Cap 2 campo eléctrico y ley de gauss 19 38-2010 ii
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Cap 2 campo eléctrico y ley de gauss 19 38-2010 ii

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  • 1. Cuaderno de Actividades: Física II 2) CAMPO ELÉCTRICO Y LEY DE GAUSSLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 19
  • 2. Cuaderno de Actividades: Física II r2.1) Definición de campo eléctrico, E rEl vector E describe las propiedades eléctricas del espacio {medio}. r q0 r Fe r E r Fe P P E= → q0 q qDonde: q0 : Carga de prueba , q0 → + q0 → 0Campo eléctrico: Discusión… “Las interacciones del campo no son instantáneas” “La carga q modifica el medio que la rodea (campo)” r ELic. Percy Víctor Cañote Fajardo 20
  • 3. Cuaderno de Actividades: Física IIEcuaciones de Ei) q r r kqq0 ( r − r ′ ) r r3 rrq r − r′ kqr r r q PE ( rr ) = = r 3 , si r ′ ≡ 0 r q0 r r E (qrr ) r′ r rEn general : r rr r kq ( r − r ′ )Eq ( r ) = r r 3 r − r′ii) Distribuciones Discretas, DD qi qi P r E (qrr ) i r r ri = r r r r rr DD r i =n r rE ( r ) = ∑ E qi ( r ) ≡ ∑ r r 3 i ( i) i = n kq r − r i =1 i =1 r − riiii) Distribuciones continuas: continuas: j) VolumétricaLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 21
  • 4. Cuaderno de Actividades: Física II r r rρ k ρ dv′ ( r − r ′ ) E ( rr ) = ∫ r r 3 , v : representa el volumen ρ r − r′ jj) Superficial r r rσ kσ da′ ( r − r ′ ) E ( rr ) = ∫ r r 3 , a o s : representa el área σ r − r′ jjj) Lineal r r rλ k λ dl ′ ( r − r ′ ) E ( rr ) = ∫ r r 3 , l : representa la longitud λ r − r′“Las distribuciones de carga crean el campo”Observaciones rj) u E ≡ N   C r r Fejj) E = : definición operacional q0 r r r Fe = q0 E , Fe : Fuerza " sentida " por q0 . r E : creado por cierta distribución dejjj) cargas en la posición de q0 . rjv) El E es usado intensivamente en las ecuaciones.Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 22
  • 5. Cuaderno de Actividades: Física II2.2) Lineas de fuerza, LF ρ( rr ) r r r P rρ k ρ ( r ) dv′ ( r − r ′ ) E ( rr ) = ∫ r r3 ρ r − r′ r r′ r ∀ρ , E se obtiene por definicion r r → LEY DE GAUSS: ρ de alta simetría . r → Útil sólo para ρ de alta simetría: E “fácil” de calcular. → LF / LF=simetría ρ .Definición de lineas de fuerza r rSon las trayectorias descritas por las q0 debido a la Fe ≡ qE ( ) generada porcierta ρ . r Fe r ρ ( r ) q0 LF“La forma de las LF esta ligada a cómo se distribuye la q”Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 23
  • 6. Cuaderno de Actividades: Física IILF para diversas distribuciones de carga i) ρ ≡ q r Fe q0 ii) q q g|q| ρ : q1 − q2 g+- g dCaso especial: q1 ≡ q2 ≡ qq1 → +q2 → −d → " pequeña "Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 24
  • 7. Cuaderno de Actividades: Física II Dipolo eléctrico: Modelo más simple para describir sistemas cargados (cuando d se aprox. a 0) d q -q iii) ρ ≡ λ O λ λiv) ρ ≡ σ σ σ Ov) ρ ≡ ρ 0 ∨ ρ ( r )Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 25
  • 8. Cuaderno de Actividades: Física II Q = ∫ ρ dv QCaracterísticas r q0 rj) E tg LF Ejj) ρ+ ρ−jjj) No se cruzanjv) Distribución de LF: k) Densidad LF: Relacionada a la intensidad. kk) Uniformidad LF: Relacionada a campos constantes.¿? Prepare maquetas de LFs2.3) Ley de GaussLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 26
  • 9. Cuaderno de Actividades: Física IIEstablece la proporcionalidad entre el flujo eléctrico a través de cierta superficiecerrada, llamada gausiana y la carga eléctrica encerrada por dicha superficie. Johann Carl Friedrich Gauss, El príncipe de las matemáticas.Definición del flujo eléctrico, φE r rEs la cantidad física escalar que informa acerca de cuanto E atraviesa lasuperficie. r r r r r E φES ≡ φE ≡ ∫ E.ds ≡ ∫ E.da , r S S r r r ds = da : vector de area elemental da da r r → da ≡ da S=A da  r  → da ⊥ daLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 27
  • 10. Cuaderno de Actividades: Física IILey de Gauss r r φ r E ,SG = Ñ .da α ∫E qNE SG r r q SG Ñ∫ SG E.da ≡ NE ε0 qNE ≡ ∫ ρ dV SG Para simplificar los cálculos ver que: r r r E ⋅ da ≡ E da cosθ r r r r1º θ ≡ 0 ∨ π → E ⋅ da ≡ ± E da { } r r r r r2º E ≡ cte → E ⋅ da ≡ E da E sale dela ∫*SG, Superficie gaussiana {superficie. cerrada}¿? Investigue por lo menos una biografía del Príncipe de las Matemáticas.¿? Que otros flujos se usan en la Física.¿? Será posible matematizar las LFLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 28
  • 11. Cuaderno de Actividades: Física IIEjemplo Z λ dl = dz dq = λ dz r r′ r Y E r rX r1º Por la definición de E r rrλ k λ dl ′ ( r − r ′ ) r ˆ r = rj ( r − r ′ ) ≡ ( rj − zkˆ ) → r − r ′ ≡ r r ˆ r r r 2 + z2E ( rr ) = ∫ r r3 λ r − r′ r ˆ r ′ = zkr rEλ ( r ) = ∞ ˆ ( ˆ k λ dz rj − zk ) =E ˆ ∫ ˆ + Ez k j {r } y 2 32 −∞ 2 +z ∞ dzEy = kλr ∫ = ¿? −∞ {r 2 +z } 2 32 ∞ zdzEz = − k λ ∫ → 0, por simetria {r } 32 −∞ 2 +z 2Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 29
  • 12. Cuaderno de Actividades: Física II2º λ → alta simetría → Gauss λ λ r r r r da r E H H r E O SG=SCL+STS+STILic. Percy Víctor Cañote Fajardo 30
  • 13. Cuaderno de Actividades: Física II r r qNEÑE ⋅ da ≡∫SG ∫ SCL + ∫ STS + ∫ STI = ε0 6 8 7 678 r r r r da || E da ⊥ E r q r = ∫ SCL E da + 0 + 0 = NE , SG : E = cte ε0 r  r λH = E  ∫ da  = E { 2π rH } =  SCL  ε0 r λ → E = 2π rε 0S1P22)a) Localice en la figura los puntos donde el campo eléctrico es cero.b) Trace un dibujo cualitativo que muestre las líneas de fuerza del campo resultante.c) Haga un gráfico cualitativo de E vs. x, dónde E se evalúe en puntos del eje X.Solución: Q q- q+ E- P E+ S x d1 0 d0 d x k q+ k q− 2q 5q E+ ≡ E− → ≡ → ≡ d2 { d0 + d } 2a) Para el punto S: d2 1  2  + d 2  1 2  + d + d 2  ≡ 5d 2 4 Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 31
  • 14. Cuaderno de Actividades: Física II  1 2 ± 4 − 4 × 3×  −  1  2 2 + 103d 2 − 2d − ≡ 0 → d1,2 ≡ → d1 ≡ ≡ 0,9 2 2×3 6Igual en Q:E+ ≡ ( ) k 2q ≡ E− ≡ ( ) → 2d k 5q 2 ≡ 5d12 + 5d1 + 5 2 1  1 d12 4 d1 +   2 5 −5 ± 25 − 4 × 3 × 5 4 −5 ± 103d12 + 5d1 + ≡ 0 → d11,2 ≡ ≡ ≡ −0,3; −1,4 4 2×3 6 b) - + xc) Para el punto S:  r k { +2q} ˆ k { −5q} ˆ    2 5 ˆ ˆET ≡ 2 i+ 2 i ≡ kq  2 − 2  i ≡ ET i  1 x  x − 1  x  x −      2  2       2 5 1ET ≡ kq  2 − 2  ← x > ,L hay que especificar para cada región  x − 1  x  2   2   Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 32
  • 15. Cuaderno de Actividades: Física II E- y ET E+ 0,9 0 0,5 x E+ E+S1P7) En la distribución mostrada ρ0 es constante y q0 es una carga puntual. R0 ρ0 centro de la circunferencia Calcule la fuerza sobre q0 si d >> R0. q0 R0/2 dSolución: 0 0’ q r R0/2 d R0 ρ0Por superposición:Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 33
  • 16. Cuaderno de Actividades: Física II Q Q’ 0 0’ + ≡ r -ρ0 ρ0r r r  kQ  kQ  ˆEq0 ≡ EQq0 + EQ q0 ≡  2 + i ;   d ( d − R0 / 2 )   3 4 3 4 R  QQ ≡ ρ 0 π R0 , Q ≡ − ρ0 π  0  ≡ − 3 3 2 8    r 4π 3  1 1 ˆ ˆEq0 ≡ k ρ 0 R0  2 − 2 i ≡ Eq0 i 3  d  R  8 d − 0      2   R0Si d >> R0 → << 1{despreciando los cuadrados} d −2 −2 1 1  R   R   R → 2 ≡ 2 1 − 0  → 1 − 0  = 1 + 0   R  d  2d   2d   d  d 2 1 − 0   2d Usando la aproximación del Binomio de Newton:(1 − x) n ≈ 1 − nx cuando x << 1Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 34
  • 17. Cuaderno de Actividades: Física II 4 π R0  ( 1 + R0 / d )  3→ Eq0 = k ρ0 2  1−  3 d  8 144 244  3 4 R0  1  R0   3Eq0 = π k ρ0 2 1 − 1 +   3 d  8 d  3 1 R0  R Eq0 = π k ρ0 2 7 − 0  6 d  d ¿? Encuentre este resultado usando la definición. Analice la expresiónintegral.Ahora, usando r r r 1 3 R0  R ˆ F ≡ q0 E Fq0 = π q0 k ρ0 2 7 − 0  i 6 d  d S1P19) Un anillo fino aislante de radio R tiene una carga con densidad lineal λ(φ)= λ0 cosφ, donde λ0 es una constante positiva y φ el ángulo azimutal, ¿Cuál es el modulo del vector campo eléctrico? Z a) En el centro del anillo P b) En su eje a una distancia z≡d d de su centro. Analice la expresión obtenida para d >> R. λ r r 0 y r k λ (φ )dl ( r − r ) φ R a) E ( 0) ≡ ∫ r r 3 λ r −r x dq r r r r ≡ 0, r ≡ R cos φ i + Rsenφ ˆ ˆ j r→ ( r − r ) ≡ − R cos φ i − Rsenφ ˆ ˆ jr r 3r − r 1 ≡ R 3 ; dl ≡ RdφLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 35
  • 18. Cuaderno de Actividades: Física IIr −k λ0  2π  2  ˆ 1 E λ ( 0) ≡  ∫0  { cos φ dφ i + sen 2φ dφ ˆ   j R    2{   1 ( 1 + cos 2φ ) 2r −k λ0π ˆ r kλ πE λ ( 0) ≡ i → E λ ( 0) ≡ 0 R R r ˆ rb) r ≡ zk , r ≡ R cos φ i + Rsenφ ˆ ˆ j r r→ ( r − r ) ≡ − R cos φ i − Rsenφ ˆ + zk ˆ j ˆr r 3 { } 3/ 2r − r ≡ R2 + z 2 ; dq ≡ λ R dφ r −k λ0 R 2  2π  2  → Eλ ( z ) ≡ ˆ 1 sen 2 z ˆ  3/ 2  ∫0  { cos φ dφ i + { φ dφ ˆ − cos φ dφ k   j   { R +z 2 2 }    2 R{ rλ − k λ0π R 2 ˆ rλ k λ0π R 2E ( z) ≡ i → E ( z) ≡ , { } { } 3/ 2 3/ 2 R +z 2 2 R +z 2 2 rλ k λ0 R 2π lim E ( z ) ≡ z >> R z3S1P47) Determine el campo eléctrico de un disco de radio R con densidad superficial de carga uniforme, sobre puntos en el eje axial del disco.Solución: z A) Usando coordenadas r r polares (≡ coordenadas σ cilíndricas en el plano) rr y r y xLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 36
  • 19. Cuaderno de Actividades: Física II da=(rdθ)dr dr dθ r x θ r rr r kdq ( r − r ) rE ( r ) ≡ ∫ r r 3 ≡ kσ I σ r −rdq = σ da = σ ( rdθ dr )rr ≡ ( 0,0, z )rr ≡ ( r cosθ , rsenθ ,0 )r k ( σ rdθ dr ) ( −r cosθ , − rsenθ , z )I ≡∫ ( ) s 3/ 2 r2 + z2  R 2π≡ ∫ ∫ ( −r cosθ , −rsenθ , z ) rdθ dr    0 0 (  ) 3/ 2 r2 + z2   2π 2π∫0 cosθ dθ =0 ∫ 0 senθ dθ =0 (por evaluarse en sus periodos)r 2π R rzdrdθ ˆI ≡∫ ∫ k (r ) 0 0 3/ 2 2 + z2Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 37
  • 20. Cuaderno de Actividades: Física II   ≡  { ∫ dθ } ∫ ( 0 2π 0 R zrdr r2 + z2 ) 3/ 2 k  ˆ     rdr ≡ ( 2π ) z ∫ R kˆ  ( )  0 3/ 2 r2 + z2  r z  z ˆ E ( z ) ≡ kσ ( 2π )  − k z  R2 + z 2  ¿? Encuentre este resultado usando la definición con un elemento de área cartesiano. Analice la expresión integral.¿? Qué ocurre si R → ∞R→∞r z ˆ  kσ ( 2π ) k  ˆE ( z ) ≡ kσ ( 2π ) k ≡  z − kσ ( 2π ) k  ˆ r 1 σ E ( z ) ≡ k ( 2π ) σ ≡ ( 2π ) σ ≡  : El E de un plano! 4πε 0  2ε 0 (verifíquelo usando LG)B) Usando anillos de λ=σdr z r r σ rr y r xLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 38
  • 21. Cuaderno de Actividades: Física II r ˆ rb) r ≡ zk , r ≡ r cos φ i + rsenφ ˆ ˆ j r r→ ( r − r ) ≡ −r cos φ i − rsenφ ˆ + zk ˆ j ˆr r 3 { } 3/ 2r − r ≡ r2 + z2 ; dq ≡ λ rdφ r kσ rdr  2π   → dE λ ( z ) ≡ ˆ − rsenφ dφ ˆ + zdφ k   ˆ  3/ 2  ∫0  124  −r cos φ dφ i { j { r +z 2 2 }    4 3   R rλ kσ (2π ) zrdr ˆ rσ kσ (2π ) zrdr ˆdE ( z ) ≡ k → E ( z) ≡ ∫ k { } { } 3/ 2 2 3/ 2 r +z 2 2 0 r + z 2r z  z ˆ E ( z ) ≡ kσ ( 2π )  − k   z R +z  2 2 Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 39