4. (x,y)‏ Al elemento x, lo llamaremos primer componente en el paréntesis (x,y)‏ Al elemento y, lo llamaremos segundo componente en el paréntesis (x,y).

5. Ejemplo 1 : Al vestirnos cada mañana, primero van las medias y luego los zapatos (y no lo contrario) entonces media y zapatos forman un par ordenado o un conjunto de dos elementos pero en cierto orden, donde media es el primer componente y zapatos es el segundo componente del par, así: (media, zapatos)

6. Es importante tener en cuenta al conjunto {a,b} con el PAR ORDENADO (a,b). El primero permite escribir {a,b}={b,a}, mientras que el segundo (a,b) ≠(b,a) PORQUE {a,b} no importa el orden en que se coloquen sus elementos

8. Simbólicamente en forma general se representa de la siguiente manera: AxB={(a,b):a ε A y b ε B} Ejemplo2: Dado los conjuntos X={m,n,p} y Y={1,2,3} se tiene que: XxY={(m,1),(m,2),(m,3),(n,1)(n,2),(n,3),(p,1), (p,2),(p,3)}

9. representación grafica : (veamos algunos de ellos)‏ Sagital AxB A AxB B 1 . 2 . 3. . a .b

10. Diagrama Cartesiano Denominado plano cartesiano.-esta caracterizado por: .En cada recta esta representado el conjunto R. .Convencionalmente una recta es horizontal (EJE DE ABSCISAS) y la otra vertical (EJEJ DE COORDENADAS).

11. . Ambos ejes cortados en el ORIGEN dividen al PLANO en CUATRO regiones llamadas CUADRANTES, las cuales se ordenan en sentido antihorario.

12. y Eje de ordenadas II (x,y) I Eje de abscisas -x +x Origen de ordenadas III IV -y

13. De nuestro ejemplo inicial, donde R={(m,1),(m,2),(m,3),(n,1),(n,2)(n,3),(p,1)‏ (p,2),(p,3)}, para la cual lo ubicaremos los puntos en (I) el primer cuadrante.

14. 3 ···· · ······ · ······ · . . . 2 ···· · ······ · ······ · . . . 1 ···· · ······ · ······ · . . . m n p

15. Vemos que en el producto cartesiano A x B, se ubican en el eje la “abscisa”(x) los elementos del conjunto A y en el eje de la “ordenada” (y) se ubican los elementos de B, por tanto cada punto de intersección de las rectas paralelas trazadas a los ejes, es un punto que representa a un determinado par ordenado: para lo cual se toma escalas (medidas) apropiadamente

17. Julio. .plátano observamos que .naranja Alberto no desea Eva. .manzana fruta alguna y .fresa que nadie a Alberto. .lima escogido la manzana

18. Simbólicamente escribimos: P={J,E,A} F={p,n,m,f,l} Sea el producto P x F ahora vamos a relacionar al conjunto P con el conjunto F es decir existe una condición que asocia o corresponde un elemento con el otro. Por la elección de los chicos tendremos que considerar los pares ordenados (J,p),(J,l),(E,n)(E,f) .

19. En el grafico estos pares los marcamos con * y este conjunto de pares ordenados es la relación entre P y F. ¿Qué es esta relación del conjunto de P y F? Es un subconjunto de P y F!

20. F l * · · f · * · m · · · n · * · p * · · J E A

21. Por tanto: Una relación es un subconjunto del producto cartesiano. Precisemos algunos conceptos. A B Dominio Rango Conjunto de partida Conjunto de llegada A . . p .n .m .f .l J. E.

22. Conjunto de partida : Se llama la conjunto A o “ todo elemento del primer conjunto” Conjunto de llegada : Se le llama al conjunto F o “todo elemento del segundo conjunto” p se llama imagen de J y E n se llama imagen de E. J,E} se llama DOMINIO de la relación, pues J,E tienen imagen en F. {p,n,f,l} se llama RANGO de la relación (“escoger”). Pues sus elementos son imagen de algún elemento de A.

23. ACTIVIDAD Nº 1 I. Indicar los pares que verifiquen cada una de las siguientes relaciones: a)…………… limita con …………… b)…………… es hermano de ………… c)…………… es padre de …………….. d)…………… es el autor de …………… e)…………… es la tercera parte de ………….. f)…………… es múltiplo de …………………

24. II. Si (a,b) ε R, hallar R: A -> B, construir el diagrama de flechas y determinar el dominio y el rango de la relación para: a) A=(5,7,9) y B=(6,10) definida por a < b b) A=(9,12,15) y B=(3,4,5) definida por a=3b c) A=(2,4,8) y B=(6,8,10) definida por a + b = 14 III. Dado el diagrama de la siguiente figura determinar: El conjunto B La relación R El dominio y el rango de la relación

25. R A -> B 4. 5. 9. 10. . 2 .3 .7 .6

26. IV. Dado el grafico de la siguiente figura determina el conjunto A la relación R el dominio y el rango de la relación 2. 3. 4.

27. V. Construir el diagrama cartesiano y determinar el dominio y le rango de {(x,y)/-3 ≤ x ≤ +3 , 0 ≤ y ≤ +2} VI. Dado el diagrama cartesiano de la siguiente figura determinar el dominio y rango la relación de R

28. Y 3 2 1 X 3 2 1 -1 -2 -3

29. V . Dado los siguientes conjuntos A={1,3,5,7} B={1,2,3,4} C={ (3,2),(5,4)} Hallar la condición que define la relación R, el diagrama sagital, el dominio y el rango de R. VI. Considerando los siguientes conjuntos : N={0,1,3,4,5,6,7} B={Par, impar, primo} Representar la relación mediante el diagrama sagital, la relación R, definida por “es un numero”

30. Propiedades de la Relación: Relación Simétrica .- Se define así : Una relación R en A es simétrica a R b -> b R a Ejemplo: Sean B={Nora, Pedro, Juan, Rosa} y R=“ es hermana (o) de” En este caso vemos que Nora es hermana de Pedro implica que Pedro es hermano de Rosa, Juan es hermano de Rosa implica que Rosa es hermana de Juan.

31. En símbolos tenemos : N R P implica P R N J R R implica R R J gráficamente “ es hermana (o) de” Observa, hay B flechas de ida y vuelta. . N .p .J .R

32. Relación antisimétrica .- Se define así : Una relación a R en A es antisimétrica para a ≠ b, si a R b entonces b Я a Ejemplo : Sea A={4,5,8} y la relacion R en A definida por a divide a b tenemos: R={(4,4),(5,5)(8,8),(4,8)} R es una relación antisimétrica por que 4 R 8 pero 8 Я 4

33. Relación Transitiva : Se define así : Una relacion R en A es transitiva si a R b, B R c -> a R c Ejemplo: Sea A={7,5,3} y la relación definida por a>b A={(7,5),(5,3)(7;3)} 7 R 5;5 R 3;7 R 3 A .5 7. .3

34. “ Un primero esta relacionado con un segundo, este esta relacionado con un tercero entonces el primero esta relacionado con el tercero” Relación de Equivalencia : Una relación R en A es de equivalencia si y solo si es reflexiva, simétrica y transitiva. Ejemplo: Sean A={x/x ser humano} y R definida en A por | ser compatriota de | Tenemos:

35. R es reflexiva, porque a R a, Å a ε R, puesto que todo ser humano es compatriota de si mismo. R es simétrica, porque a=b, entonces a es compatriota de b, luego b es compatriota de a, es es b=a, puesto que tiene la misma patria. R es transitiva, por que a R b, b R c y a R c es decir a es compatriota de b, y b es lo de c. Por tanto a es compatriota con c. Relación de Orden : Una relación R en A es de orden si y solo si es reflexiva, antisimétrica y transitiva.

36. Ejemplo: Sean A={3,5,7} y al relación R en A definida por a ≤ b. Tenemos: P={(3,3),(5,5),(7,7),(3,5)(5,7)(3,7)} es reflexiva : 3 R 3;5 R 5;7 R 7 Es antisimétrica:3 R 5 pero 5 Я 3,3 R 7 pero 7 Я 3 Es transitiva:3 R 5,5 R 7 y 3 R 7 gráficamente A .5 .3 .7

37. ACTIVIDAD Nº 2 I.- Considerando el conjunto A y la relación R, definida en A. A={a,b,c} R={(a,a),(b,b),(c,c)} Se pide demostrar si: a)¿R es reflexiva? b)¿R es simétrica? c)¿Res transitiva? d)¿R es antisimétrica?

38. e)¿R es de equivalencia? f)¿R es de orden? II.- En los siguientes diagramas sagitales:

39. Denotar las siguientes propiedades, tomando en cuenta el recorrido d e las flechas. a) relación reflexiva b)relación simétrica c)relación transitiva d)relación antisimétrica III. Sean X= [1,2,3,4,5] y S=[(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,5)] el conjunto solución de una relación R. Determina si R es una relación de equivalencia.

40. IV.- Sean A=[6,12,18] y al relación R en A definida a=b o “a divide b” Hallar la relación R Construye el diagrama de flechas Determinar si es un relación de equivalencia o de orden y fundamenta tu afirmación. V.- Sean A=[4,3,2,1] y la relación R, en A definida por a ≥ b Hallar la relación Construye el diagrama de flechas Determina si es una relación de equivalencia o de orden y fundamenta tu afirmación

42. Por ejemplo nuestro rendimiento en ele colegio depende de nuestra dedicación al estudio, el precio de un par de zapatos depende del tamaño y calidad, etc. Una función es una cierta ley que gobierna el comportamiento de un cierto conjunto . Observa bien las siguientes relaciones! Ejemplo 1. Sean los siguientes conjuntos A=[Cesar, David, Martha, Humberto, José] y R=“es padre de” de acuerdo al grafico

43. R= es un padre de A A

44. Ejemplo 2: Sean los conjuntos A=[Ricardo, Jorge, David, Benjamín, Zoila] B=[5,8,12,14,18] y R= [tiene por edad] de acuerdo al grafico R=tiene por edad A B R. J. D. B. Z. .5 .8 .12 .14 .18

45. ¿ Cual es la diferencia esencial entre ambas relaciones? La diferencia puede ser en el ejemplo 1 un elemento del dominio puede tener mas de una imagen. Si has comprendido la diferencia esencila, podemos decir que….. Una relación que tiene la propiedad del ejemplo 2, se llama función.!

46. Ejemplo 3: A B A B no es una función (a) es una función (b)‏ A B A B es una función (c) es una función (d)‏ . . . . : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47. CONCLUSION: Una función es una relación en la que todo elemento del dominio tiene una y sola imagen. Notación: Una función con conjuntos de partida A y conjunto de llegada B, se escribe f F: A -> B a -> f (a) A E Podremos deducir D(f)=dominio de f, R(f)=rango de f a . f (a)‏ .

49. Funciones Sobreyectivas ó Sobre .- En (c) : Todo elemento del conjunto de llegada es imagen de algún elemento del conjunto de partida, aun cuando pueda ser imagen de dos o mas elementos, en otras palabras si b є B, Э a є A tal que b=f(a); también se llama f. SURYECTIVA Funciones Biyectivas ó Biunívocas .- En (d) : Todo elemento del conjunto de partida tiene una y solo una imagen, todo elemento del conjunto de llegada es imagen de algún elemento del conjunto de partida; en otras palabras, la función es inyectiva y a la vez sobreyectiva.