Algebra: Monomios y Polinomios Parte II
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Algebra: Monomios y Polinomios Parte II

on

  • 20,223 views

 

Statistics

Views

Total Views
20,223
Views on SlideShare
4,421
Embed Views
15,802

Actions

Likes
0
Downloads
32
Comments
0

19 Embeds 15,802

http://mifirstblogger.blogspot.mx 7661
http://mifirstblogger.blogspot.com 6830
http://mifirstblogger.blogspot.com.es 737
http://mifirstblogger.blogspot.com.ar 495
http://mifirstblogger.blogspot.de 20
http://mifirstblogger.blogspot.com.br 18
http://webcache.googleusercontent.com 8
http://mifirstblogger.blogspot.ca 7
http://mifirstblogger.blogspot.pt 5
http://www.mifirstblogger.blogspot.com 4
http://mifirstblogger.blogspot.it 3
http://www.google.com.mx 3
http://mifirstblogger.blogspot.co.uk 2
http://www.slideshare.net 2
http://mifirstblogger.blogspot.fr 2
http://mifirstblogger.blogspot.in 2
http://mifirstblogger.blogspot.ch 1
http://131.253.14.66 1
http://mifirstblogger.blogspot.sk 1
More...

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Microsoft PowerPoint

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

Algebra: Monomios y Polinomios Parte II Algebra: Monomios y Polinomios Parte II Presentation Transcript

    • FUNCIONES SOBREYECTIVAS Ó SOBRE.- en (c)
    • Todo elemento del conjunto de llegada es imagen de algún elemento del conjunto de partida aún cuando pueda ser imagen de dos o más elementos . En otras palabras si la B  a  A tal como b= f(a), también se llama SURYECTIVA
    • FUNCIONES BIYECTIVAS Ó BIUNIVCCAS.- en (d) :
    • Todo elemento de conjunto de partida tiene una y solo una imagen
    • FUNCIONES CONSTANTES .- en (e) :
    • Todos los elementos de A tienen una misma imagen
    • En ( f) ¿por qué no es una función? …………………………………………………….
    • Aplicaciones o funciones: en (b), (d) y €
    • D f = A y f ( a) ≠ f ( b)
    • Cada elemento de A le corresponde un único elemento de B, es decir ningún elemento de A queda sin imagen ni tampoco un mismo elemento de a tiene dos o más imágenes. Una relación así restringida se llama aplicación
    • Luego:
    • Una aplicación f de A en B es una relación de A en B tal que a todo elemento x  A le asocia un único elemento y  B.
    • Sean los conjuntos
    • A = {a, b, c} y {e, f, h, i, j}
    • ¿Cuáles de las siguientes relaciones son funciones?
    a. b. c. .e .f .h .i .j a. b. c. .e .f .h .i .j a. b. c. .e .f .h .i .j A B B A B A a. b. c. .e .f .h .i .j a. b. c. .e .f .h .i .j a. b. c. .e .f .h .i .j A B B A B A (d) (e) (f)
  • 2. * Completa (a) la diferencia esencial entre relación y función es ……………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………… .. ( b) el dominio de una funcion es ……………………………………………………………………… ( C) el rango de una función es es ……………………………………………………………………… ( d) toda relación es una función ?cierto? ………………………………………………………….. ( e) toda relación es una función ?cierto? ………………………………………………………….. ( f) una función es inyectiva si ………………………………………………………………………….. ( g) una función es suryectiva si …………………………………………………………………………. ( h) una función es biyectiva si ………………………………………………………………………….. 1. 2 3. 4 .a .b .c .d .e es una función Inyectiva ya que ………………. ……………………… 1. 2 3. 4. 5. .a .b .c 1. 2 3. 4 .a .b .c .d es una función Suryectiva por que ………………. ……………………… es una función biyectiva por que ………………. ………………………
    • EVALUACIÓN: Encierra en un circulo la respuesta correcta de los siguientes ejercicios. Existe en cada caso una sola respuesta verdadera
    • La relación 1 inclusión ó subconjunto  1 es
    • a.- reflexiva y simétrica. b.- simétrica y transitiva c.- simétrica
    • d.- reflexiva y transitiva e.- N.A.
    • 2. Una función es una relación tal que.
    • a.- todo elemento tiene infinitas imágenes
    • b.- todo elemento tiene una y sola imagen
    • 3.- f : X Y es inyectiva si:
    • a.- todo elemento del dominio tiene imagen
    • b.- es sobre
    • c.- a y b implica f ( a) ≠ f ( b)
    • d.- es constante
    • e.- dos elementos diferentes tienen una misma imagen.
    • 4.- El rango de la función es:
    a. b c. d. .p .q .r .s a. { q }: b. { p, s } c. { p, q, r, s }: d. { p, r, s } e. { r }
  • 5.- En                Son funciones: a.- (i) y (ii) b.- ( i) (iii) c.- (ii) y (iii) d.- solo (iii) e.- ninguno es una función inyectiva que: a. todo elemento de X tiene imagen b. todo elemento de Y es imagen de algún elemento de X c. elemento diferentes en X tienen imágenes diferentes d. X e Y tienen un número igual de elementos e N.A.       X Y ( i ) ( ii ) ( iii )
  • LA FUNCION LINEAL ¡ UNA FUNCION MUY UTIL EN LA MATEMATICA! B P
    • De un modo general
    • Una función lineal es
    • F : R R: f (x) = a x + b
    • Donde a y b son números
    • reales (con a = b)
    • * El gráfico de una función lineal siempre es una LÍNEA RECTA
    F (x) = 2 x + (-4) En esta función A = 2 b = 4 Función lineal.- f  (x , y) / y = 2 x  D (f) = dominio de f R (f) = rango de f Ejemplo 1: Graficar f =  (x , y) / y = 2 x  Solución: Tabla de valores X Y … .. … .. -1 -2 0 0 1 2 … .. … .. Gráfica    0 1 2 1 -2 - 2 -1 2 Y Y = 2x x
  • b.- Caso particular.- La función Identidad. Es una función donde a = 1 y b = 0. Por consiguiente f =  (x, y) / y = x } Ejemplo: Graficar f:  -3 , 4  R X Y -3 -3 0 0 4 4 Solución Observa que la función lineal Identidad pasa por el origen De coordenadas y corta al 1er Y 3er cuadrante del plano Cartesiano en este caso es llamado bisectriz. Además D f =  -3, 4  y Rf =  -3, 4     Y 4 -3 -2 -1 -0 -1 -2 -3 Gráfica -3 -2 -1 1 2 3 4 X
  • c.- Caso Particular. La función constante.- Es una función donde a = 0 Por consiguiente f =  (x, y) / y = b  Ejemplo: Graficar f:  -5, 6  R X f (x) = + X Y -5 0 3 Tabla de valores Solución -2 -1 y = Y -1 -2 -3 -4 -5 0 1 2 3 4 5 6 x Observa que la recta es paralela
  • 1.- En las siguientes cuestiones determina el dominio y rango de las funciones Gráfica las funciones ( a) f : R R ( b) f: R R f: (x) = 6x+3 f (x) = 1 x + 2 ( c) f :  0,1  R (d) f :  -1,1  R f: (x) = 8 x+4 f (x) = x -2 2.- Grafica las funciones f ( x) = x ( a) f : R R (b) f:  0,6  R ( c) f :  -3,0  R (d) f:  - ,  R 3.- Gráfica las funciones ( a) f : R R ( b) f: R R x f ( x) = 1 x f (x) = 3 ( c) f :  -1,2  R (d) f:  0,12  R x 10 x
  • LAS FUNCIONES VALOR ABSOLUTO Y CUADRATICA a. La función valor absoluto.- Dada función f: R R defina por x f (x) =  x  Esta función hace corresponder a cada número real, su valor absoluto Recuerda que: ( x  = x si x  0 ( x  = - x si x < 0 Ejemplo 1: Gráfica f =  ( x, y) / y =  x   Solución Gráfico Observa que la gráfica de esta función son dos rayos que tienen su origen común en el eje X, Además Df = R Rf = reales positivos ( 0  ) X Y … .. … .. -3 3 -2 2 -1 1 0 1 2 0 1 2 … .. … .. Y =  x  3 2 1 Y -3 -2 -1 0 1 2 3 X
  • b.- La función cuadrática: f (x) = a x 2 + b x + c La gráfica de una función cuadrática, tal como está definida, es una curva llamada parábola El número b 2 – 4ac es llamado el discrimante de la ecuación a x 2 + b x + c y que sirve para determinar la naturaleza del conjunto solución. Hagamos el siguiente comentario.
    • Si b 2 4ac > 0
    • Entonces la parábola
    • corta al eje x en dos
    • puntos diferentes y el
    • conjunto solución tiene
    • dos elementos diferentes:
    • Si b 2 - 4ac = 0
    • Entonces la parábola interseca al eje x en un solo punto y el conjunto solución tienen un elemento
    • Si b 2 - 4ab < 0
    • Entonces la parábola es disjunta con el eje x es decir, no le toca  toca  ; el conjunto solución es el conjunto vació
    Y X        Y X Y X - - - - - - -
  • Ejemplo 1: Gráfica f (x) = x 2 Solución a = 1 b = 0 c = 0 (x y ) = ( 0 0) PORQUE si y = 0 entonces x 2 = 0, que indica x = 0 X Y … .. … .. -3 9 -2 4 -1 1 0 1 2 0 1 4 Tabla de valores 3 9 9 8 7 6 5 4 3 2 1   -1 0 1 2 -2   -3 3   Y Y = x 2 X
  • 1. Gráfica las siguientes parábolas, (has una tabla de valores como guía) a) f (x) = 2 X 2 ; b) f (x) = 3 X 2 c) f (x) = ½ X 2 ; d) f (x) = ¼ X 2
    • EVALUACION
    • Una función es de la forma f (x) =
    • ½
    • A. a x 2 + b x, B. a x + b x + c C. a x + b, D. a x ¾+bx E. N.A.
    • 2. Una función lineal representa:
    • A. Una parábola, B. una recta, C. una circunstancia, D. un punto
    • E una curva arbitraria
    • 3. Si f:  -2, 5  R
    • x f (x) = 4 x -3
    • A:  -11, 15  ; B  -11, 17  ; C.  11, -17  D  11, 15  E.  10, 14 
    • 4. El gráfico de una función f (x) es una recta:
    • Que coincide con el eje x
    • Que pasa por el origen;
    • Se intercepta con el eje x;
    • Paralela al eje x
    • Perpendicular al eje x.
    • 5. El gráfico f (x) =  x 
    • A. No pasa por el origen
    • B. Pasa por x = 1;
    • C. No intersecta al eje x;
    • D. Es una recta
    • E. Pasa por el origen.
  • SOLUCIONARIO DE UNIDAD 1
    • EVALUACIÓN
    • 1.C; 2.B; 3.C; 4.C; 5.C; 6.D; 7.A; 8.B; 9.C; 10.D
    • ACTIVIDAD Nº 1
    • Por ejemplo las relaciones pueden ser:
    • a) Perú limita con Chile
    • b) Juan es hermano de Jorge
    • c) Luis es padre de Julio
    • d) César Vallejo es autor de los Heraldos Negros
    • e) cuatro es la tercera parte de 12
    • f) seis es múltiplo de tres.
    • 2.- Tenemos que:
    • a) R : A B defina por a < b, es
    • R = { (5, 6), (5, 10), (7, 10), (9,10)}
    • a < b
    5 7 9 6 10 D 2 = {5, 7,9} R 2 = {6, 10}
  • b) R : A B defina por a = 3b, es R = { (9, 3), (12, 4), (15, 5)} a = 3b 9. 12. 9. .3 .4 .5 D 2 = {9, 12,15} R 2 = {3, 4, 5} c) R : A B defina por a + b = 14 R = { (4, 10), (8, 6) a + b = 14 2. 4. 8. .6 .8 .10 D 2 = {4, 8} R 2 = {6, 10}
  • d) R : A B defina por ” a es divisor de ” R = { (3, 3), (5, 5), (6,6), (3,6)  a es divisor de 3. 5. 6. .3 .5 .6 D 2 = {3, 5, 6} R 2 = {3, 5, 6}
    • Los conjuntos A y B tienen como conjuntos:
    • A = { 2, 3, 5  ; B = { 5, 6 
    • R = { (2, 5), (2,6), (3,5), (3,6) 
    • D R = { (2, 3)  ; R R = { 5, 6 
    • IV. Los elementos del conjunto B, la relación R, dominio y rango es:
    • B = { 2, 3, 6, 7 
    • R= { (4, 2), (5,3), (9,7) 
    • D R = {4, 5,9)  ; R R = (2, 3, 7 
    • V. Los elementos del conjunto A, la relación, dominio y rango, es:
    • A = {2, 3, 4 
    • B= {(2,2), (3,3), ( 4,4), ( 2,4) 
    • D R = {2, 3, 4  ; R R = {2, 3, 4 
  • VI. {x, y ) / -3  x  3, 0  y  2  D R = {-3; 2; -1, 0, 1, 1, 3  R R = { 0, 1, 2  3 2 1 0   -1 1 2 -2   -3 3 Y X -1          
  • VII. En el conjunto de los números enteros, tenemos que: 3 2 1 0 -1 -2 -3  -3 - 2 -1 1 X Y                 D R = {0, -1, -2, -3} R R = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 }
  • R = { (0,0), (-1,0), (-2,0), (-3,0), (-1,1), (-1,-2) (-1,3), (2,-2), (-3,-3), (-1,1), (-2,1), (-3,1, (-2,2), (-3,2), (-3,3) } VIII. El diagrama, la relación R, el dominio y el rango es: R 1. 3. 5. 7. D 2 = {3, 5} R 2 = {2, 4} 1. 2. 3. 4. A B Diagrama Sagital 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. PAR IMPAR PRIMO “ es un número” R = { (1,I), (3,I), (5,I), (5,I), (7,I), (2,PA) (4,PA), (6,PA), (2,PR), (3,PR), (3,PR), (5,PR), (7PR) }
  • X. Gráfica, dominio y rango de la relación en el conjunto de los números reales R = {(x, y) / y = 2 x  Solución   Y 4 -2 1 0 1 2 3 Gráfica -2 -1 1 2 3 X y = 2x ACTIVIDAD Nº 2 Recuerda que R significa “no relacionado” 1.- Sea A = {a, b, c  ; R = {(a , a), (b , b), (c , c)  a) Si es reflexiva porque a R a. b R b. c R c. b) no es simétrica porque no se cumple a R b implica que b R a c) no es transitiva porque no se cumple a R b y b R c entonces a R c d) no es antisimetrica porque no se cumple a R b implica b R a D (R) = R (NÚMEROS REALES) R (R) = R (NÚMEROS REALES)
  • 2. En las figuras el recorrido de las fechas se cumple: relación reflexiva: 1 R 1, 2 R 2, 3 R 3 relación simétrica: 3 R 4 4 R 3, 4 R 5 5 R 4, 3 R 5 5 R 3 3 R 6 6 R 3, 6 R 7 7 R 6 , 3 R 7 7 R 3 relación transitiva: 3 R 4, 4 R 5 3 R 5; 3 R 6, 6 R 7 3 R 7 relación antisimétrica: no se cumple porque hay flechas de ida y vuelta 3. Una relación R es de equivalencia porque se cumple las propiedades: . Reflexiva: 1 R 1, 2 R, 3 R 3, 4 R, 5 R .Simétrica: 4 R 5, entonces 5 R 4 . Transitiva: 5 R 4, 4 R 5 entonces 5 R 5 Por tanto es una relación de Equivalencia. 4. R : A A, defina a = b ó “ a divide b” R = {(6, 6), (12, 12), (18, 18), (6, 12), (6, 18)  a divide b Ésta relación R: es reflexiva, porque: 6R, 12 R12, 18R18 es antisimetrica, porque 6R 12 pero 12 R 6 6R18 pero 18 R 6 no es simétrica: aRb no cumple bRa no es transitiva: no cumple aRb, bRSc y aRC por tanto no es relación de equivalencia ni de orden 6. 12. 18. .6 .12 .18
  • 5). R: A A, definida por a ≥ b R = {(4, 3), (4, 2), (4, 1), (3, 2), (3, 1), ( 2,1), (4,4), (3,3), (2,2), (1,)  Diagrama sagital: a ≥ b 4. 3. 2. 1. .4 .3 .2 .1 A A Una relación R, se cumple las propiedades siguientes: Reflexiva 4 R 4 3 R 3, 2 R 2. 1 R 1 Antisimetrica: 4 R 3 pero 3 R 4 Transitiva: 4 R 2, 2 R 4 R 1 3 R 2, 2 R 1 3 R 1 Por tanto es una relación de orden porque es reflexiva, antisimetrica y transitiva EVALUACIÓN 2: 1.d 2.b. 3c. 4d. 5e. 6.c EVALUACIÓN 3: Las relaciones dadas
  • En (b) si es función todo elemento del dominio tiene único imagen: Aunque dos elementos de A tienen la misma imagen En (c) si es función todo elemento del dominio le corresponde una y solo una imagen y diferentes del dominio tienen diferentes imágenes es decir a ≠ b entonces f (a) ≠ f (b) En (d) no es función, porque el elemento b que pertenece A, tiene más de una imagen.. En (e) si es función, porque, elementos diferentes del dominio le corresponde un único imagen, aún siendo la misma para todo los elementos de A; y además podemos afirmar que es una aplicación. En (f) si es una función, porque a cada elemento del dominio le corresponde una y sólo una imagen; y además es una aplicación, el dominio es de igual tamaño que el conjunto de partida. 2. Completa En (a) La relación puede que un elemento del dominio puede tener más de una imagen y en cambio una función en todo elemento del dominio tiene una sola imagen. En (b) …… es elemento del conjunto de partida, tiene imagen en el conjunto de llegada y esta constituida por las primeras componentes de cada par ordenado.
  • En (c)…. Es elemento del conjunto de llegada y lo forman todas las imágenes de los elementos del dominio, puede o no coincidir con el conjunto de llegada y esta constituida por las segundas componentes de cada par ordenada. En (d) …. No toda relación es una función puesto que un elemento de A puede tener más de una imagen. En (e) ….. Toda función es una relación porque dos conjuntos no vacios A y B y un subconjunto de A x B cuyas par parejas (x, y) tales que sus, componentes se encuentran asociadas o ligadas mediante una regla de Asociación ( ó correspondencia). En (f)…. Si dos elementos distintos tienen imágenes distintas. Es decir a ≠ b Entonces f ( a) ≠ f (b) En (g)…. Todo elemento de B es imagen de algún elemento de A. Es decir Su b  B,  a  A tal que b = f (a), También se llama sobreyectiva. En (h) … si es inyectiva y sobreyectiva 3.- Es una función inyectiva ya que a ≠ b f (a) ≠ (b) Es una función suryectiva o sobre porque  b  B  a  A tal que b = f (a) Es una función biyectiva porque es inyectiva y sobreyectiva.