83 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่10_คะแนนมาตรฐาน
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Like this? Share it with your network

Share

83 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่10_คะแนนมาตรฐาน

on

  • 6,370 views

 

Statistics

Views

Total Views
6,370
Views on SlideShare
6,370
Embed Views
0

Actions

Likes
2
Downloads
110
Comments
0

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

83 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่10_คะแนนมาตรฐาน Document Transcript

  • 1. คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล (เนื้อหาตอนที่ 10) คะแนนมาตรฐาน โดย อาจารย์ ดร.รตินันท์ บุญเคลือบ สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.) กระทรวงศึกษาธิการ
  • 2. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย สื่อการสอน เรื่อง สถิตและการวิเคราะห์ข้อมูล ิ สื่อการสอน เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 27 ตอนซึ่งประกอบด้วย1. บทนา เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล2. เนื้อหาตอนที่ 1 บทนา (เนื้อหา) - ความหมายของสถิติ - ข้อมูลและการนาเสนอข้อมูล - การสารวจความคิดเห็น3. เนื้อหาตอนที่ 2 แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 1 - ค่ากลางของข้อมูล4. เนื้อหาตอนที่ 3 แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 2 - แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง5. เนื้อหาตอนที่ 4 แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 3 - ค่าเฉลี่ยเลขคณิต - มัธยฐาน - ฐานนิยม - ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต - ค่ากลางฮาร์โมนิก6. เนื้อหาตอนที่ 5 การกระจายของข้อมูล - ตาแหน่งของข้อมูล7. เนื้อหาตอนที่ 6 การกระจายสัมบูรณ์ 1 - การกระจายสัมบูรณ์และการกระจายสัมพัทธ์ - พิสัย (ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่) - ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ (ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่) - ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่)8. เนื้อหาตอนที่ 7 การกระจายสัมบูรณ์ 2 - ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่) - ความแปรปรวน 1
  • 3. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 9. เนื้อหาตอนที่ 8 การกระจายสัมบูรณ์ 3 - พิสัย (ข้อมูลแจกแจงความถี่) - ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ (ข้อมูลแจกแจงความถี่) - ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (ข้อมูลแจกแจงความถี่) - ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (ข้อมูลแจกแจงความถี่)10. เนื้อหาตอนที่ 9 การกระจายสัมพัทธ์ - สัมประสิทธ์พิสัย - สัมประสิทธ์ของส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ - สัมประสิทธ์ของส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย - สัมประสิทธ์ของความแปรผัน11. เนื้อหาตอนที่ 10 คะแนนมาตรฐาน - คะแนนมาตรฐาน - การแจกแจงปกติ12. เนื้อหาตอนที่ 11 ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 1 - ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูล13. เนื้อหาตอนที่ 12 ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2 - ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันของข้อมูลที่อยู่ในรูปอนุกรมเวลา14. เนื้อหาตอนที่ 13 โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1 - โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 115. เนื้อหาตอนที่ 14 โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2 - โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 216. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 1)17. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 2)18. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 3)19. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 4)20. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 5)21. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง)22. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง การนาเสนอข้อมูล23. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง การวัดค่ากลางของข้อมูล24. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง การวัดการกระจายของข้อมูล25. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง การแจกแจงปกติ 2
  • 4. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย26. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง ความสัมพันธ์เชิงเส้นตรง27. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง ความสัมพันธ์เชิงพาราโบลาและความสัมพันธ์เชิงชี้กาลัง คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอน สาหรับครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใช้สื่อชุดนี้ร่วมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล นอกจากนี้หากท่านสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ในเรื่องอื่นๆที่ คณะผู้จัดทาได้ดาเนินการไปแล้ว ท่านสามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่อการสอนวิชา คณิตศาสตร์ทั้งหมดในตอนท้ายของคู่มือฉบับนี้ 3
  • 5. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัยเรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล (คะแนนมาตรฐาน)หมวด เนื้อหาตอนที่ 10 (10/14)หัวข้อย่อย 1. คะแนนมาตรฐาน 2. การแจกแจงปกติจุดประสงค์การเรียนรู้ เพื่อให้ผู้เรียน 1. เข้าใจความหมาย และสูตรในการคานวณคะแนนมาตรฐานของข้อมูลที่กาหนดมาให้ 2. เข้าใจสมบัติของคะแนนมาตรฐาน 3. เข้าใจสมบัติของข้อมูลที่มีการแจกแจงปกติ 4. เห็นความเชื่อมโยงระหว่างข้อมูลที่มีการแจกแจงปกติ คะแนนมาตรฐาน พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ มาตรฐาน และตาแหน่งของข้อมูลผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง ผู้เรียนสามารถ 1. อธิบายความหมาย และคานวณคะแนนมาตรฐานของข้อมูลที่กาหนดมาให้ได้ 2. ระบุสมบัติของคะแนนมาตรฐานและนาไปใช้ในการแก้ปัญหาได้ 3. อธิบายสมบัติของข้อมูลที่มีการแจกแจงปกติได้ 4. ระบุความเชื่อมโยงระหว่างข้อมูลที่มีการแจกแจงปกติ คะแนนมาตรฐาน พื้นที่ใต้เส้นโค้ง ปกติมาตรฐาน และตาแหน่งของข้อมูล และนาไปใช้ในการแก้ปัญหาได้ 4
  • 6. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่างสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย เนื้อหาในสื่อการสอน เนื้อหาทั้งหมด 5
  • 7. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่างสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 1. คะแนนมาตรฐาน 6
  • 8. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 1. คะแนนมาตรฐาน ในช่วงแรกสื่อได้แสดงให้เห็นถึงความสาคัญของการเปลี่ยนข้อมูล หรือที่เรียกว่าข้อมูลดิบ ให้เป็นคะแนนมาตรฐาน หรือค่ า มาตรฐาน เนื่องจากสูตรของคะแนนมาตรฐานนั้นเกี่ ย วข้องกั บค่าเฉลี่ย เลขคณิต และส่ว นเบี่ยงเบนมาตรฐานทั้งสาหรับประชากรและตัวอย่าง ครูจึงควรให้นักเรียนทบทวนสูตรการคานวณของค่าทั้งสองที่เกี่ยวข้อง โดยไม่ลืมเน้นย้าเรื่องความแตกต่างของสูตรในการคานวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรกับของตัวอย่างจากนั้นได้ยกตัวอย่างเกี่ยวกับการใช้สูตรในการหาคะแนนมาตรฐาน ตลอดจนตั้งข้อสังเกตเกี่ยวกับคะแนนมาตรฐานในที่นี้จะแสดงการพิสูจน์ข้อสังเกต 3 ที่ได้กล่าวถึงในสื่อตอนนี้ นั่นคือเมื่อแปลงค่า หรือคะแนนดิบในข้อมูลระดับประชากรชุดหนึ่งทุกๆ ค่าให้เป็นค่ามาตรฐาน แล้วนาค่ามาตรฐานเหล่านั้นมาคานวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบน จะได้เป็น 0 และ 1 ตามลาดับ 7
  • 9. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัยพิสูจน์ สมมติว่าข้อมูลชุดหนึ่งประกอบด้วย x 1, x 2, x 3, ..., x N มีค่าเฉลี่ยเลขคณิต และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน xiเป็น และ ตามลาดับ จะได้ว่า z i ทุก i {1, 2, 3, ..., N } N N xi 1 N N 1 Nดังนั้น zi xi xi N 0 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 N ziทาให้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลทั้งหมดที่ถูกทาให้เป็นค่ามาตรฐานมีค่าเท่ากับ z i 1 0 N Nต่อมาเนื่องจาก (x i )2 N 2 ทาให้ได้ว่า i 1 N (z i )2 2 z 1 N xi 1 N i 1 (x i )2 1 N N i 1 N 2 i 1นั่นคือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลทั้งหมดที่ถูกทาให้เป็นค่ามาตรฐานมีค่าเท่ากับ 1 Nจากบทพิสูจน์นี้จะได้ข้อสังเกตเพิ่มเติมคือ zi 0 i 1เมื่อมาถึงตอนนีครูอาจยกตัวอย่างเหล่านี้ประกอบ ้ตัวอย่าง 1 ในการสอบวิชาภาษาไทยครั้งหนึ่ง ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 50 และความแปรปรวนเท่ากับ 2.25ค่ามาตรฐานของผู้ที่สอบได้ 59 คะแนนจะมากกว่าค่ามาตรฐานของผู้ที่สอบได้ 44 คะแนนอยู่เท่าใดวิธีทา เนื่องจากความแปรปรวนเท่ากับ 2.25 ดังนั้นส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 2.25 1.5 8
  • 10. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 59 50ค่ามาตรฐานของผู้ที่สอบได้ 59 คะแนน คือ 6 และ 1.5ค่ามาตรฐานของผู้ที่สอบได้ 44 คะแนนคือ 44 50 4 1.5ดังนั้นทั้งคู่นี้มีค่ามาตรฐานต่างกันอยู่ 6 ( 4) 10ชวนคิ ด หากค านวณผลต่า งของคะแนนดิบ ก่ อนกล่ าวคือ 59 44 15 แล้ว จึง นาผลต่ างนี้ไ ปหาค่ ามาตรฐาน จะได้ผลลัพธ์ที่เหมือนหรือต่างจากตัวอย่าง 1 นี้หรือไม่อย่างไร จงให้เหตุผลประกอบตัวอย่าง 2 นาย ก สอบวิชาชีววิทยาได้คะแนน 86 คะแนน คิดเป็นค่ามาตรฐานเท่ากับ 1.8 ถ้าสัมประสิทธิ์ความแปรผันของคะแนนสอบครั้งนี้เป็น 0.4 จงหาความแปรปรวนของคะแนนสอบครั้งนี้ 86วิธีทา จากโจทย์จะได้ว่า 1.8 และ 0.4 นั่นคือ 86 1.8 และ 0.4 จะได้ว่า 1.72 86 นั่นคือ 50 และ 20 9
  • 11. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย แบบฝึกหัดเพิ่มเติมเรื่องคะแนนมาตรฐาน1. ในการสอบวิชาเคมีของนักเรียนห้องหนึ่ง มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตและความแปรปรวนเป็น 55 และ 100ตามลาดับ โดยนาย ก ได้คะแนนคิดเป็นคะแนนมาตรฐานเท่ากับ 1.7 คะแนน เมื่อรวมคะแนนจิตพิสัยที่นักเรียนทุกคนได้คนละ 5 คะแนนแล้ว นาย ข ได้คะแนนรวมมากกว่านาย ก อยู่ 7 คะแนน จงหาคะแนนรวมและค่ามาตรฐานของคะแนนรวมของนาย ข2. ให้ x 1, x 2, x 3, ..., x N เป็นความสูงในหน่วยเซนติเมตรของเด็กกลุ่มหนึ่ง และ y1, y2, y 3, ..., yN เป็นความสูงในหน่วยเซนติเมตรของพ่อของเด็กแต่ละคนในกลุ่มนั้น โดยที่แต่ละ i {1, 2, 3, ..., N } พบว่าyi 0.9xi ถ้าความสูงเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของความสูงของเด็กกลุ่มนี้เท่ากับ 120 54.8และ 8 แล้วพ่อของเด็กคนหนึ่งในกลุ่มนี้ที่มีความสูงคิดเป็นคะแนนมาตรฐานเท่ากับ 1.4 จะมีความสูงเป็นกี่เซนติเมตร3. ถ้าคะแนนสอบวิชาภาษาจีนของนักเรียน 60 คน มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 60 และความแปรปรวนเท่ากับ 100 โดยที่ผลรวมของค่ามาตรฐานของคะแนนของนักเรียนกลุ่มนี้เพียง 59 คนเท่ากับ 2.1 แล้วนักเรียนอีกคนหนึ่งได้คะแนนสอบเป็นเท่าใด4. ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนห้องหนึ่งซึ่งมีคะแนนเต็ม 80 คะแนน และสัมประสิทธิ์ของการ 2แปรผันของคะแนนเท่ากับ ถ้านาย ก สอบได้ 63 คะแนน คิดเป็นคะแนนมาตรฐานคือ 2 และนาย ข 5สอบได้คะแนนซึ่งคิดเป็นคะแนนมาตรฐานเท่ากับ 0.9 จงหาคะแนนสอบของนาย ข5. สมาคมลับแห่งหนึ่งคัดเลือกสมาชิกโดยมีเงื่อนไขว่า สมาชิกต้องมีค่ามาตรฐานของอายุไม่น้อยกว่า 1.5และไม่เกิน 3 ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตและความแปรปรวนของผู้มาสมัครเป็นสมาชิกสมาคมทั้งหมดเป็น 18และ 2 ตามลาดับ และเมื่อนาค่ามาตรฐานของอายุของผู้สมัครทั้งหมดมาหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานแล้วได้เท่ากับ จงหาอายุที่ใช้เป็นเกณฑ์ในการเลือกสมาชิกของสมาคมลับนี้ 2 10
  • 12. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่างสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 2. การแจกแจงปกติ 11
  • 13. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 2. การแจกแจงปกติ ในช่วงนี้ได้ทบทวนเกี่ยวกับการแจกแจงปกติ และเส้นโค้งของการแจกแจงปกติ หรือเรียกสั้นๆ ว่าเส้นโค้งปกติ พร้อมทั้ งบอกสมการของเส้นโค้งปกติ อย่างไรก็ดีสมการเส้นโค้งปกตินี้เป็นเนื้อหาที่เกิ นหลั ก สู ตรระดั บ มั ธ ยมศึ ก ษาตอนปลาย ซึ่ งสมการนี้เ ป็ นรู ปแบบหนึ่ ง ของฟั งก์ ชัน เกาส์เ ซีย น (Gaussianfunction) ซึ่งมีความสาคัญทั้งในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และคณิตศาสตร์ประยุกต์ รวมถึงสถิติชั้นสูงต่อไป 12
  • 14. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัยต่อมาได้แสดงลักษณะต่างๆ ของเส้นโค้งปกติของข้อมูลชุดต่างๆ ที่เป็นไปได้ เพื่อนาไปสู่เส้นโค้งปกติมาตรฐานที่ได้มาจากการเปลี่ยนคะแนนดิบของข้อมูลชุดใดๆ ก็ตามที่มีการแจกแจงปกติ ให้เป็นคะแนนมาตรฐานของคะแนนดิบนั้น เพื่อจะทาให้ได้เส้นโค้งการแจกแจงปกติมาตรฐานเส้นเดียวกันที่มี 0 และ 1 13
  • 15. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัยในช่วงนี้ได้กล่าวถึงสมบัติของเส้นโค้งการแจงแจกปกติ ซึ่งอย่าลืมว่าสมบัติเหล่านี้ยังคงเป็นจริงสาหรับเส้นโค้งการแจกแจงปกติมาตรฐานเช่นกัน 14
  • 16. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัยต่อมาได้อธิบายการใช้ตารางเพื่อหาพื้นที่ระหว่างเส้นโค้งปกติมาตรฐานกับแกนนอน ซึ่งมักจะเรียกว่าพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานนั่นเอง ทั้งนี้ครูควรเน้นย้าอีกครั้งว่า การใช้ตารางต้องดูหัวของตารางให้แน่ใจก่อนว่าพื้นที่ที่แสดงไว้ในตารางนั้น เป็นพื้นที่ในช่วง [0, z ] หรือ ในช่วง ( , z ] อีกทั้งยังต้องใช้สมบัติต่างๆ ของเส้นโค้งปกติที่ได้กล่าวไว้ก่อนหน้า เช่น ความสมมาตรของเส้นโค้งปกติ เป็นต้น 15
  • 17. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัยตัวอย่างตารางแสดงพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติในช่วง [0, z ]ที่มา:http://krupom.files.wordpress.com/2010/12/e0b895e0b8b2e0b8a3e0b8b2e0b887e0b981e0b8aae0b894e0b887e0b89ee0b8b7e0b989e0b899e0b897e0b8b5e0b988e0b983e0b895e0b989e0b980e0b8aae0b989.pdf 16
  • 18. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัยตัวอย่างตารางแสดงพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติในช่วง ( , z ]ที่มา: http://www.moojimoji.com/images/math/20090721171625.jpgเมื่อมาถึงตอนนี้ครูอาจให้นักเรียนฝึกอ่านพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติจากตารางทั้งสองแบบนี้ โดยแบ่งนักเรียนเป็นสองกลุ่มแล้วผลัดกันเป็นผู้ถาม และผู้ตอบ ทั้งนี้คาถามควรมีทั้งการหาพื้นที่ ใต้เส้นโค้งปกติเมื่อกาหนดค่ามาตรฐานมาให้ และในทางกลับกันคือกาหนดพื้นที่ ใต้เส้นโค้งปกติมาให้แล้วหาค่ามาตรฐาน ทั้งนี้คาถามในแบบที่สองนี้ควรถามถึงพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติในหลากหลายลักษณะ เช่น วัดพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติจากซ้ายสุดของเส้นโค้งปกติ หรือพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติที่อยู่ระหว่างค่ามาตรฐานสองค่า เช่นนี้เป็นต้น โดยผู้ถามอาจวาดรู ปประกอบเพื่อให้คาถามมีความชัดเจนนอกจากนี้ในกรณีที่ค่ามาตรฐานหรือพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติที่ต้องการไม่ปรากฏในตาราง นักเรียนยังสามารถใช้การเทียบสัดส่วนเพื่อประมาณค่าที่ต้องการได้ 17
  • 19. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัยตัวอย่าง 3 กาหนดพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติจาก z 0 ถึง z a เป็น 0.3400 จงประมาณค่า aวิธีทา จากตารางพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติในช่วง [0, z ] จะได้ว่าพื้นที่ใต้เส้นโค้งเท่ากับ 0.3389 ตรงกับค่ามาตรฐาน 0.99พื้นที่ใต้เส้นโค้งเท่ากับ 0.3400 ตรงกับค่ามาตรฐาน aพื้นที่ใต้เส้นโค้งเท่ากับ 0.3413 ตรงกับค่ามาตรฐาน 1.00 0.3400 0.3389 0.0011 a 0.99 a 0.99โดยการเทียบสัดส่วนจะได้ว่า 0.3413 0.3389 0.0024 0.01 1.00 0.99ดังนั้น a 0.99 0.0046 0.9946ตัวอย่าง 4 จงหาประมาณพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติจาก z 0 ถึง z 1.234วิธีทา จากตารางพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติในช่วง [0, z ] จะได้ว่าค่ามาตรฐาน 1.23 มีพื้นที่ใต้เส้นโค้งเท่ากับ 0.3907ค่ามาตรฐาน 1.234 มีพื้นที่ใต้เส้นโค้งเท่ากับ Aค่ามาตรฐาน 1.24 มีพื้นที่ใต้เส้นโค้งเท่ากับ 0.3925 A 0.3907 A 0.3907 0.004 1.234 1.23โดยการเทียบสัดส่วนจะได้ว่า 0.3925 0.3907 0.0018 0.01 1.24 1.23ดังนั้น A 0.3907 0.00072 0.39142เมื่ อ มาถึง ตอนนี้ หากมี นัก เรีย นสงสัย ว่า พื้ นที่ ใ ต้เ ส้น โค้ง ปกติใ นช่ว ง [0, z ], [0, z ), (0, z ] และ (0, z ) มีค วามแตกต่างกันหรือไม่อย่างไร ก็ขอให้ครูอธิบายกับนักเรียนอย่างใจเย็นว่า ให้พิจารณาการหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติโดยการตัดพื้นที่ดังกล่าวในแนวดิ่งให้ตั้งฉากกับแกนนอน จนพื้นที่นั้นเป็นแท่งผอมๆ หลายแท่ง แล้วมองว่า แต่ละแท่งเป็นเสมือนสี่เหลี่ยมผืนผ้า ที่มีพื้นที่ เท่ากับ ความกว้าง คูณ ความยาว ดังนั้นสาหรับจุดปลายที่ 0 และ z นั้นเสมือนว่าเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีแต่ความยาว แต่ความกว้างเท่ากับศูนย์ ดังนั้นจะรวมจุดปลายหรือไม่นั้น ไม่ทาให้ค่าพื้นที่ใต้เส้นโค้งเปลี่ยนแปลงแต่อย่างใด สาหรับนักเรียนที่สนใจคาอธิบายที่รัดกุมมากกว่านี้ ครูควรแนะนาให้นักเรียนผู้นั้นสอบตรงเข้าภาควิชาคณิต ศาสตร์ของมหาวิทยาลัยใดก็ได้ เพื่อเรียนรู้เกี่ยวกับเรื่องนี้ต่อไปในชั้นที่สูงขึ้นนอกจากนี้ค รูยั ง อาจให้นักเรีย นย้ อนกลับ ไปที่ พิ จารณาพื้ นที่ใ ต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานในช่วง [ 2, 2] ซึ่งคือ0.9544 ดั ง นั้ น ในทางสถิ ติ จ ะถื อ ว่ า หากข้ อ มู ล มี ก ารแจกแจงปกติ แ ล้ ว จะได้ ว่ า ข้ อ มู ล ที่ อ ยู่ ใ นช่ ว ง[ 2 , 2 ] มีอยู่ประมาณ 95% ของข้อมูลทั้งหมด ผลสรุปนี้เรียกว่ากฎ 95% (The 95% rule) 18
  • 20. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัยต่อมาได้กล่าวถึงความเชื่อมโยงระหว่างค่ามาตรฐาน พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ และเปอร์เซ็นต์ของข้อมูล ซึ่งจะเชื่อมโยงไปถึงเรื่องตาแหน่งของข้อมูล (ควอไทล์ เดไซล์ และเปอร์เซ็นไทล์)หากพิ จารณาให้ถี่ถ้ วนจะเห็นว่า ค่ า มาตรฐาน พื้ นที่ใ ต้เส้นโค้งปกติ และเปอร์เซ็นต์ข องข้อมูล ยั งมีความเชื่อมโยงกับความน่าจะเป็นอีกด้วย เช่น- สาหรับข้อมูลที่มีการแจกแจงปกติความน่าจะเป็นที่จะสุ่มหยิบข้อมูลมาตัวหนึ่งแล้วจะมากกว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนี้เป็น 0.5- สาหรับข้อมูลที่มีการแจกแจงปกติความน่าจะเป็นที่จะสุ่มหยิบข้อมูลมาตัวหนึ่งแล้วจะมากกว่าข้อมูลที่คิดเป็นค่ามาตรฐานเท่ากับ 1.64 เป็น 0.0505เป็นต้น 19
  • 21. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัยสุดท้ ายได้ยกตัวอย่า งที่หลากหลายเพื่ อให้เข้าใจความเชื่อมโยงระหว่างค่ามาตรฐาน พื้นที่ใ ต้เส้นโค้งปกติเปอร์เซ็นต์ของข้อมูล ตลอดจนตาแหน่งของข้อมูล 20
  • 22. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัยหลังจากเข้าใจตัวอย่างต่างๆ แล้ว สื่อได้ทิ้งปัญหาชวนคิดไว้ให้นักเรียนช่วยกันทาสาหรับปัญหานี้สามารถแก้ได้โดยวิธีทา พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติจาก ถึง ข้อมูลในตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 97.5 เท่ากับ 0.5 0.4750ทาให้ได้ว่าข้อมูลในตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 97.5 คิดเป็นค่ามาตรฐานได้เป็น 1.96 x 45ดังนั้นในกลุ่มนักเรียนหญิง จะหาข้อมูล x ที่คิดเป็นค่ามาตรฐานเท่ากับ 1.96 ได้โดยแก้สมการ 1.96 2ทาให้ x 48.92 กิโลกรัม 48.92 57ดังนั้นนักเรียนชายที่หนัก 48.92 กิโลกรัม คิดเป็นค่ามาตรฐานได้เป็น z 2.02 4เนื่องจากพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติจาก z 0 ถึง z 2.02 เท่ากับ 0.4783ทาให้พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติจาก ถึง z 2.02 เท่ากับ 0.5 0.4783 0.0217นั่นคือข้อมูลในตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 97.5 ของกลุ่มนักเรียนหญิง จะกลายเป็นข้อมูลในตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 2.17 ของกลุ่มนักเรียนชายนอกจากนี้ครูอาจยกตัวอย่างนี้เพิ่มเติมตัวอย่าง 5 ถ้าน้าหนักแรกเกิดของทารกในประเทศไทยมีการแจกแจงปกติ โดยในปี 2553 มีน้าหนักเฉลี่ย 2500กรัม และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 500 กรัม และในปี 2554 มีน้าหนักเฉลี่ย 3400 กรัม และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 400 กรัม น้าหนักแรกเกิดของทารกไทยคนหนึ่งอยู่ในตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 88.49 ในปี 2553 จะอยู่ในตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่เท่าใดในปี 2554วิธีทา พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติจาก ถึง ข้อมูลในตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 88.49 เท่ากับ 0.5 0.3849ทาให้ได้ว่าข้อมูลในตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 88.49 คิดเป็นค่ามาตรฐานได้เป็น 1.2 21
  • 23. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย x 2500ดังนั้นในปี 2553 จะหาข้อมูล x ที่คิดเป็นค่ามาตรฐานเท่ากับ 1.2 ได้โดยแก้สมการ 1.2 500ทาให้ x 3100 กรัม 3100 3400เด็กที่หนัก 3100 กรัมในปี 2554 คิดเป็นค่ามาตรฐานได้เป็น z 0.75 400เนื่องจากพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติจาก z 0 ถึง z 0.75 เท่ากับ 0.2734ทาให้พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติจาก ถึง z 0.75 เท่ากับ 0.5 0.2734 0.2266นั่นคือข้อมูลในตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 88.49 ในปี 2553 จะกลายเป็นข้อมูลในตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 22.66ในปี 2554 22
  • 24. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย แบบฝึกหัดเพิ่มเติมเรื่องการแจกแจงปกติ1. คะแนนสอบวิช าภาษาไทยของนักเรียนชั้นมัธ ยมศึกษาปีที่ 6 ในโรงเรียนแห่งหนึ่งมีการแจกแจงปกติ โดยคะแนนเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 30 และ 2.5 ตามลาดับ โดยกาหนดว่าผู้ที่ได้คะแนนมากกว่า27 คะแนนจึงจะสอบผ่าน จงหาเปอร์เซ็นต์ของผู้สอบผ่านมากกว่าหรือน้อยกว่าเปอร์เซ็นต์ของผู้สอบไม่ผ่านอยู่เท่าใด2. นักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่หกของโรงเรียนแห่งหนึ่งมี 400 คน โดยนาย ก นาย ข และ นาย ค เป็นนักเรียนในระดับชั้นนี้ของโรงเรียน ซึ่งเกรดเฉลี่ยของนาย ก อยู่ที่ตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 81.5 เกรดเฉลี่ยของนาย ข มีค่ามาตรฐานเท่ากับ 1 และนักเรียนในระดับชั้นนี้ของโรงเรียนที่ได้เกรดเฉลี่ยน้อยกว่า นาย ค มีจานวน 330 คน ถ้าหากเกรดเฉลี่ยของนักเรียนระดับชั้นนี้ของโรงเรียนดังกล่าวมีการแจกแจงปกติแล้ว จงเรียงลาดับเกรดเฉลี่ยของเด็กทั้งสามคนนี้จากมากที่สุดไปหาน้อยที่สุด3. ความสูงของคนกลุ่มหนึ่งมีการแจกแจงปกติ โดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น และความแปรปรวนเป็น 2 ถ้านายก มีความสูง 0.15 ปี จานวนคนในกลุ่มนี้ที่มีอายุมากกว่านาย ก เป็นร้อยละเท่าใด4. คะแนนสอบของนักเรียนกลุ่มหนึ่งมีการแจกแจงปกติ โดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิต และสัมประสิทธิ์ของความแปรผันเท่ากับ 50 และ 20% ตามลาดับ นาย ก สอบได้คะแนนในตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 83.4 แล้วนาย ก สอบได้คะแนนเท่าใด5. ถ้าคะแนนสอบวิชาภาษาฝรั่งเศสของนักเรียนกลุ่มหนึ่งซึ่งมีจานวน 20000 คน มีการแจกแจงปกติ ที่มีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 20 จงหาจานวนนักเรียนที่สอบได้คะแนนซึ่งต่างจากคะแนนเฉลี่ยมากกว่า 206. นาย ก สอบวิชาสังคมศึกษาสองครั้ง ซึ่งคะแนนสอบมีการแจกแจงปกติทั้งสองครั้ง โดยครั้งที่หนึ่งคะแนนสอบคิดเป็นค่ามาตรฐานเท่ากับ 1.96 และครั้งที่สองคะแนนสอบคิดเป็นตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 98.3 ถ้าในการสอบทั้งสองครั้งมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากัน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบครั้งที่หนึ่ง และครั้งที่สองเป็น10 และ 5 ตามล าดับ แล้วจงหาว่าคะแนนสอบในครั้ งที่ หนึ่ง มากกว่าหรือน้อยกว่าครั้ง ที่สองอยู่เท่า ใด และค่ ามาตรฐานของคะแนนสอบในครั้งที่หนึ่งมากกว่าหรือน้อยกว่าครั้งที่สองอยู่เท่าใด7. น้าหนักของเด็กเล็กกลุ่มหนึ่งมีการแจกแจงปกติ โดยมีฐานนิยมเท่ากับ 10 กิโลกรัม และสัมประสิทธิ์ของการแปรผันเท่ากับ 20% แล้วนักเรียนที่หนักมากกว่า 8 กิโลกรัม แต่น้อยกว่า 13 กิโลกรัมคิดเป็นกี่เปอร์เซ็นต์ 23
  • 25. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย8. ข้อมูลชุดหนึ่งมีการแจกแจงปกติที่มีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 10 จงหาผลต่างของข้อมูลที่อยู่ในตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 97.5 กับข้อมูลที่อยู่ตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 339. ความสูง ของกลุ่ ม นัก เรีย นหญิง และกลุ่ม นั ก เรีย นชายมี ก ารแจกแจงปกติโ ดยที่ ค่ าเฉลี่ย เลขคณิ ตและส่ว นเบี่ยงเบนมาตรฐานของความสูงของกลุ่มนักเรียนหญิงเป็น 165.7 และ 4 ตามลาดับ ในขณะที่ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของความสูงของกลุ่มนักเรียนชายเป็น 169 และ 5 ตามลาดับ ถ้านักเรียนชายคนหนึ่งมีความสูงตรงกับเปอร์เซ็นไทล์ที่ 90.99 ของกลุ่มนักเรียนชาย แล้วจานวนนักเรียนหญิงที่มีความสูงน้อยกว่าความสูงของนักเรียนชายผู้นี้คิดเป็นร้อยละเท่าใดของนักเรียนหญิง10. คะแนนสอบวิชาสุขศึกษาของนักเรียนห้องหนึ่งมีการแจกแจงปกติ นาย ก และ นาย ข เป็นนักเรียนของห้องนี้ โดยที่มีนักเรียน 16.6% สอบได้คะแนนมากกว่านาย ก และ มีนักเรียนอยู่ 5.71% ที่สอบได้คะแนนน้อยกว่านาย ข นอกจากนี้นาย ก ยังได้คะแนนมากกว่านาย ข อยู่ 51 คะแนน จงหาความแปรปรวนของการสอบครั้งนี้ 24
  • 26. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่างสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย สรุปสาระสาคัญประจาตอน 25
  • 27. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่างสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย สรุปสาระสาคัญประจาตอน 26
  • 28. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่างสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ภาคผนวกที่ 1 แบบฝึกหัด/เนื้อหาเพิ่มเติม 27
  • 29. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย แบบฝึกหัดระคน1. คะแนนสอบวิชาฟิสิกส์ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ของโรงเรียนแห่งหนึ่งมีการแจกแจงปกติ โดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น 69 คะแนน ถ้านักเรียนที่สอบได้คะแนนมากกว่า 85 คะแนน มีอยู่ 15.87% จงหาความแปรปรวนและค่าประมาณของสัมประสิทธิ์ของการแปรผันของคะแนนสอบวิชานี้2. ถ้าความสูงของนักเรียนห้องหนึ่งมีการแจกแจงปกติที่มีมัธยฐานเท่ากับ 150 เซนติเมตร และมีนักเรียนที่สูงน้อยกว่า 148 เซนติเมตรอยู่ 34.46% จงหาค่าประมาณของสัมประสิทธ์ของการแปรผันของความสูงของนักเรียนห้องนี้3. ในการสอบวิชาภาษาอาหรับของนักเรียนห้องหนึ่ง นักเรียนคนหนึ่งสอบได้ 43.75 คะแนน คิดเป็นค่ามาตรฐานได้เท่ากับ 0.5 และสัมประสิทธิ์ของการแปรผันของคะแนนนักเรียนห้องนี้เท่ากับ 25% จงหาค่าเฉลี่ยของคะแนนสอบของนักเรียนห้องนี้4. ในการสอบปลายภาคของนักเรียนห้องหนึ่ง วิเคราะห์แล้วได้ความว่าคนที่สอบได้ 97 คะแนน จะคิดเป็นคะแนนมาตรฐานเท่ากับ 4 และ คนที่สอบได้ 20 คะแนนจะคิดเป็นคะแนนมาตรฐานเท่ากับ 3 จงหาค่าประมาณของสัมประสิทธิ์การแปรผันของคะแนนสอบของนักเรียนห้องนี้5. คะแนนสอบวิชาพุทธศาสนาของนักเรียนชั้นหนึ่ง ซึ่งมีอยู่สองห้อง มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวมเท่ากับ 74คะแนน โดยที่ห้องที่ 1 และ ห้องที่ 2 มีนักเรียน 20 และ 30 คน ตามลาดับ ถ้าคะแนนเฉลี่ยของนักเรียนห้องที่ 1 เท่ากับ 50 คะแนน และเมื่อแยกพิจารณาทราบว่านักเรียนห้องที่ 1 ที่สอบได้ 55 คะแนน คิดเป็นค่ามาตรฐาน 1 เท่ากันกับค่ามาตรฐานของนักเรียนในห้อ งที่ 2 ที่สอบได้ 94 คะแนน จงหาความแปรปรวนของคะแนนของนักเรียนในห้องที่ 1 และห้องที่ 26. ถ้าน้าหนักของเด็กเล็กกลุ่มหนึ่งมีการแจกแจงปกติ โดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็นสามเท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และ 55.57% ของนักเรียนกลุ่มนี้มีน้าหนักน้อยกว่า 15.7 กิโลกรัม แล้วนักเรียนที่มีน้าหนักน้อยกว่า 13 กิโลกรัม รวมกับนักเรียนที่มีน้าหนักมากกว่า 18 กิโลกรัมมีอยู่ร้อยละเท่าใด7. การแจกแจงความสูงของนักเรียนกลุ่มหนึ่งเป็นการแจกแจงปกติ ถ้านักเรียนที่มีความสูงมากกว่า 149.45เซนติเมตร มีอยู่ 2.94% และนักเรีย นที่มีความสูงน้อยกว่ามัธยฐานแต่มากกว่า 136.5 เซนติเมตร มีอยู่25.8% แล้วจงหาสัมประสิทธิ์การแปรผันของความสูงของนักเรียนกลุ่มนี้ 28
  • 30. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย8. คะแนนสอบของเด็กกลุ่มหนึ่งมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตและความแปรปรวนเท่ากับ 60 และ 225 ตามลาดับ ถ้านาย ก และนาย ข เป็นเด็กกลุ่มนี้ซึ่งคะแนนมาตรฐานของนาย ก มากกว่านาย ข อยู่ 3.4 และผลบวกของคะแนนสอบของคนทั้งสองเท่ากับ 142.5 คะแนน จงหาค่ามาตรฐานของคะแนนของนาย ก และ คะแนนสอบของนาย ข9. ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนห้องที่ 1 และห้องที่ 2 พบว่าคะแนนของทั้งสองห้องมีการแจกแจงปกติ โดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากัน และเท่ากับ และสัมประสิทธิ์ของการแปรผันของคะแนนของ 5นักเรียนห้องที่ 1 น้อยกว่าห้องที่สองอยู่ ผู้ที่สอบได้คะแนนเป็นตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 78.81 ของห้องที่ 1 ได้คะแนนสอบมากกว่าหรือน้อยกว่าผู้ที่สอบได้คะแนนเป็นตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์เดียวกันในห้องที่ 2อยู่กี่คะแนน10. อายุของพนักงานบริษัทแห่งหนึ่งมีการแจกแจงปกติที่มีความแปรปรวนเท่ากับ 4 และมีพนักงานจานวน 50.4% ที่มีอายุไม่เกิน 34 ปี ต่อมาเมื่อพิจารณาอายุของพนักงานในบริษัทนี้อีก 2 ปีข้างหน้า ให้ a เป็นตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ของพนักงานที่อายุ 36 ปี และ b เป็นจานวนเปอร์เซ็นต์ของพนักงานที่มีอายุ (หน่วยเป็นปี) อยู่ในช่วง [34, 36] แล้ว จงหา a และ b 29
  • 31. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่างสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ภาคผนวกที่ 2 เฉลยแบบฝึกหัด 30
  • 32. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย เฉลยแบบฝึกหัดเพิมเติมเรื่องคะแนนมาตรฐาน ่1. 72 คะแนน; 2.92. 152.72 เซนติเมตร3. 39 คะแนน4. 22.4 คะแนน5. อายุตั้งแต่ 21 ถึง 24 ปี เฉลยแบบฝึกหัดเพิมเติมเรื่องการแจกแจงปกติ ่1. มากกว่าอยู่ 76.98% 2. ข, ค, ก 3. 55.96 4. 59.7 คะแนน 5. 6348 คน6. คะแนนสอบครั้งที่ 1 มากกว่าคะแนนสอบครั้งที่ 2 อยู่ 9 คะแนน; ค่ามาตรฐานของคะแนนสอบครั้งที่ 1 น้อยกว่าค่ามาตรฐานของคะแนนสอบครั้งที่ 2 อยู่ 0.167. 77.45% 8. 24 9. 99.38 10. 400 คะแนน 2 เฉลยแบบฝึกหัดระคน 16 1 111. 256 ; 0.23 2. 0.03 3. 50 คะแนน 4. 0.21 69 30 53 15. 25 ; 16 คะแนน 2 6. 61.89 7. 0.04 288. 2.45 ; 45.75 คะแนน 9. มากกว่าอยู่ 4 คะแนน 10. 50.4 ; 37.88 31
  • 33. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่างสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ จานวน 92 ตอน 32
  • 34. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ จานวน 92 ตอน เรื่อง ตอนเซต บทนา เรื่อง เซต ความหมายของเซต เซตกาลังและการดาเนินการบนเซต เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ บทนา เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ การให้เหตุผล ประพจน์และการสมมูล สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล ประโยคเปิดและวลีบงปริมาณ ่ สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องหอคอยฮานอย สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องตารางค่าความจริงจานวนจริง บทนา เรื่อง จานวนจริง สมบัติของจานวนจริง การแยกตัวประกอบ ทฤษฏีบทตัวประกอบ สมการพหุนาม อสมการ เทคนิคการแก้อสมการ ค่าสัมบูรณ์ การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์ กราฟค่าสัมบูรณ์ สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องช่วงบนเส้นจานวน สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องสมการและอสมการพหุนาม สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟค่าสัมบูรณ์ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น บทนา เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น การหารลงตัวและจานวนเฉพาะ (การหารลงตัวและตัววคูณร่วมมาก) ตัวหารร่วมมากและตั หารร่ มน้อยความสัมพันธ์และฟังก์ชัน บทนา เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ความสัมพันธ์ 33
  • 35. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย เรื่อง ตอนความสัมพันธ์และฟังก์ชัน โดเมนและเรนจ์ อินเวอร์สของความสัมพันธ์และบทนิยามของฟังก์ชัน ฟังก์ชันเบื้องต้น พีชคณิตของฟังก์ชัน อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชันอินเวอร์ส ฟังก์ชันประกอบฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม ้ บทนา เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม เลขยกกาลัง ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม ้ ลอการิทึม อสมการเลขชี้กาลัง อสมการลอการิทึมตรีโกณมิติ บทนา เรื่อง ตรีโกณมิติ อัตราส่วนตรีโกณมิติ เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหน่วย ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 2 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 3 กฎของไซน์และโคไซน์ กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องมุมบนวงกลมหนึงหน่วย ่ สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกฎของไซน์และกฎของโคไซน์กาหนดการเชิงเส้น บทนา เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์ การหาค่าสุดขีดลาดับและอนุกรม บทนา เรื่อง ลาดับและอนุกรม ลาดับ การประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเรขาคณิต ลิมิตของลาดับ ผลบวกย่อย อนุกรม ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม 34
  • 36. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย เรื่อง ตอนการนับและความน่าจะเป็น บทนา เรื่อง การนับและความน่าจะเป็น . การนับเบื้องต้น การเรียงสับเปลี่ยน การจัดหมู่ ทฤษฎีบททวินาม การทดลองสุ่ม ความน่าจะเป็น 1 ความน่าจะเป็น 2สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล บทนา เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล บทนา เนื้อหา แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 1 แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 2 แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 3 การกระจายของข้อมูล การกระจายสัมบูรณ์ 1 การกระจายสัมบูรณ์ 2 การกระจายสัมบูรณ์ 3 การกระจายสัมพัทธ์ คะแนนมาตรฐาน ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 1 ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2 โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1 โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2โครงงานคณิตศาสตร์ การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย ปัญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส การถอดรากที่สาม เส้นตรงล้อมเส้นโค้ง กระเบื้องที่ยืดหดได้ 35