Tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn =k là đường tròn Appollonius chia đoạn thẳng z−b  a − k 2b  k a−b AB theo tỷ số k. Đường tròn này có tâm E 2 ÷ và bán kính R= .  1− k  1− k2Chứng minh: z−a Giả sử M là điểm bất kỳ có tọa vị z thỏa mãn =k . z−bGọi P và Q lần lượt là điểm chia ngoài và điểm chia trong đoạn thẳng AB theo tỷ số k. uuu r uuu r uuu r uuu rKhi đó ta có PA =k .PB và QA =−k .QB . a − kb a + kbSuy ra tọa vị của các điểm P, Q lần lượt là: p= 1−k , q= 1+k . 1 a − k 2bGọi E là trung điểm của đoạn thẳng PQ thì tọa vị của E là: e= ( p + q) = . 2 1−k2 uuuu r a − k 2b z − a − k 2 ( z −b)Suy ra tọa vị của véctơ EM là: z −e = z − 1− k 2 = (4) 1−k2 z−a =k z−a 2 ⇒ ( z − a) ( z − a) = k2Từ giả thiết , suy ra = k2 (5) z−b z−b ( z − b) ( z − b)Thế (5) vào (4) ta được 1  ( z − a) ( z − a ) z −b  1  ( z − a) ( z −a)  z −e = z − a − ( ) = z − a −  1−k2   ( z −b) ( z −b)   1−k2   ( z −b)   z −a  ( z − a)  z −a ( z − b) − ( z − a )  z − a ( a − b) ( a − b) . ( z − a) = 1 −  =   = . = 1− k 2  ( z − b)    1− k2   ( z −b)   1− k 2 ( z − b) 1− k 2 ( z − b) ( a − b) z−a a −b z−a a −b k. a − bSuy ra z−e = . = . = .k = 1− k 2 ( z − b) 1− k 2 z −b 1− k 2 1− k2  a − k 2b  k. a − bVậy M thuộc đường tròn tâm E 2 ÷ , bán kính R= .  1− k  1− k 2Đường tròn này gọi là đường tròn Appollonius chia đoạn thẳng AB theo tỷ số k.Chú ý: Đường tròn Appollonius chia đoạn thẳng AB cho trước theo tỷ số k cho trước là tập MAhợp các điểm M thỏa mãn MB =k , với k là số thực dương khác 1.Ví dụ 3: ( Bài tập 4.10 trang 178 SBT Giải tích 12 nâng cao ) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, TT Huế - ĐT 01697163373 4
  • Các tập hợp điểm thường gặp trong mặt phẳng phức và ứng dụng---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- z =k ( k là số thực dương cho trước ). z−iLời giải: Gọi O, A lần lượt là các điểm trong mặt phẳng phức có tọa vị là 0, i . Khi đó ta có: z+ Nếu k =1 thì tập hợp các điểm có tọa vị z thỏa mãn =1 là đường trung trực của đoạn z−i 1thẳng OA. Phương trình đường trung trực này là y− 2 =0 . z+ Nếu k ≠1 thì tập hợp các điểm có tọa vị z thỏa mãn =k là đường tròn Appollonius z−i 0 − k 2i k2chia đoạn thẳng OA theo tỷ số k ≠1 .Đường tròn này có tâm E có tọa vị là e= 1− k 2 = k2 −1 i k 0 −i kvà có bán kính R= = . Suy ra phương trình đường tròn Appollonius là 1− k2 1− k2 2  k2  k2 x2 +  y − 2 ÷ = k −1  (1− k 2 ) 2 II. ỨNG DỤNG 1.Giải hệ phương trình trong tập hợp số phức:Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau với ẩn là số phức z và λ là tham số thực khác 0.  z − 4 − 2i  z + 2 = λ i (1)    z − 2 =1 (2)  z + 2i Lời giải: + Gọi A, B theo thứ tự là các điểm trong mặtphẳng phức có tọa vị là , . Khi đó tập hợp 4 +2i −2điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn (1) là đườngtròn đường kính AB, trừ hai điểm A và B. Đường trònnày có tâm E biểu diễn số phức và bán kính 1+ i 1 R= 2 6 + 2i = 3 +i = 10 nên có phương trình là ( x −1) +( y −1) =10 (1’) 2 2 + Gọi C, D theo thứ tự là các điểm trong mặtphẳng phức biểu diễn các số phức 2, −2i . Khi đó tậphợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn (2) là đường trung trực của đoạn thẳng CD. Đường uuu rtrung trực này đi qua trung điểm H ( 1 − i ) của đoạn thẳng CD và nhận CD ( −2 −2i ) làm véctơpháp tuyến nên có phương trình là − ( x − ) −2 ( y + ) =0 2 1 1 ⇔ +y = x 0 (2’).Suy ra giao điểm của đường tròn và đường trung trực là nghiệm của hệ đã cho. Đó là các điểm ( x; y ) thỏa mãn (1’) và (2’), tức là nghiệm của hệ phương trình sau x + y = 0   y = −x   y = −x x = 2  x = −2  ⇔ ⇔ ⇔ hoặc  ( x −1) + ( y − 1) = 10 ( x −1) + ( −x −1) = 10 2 2 2 2    x = ±2  y = −2 y = 2Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là z = −i 2 2 và z = 2+i − 2 .----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, TT Huế - ĐT 01697163373 5
  • Các tập hợp điểm thường gặp trong mặt phẳng phức và ứng dụng----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau với z là ẩn số  z − 1 − 4i = 3 (3)    z + 3 + 2i  =2 (4) 3  z+ −i  2Lời giải: + Gọi E là điểm trong mặt phẳng phức có tọa vị là 1 + 4i . Khi đó tập hợp điểm M biểudiễn số phức z thỏa mãn (3) là đường tròn tâm E, bán kính R =3 .Phương trình đường tròn này là: ( x −1) +( y −4 ) =9 (3’) 2 2 + Gọi A, B theo thứ tự là các điểm có tọa vị 3là −3 − 2i, − 2 +i . Khi đó tập hợp điểm M biểudiễn số phức z thỏa mãn (4) là đường trònAppollonius chia đoạn thẳng AB theo tỷ số k = 2 .Đường tròn Appollonius có tâm F là điểm có tọa  3  a − k 2b −3 − 2i − 4  − + i ÷vị f = 1− k2 =  2  = 1+ − 2i 1− 4 3 k a−b 2 −3 − 2i + −ivà có bán kính R= 2 1− k2 = 1− 4 = − −2i = 5 1 .Phương trình đường tròn Appollonius là ( x +1) +( y −2 ) =5 (4’) 2 2Suy ra nghiệm của hệ đã cho là giao điểm của haiđường tròn (3’) và (4’), tức là các điểm ( x; y ) thỏamãn hệ phương trình sau: ( x − 1) 2 + ( y − 4 ) 2 = 9  x 2 + y 2 − 2 x − 8 y + 8 = 0  x + y − 2 = 0  ⇔ 2 ⇔ 2 ( x + 1) + ( y − 2 ) = 5 x + y + 2 x − 4 y = 0 2 x + y + 2 x − 4 y = 0 2 2 2   y = 2 − x  y = 2 − x x = 1  x = −2 ⇔ 2 ⇔ 2 ⇔ hoặc  . x + ( 2 − x ) + 2 x − 4 ( 2 − x ) = 0 2  x + x − 2 = 0 y =1 y = 4Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là z = + 1 i và z = 2+i − 4 . 2. Giải hệ bất phương trình trong tập hợp số phức.  z −3−i ≤ 2  (5)Ví dụ 3: Giải hệ bất phương trình sau với ẩn là số phức z :   2 z − 9 − 2i ≥ 5 (6) Lời giải: Gọi z =x +yi ( x, y ∈ ) là tọa vị của điểm M bất kỳ trong mặt phẳng phức. ¡ + Tập hợp các điểm M có tọa vị z thỏa mãn (5) là hình tròn tâm----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, TT Huế - ĐT 01697163373 6
  • Các tập hợp điểm thường gặp trong mặt phẳng phức và ứng dụng---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- A ( 3 + i ) , bán kính R =2 ( kể cả biên ). 9 5 + Ta có (6) ⇔ z − −i ≥ 2 2Tập hợp các điểm M có tọa vị z thỏa mãn(6) là phần của mặt phẳng nằm bên ngoài 9  5hình tròn tâm B + i÷ , bán kính R= 2  2( kể cả biên ).Vậy nghiệm của hệ bất phương trình đã cholà giao của hai tập hợp trên. Đó là “ hình trănglưỡi liềm ” không bị bôi đen trong hình vẽ.Ví dụ 4: Giải hệ bất phương trình sau với ẩn là số phức z :  z + 3 − 2i  ≥ 1 (7)  z +1  z − 1 − 2i ≤ 2 (8) Lời giải: Gọi z =x +yi ( x, y ∈ ) là tọa vị của ¡điểm M bất kỳ trong mặt phẳng phức. + Tập hợp các điểm M có tọa vị z thỏamãn (7) là nửa mặt phẳng không chứa điểm Acó bờ là đường trung trực của đoạn thẳng AB( kể cả đường trung trực ), với A ( −3 +2i ) và B ( −1) . + Tập hợp các điểm M có tọa vị z thỏamãn (8) là hình tròn tâm E ( 1 + 2i ) , bán kính R =2 ( kể cả biên ).Vậy nghiệm của hệ bất phương trình đã cho làgiao của hai tập hợp trên. Đó là phần hình tròn kể cả biên không bị bôi đen trong hình vẽ.----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, TT Huế - ĐT 01697163373 7