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  • 1. Cuaderno de Actividades: Física I 7) Movimiento Armónico Simple Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 180
  • 2. Cuaderno de Actividades: Física I 7) Movimiento Armónico Aquel movimiento que es posible describir con función armónica. Movimiento ← Armónico: sen, cos Movimiento periódico complejo → admite soluciones armónicas. Teorema de Founier: Usando serie de senos o cosenos para descripción de movimiento periódicos complejos. 7.1) Descripción del movimiento armónico simple, MAS. i) Descripción Cinemática del MAS    r , v, a :τ Fenomenología del MAS µ=0 PE  x≡-A 0 x≡+A x Movimiento oscilatorio y periódico en torno a la PE (x ≡0), la oscilación esta confinada para –A ≤ x ≤ A, ¿Cómo debería ser x (t) ≡? → x ( t ) ≡ A sen { wt + } δ Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 181
  • 3. Cuaderno de Actividades: Física I Donde, w: Frecuencia de oscilación natural del sistema. w = w{k,m} A, δ: Dependen de las condiciones iniciales del sistema. c.i.:{x (0) ∧ v (0)} dx Para la velocidad, v≡ ≡ Aω cos { ωt + δ } dt → v ( t ) ≡ Aw cos { wt + } δ dv Para la aceleración, a = ≡ − Aw 2 sen { wt + δ } dt → a ( t ) ≡−Aw2 sen { wt + } δ Estas ecuaciones también se pueden obtener mediante uso del movimiento circular uniforme (MCU). La proyección del MCU en el eje de las ys o en el de las xs, estaría reportando un comportamiento cinemático idéntico al MAS. ii) Descripción Dinámica del MAS La fuerza que caracteriza al MAS es una RESTAURADORA que depende de la posición, esto es, F ( x ) =−cx , c: depende del sistema F(x) • x -A 0 x A Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 182
  • 4. Cuaderno de Actividades: Física I Si se analiza cualquier sistema y la fuerza que lo gobierna es de esta forma → MAS. F = FR = Fs → FRes = FR → 2da ley, FR ≡ ma a≡√ → v≡√ →x≡√ FR ≡ F = -k x ≡ m  x m  +kx ≡ 0 x k x  + x≡ 0 m k  + w2x ≡ 0, x = w2 m k → x ( t ) ≡ A sen { wt + } δ ←w= m 2π 1 W: frecuencia angular → T ( periodo) = → ν ( frecuencia lineal ) = → ω = 2πν w T A,δ: c.i. X: Posición → Elongación A: Amplitud δ: Desfasaje Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 183
  • 5. Cuaderno de Actividades: Física I 7.2) Casos especiales de MAS i) Sistema m-k 1) 1) PE m k µ =0 PE 2) k d m PE’ PE 3) PE’ k o m d o’ α Siempre el MAS se observará de la PE (caso 1) y de las PE’ (2,3) con w2 = k/m. Se puede vincular información entre sistemas coordenados de Os en PE ∧ PE’, donde la conexión será d, la cual se obtiene del equilibrio de m. Las Ec del MAS, tal como se han escrito, deben tener su cero en PE’ (2,3). Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 184
  • 6. Cuaderno de Actividades: Física I ii) Sistema l–g O O g t g θ l wt θ  PE w n PE θ: describe la posición wt ≡ w senθ → FRes ≡ wt ≡ -mg senθ θ: pequeño→ senθ ∼θ → F ≡ -mgθ, FRes ≡ - cx FR,t ≡ mat  − mg θ = m lθ  g θ + θ ≡ 0 ← w2 = g l l g  k   → θ(t) ≡ θm sen{wt + δ} ; θm ≡ Aθ, w ≡   . δ : desfasaje l  m   Ahora, si la descripción ha de darse en los s, usando s ≡ lθ, → s( t) ≡ sm sen { wt + δ } ; sm ≡ As = lθ m , w ≡ g l Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 185
  • 7. Cuaderno de Actividades: Física I iii) Péndulo Físico Es un CR pendular, CR 0  0 r C θ PE  PE w  w produce un τ restaurador que debe llevar al CR a la PE, τ ≡ - r w senθ, w ≡ mg θ: pequeño → τ = - r w θ ← Senθ ∼ θ ⇒ −rwθ ≡ Iθ ← O: punto fijo, r=d (distancia CM-O),    dmg  dmg ⇒θ + θ = 0 , w = 2  I  I →θ (t) ≡ θm sen {wt + δ} dmg 2π I w≡ →T = → T = 2π I w dmg Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 186
  • 8. Cuaderno de Actividades: Física I iv) Péndulo de Torsión A 0 0 P θ P PE PE Debido a la torsión en la varilla vertical (según el eje del disco) se producirá un torque restaurador proporcional a θ (para pequeños θs) de tal forma que: τrestaurador ≡ τ ≡ - kθ ↑ k: constante de torsión (de la varilla) Analogía: k ≡ k (resorte) {FRes = - kx} τ ≡ τ Re s ≡ −kθ τ ext ,Re s = τ ≡ Iα ← O: punto fijo.  τ ≡ τ Re s ≡ −kθ ≡ Iθ  k ; I ≡ Iξ = var illa , 0 : punto fijo disco → θ + θ ≡0 I k I →θ(t) ≡ θm sen{wt + δ} ←w= , T = 2π I k Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 187
  • 9. Cuaderno de Actividades: Física I 7.3) Energía en el MAS i) Energía Cinética, Ek 1 m : Ek = m v2 2 Si x(t) ≡ A sen {wt + δ} v(t) ≡ x (t) ≡ Aw cos{wt + δ}  1 Ek = mA2 w2 cos 2 { wt +δ} 2 ii) Energía Potencial (Elástica), Ep,el 1 2 E p ,el ≡ kx ; x : posición ≡ deformación , 0 ≡ PE 2 1 2 E p ,el ≡ kA sen 2 { wt + δ} 2 iii) Energía Mecánica, EM EM ≡ Ek + Ep ≡ cte ∀ sistemas MAS, 1 1 EM ≡ mA2 w2 cos 2 { wt + δ } + kA2 sen 2 { wt + δ } ←mw2 = k 2 2 1 2 Em ≡ kA ← En particular sistema m–k 2 Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 188
  • 10. Cuaderno de Actividades: Física I Gráficos: i) Ek Ek 1 2 kA 2 0 T t 1 2 kA Ek 2 -A 0 +A x ii) Ep Ep ¿? 0 Tt Ep ¿? x 0 Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 189
  • 11. Cuaderno de Actividades: Física I Observaciones: En los casos de sistemas m – k donde se tenga una contribución gravitacional, la EM deberá considerarse, EM ≡ Ek + Ep,el +Ep,g ← PE EM ≡ Ek + Ep,el ← PE’ 7.4) Oscilaciones amortiguadas Se considerara medios de amortiguación modelables mediante la velocidad, esto es la, fuerza opositora al movimiento, (f), proporcional a la velocidad. Esto se corresponde con muchos sistemas físicos conocidos que involucran fluidos como aire, agua, aceites, etc. f: fuerza de fricción f ≡ a + bv + cv2 + … ≡ f (v) 0 x Ahora, para describir el sistema planteamos la 2° ley, FR ≡ −kx − bv ≡ mx { {  resorte medio k b →  + x x+ x ≡0  ← MAA m m Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 190
  • 12. Cuaderno de Actividades: Física I Comparaciones: {  + w x ≡ 0} ← MAS 2 x k m – k : w= m δ l – g : w= l mgd PF : w = I k PT : w = I 1) Caso de interés: wb < wr b − t x ( t ) ≡ Ae 2m cos { wt + φ} Movimiento amortiguado oscilatorio (MAA) A ≡ A(0) ≡ amplitud inicial 2 k  b  w≡ −   : Frecuencia de oscilación m  2m  La ecuación se interpreta como una parte oscilatoria y una modulación de la oscilación dada por el factor exponencial. k b wr ≡ → w del resorte, wb ≡ → “w” del medio m 2m Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 191
  • 13. Cuaderno de Actividades: Física I X b − t A e 2m 0 t 2) Caso cuando wb ≡ wr, Movimiento críticamente amortiguado, x t 3) Cuando wb > wr, se produce un Movimiento sobreamortiguado, x t Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 192
  • 14. Cuaderno de Actividades: Física I S6P5) Un oscilador armónico simple amortiguado tiene λ = 0,11 kg/s, k = 180 N/m y m = 0,310 kg, a) ¿Es un movimiento sobreamortiguado o de amortiguamiento débil? b) Determinar el valor λ para el movimiento amortiguado débil. c) Escriba la ecuación de movimiento. Si para t = 0, tiene una amplitud de 0,5 m. SOLUCION: λ = 0, 11 kg/s (=b) MAA k = 180 N/m m= 0, 31 kg Oscilador armónico amortiguado Wb < w0 ≡ wk Oscilador críticamente amortiguado Wb ≡ w0 Oscilador sobreamortiguado Wb > w0 2 − b t k  b  → x ( t ) = Ae 2m cos ( ω t + φ ) en donde ω = −  m  2m  b a) → wb = 2m b≡λ 0,11 → wb = wλ ≡ = 2m 2 × 0,31 b≡λ 0,11 k 180 → wb = wλ ≡ = ∼ 0,18 ; → wk = w0 = = = 24,1 2m 2 × 0,31 m 0,31 → wb < w0 ≡ wk :MAA b k b) → wb = w0 → ≡ ;b ≡ ? 2m m → b ≡ λ ≡ 2 km ≡ 2 180 × 0,31 ∼ 2 55,8 ∼15 Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 193
  • 15. Cuaderno de Actividades: Física I b − t c) x ( t ) ≡ Ae 2m cos { wt + φ} x(0) = 0,5 0,11 { } − t x ( t ) ≡ 0,5 e 2×0,31 cos 581 − 0, 03 t X b − t A e 2m 0 t Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 194
  • 16. Cuaderno de Actividades: Física I S6P35) Un bloque de 2 kg se sujeta a un resorte de constante k = 200 N/m. En t = 0 el resorte se extiende 0,05 m y se suelta. Halle: a) El desplazamiento en función del tiempo. b) La velocidad cuando x = +A/2. c) La aceleración cuando x = + A/2. d) ¿Cuál es la fuerza sobre el bloque cuando t = π/15 s? SOLUCIÓN: k = 200  k 200 w = = = 10 m=2  m 2  x ( 0 ) = +0, 05 m  c.i.   v ( 0) = 0  a) x(t) = A sen (wt + φ)→ x(0) = A sen (w(0) + φ)=Asen(φ)=+0,05 v(t) = Aw cos (wt + φ)→ v(0) = Aw cos (w(0) + φ)= Aw cos (φ)= 0 De la última Ec φ = π/2 {la v (-) para t ∼ 0} → A=0,05 → x(t) = 0,05 sen (10t + π/2) → v(t) = 0,5 cos (10t + π/2) Observen la consistencia de tomar φ(=δ)= π/2: satisface las ci y lo que ocurre en el problema “cerca” de 0, tanto para x como para v. ¿Que ocurre si tomamos φ(=δ)= 3π/2? b) Recordando la relación v-x 2 2 x  v    +  =1  A   Aw  2 2  0,5 A   v    +  =1  A   Aw  2  v  3 3 3  = 4 →v =± 4 →v=− 4 {m→ x } − →  0,5  c) Recordando la relación a-x Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 195
  • 17. Cuaderno de Actividades: Física I a = − w2 x  0, 05  a = −102   → a = −2,5{ m → x −}  2  d) FR= FRES ≡ -kx= -k A sen (wt + φ)= -(200)(0,05) sen (10t + π/2)=? π 2π 2π π t= ←T = = = → F (+)! veamos 15 w w 5 FR (t=π/15) = -10 sen (10{π/15} + π/2) ∼ (-10) (-0, 5) = +5 S6P52) Una partícula que cuelga de un resorte oscila con una frecuencia angular de 2,00 rad/s. El resorte esta suspendido del techo de la caja de un elevador y cuelga sin moverse (respecto de la caja del elevador) conforme la caja desciende a una velocidad constante de 1,50 m/s. La caja se detiene repentinamente, a) ¿Con que amplitud oscila la partícula?, b) ¿Cual es la ecuación de movimiento para la partícula? (Elija la dirección hacia arriba como positiva). SOLUCIÓN: t =0 X g k Nos v(0) m v(0) x(0)=0 v(0) proporcionan directamente la w ≡ 2, las condiciones iniciales son, t ≡ 0 : x(0) ≡ 0 ∧ v (0) ≡ −1,5 Asumiendo las ecuaciones del MAS para x(t) y v(t), Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 196
  • 18. Cuaderno de Actividades: Física I x ( t ) ≡ A sen { wt + δ } v ( t ) ≡ Aw cos { wt + δ } a) De estas ecuaciones se puede obtener la ecuación para la A, en particular para t=0,  v ( 0)  2 { x ( 0) } 2 A≡ +   w  2  −1,5  { 0} 2 Reemplazando datos, A ≡ +  ≡ 0,75  2  A ≡ 0,75 b) La ecuación para x. Analizando las ecuaciones para x(t) y v(t), x ( t ) ≡ 0,75 sen { 2t + δ } v ( t ) ≡ 1,5 cos { 2t + δ } Para t=0 y vecindades, x ( 0 ) ≡ 0, 75 sen { 2 ( 0 ) + δ } ≡ 0, 75 sen { δ } v ( 0 ) ≡ 1,5 cos { 2 ( 0 ) + δ } ≡ 1,5 cos { δ } Para satisfacer x(0)=0, δ ≡ 0 , π , el valor correcto es δ ≡ π , con lo cual las ecuaciones quedan, x ( t ) ≡ 0,75 sen { 2t + π } ≡ −0,75 sen { 2t} v ( t ) ≡ 1,5 cos { 2t + π } ≡ −1,5 cos { 2t} Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 197
  • 19. Cuaderno de Actividades: Física I S6P4) En el sistema mostrado en la figura Obtenga la expresión de la energía mecánica para todo instante de tiempo t. g k Si: X = A cos (w0 t + φ) g: aceleración de la gravedad + X=0 m - SOLUCION: En PE ′ : mg ≡ kd PE 0 Desde 0: x ≡ d + x ' d PE’ FR ≡ mg − kx ≡ mg − k { d + x '} 0’ x x’ ≡ mg − kd − kx ≡ 0 − kx ' ≡ −kx ' ≡ mx ≡ mx '   X, X’ k → '+ x x' ≡ 0 m Esta ecuación nos dice que desde 0’ se observara MAS de frecuencia k w≡ . Ahora, debido a que la fuerza resultante es FR ≡ −kx ' , cuando se m escriba la EM desde 0’ solo se considerara Epe, ello se deduce debido a que, como la FR ≡ −kx ' , es una fuerza elástica conservativa, solo tendrá asociada una energía potencial elástica, por lo tanto, EM ≡ EK + E pe Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 198
  • 20. Cuaderno de Actividades: Física I S6P32) Una placa P hace un movimiento armónico simple horizontal sobre una superficie sin fricción con una frecuencia ν = 1,5 Hz. Un bloque descansa sobre la placa, como se muestra en la figura adjunta y el coeficiente de fricción estático entre el bloque y la placa es µs = 0,6 ¿Cuál es la máxima amplitud de oscilación que puede tener el sistema sin que resbale el bloque sobre la placa? µs B SOLUCIÓN: k P a m Fres M 0 FRES , MAX ( M + m ) : aMAX4244A ≡ , MAS ≡ ω 2 → FRES , MAX ≡ ( M + m ) ω 2 A 14 3 ( M + m) FR FRES,MAX − f S F FRES,MAX − µ S mg M : aM ≡ ≡ → aM , MAX ≡ R ≡ M M M M a DCL (M): fS,M ≡ µs mg FRES FR ≡ FRES -µs mg De las ecuaciones anteriores, FRES − µS mg kAMAX − µ S mg ← k =ω( M + m ) 2 → ω 2 AMAX ≡ ≡ M M → ω 2 AMAX M ≡ ω 2 ( M + m ) AMAX − µ s mg µs g 0,6 x10 6 → µs m g ≡ ω 2 m AMAX → AMAX ≡ ≡ 2 → AMAX ≡ ω 2 ( 2π x1,5 ) 9π 2 Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 199
  • 21. Cuaderno de Actividades: Física I Observación: La antepenúltima ecuación sugiere solo comparar la aceleración máxima del MAS, del sistema (M+m), con la aceleración estática máxima de m. Discutir esto partiendo del cumplimiento del movimiento inminente de M respecto de m, siendo ésta un SRNI! (ℒ 3107090730) S6P6) En la figura mostrada halle la frecuencia angular w0 del MAS resultante, para pequeños desplazamientos x del centro de masa, si el disco homogéneo rueda k sin deslizar, considere, M≡ masa del disco, R R ≡ radio del disco y k ≡ constante del resorte. M SOLUCIÓN: t M k x pequeño → MAS , w0 = ? 0 FR x = s = Rθ P 0 o’ P // CM : τ = I α ’ 3 MR 2 2 644 744 8 1   3 τ = − ( kx ) R =  MR 2 + MR 2 θ = MR 2θ = −k [ Rθ ] R  2  2  2k 2k →θ + θ ≡ 0 ⇒ w0 = 3M 3M Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 200
  • 22. Cuaderno de Actividades: Física I S6P33) Un cilindro de peso W y radio r está suspendido por una cuerda que le da vuelta en la forma que se indica en la figura adjunta. Un extremo de la cuerda está unido directamente a un soporte rígido mientras que el otro extremo está unido a un resorte de constante de elasticidad k. Si el cilindro se gira un ángulo θ y se suelta, determine la frecuencia natural del sistema. k SOLUCION: r α) De la dinamica rotacional, θ P τ O : kxr − Tr ≡ − I Oα x P Por la “rodadura”: x ≡ rθ 0 O mr 2  T kx kr 2θ − Tr ≡ − θ ...1 ← W ≡ mg 2 x O’ De la dinámica traslacional, X θ w P’ P FR ≡ −T − kx + W ≡ m ( ) x  Usando nuevamente la rodadura, −T − krθ + W ≡ mrθ  xr : −Tr − kr 2θ + Wr ≡ mr 2θ ...2 3  De 1 y 2, −2krθ + W ≡ mrθ ...3 2  Haciendo, µ ≡ −2krθ + W → µ ≡ −2krθ  3  µ   4k 4kg →µ ≡ mr ×−  → µ + 3m µ ≡ 0 → w ≡ 3W  2  2k r  β ) 0′ { 0′ // 0} 3   τ 0' : ( kx ) ( 2r ) − W ( r ) ≡ −  mr 2 θ 1) 2  De la rodadura: x ≡ rθ 2) Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 201
  • 23. Cuaderno de Actividades: Física I 3 2  2) → 1): 2kr θ − W r ≡ − mr θ 2 3) 2  3 µ  4k Sea µ ≡ 2krθ − W → µ ≡ 2krθ → µ ≡ − m r ×  →µ+  µ ≡0 2 2k r 3m 4kg w≡ 3W Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 202