• Like
76 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่3_แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง2
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

76 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่3_แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง2

  • 1,119 views
Uploaded on

 

  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Be the first to comment
No Downloads

Views

Total Views
1,119
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0

Actions

Shares
Downloads
84
Comments
0
Likes
3

Embeds 0

No embeds

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล (เนื้อหาตอนที่ 3) แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 2 โดย อาจารย์ ดร.รตินันท์ บุญเคลือบ สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.) กระทรวงศึกษาธิการ
  • 2. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย สื่อการสอน เรื่อง สถิตและการวิเคราะห์ข้อมูล ิ สื่อการสอน เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 27 ตอนซึ่งประกอบด้วย1. บทนา เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล2. เนื้อหาตอนที่ 1 บทนา (เนื้อหา) - ความหมายของสถิติ - ข้อมูลและการนาเสนอข้อมูล - การสารวจความคิดเห็น3. เนื้อหาตอนที่ 2 แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 1 - ค่ากลางของข้อมูล4. เนื้อหาตอนที่ 3 แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 2 - แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง5. เนื้อหาตอนที่ 4 แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 3 - ค่าเฉลี่ยเลขคณิต - มัธยฐาน - ฐานนิยม - ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต - ค่ากลางฮาร์โมนิก6. เนื้อหาตอนที่ 5 การกระจายของข้อมูล - ตาแหน่งของข้อมูล7. เนื้อหาตอนที่ 6 การกระจายสัมบูรณ์ 1 - การกระจายสัมบูรณ์และการกระจายสัมพัทธ์ - พิสัย (ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่) - ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ (ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่) - ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่)8. เนื้อหาตอนที่ 7 การกระจายสัมบูรณ์ 2 - ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่) - ความแปรปรวน 1
  • 3. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 9. เนื้อหาตอนที่ 8 การกระจายสัมบูรณ์ 3 - พิสัย (ข้อมูลแจกแจงความถี่) - ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ (ข้อมูลแจกแจงความถี่) - ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (ข้อมูลแจกแจงความถี่) - ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (ข้อมูลแจกแจงความถี่)10. เนื้อหาตอนที่ 9 การกระจายสัมพัทธ์ - สัมประสิทธ์พิสัย - สัมประสิทธ์ของส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ - สัมประสิทธ์ของส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย - สัมประสิทธ์ของความแปรผัน11. เนื้อหาตอนที่ 10 คะแนนมาตรฐาน - คะแนนมาตรฐาน - การแจกแจงปกติ12. เนื้อหาตอนที่ 11 ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 1 - ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูล13. เนื้อหาตอนที่ 12 ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2 - ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันของข้อมูลที่อยู่ในรูปอนุกรมเวลา14. เนื้อหาตอนที่ 13 โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1 - โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 115. เนื้อหาตอนที่ 14 โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2 - โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 216. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 1)17. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 2)18. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 3)19. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 4)20. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 5)21. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง)22. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง การนาเสนอข้อมูล23. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง การวัดค่ากลางของข้อมูล24. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง การวัดการกระจายของข้อมูล25. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง การแจกแจงปกติ 2
  • 4. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย26. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง ความสัมพันธ์เชิงเส้นตรง27. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง ความสัมพันธ์เชิงพาราโบลาและความสัมพันธ์เชิงชี้กาลัง คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอน สาหรับครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใช้สื่อชุดนี้ร่วมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล นอกจากนี้หากท่านสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ในเรื่องอื่นๆที่ คณะผู้จัดทาได้ดาเนินการไปแล้ว ท่านสามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่อการสอนวิชา คณิตศาสตร์ทั้งหมดในตอนท้ายของคู่มือฉบับนี้ 3
  • 5. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัยเรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล (แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 2)หมวด เนื้อหาตอนที่ 3 (3/14)หัวข้อย่อย 1. มัธยฐาน (ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่) 2. ค่ากลางอื่นๆ (ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่) 3. การเลือกใช้ค่ากลาง 4. แผนภาพต้น-ใบจุดประสงค์การเรียนรู้ เพื่อให้ผู้เรียน 1. สามารถหามัธยฐานของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่ได้ 2. สามารถหาค่ากลางอื่นๆ ได้แก่ เรขาคณิต ฮาร์โมนิก และกึ่งกลางพิสัย ของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่ได้ 3. สามารถเลือกใช้ค่ากลางได้อย่างเหมาะสม 4. สามารถนาเสนอข้อมูลในรูปแผนภาพต้น-ใบได้ 5. สามารถอ่านข้อมูลที่นาเสนอในรูปแผนภาพต้น-ใบและนาไปใช้ในการคานวณค่ากลางต่างๆ ของข้อมูลได้ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง ผู้เรียนสามารถ 1. อธิบายความหมายและคานวณค่ามัธยฐานของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่ได้ 2. อธิบายสมบัติของมัธยฐานและนาไปใช้ได้ 3. อธิบายความหมายและคานวณค่ากลางอื่นๆ ของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่ได้ 4. ให้เหตุผลในการเลือกใช้ค่ากลางจากข้อมูลที่กาหนดให้ได้ 5. นาเสนอข้อมูลด้วยแผนภาพต้น-ใบได้ 6. ระบุข้อดีของการนาเสนอข้อมูลในรูปแผนภาพต้น-ใบ และนามาใช้คานวณค่ากลางของข้อมูลได้ 4
  • 6. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่างสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย เนื้อหาในสื่อการสอน เนื้อหาทั้งหมด 5
  • 7. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่างสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 1. มัธยฐาน 6
  • 8. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 1. มัธยฐานในสื่อตอนนียังคงมุ่งที่จะคานวณค่ากลางของข้อมูลที่ยังไม่ได้แจกแจงความถี่โดยจะกล่าวถึง มัธยฐาน ค่าเฉลี่ย ้เรขาคณิต ค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิก และกึ่งกลางพิสัย อีกทั้งการเลือกใช้ค่ากลางให้เหมาะสมกับข้อมูลที่กาหนดให้ และสุดท้ายได้กล่าวถึงการนาเสนอข้อมูลอีกรูปแบบหนึ่ง คือการใช้แผนภาพต้น-ใบในช่วงนี้ได้กล่าวถึงบทนิยามและการคานวณหาค่ามัธยฐาน ซึ่งเป็นค่ากลางอีกค่าหนึ่งที่นิยมใช้เป็นตัวแทนของข้อมูล ครูควรย้ากับนักเรียนว่า การหามัธยฐานของข้อมูลนั้นต้องมีการเรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก หรือจากมากไปน้อยก่อน ดังนั้นข้อมูลที่จะนามาหามัธยฐานจึงต้องเป็นข้อมูลที่สามารถเปรียบเทียบกันได้หมายเหตุ ในสื่อและคู่มือชุดนี้จะเรียงข้อมูลจากน้อยไปมากเท่านั้น 7
  • 9. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัยเนื่องจากข้อมูลที่สนใจในตอนนี้เป็นข้อมูลที่ยังไม่แจกแจงความถี่นักเรียนน่าจะสังเกตกันได้ไม่ยากว่าหลังจากเรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก ข้อมูลในตาแหน่งที่เท่าไรจะเป็นข้อมูลที่อยู่ตรงกลางของข้อมูลทั้งหมด สาหรับสัญลักษณ์ที่ใช้แทนมัธยฐานไม่ว่าข้อมูลนั้นจะเป็นระดับประชากรหรือตัวอย่างอาจใช้ Med หรือ Me ทั้งนี้มาจากคาว่าMedian นั่นเอง นอกจากนี้ครูควรย้ากับนักเรียนว่าสิ่งที่นักเรียนต้องคานวณก่อนเมื่อเรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก(หรือจากมากไปน้อย) แล้วคือตาแหน่งของมัธยฐาน แล้วจากตาแหน่งจึงนาไปสู่มัธยฐานซึ่งเป็นคาตอบที่ต้องการในตาราบางเล่มอาจกล่าวว่ามัธยฐานคือจานวนจริงที่เมื่อเรียงข้อมูลที่สนใจจากน้อยไปมาก (หรือจากมากไปน้อย)แล้ว มีข้อมูลที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับจานวนจริงนี้อยู่ร้อยละ 50 และมีข้อมูลที่มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับจานวนจริงนี้อยู่ร้อยละ 50 เช่นกัน ดังนั้นสาหรับบทนิยามของมัธยฐานในลักษณะนี้ ข้อมูล 150, 155, 177, 180 อาจมีจานวนจริงใดๆ ในช่วง (155,177) เป็นมัธยฐานก็ได้ แต่โดยทั่วไปแล้วจะเลือกให้เป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลสองข้อมูลที่อยู่ระหว่างกลางของข้อมูลทั้งหมดดังที่ได้นาเสนอไปในสื่อชุดนี้ 8
  • 10. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัยเมื่อมาถึงตอนนี้ครูอาจให้นักเรียนช่วยกันอภิปรายสถานการณ์ต่อไปนี้ เพื่อให้เข้าใจความหมายของมัธยฐานมากขึ้นสถานการณ์ ในปี 1980 มีรายงานว่ามัธยฐานของอายุของประชากรในประเทศสหรัฐอเมริกาเท่ากับ 30 ปี แต่ในปี2011 จะเพิ่มขึ้นเป็น 36 ปี ถ้าอุตสาหกรรมผลิตเครื่องอานวยความสะดวกต่างๆ ของประเทศสหรัฐอเมริกา เจาะกลุ่มลูกค้าที่มีอายุอยู่ในช่วง 18 30 ปี แล้วการที่มัธยฐานของอายุของประชากรเพิ่มขึ้นมีผลกระทบกับอุตสาหกรรมนี้หรือไม่อย่างไรนอกจากนีครูอาจให้ตัวอย่างเหล่านี้เพิ่มเติม ้ตัวอย่าง 1 สาหรับจานวนจริง a และ d ใดๆ จงหามัธยฐานของข้อมูล a, a d, a 2d, ..., a (N 1)dวิธีทา สาหรับข้อมูลที่กาหนดให้มีอยู่ทั้งสิ้น N ตัว หาก d เป็นจานวนจริงบวก ข้อมูลชุดนี้จะเรียงจากน้อยไปมาก หาก d 0 ข้อมูลชุดนี้จะเท่ากันหมด และหาก d เป็นจานวนจริงลบ ข้อมูลชุดนี้จะเรียกจากมากไปน้อย N 1ดังนั้นตาแหน่งของมัธยฐานของข้อมูลชุดนี้คือ 2 N 1นั่นคือถ้า N เป็นจานวนคี่ มัธยฐานของข้อมูลชุดนี้เป็น a d 2 N N a d a 1d 2 2 N 1แต่ถ้า N เป็นจานวนคู่ มัธยฐานของข้อมูลชุดนี้เป็น a d 2 2สังเกตว่าในกรณีที่ N เป็นจานวนคี่ มัธยฐานมีค่าเท่ากับข้อมูลตัวหนึ่งในชุดนี้ และมีค่าเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนี้เช่นกันตัวอย่าง 2 สาหรับจานวนจริง a และจานวนจริงบวก r ใดๆ จงหามัธยฐานของข้อมูล a, ar, ar 2, ..., ar N 1วิธีทา สาหรับข้อมูลที่กาหนดให้มีอยู่ทั้งสิ้น N ตัว หาก r (0,1) ข้อมูลชุดนี้จะเรียงจากมากไปน้อย หากr 1 ข้อมูลชุดนี้จะเท่ากันหมด และหาก r (1, ) ข้อมูลชุดนี้จะเรียกจากน้อยไปมาก ดังนั้นตาแหน่ง N 1ของมัธยฐานของข้อมูลชุดนี้คือ 2 N 1นั่นคือถ้า N เป็นจานวนคี่ มัธยฐานของข้อมูลชุดนี้เป็น ar 2 N N 1 N ar 2 ar 2 1 rแต่ถ้า N เป็นจานวนคู่ มัธยฐานของข้อมูลชุดนี้เป็น ar 2 2 2 9
  • 11. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัยตัวอย่าง 3 ข้อมูลชุดหนึ่งเรียงลาดับจากน้อยไปมากได้เป็น 1, 2, 3, 3, a, b, 6, 6, 9, 12 ถ้าฐานนิยมและมัธยฐานของข้อมูลชุดนี้เป็น 3 และ 4 ตามลาดับแล้วจงหาค่า abวิธีทา จากข้อมูลและโจทย์ที่ว่าฐานนิยมของข้อมูลชุดนี้เป็น 3 ทาให้ได้ว่า a 3และตาแหน่งของมัธยฐานคือ 10 1 5.5 ดังนั้นจากโจทย์ที่ว่ามัธยฐานของข้อมูลชุดนี้เป็น 4 2 a b 3 bทาให้ได้ว่า 4 2 2นั่นคือ b 5 จะได้ว่า ab 15 10
  • 12. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัยในช่วงนี้ได้ให้สมบัติของมัธยฐานที่สาคัญ จะเห็นว่าสมบัติแรกคล้ายกับสมบัติของค่าเฉลี่ยเลขคณิตที่ว่า N n (x i a )2 มีค่าน้อยที่สุดเมื่อ a แต่ | xi a | มีค่าน้อยที่สุดเมื่อ a Mei 1 i 1โดยอาศัยอสมการสามเหลี่ยม ที่กล่าวว่า สาหรับจานวนจริง a และ b ใดๆจะได้ว่า | a b | | a | | b |ทาให้การพิสูจน์สมบัติข้อ 1 ของมัธยฐานนั้นสามารถแสดงได้ดังนี้พิสูจน์ ให้ Me เป็นมัธยฐานของข้อมูล x 1, x 2, x 3, ..., x N ที่เรียงจากน้อยไปมากและ a เป็นจานวนจริงใดๆกรณี N เป็นจานวนคีจะได้ว่า Me ่ xN 1 ดังนั้น 2 11
  • 13. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย N | xi a|i 1 | x1 a| | x2 a | ... | x N 1 a | ... | x N 1 a| | xN a| 2 |a x1 | | xN a| |a x2 | | xN 1 a | ... | a xN 1 | | xN 3 a| | xN 1 a| 2 2 2 (x N x1 ) (x N 1 x2 ) ... (x N 3 xN 1) | xN 1 a| 2 2 2 (x N x1 ) (x N 1 x2 ) ... (x N 3 xN 1) 2 2 Me x1 Me x2 ... 0 ... xN 1 Me xN Me N 1 N 1 พจน์ พจน์ 2 2 | x1 Me | | x2 Me | ... | x N 1 Me | ... | x N 1 Me | | xN Me | 2 N | xi Me | i 1 xN xN 1กรณี N เป็นจานวนคี่จะได้ว่า Me 2 2 ดังนั้น 2 N | xi a|i 1 | x1 a| | x2 a | ... | x N a| | xN a | ... | x N 1 a| | xN a| 1 2 2 |a x1 | | xN a| |a x2 | | xN 1 a | ... | a xN | | xN a| 1 2 2 (x N x1 ) (x N 1 x2 ) ... (x N xN ) 1 2 2 Me x1 Me x2 ... Me xN xN Me ... xN 1 Me xN Me 1 2 2 N N พจน์ พจน์ 2 2 | x1 Me | | x2 Me | ... | x N Me | | xN Me | ... | x N 1 Me | | xN Me | 1 2 2 N | xi Me | i 1 12
  • 14. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย แบบฝึกหัดเพิ่มเติมเรื่องมัธยฐานจงหามัธยฐานของข้อมูลที่กาหนดให้ต่อไปนี้1. 18, 10, 15, 13, 17, 15, 12, 15, 18, 16, 112. 3.2, 2.5, 2.1, 3.7, 2.8, 2.03. 7, 2, 3, 3, 0, 44. 2, 3, 5, 3, 2, 3, 4, 3, 5, 1, 2, 3, 45. จงยกตัวอย่างข้อมูลชุดหนึ่งที่มี 5 ตัว และข้อมูลอีกชุดหนึ่งที่มี 6 ตัว แต่คานวณแล้วได้มัธยฐานของข้อมูลทั้งสองนี้เท่ากัน6. หนูทดลองสิบตัวถูกปล่อยไปในเขาวงกตเพื่อให้วิ่งหาทางออก เวลาที่หนูแปดตัวใช้ในการหาทางออกเป็นดังนี้100, 38, 122, 95, 116, 56, 135, 104 วินาทีในขณะที่หนูอีกสองตัวยังหาทางออกไม่ได้ จากข้อมูลนี้ จงพิจารณาก. การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตสาหรับระยะเวลาที่หนูทดลองทั้งสิบตัวใช้ในการวิ่งหาทางออกจากข้อมูลนี้เป็นไปได้หรือไม่ ถ้าได้ จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตและให้ความหมายซึ่งสอดคล้องกับสถานการณ์ที่กาหนดให้นี้ข. หารหามัธยฐานของระยะเวลาที่หนูทดลองทั้งสิบตัวใช้ในการวิ่งหาทางออกเป็นไปได้หรือไม่ ถ้าได้ จงหาค่ามัธยฐานและให้ความหมายซึ่งสอดคล้องกับสถานการณ์ที่กาหนดให้นี้ 13
  • 15. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่างสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 2. ค่ากลางอื่นๆ 14
  • 16. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 2. ค่ากลางอื่นๆในช่วงนี้ได้ให้บทนิยามและสูตรในการคานวณค่ากลางอื่นๆสาหรับสัญลักษณ์แทนค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของข้อมูลไม่ว่าจะเป็นระดับประชากรหรือตัวอย่างมักจะใช้ G .M . หรือGM 15
  • 17. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัยหลังจากนักเรียนได้ทราบสูตรในการคานวณค่าเฉลี่ยเรขาคณิตแล้วครูควรให้นักเรียนได้อ่านหมายเหตุดังๆ พร้อมกัน จากนั้นให้ครูยกตัวอย่างนี้ประกอบตัวอย่าง 4 สาหรับจานวนจริง a และจานวนจริงบวก r ใดๆ จงหาค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของข้อมูลa, ar, ar 2, ..., ar N 1 1 2 3 ... (N 1) N 1วิธีทา G .M . N a(ar )(ar 2 )...(ar N 1 ) ar N ar 2หมายเหตุ 1. ข้อมูลที่กาหนดให้ในตัวอย่าง 4 เรียกว่าลาดับเรขาคณิต ซึ่งนักเรียนจะได้ศึกษาโดยละเอียดในสื่อเรื่องลาดับและอนุกรม โดยอาจารย์ศันสนีย์และอาจารย์ไพโรจน์2. ในกรณีที่ N เป็นจานวนคี่ ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของข้อมูลที่กาหนดให้ในตัวอย่าง 4 จะเท่ากับมัธยฐานของข้อมูลชุดนี้ ซึ่งสื่อถึงความเป็น “ค่ากลาง” ของข้อมูลจริงๆสาหรับสัญลักษณ์แทนค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิกสาหรับข้อมูลระดับประชากรและตัวอย่างนั้นใช้ H .M . หรือ HMหลังจากที่นักเรียนได้ทราบสูตรในการคานวณค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิกแล้ว ครูควรย้าอีกครั้งว่าค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิกมีความสัมพันธ์อย่างลึกซึ้งกับค่าเฉลี่ยเลขคณิต กล่าวคือ นาข้อมูลทั้งหมดมากลับเศษเป็นส่วน แล้วหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดใหม่ จากนั้นกลับนาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลใหม่มากลับเศษเป็นส่วนอีกครั้งเพื่อให้ได้เป็นค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิก นอกจากนี้ครูควรหยุดให้นักเรียนช่วยกันอ่านหมายเหตุสาหรับค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิกพร้อมๆ กัน 16
  • 18. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัยหลังจากนักเรียนเข้าใจตัวอย่างที่ยกในสื่อชุดนี้แล้วครูควรยกตัวอย่างนี้ประกอบ 1 1 1 1ตัวอย่าง 5 สาหรับจานวนจริง a และ d ใดๆ ที่ทาให้ , , , ..., เป็น a a d a 2d a (N 1)dจานวนจริงบวกทั้งหมด จงหาค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิกของข้อมูลชุดนี้ N 1วิธีทา H .M . a (a d) (a 2d ) ... (a (N 1)d ) N 1 a d 2สังเกตว่าในกรณีที่ N เป็นจานวนคี่ ค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิกของข้อมูลที่กาหนดให้ในตัวอย่างนี้จะเป็นข้อมูลตาแหน่งตรงกลางของข้อมูลชุดนี้พอดี ในขณะที่เมื่อ N เป็นจานวนคู่ ค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิกของข้อมูลที่กาหนดให้ในตัวอย่างนี้จะเป็นจานวนจริงที่เป็นค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิกของข้อมูลสองข้อมูลที่อยู่ตาแหน่งตรงกลางของข้อมูลชุดนี้ ซึ่งสื่อถึงความเป็น “ค่ากลาง” ของข้อมูลชุดนี้นั่นเองหมายเหตุ ข้อมูลในตัวอย่าง 5 เป็นลาดับฮาร์โมนิก ซึ่งนักเรียนจะได้ศึกษารายละเอียดของลาดับนี้ในสื่อเรื่องลาดับและอนุกรม โดยอาจารย์ศันสนีย์และอาจารย์ไพโรจน์ 17
  • 19. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัยเมื่อมาถึงตอนนี้ครูอาจชวนให้นักเรียนช่วยกันอภิปรายว่าสาหรับข้อมูลชุดใดๆ ที่เลือกมาชุดหนึ่ง หากสามารถหาได้ทั้งค่าเฉลี่ยเลขคณิต ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต และค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิก แล้วค่าเฉลี่ยทั้งสามนี้จะเรียงลาดับกันได้หรือไม่ อย่างไร และจะเป็นจริงเช่นนี้กับข้อมูลทุกๆ ชุดหรือไม่ โดยครูอาจเริ่มจากข้อมูลชุดที่มีเพียงสองตัวคือจานวนจริงบวก a และ b ใดๆ ก่อน จะได้ว่า AM . G.M . H .M . .พิสูจน์ ให้ a และ b เป็นจานวนจริงบวกใดๆ เนื่องจาก 0 ( a b )2 a 2 ab bทาให้ได้ว่า a b ab นั่นคือ AM . . G.M . เมื่อ A.M . แทนค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูล 2จะเห็นได้ว่าหาก a b จะได้ว่า A.M . G .M . 2 1 1 1 2 1ต่อมาเนื่องจาก 0 a b a ab b 2ทาให้ได้ว่า ab นั่นคือ G.M . H .M . 1 1 a bจะเห็นได้ว่าหาก a b จะได้ว่า G.M . H .M . ทาให้สรุปได้ว่า AM . . G.M . H .M .สาหรับการขยายแนวคิดสู่ข้อมูลที่ประกอบด้วย x 1, x 2, x 3, ..., x N นั้นสามารถทาได้ในทานองเดียวกัน ครูอาจให้นักเรียนลองพิจารณาเมื่อ N มีค่าน้อยๆ ก่อนนอกจากนี้ ยังมีค่ากลางอีกแบบหนึ่งที่นักเรียนจะได้ใช้ในสถิติและการวิเคราะห์ข้อมูลระดับมัธยมศึกษาตอนปลายกล่าวคือ สาหรับข้อมูลชุดหนึ่งที่ประกอบด้วย x 1, x 2, x 3, ..., x N จะได้ว่าค่ารากกาลังสองเฉลี่ย (rootmean square ใช้ตัวย่อเป็น R.M.S หรือ RMS ) ของข้อมูลชุดนี้คานวณได้โดย N xi2R.M .S . i 1 ค่ากลางชนิดนี้นักเรียนจะได้ใช้ในการวัดการกระจายของข้อมูล ซึ่งอาจารย์กฤษณะ Nอรรถาธิบายไว้โดยละเอียดในสื่อเรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนดังกล่าวข้อสังเกต สาหรับจานวนจริงบวก a และ b จะได้ว่า a 2 2ab b 2 (a b)2 0ดังนั้น a 2 b 2 2ab นั่นคือ 2(a 2 b 2 ) a 2 2ab b 2 (a b)2 a2 b2 a bทาให้ได้ว่า จึงสรุปได้ว่า สาหรับข้อมูลที่ประกอบด้วยจานวนจริงบวก a และ b 2 2ใดๆ R.M .S . AM . G.M . H .M . .ซึ่งอสมการนี้ยังคงเป็นจริงสาหรับข้อมูลที่ประกอบด้วยจานวนจริงบวก x 1, x 2, x 3, ..., x N เช่นกัน 18
  • 20. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัยมาถึงตอนนีได้พูดถึงบทนิยามและวิธีการคานวณหากึ่งกลางพิสัยของข้อมูลซึ่งเป็นการหาค่ากลางของข้อมูลอย่าง ้เร็วๆ แต่อาจเป็นค่ากลางที่มีความแม่นยาน้อย นอกจากนี้ยังได้นาค่ากลางต่างๆ ที่ได้กล่าวถึงตั้งแต่สื่อตอนที่แล้วจนถึงตอนนี้มารวบรวมเข้าไว้ด้วยกันตัวอย่าง 6 สาหรับจานวนจริงบวก x ใดๆ กาหนดให้ข้อมูลชุดหนึ่งคือ 10, 3, x, 6, 6 ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนี้เท่ากับกึ่งกลางพิสัยของข้อมูลชุดนี้แล้วจงหาค่า x 10 3 x 6 6 25 xวิธีทา จากโจทย์จะได้ว่า 5 5กาหนดให้ M แทนกึ่งกลางพิสยของข้อมูลชุดนี้ ั x 10 25 x x 10กรณี x 3 จะได้ว่า M ดังนั้น จะได้ว่า x 0 2 5 2 13 25 x 13กรณี 3 x 10 จะได้ว่า M ดังนั้น จะได้ว่า x 7.5 2 5 2 x 3 25 x x 3กรณี x 10 จะได้ว่า M ดังนั้น จะได้ว่า x 35 11.67 2 5 2 3 19
  • 21. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัยยิ่งไปกว่านั้นในสื่อตอนนี้ได้พยายามขยายแนวคิดสู่การหาค่ากลางของข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว โดยตัวอย่างที่ยกให้ในสื่อยังเป็นข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว แต่ไม่ได้อยู่ในรูปอันตรภาคชั้น ทาให้การหาค่ากลางต่างๆ ของข้อมูลเหล่านี้ไม่ซับซ้อนและสามารถนาหลักในการหาค่ากลางสาหรับข้อมูลที่ยังไม่ได้แจกแจงความถี่มาใช้ได้อย่างไรก็ดีในการหาตาแหน่งของมัธยฐานนั้น หากเป็นข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว จะถือว่าข้อมูลมีอยู่เป็นจานวน Nมหาศาลทาให้ N และ N 1 มีค่าใกล้เคียงกันมาก ทาให้ตาแหน่งของมัธยฐานในกรณีนี้จะใช้สูตร แทน 2N 1 แต่ครูไม่ควรยึดสิ่งเหล่านี้เป็นสรณะในการตัดสินว่านักเรียนหามัธยฐานผิดหรือถูก เนื่องจากในที่สุดแล้ว 2 N N 1มัธยฐานที่ได้จะเป็นค่าประมาณ และการได้ค่ามัธยฐานจากข้อมูลตาแหน่งที่ หรือ นั้นไม่ทาให้ 2 2ความหมายของมัธยฐานในแง่ของการเป็นตาแหน่งที่แบ่งข้อมูลออกเป็นสองส่วน ส่วนละประมาณ 50%เปลี่ยนแปลงไป 20
  • 22. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่างสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 3. การเลือกใช้ค่ากลาง 21
  • 23. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 3. การเลือกใช้ค่ากลางก่อนที่จะให้ข้อสรุปเกี่ยวกับการเลือกใช้ค่ากลางแบบต่างๆ ของข้อมูลที่กาหนดให้ ครูควรทบทวนก่อนว่าค่ากลางที่ได้เรียนรู้มามีแบบไหนบ้าง จากนั้นควรหยุดให้นักเรียนได้อ่านข้อสังเกตเกี่ยวกับข้อดีข้อเสียของค่ากลางแต่ละแบบพร้อมๆ กัน เพื่อให้นักเรียนเลือกใช้ค่ากลางแบบต่างๆ ได้อย่างเหมาะสมกับลักษณะของข้อมูล และสิ่งที่ต้องการวิเคราะห์ นอกจากนี้ควรถามกระตุ้นนักเรียนถึงเหตุผลว่าทาไมข้อดีหรือข้อเสียจึงเป็นเช่นที่สื่อได้นาเสนอไว้ 22
  • 24. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่างสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 4. แผนภาพต้น-ใบ 23
  • 25. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 4. แผนภาพต้น-ใบในช่วงสุดท้ายได้พูดถึงการนาเสนอข้อมูลอีกแบบหนึ่งในรูปของแผนภาพต้น-ใบ ซึ่งการนาเสนอแบบนี้ทาให้การคานวณค่ากลางของข้อมูลสะดวกขึ้นเมื่อมาถึงตอนนี้ครูอาจให้ตัวอย่างเพิ่มเติมตัวอย่าง 7 ถ้าน้าหนัก (เป็นกิโลกรัม) ของสมาชิกในครอบครัวสองครอบครัวที่มีอยู่ครอบครัวละหกคนเขียนเป็นแผนภาพต้น-ใบได้ดังนี้ ครอบครัวที่ 1 ครอบครัวที่ 2 8 6 4 3 4 9 8 6 6 4 2 2 4 5 3จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐานและฐานนิยมของน้าหนักของครอบครัวทั้งสองนี้ 24
  • 26. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 30(3) 40(3) 8 6 4 8 6 6 124วิธีทา ครอบครัวที่ 1 จะได้ 41.33 6 3 38 46กิโลกรัม ต่อมาเนื่องจากข้อมูลเรียงจากน้อยไปมากแล้วจึงได้ว่า มัธยฐาน 42 กิโลกรัม 2และฐานนิยมคือ 46 กิโลกรัม 30(2) 40(3) 50(1) 4 9 2 2 4 3 127ครอบครัวที่ 2 จะได้ 42.33 6 3 42 42กิโลกรัม ต่อมาเนื่องจากข้อมูลเรียงจากน้อยไปมากแล้วจึงได้ว่า มัธยฐาน 42 กิโลกรัม และ 2ฐานนิยมคือ 42 กิโลกรัม แบบฝึกหัดเพิ่มเติมเรื่องแผนภาพต้น-ใบจากแผนภาพต้น-ใบของข้อมูลที่กาหนดให้ต่อไปนี้ จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐานและฐานนิยมของข้อมูลชุดดังกล่าว1. 1 3 5 7 2 3 4 6 3 0 1 2 2 4 0 12. 1 1 1 4 6 9 2 2 5 5 7 8 3 4 4 6 8 4 2 3 3 3 5 4 6 25
  • 27. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่างสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย สรุปสาระสาคัญประจาตอน 26
  • 28. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่างสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย สรุปสาระสาคัญประจาตอน 27
  • 29. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่างสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 28
  • 30. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่างสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ภาคผนวกที่ 1 แบบฝึกหัด/เนื้อหาเพิ่มเติม 29
  • 31. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย แบบฝึกหัดระคน1. ข้อมูลชุดหนึ่งเมื่อเรียงจากน้อยไปมากแล้วอยู่ในรูป 15, 15, a, b, 20 ถ้ามัธยฐานของข้อมูลชุดนี้คือ 16และค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น 17 แล้วจงหา ab2. นักเรียนกลุ่มหนึ่งมีสี่คน โดยมีสองคนที่น้าหนักเท่ากัน และน้าหนักน้อยกว่านักเรียนอีกสองคนที่เหลือถ้าน้าหนักของนักเรียนทั้งสี่คนนี้มีฐานนิยม มัธยฐาน และกึ่งกลางพิสัย เป็น 45, 47.5 และ 48.5 กิโลกรัมตามลาดับแล้ว จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของน้าหนักของนักเรียนทั้งสี่คนนี้ 203. ข้อมูลชุดหนึ่งประกอบด้วย x 1, x 2, x 3, ..., x 20 โดยมีสมบัติว่า (x i a )2 มีค่าน้อยที่สุดเมื่อ n 1 20a 8 และ | xi b | มีค่าน้อยที่สุดเมื่อ b 5 ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง n 1ก. ข้อมูลชุดนี้มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตน้อยกว่ามัธยฐาน ข. ผลรวมของข้อมูลชุดนี้ทั้งหมดเท่ากับ 1004. ค่าแรงงานต่อวัน (เป็นบาท) ของคนงานกลุ่มหนึ่งจานวน 8 คนเมื่อเรียงจากน้อยมากแล้วได้เป็น 150, 152, 158, 162, 170, 177, x, 180จงหาค่า x ที่ทาให้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าแรงงานต่อวันของคนงานกลุ่มนี้เท่ากับมัธยฐานของค่าแรงงานต่อวันของคนงานกลุ่มนี้5. กาหนดให้ข้อมูล x 1, x 2, x 3, ..., x 10 ที่เรียงจากน้อยไปมากแล้วอยู่ในรูปa, 5, 5, 6, 7, 9, 10, 10, 10, 15 ถ้ากึ่งกลางพิสัยของข้อมูลชุดนี้คือ 9 และ 10 10กาหนดให้ b และ c เป็นจานวนจริงที่ทาให้ (x i b)2 มีค่าน้อยที่สุดและ | xi c | มีค่าน้อยที่สุด n 1 n 1ตามลาดับแล้ว จงหา abc6. กล่องห้าใบมีน้าหนักเป็น 15.5, 14.8, 14.5, 15.2, a กิโลกรัม โดยค่าเฉลี่ยเลขคณิตของน้าหนักกล่องทั้งห้าใบนี้เป็น 15 จงหามัธยฐานและกึ่งกลางพิสัยของน้าหนักกล่องทั้งห้าใบนี้7. ข้อมูลชุดหนึ่งประกอบด้วย x 1, x 2, x 3, x 4 , x 5 เมื่อเรียงจากน้อยไปมากได้เป็น 1.5, 4, a, 6, 13.5 และ 5 | xi 6| 15 จงหามัธยฐานของข้อมูลชุดนี้i 18. ข้อมูลชุดหนึ่งประกอบด้วย x 1, x 2, x 3, ..., x 13 โดยที่ x n |5 n| ทุก n {1, 2, 3, ..., 13} จง 13หาจานวนจริง a ที่ทาให้ | xi a | มีค่าน้อยที่สุด n 19. แผนภาพต้น-ใบของข้อมูลแสดงน้าหนัก (กิโลกรัม) ของนักเรียนกลุ่มหนึ่งเป็นดังนี้ 4 2 1 0 5 0 8 3 2 2 6 0 3 1 4 30
  • 32. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัยถ้าสุ่มเลือกนักเรียนมา 2 คนจากนักเรียนกลุ่มนี้ ความน่าจะเป็นที่จะได้นักเรียนที่มีน้าหนักมากกว่าฐานนิยมของน้าหนักของนักเรียนกลุ่มนี้เป็นเท่าใด10. กาหนดข้อมูลสองชุดดังนี้ ข้อมูลชุด A : 1, 3, 2, 2, 5, 3, 4, 4, 3 ข้อมูลชุด B : 1, 2, 4, 1, 2, 5, 2, 5, 1, 5, 5, 3จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตและมัธยฐานของข้อมูลทั้งสองชุดนี้ 31
  • 33. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่างสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ภาคผนวกที่ 2 เฉลยแบบฝึกหัด 32
  • 34. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย เฉลยแบบฝึกหัดเพิมเติมเรื่องมัธยฐาน ่1. 15 2. 2.65 3. 3 4. 35. ข้อมูลชุดที่หนึ่งที่เรียงจากน้อยไปมากแล้วเป็น x 1, x 2, x 3, x 4 , x 5 และข้อมูลชุดที่สองที่เรียงจากน้อยไปมากแล้วเป็น x 1, x 2, x 3, x 3, x 5, x 66. ก. การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตสาหรับระยะเวลาที่หนูทดลองทั้งสิบตัวใช้ในการวิ่งหาทางออกเป็นไปไม่ได้เนื่องจากข้อมูลมีไม่ครบสิบตัวข. มัธยฐานของระยะเวลาที่หนูทดลองทั้งสิบตัวใช้ในการวิ่งหาทางออกได้เท่ากับ 110 วินาที หมายความว่าในกลุ่มนี้มีหนูประมาณ 50% ที่ใช้เวลาวิ่งหาทางออกน้อยกว่า 110 วินาที และอีกประมาณ 50% ที่ใช้เวลาวิ่งหาทางออกมากกว่า 110 วินาที เฉลยแบบฝึกหัดเพิมเติมเรื่องแผนภาพต้น-ใบ ่1. 27 ; Me 28 ; Mo 32 2. 31.05 ; Me 31 ; Mo 43 เฉลยแบบฝึกหัดระคน1. 304 2. 48 กิโลกรัม 3. ก. และ ข. ผิด 4. 179 บาท 5. 1926. Me 15 กิโลกรัม; กึ่งกลางพิสัย 15 กิโลกรัม 17. 5 8. 3 9. 1110. A 3 ; MeA 3 และ B 3 ; MeB 2.5 33
  • 35. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่างสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ จานวน 92 ตอน 34
  • 36. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ จานวน 92 ตอน เรื่อง ตอนเซต บทนา เรื่อง เซต ความหมายของเซต เซตกาลังและการดาเนินการบนเซต เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ บทนา เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ การให้เหตุผล ประพจน์และการสมมูล สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล ประโยคเปิดและวลีบงปริมาณ ่ สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องหอคอยฮานอย สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องตารางค่าความจริงจานวนจริง บทนา เรื่อง จานวนจริง สมบัติของจานวนจริง การแยกตัวประกอบ ทฤษฏีบทตัวประกอบ สมการพหุนาม อสมการ เทคนิคการแก้อสมการ ค่าสัมบูรณ์ การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์ กราฟค่าสัมบูรณ์ สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องช่วงบนเส้นจานวน สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องสมการและอสมการพหุนาม สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟค่าสัมบูรณ์ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น บทนา เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น การหารลงตัวและจานวนเฉพาะ (การหารลงตัวและตัววคูณร่วมมาก) ตัวหารร่วมมากและตั หารร่ มน้อยความสัมพันธ์และฟังก์ชัน บทนา เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ความสัมพันธ์ 35
  • 37. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย เรื่อง ตอนความสัมพันธ์และฟังก์ชัน โดเมนและเรนจ์ อินเวอร์สของความสัมพันธ์และบทนิยามของฟังก์ชัน ฟังก์ชันเบื้องต้น พีชคณิตของฟังก์ชัน อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชันอินเวอร์ส ฟังก์ชันประกอบฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม ้ บทนา เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม เลขยกกาลัง ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม ้ ลอการิทึม อสมการเลขชี้กาลัง อสมการลอการิทึมตรีโกณมิติ บทนา เรื่อง ตรีโกณมิติ อัตราส่วนตรีโกณมิติ เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหน่วย ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 2 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 3 กฎของไซน์และโคไซน์ กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องมุมบนวงกลมหนึงหน่วย ่ สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกฎของไซน์และกฎของโคไซน์กาหนดการเชิงเส้น บทนา เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์ การหาค่าสุดขีดลาดับและอนุกรม บทนา เรื่อง ลาดับและอนุกรม ลาดับ การประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเรขาคณิต ลิมิตของลาดับ ผลบวกย่อย อนุกรม ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม 36
  • 38. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย เรื่อง ตอนการนับและความน่าจะเป็น บทนา เรื่อง การนับและความน่าจะเป็น . การนับเบื้องต้น การเรียงสับเปลี่ยน การจัดหมู่ ทฤษฎีบททวินาม การทดลองสุ่ม ความน่าจะเป็น 1 ความน่าจะเป็น 2สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล บทนา เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล บทนา เนื้อหา แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 1 แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 2 แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 3 การกระจายของข้อมูล การกระจายสัมบูรณ์ 1 การกระจายสัมบูรณ์ 2 การกระจายสัมบูรณ์ 3 การกระจายสัมพัทธ์ คะแนนมาตรฐาน ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 1 ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2 โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1 โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2โครงงานคณิตศาสตร์ การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย ปัญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส การถอดรากที่สาม เส้นตรงล้อมเส้นโค้ง กระเบื้องที่ยืดหดได้ 37