More Related Content Similar to 72 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่7_ความน่าจะเป็น2 Similar to 72 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่7_ความน่าจะเป็น2 (20) More from กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์ More from กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์ (20) 72 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่7_ความน่าจะเป็น21. คูมือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร
เรื่อง
การนับและความนาจะเปน
(เนือหาตอนที่ 7)
้
ความนาจะเปน 2
โดย
ผูชวยศาสตราจารย ดร.ณัฐกาญจน ใจดี
สื่อการสอนชุดนี้ เปนความรวมมือระหวาง
คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย กับ
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ
2. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
สื่อการสอน เรื่อง การนับและความนาจะเปน
สื่อการสอน เรื่อง การนับและความนาจะเปน มีจํานวนตอนทั้งหมดรวม 16 ตอน ซึ่งประกอบดวย
1. บทนํา เรื่อง การนับและความนาจะเปน
2. เนื้อหาตอนที่ 1 การนับเบื้องตน
- กฎเกณฑเบื้องตนเกียวกับการนับ
่
- วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน(สิ่งของแตกตางกันทั้งหมด)
3. เนื้อหาตอนที่ 2 การเรียงสับเปลี่ยน
- วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน (สิ่งของไมแตกตางกันทั้งหมด)
- วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม
4. เนื้อหาตอนที่ 3 การจัดหมู
- วิธีจัดหมู
5. เนื้อหาตอนที่ 4 ทฤษฎีบททวินาม
- ทฤษฎีบททวินาม
- ทฤษฎีบทอเนกนาม
6. เนื้อหาตอนที่ 5 การทดลองสุม
- การทดลองสุม
- ปริภูมิตัวอยาง
- เหตุการณและความนาจะเปน
7. เนื้อหาตอนที่ 6 ความนาจะเปน 1
- สมบัติพื้นฐานของความนาจะเปน
- การหาความนาจะเปนแบบงาย
8. เนื้อหาตอนที่ 7 ความนาจะเปน 2
- การหาความนาจะเปนโดยใชกฎการนับ
- การหาความนาจะเปนโดยแผนภาพเวนน-ออยเลอร
9. แบบฝกหัด (พื้นฐาน 1)
10. แบบฝกหัด (พื้นฐาน 2)
11. แบบฝกหัด (ขันสูง)
้
12. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง หลักการบวกและหลักการคูณสําหรับการนับ
13. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง การเรียงสับเปลี่ยน
1
3. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
14. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง ทฤษฎีบททวินาม
15. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง ความนาจะเปน
16. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง การใสบอลลงกลอง
คณะผูจัดทําหวังเปนอยางยิ่งวา สื่อการสอนชุดนี้จะเปนประโยชนตอการเรียนการสอนสําหรับ
ครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใชสื่อชุดนี้รวมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร เรื่อง การนับและ
ความนาจะเปน นอกจากนี้หากทานสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตรในเรื่องอื่นๆที่คณะผูจัดทําได
ดําเนินการไปแลว ทานสามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนไดจากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตรทั้งหมด
ในตอนทายของคูมือฉบับนี้
2
4. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เรื่อง การนับและความนาจะเปน (ความนาจะเปน 2)
หมวด เนื้อหา
ตอนที่ 7 (7/7)
หัวขอยอย 1. การหาความนาจะเปนโดยใชกฎการนับ
2. การหาความนาจะเปนโดยแผนภาพเวนน-ออยเลอร
จุดประสงคการเรียนรู
เพื่อใหผูเรียน
1. สามารถหาความนาจะเปนของเหตุการณโดยใชกฎการนับได
2. สามารถหาความนาจะเปนของเหตุการณโดยใชแผนภาพเวนน-ออยเลอรได
ผลการเรียนรูที่คาดหวัง
ผูเรียนสามารถ
1. อธิบายวิธีการหาและหาความนาจะเปนของเหตุการณโดยใชกฎการนับได
2. อธิบายวิธีการหาและหาความนาจะเปนของเหตุการณโดยใชแผนภาพเวนน-ออยเลอรได
3
7. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
1. การหาความนาจะเปนโดยใชกฎการนับ
ในหัวขอนี้เริ่มดวยการทบทวนการหาความนาจะเปนของเหตุการณในกรณีที่ปริภูมิตวอยางประกอบ
ั
ดวยสมาชิกทีมีโอกาสเกิดขึนไดเทา ๆ กัน ซึ่งในการหาความนาจะเปนของเหตุการณดังกลาว เราตองทราบ
่ ้
จํานวนสมาชิกของปริภูมิตวอยางและจํานวนสมาชิกของเหตุการณทเี่ ราสนใจ ดังนั้นในสื่อการสอนตอนนี้ เราจะ
ั
เนนที่การหาจํานวนสมาชิกดังกลาว โดยใช
1. กฎการนับ
2. แผนภาพเวนน-ออยเลอร
สําหรับในหัวขอนี้ เราจะศึกษาการหาความนาจะเปนโดยใชกฎการนับควบคูกับสมบัติของความนาจะ
เปน ซึ่งจะทําใหเราสามารถหาความนาจะเปนไดสะดวกและรวดเร็วยิ่งขึ้น
6
8. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เมื่อผูเรียนไดชมตัวอยางการหาความนาจะเปนโดยใชกฎการนับจากสื่อการสอนแลว ผูสอนควรให
ผูเรียนทําตัวอยางตอไปนี้เพิมเติมเพื่อเปนการฝกทักษะ
่
ตัวอยาง สุมหยิบเสื้อ 3 ตัวจากตูเสื้อผาซึ่งมีเสื้อสีแดง 3 ตัว สีขาว 2 ตัว และสีน้ําเงิน 5 ตัว จงหาความนาจะเปนที่
สุมไดเสื้อครบทุกสี
วิธีทํา ให S แทนปริภูมิตัวอยาง และ E แทนเหตุการณทสุมไดเสื้อครบทุกสี
ี่
ดังนั้น
3 2 5
n( E ) 1 1 1 30 1
P( E ) = = = =
n( S ) 10 120 4
3
7
9. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
ตัวอยาง พจนานุกรมครบชุดมี 10 เลม มีหมายเลข 1 – 10 กํากับไว สุมหยิบหนังสือทีละเลมเรียงไวบนชั้นยาว
ตามลําดับที่หยิบได จนครบทั้งสิบเลม จงหาความนาจะเปนที่หนังสือหมายเลขตอเนื่องกันจะอยูติดกัน
วิธีทํา ให S แทนปริภูมิตัวอยาง และ E แทนเหตุการณทหนังสือหมายเลขตอเนื่องกันจะอยูตดกัน
ี่ ิ
ดังนั้น หมายเลขจากนอยไปมาก และ
หมายเลขจากมากไปนอย
n( E ) 2
P( E ) = =
n( S ) 10!
ตัวอยาง จัดคน 8 คน ซึ่งมีสายชล นทีและวารีรวมอยูดวย นั่งรับประทานอาหารรอบโตะกลม 8 ทีนั่ง จงหา
่
ความนาจะเปนที่ทั้งสามคนไดนั่งติดกัน
วิธีทํา ให S แทนปริภูมิตัวอยาง และ E แทนเหตุการณที่สายชล นทีและวารีไดนั่งติดกัน
ดังนั้น
n( E ) (6 − 1)!3! 1
P( E ) = = =
n( S ) (8 − 1)! 7
ตัวอยาง ในการเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษรจากคําวา “MODEL” จงหาความนาจะเปนทีจะไดคาที่ข้นตนดวยสระ
่ ํ ึ
วิธีทํา ให S แทนปริภูมิตัวอยาง และ E แทนเหตุการณทไดคําที่ขึ้นตนดวยสระ
ี่
2 × 4!
O หรือ E จัด 4 ตัวที่เหลือ
ดังนัน
้
n( E ) 2!4! 2
P( E ) = = =
n( S ) 5! 5
สําหรับตัวอยางตอไปนี้เปนเรื่องเกี่ยวกับยาเสพติด ซึ่งผูสอนควรสอดแทรกใหผูเรียนเห็นโทษของ
ยาเสพติดและแนะนําผูเรียนใหอยูหางจากยาเสพติด
8
10. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
หลังจากผูเรียนไดชม “ปญหาชวนคิด” ในสื่อการสอนแลว ผูสอนอาจใหผูเรียนชวยกันคิดหาคําตอบ
จากนั้นผูสอนจึงแสดงใหผูเรียนดู
ปญหาชวนคิด นักทองเที่ยวคนหนึ่งไดนายาเสพติด 4 เม็ด ใสไวในขวดที่มวิตามินอยู 20 เม็ด ถาเจาหนาทีดาน
ํ ี ่
ศุลกากรสุมหยิบมาตรวจ 3 เม็ด แลวนําไปวิเคราะห จงหาความนาจะเปนที่นักทองเที่ยวคนนี้จะถูกจับดวยขอหามี
ยาเสพติดไวในครอบครอง
วิธีทํา แบบที่ 1
P(ถูกจับขอหามียาเสพติด)
= P(สุมไดยาเสพติด 1 เม็ด หรือ สุมไดยาเสพติด 2 เม็ด หรือ สุมไดยาเสพติด 3 เม็ด)
= P(สุมไดยาเสพติด 1 เม็ด) + P( สุมไดยาเสพติด 2 เม็ด) + P( สุมไดยาเสพติด 3 เม็ด)
9
11. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
4 20 4 20 4 20
1 2 2 1 3 0
= + +
24 24 24
3 3 3
760 120 4 884 221
= + + = =
2024 2024 2024 2024 506
แบบที่ 2
P(ถูกจับขอหามียาเสพติด) = 1− P(ไมถูกจับขอหามียาเสพติด)
= 1 − P(สุมไดวิตามินทังหมด)
้
4 20
0 3
= 1−
24
3
1140 884 221
= 1− = =
2024 2024 506
ขอสังเกต จากปญหาชวนคิดขางตน จะพบวาเมื่อเรานําสมบัติของความนาจะเปนทีวา สําหรับเหตุการณ E ใด ๆ
่
P( E ′) = 1 − P( E )
มาชวยในการหาคําตอบ ทําใหการคํานวณมีความสะดวกและรวดเร็วยิ่งขึ้น
10
12. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
แบบฝกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง การหาความนาจะเปนโดยใชกฎการนับ
1. ในการเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษรจากคําวา “GEOMETRY” จงหาความนาจะเปนที่ “E” ไมอยูตดกัน ิ
2. สุมนักเรียน 3 คนจากนักเรียนทั้งหมด 8 คนที่มีสวนสูงตาง ๆ กัน จงหาความนาจะเปนที่จะสุมได
นักเรียนที่มสวนสูงมากที่สุดรวมอยูดวย
ี
3. ในการประกวดรองเพลงรอบสุดทาย มีผูเขารอบ 5 คน ผูเขารอบแตละคนตองรองเพลงเพียง 1 เพลง
โดยเลือกจากเพลงทั้งหมด 8 เพลงที่กองประกวดจัดไว จงหาความนาจะเปนทีมีผูเขารอบอยางนอย 2 คน
่
เลือกรองเพลงเดียวกัน
4. สลากชุดหนึ่งมี 10 ใบ ซึ่งมีหมายเลขกํากับไวโดยไมซ้ํากัน เริ่มจาก 1 – 10 จงหาความนาจะเปนทีจะ ่
หยิบสลากพรอมกัน 3 ใบ โดยใหมแตมรวมกันเปน 9 และไมมีสลากใบใดมีหมายเลขสูงกวา 5
ี
5. เรือนรับรองหลังหนึ่งมี 3 หอง หองแรกพักได 3 คน สวนอีก 2 หอง พักไดหองละ 2 คน ถามีแขก 7 คน
เปนหญิง 3 คน ชาย 4 คน จะเดินทางมาพักโดยไมแจงเพศใหทราบลวงหนา จงหาความนาจะเปนที่
เจาภาพจะจัดใหหญิง 3 คนไดพกอยูหองเดียวกัน
ั
6. นักทองเที่ยวคนหนึ่งไดนํายาเสพติด 4 เม็ด ใสไวในขวดทีมีวิตามินอยู 8 เม็ด ถาเจาหนาที่ดานศุลกากร
่
สุมหยิบมาตรวจ 5 เม็ด แลวนําไปวิเคราะห จงหาความนาจะเปนที่นกทองเที่ยวคนนี้จะถูกจับดวยขอหา
ั
มียาเสพติดไวในครอบครอง
7. กลองใบหนึ่งบรรจุสลาก 10 ใบ มีหมายเลขกํากับไวโดยไมซ้ํากัน เริ่มจาก 0 – 9 สุมสลาก 3 ใบจากกลอง
ใบนี้พรอมกัน จงหาความนาจะเปนทีจะไดสลากทั้งหมายเลขคูและสลากหมายเลขคี่
่
8. นักเรียนกลุมหนึ่งประกอบดวยนักเรียนชาย 5 คนและนักเรียนหญิง 6 คน สุมนักเรียนกลุมนี้ 3 คนเพื่อ
ตอบคําถามในชั้นเรียน จงหาความนาจะเปนทีจะสุมไดนักเรียนชายเพียง 1 คน
่
11
14. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
2. การหาความนาจะเปนโดยแผนภาพเวนน-ออยเลอร
ในหัวขอนี้ ผูเรียนจะไดศกษาเรื่อง “การหาความนาจะเปนโดยใชแผนภาพเวนน-ออยเลอร” โดยในสื่อ
ึ
การสอน จะเริมดวยการทบทวนการหาจํานวนสมาชิกของเซตโดยใชแผนภาพเวนน-ออยเลอร ซึ่งเอกภพสัมพัทธ
่
ในเรื่องของเซตก็เปรียบไดกบปริภูมิตวอยางในเรื่องความนาจะเปนนันเอง และเซตใด ๆ ซึ่งเปนสับเซตของ
ั ั ่
เอกภพสัมพัทธก็เปรียบไดกบเหตุการณซึ่งเปนสับเซตของปริภูมิตัวอยางในเรื่องความนาจะเปนไดเชนกัน ดังนัน
ั ้
ในหัวขอนี้ เราจะนําแผนภาพเวนน-ออยเลอรมาชวยในการหาจํานวนสมาชิกของเหตุการณที่สนใจ เพื่อนําไปสู
การหาความนาจะเปนของเหตุการณนน ๆ ั้
13
15. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เพื่อใหผูเรียนเขาใจเรื่องการหาความนาจะเปนโดยใชแผนภาพเวนน-ออยเลอรไดดยิ่งขึ้น ผูสอนควรให
ี
ผูเรียนฝกทําตัวอยางตอไปนีเ้ พิ่มเติม
ตัวอยาง นักเรียนกลุมหนึ่งมี 150 คน ในจํานวนนี้พบวา มีนกเรียนที่ชอบเลนดนตรี 60 คน มีนกเรียนที่ชอบเลน
ั ั
กีฬา 70 คน และมีนักเรียนทีชอบเลนดนตรีและชอบเลนกีฬา 25 คน ถาสุมเลือกนักเรียนจากกลุมนี้มา 1 คน แลว
่
จงหาความนาจะเปนทีนกเรียนคนที่เลือกมาจะ
่ ั
1. ชอบเลนดนตรีหรือชอบเลนกีฬา
2. ไมชอบเลนทั้งดนตรีและกีฬา
3. ชอบเลนดนตรีแตไมชอบเลนกีฬา
วิธีทํา นําขอมูลที่โจทยกําหนดใหมาเขียนแผนภาพเวนน-ออยเลอร ไดดังนี้
ดนตรี กีฬา
35 25 45
45
ดังนั้น
1. P(ชอบเลนกีฬา หรือ ชอบเลนดนตรี) = 35 + 25 + 45 = 105 = 7
150 150 10
14
16. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
45 3
2. P(ไมชอบเลนทั้งดนตรีและกีฬา) =
=
150 10
3. P(ชอบเลนดนตรีแตไมชอบเลนกีฬา) = 35 = 7
150 30
ตัวอยาง จากการสํารวจผูฟงเพลงของรายการวิทยุสถานีหนึ่งจํานวน 80 คน ปรากฏวา มีผูชอบฟงเพลงลูกทุง
30 คน มีผูชอบฟงเพลงไทยสากล 45 คน และมีผูชอบฟงเพลงลูกทุงหรือเพลงไทยสากล 60 คน
1. ถาสุมผูฟงเพลงกลุมนี้มาหนึงคน จงหาความนาจะเปนที่ผฟงที่สุมมา
่ ู
1.1 ชอบฟงทั้งเพลงลูกทุงและเพลงไทยสากล
1.2 ไมชอบฟงทั้งเพลงลูกทุงและเพลงไทยสากล
2. ถาสุมผูฟงเพลงกลุมนี้ซึ่งชอบฟงเพลงลูกทุงมา 1 คน จงหาความนาจะเปนที่ผูฟงที่สุมมาไมชอบฟง
เพลงไทยสากล
วิธีทา ให x แทนจํานวนผูฟงเพลงที่ชอบฟงทั้งเพลงลูกทุงและเพลงไทยสากล
ํ
เพลงลูกทุง เพลงไทยสากล
30 − x x 45 − x
20
1. เนื่องจากมีผูชอบฟงเพลงลูกทุงหรือเพลงไทยสากลจํานวน 60 คน ดังนั้น
(30 − x) + x + (45 − x) = 60
x = 15
1.1 P(ชอบฟงทั้งเพลงลูกทุงและเพลงไทยสากล) = 15 = 3
80 16
1.2 P(ไมชอบฟงทั้งเพลงลูกทุงและเพลงไทยสากล) = 20 = 1
80 4
15
17. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
จํานวนคนที่ชอบฟงเพลง
ลูกทุงแตไมชอบฟงเพลง
ไทยสากล
2. P(ไมชอบฟงเพลงไทยสากล) = 15 = 1
30 2
จํานวนคนที่ชอบ
ฟงเพลงลูกทุง
จากนั้น ในสื่อการสอนไดยกตัวอยางการหาความนาจะเปนโดยใชแผนภาพเวนน-ออยเลอร ซึ่งมีความ
ซับซอนยิ่งขึ้น ดังนี้
จากนั้นผูสอนอาจใหผูเรียนฝกทําตัวอยางตอไปนี้เพิ่มเติม
16
18. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
ตัวอยาง จากการสํารวจผูชมการถายทอดการแขงขันกีฬาซีเกมสจานวน 200 คน ปรากฏวา มี 120 คนชอบชม
ํ
ฟุตบอล มี 80 คนชอบชมวายน้ํา มี 70 คนชอบชมมวยสากล มี 30 คนที่ชอบชมกีฬาทั้งสามประเภท มี 50 คนที่
ชอบชมฟุตบอลและวายน้ํา มี 40 คนที่ชอบชมวายน้ําและมวยสากล และมี 40 คนที่ไมชมกีฬาทั้งสามประเภทนี้
ถาสุมผูชมกลุมนี้มา 1 คน จงหาความนาจะเปนที่ผูชมทีสุมไดชอบชมฟุตบอลและมวยสากล
่
วิธีทํา นําขอมูลที่โจทยกําหนดใหมาเขียนแผนภาพเวนน – ออยเลอร ไดดังนี้
ฟุตบอล วายน้ํา
20
120-(20+30+x) 20
30
x 10
70 – (x+30+10)
มวยสากล 40
เนื่องจากมี 40 คนที่ไมชมกีฬาทั้งสามประเภท ทําใหไดวา มี 160 คนที่ชมฟุตบอลหรือวายน้ําหรือมวยสากล
ดังนั้น
120 − (20 + 30 + x) + 20 + 20 + x + 30 + 10 + 70 − (x + 30 + 10) = 160
x = 20
ทําใหไดวา
P(ผูชมที่สุมไดชอบชมฟุตบอลและมวยสากล) = 20 = 1
200 10
สําหรับการหาความนาจะเปนโดยใชแผนภาพเวนน-ออยเลอร นอกจากเราจะใสจํานวนสมาชิกลงใน
อาณาบริเวณตาง ๆ ของแผนภาพเวนน-ออยเลอรดังที่ผูเรียนไดเห็นตัวอยางในสื่อการสอนแลวนั้น สมบัติของ
ความนาจะเปนที่วา
ถา A∩ B = ∅ แลว P( A ∪ B) = P( A) + P( B)
เมื่อ A และ B คือ เหตุการณใด ๆ
17
19. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
ทําใหเราสามารถใสคาความนาจะเปนลงในแผนภาพเวนน-ออยเลอรไดเชนกัน ซึ่งผูเรียนไดศึกษามาแลวในสื่อ
การสอนเรื่องการนับและความนาจะเปน เนื้อหาตอนที่ 6
ตัวอยาง ให A และ B แทนเหตุการณใด ๆ โดยที่ P( A) = 0.5, P( B) = 0.3 และ P( A ∪ B) = 0.6 จงหา
P( A ∩ B)
วิธีทํา นําขอมูลที่โจทยกําหนดใหมาเขียนแผนภาพเวนน-ออยเลอร ไดดังนี้
A B
0.5 − x x 0.3 − x
ดังนั้น P( A ∪ B) = 0.6
(0.5 − x) + x + (0.3 − x) = 0.6
x = 0.2
นั่นคือ P( A ∩ B) = 0.2
18
20. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
แบบฝกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง การหาความนาจะเปนโดยแผนภาพเวนน-ออยเลอร
1. สอบถามครอบครัว 500 ครอบครัว พบวา 280 ครอบครัวมีรถจักรยานยนต 320 ครอบครัวมีโทรทัศน
และ 150 ครอบครัวมีทั้งสองอยางนี้ สุมครอบครัวมา 1 ครอบครัวจากทั้งหมดนี้ จงหาความนาจะเปน
ที่ครอบครัวที่สุมไดไมมทั้งสองอยางนี้
ี
2. จากการสํารวจนักเรียนจํานวน 200 คนเกียวกับกีฬาที่นกเรียนชอบ ปรากฏผลดังนี้
่ ั
กีฬา จํานวนนักเรียน(คน)
ฟุตบอล 50
วายน้ํา 60
ปงปอง 75
ฟุตบอลและวายน้ํา 15
ฟุตบอลและปงปอง 20
วายน้ําและปงปอง 15
ฟุตบอล วายน้าและปงปอง
ํ 10
2.1 ถาสุมนักเรียนจากกลุมนี้มา 1 คน จงหาความนาจะเปนที่นักเรียนที่สุมไดชอบกีฬาวายน้ําและ
ปงปองแตไมชอบฟุตบอล
2.2 ถาสุมนักเรียนจากกลุมนี้มา 1 คน จงหาความนาจะเปนที่นักเรียนที่สุมไดไมชอบกีฬาทั้งสาม
ประเภทนี้เลย
2.3 ถาสุมนักเรียนจากกลุมนี้ซึ่งชอบวายน้ํามา 1 คน จงหาความนาจะเปนที่นกเรียนที่สมไดไมชอบทัง
ั ุ ้
ฟุตบอลและไมชอบทั้งปงปอง
3. ในการสอบถามนักเรียนจํานวน 50 คน ปรากฏวามีนักเรียนที่
ชอบวิชาเคมี 25 คน ชอบวิชาฟสิกส 20 คน
ชอบวิชาภาษาอังกฤษ 20 คน ชอบทั้งสามวิชา 10 คน
ชอบวิชาฟสิกสและภาษาอังกฤษ 12 คน
ชอบวิชาเคมีและฟสิกสแตไมชอบวิชาภาษาอังกฤษ 5 คน และ
ไมมีนักเรียนคนใดชอบวิชาเคมีและภาษาอังกฤษโดยไมชอบวิชาฟสิกส
ถาสุมนักเรียนจากกลุมนี้มา 1 คน จงหาความนาจะเปนที่นักเรียนที่สมไดไมชอบวิชาใดวิชาหนึ่งเลยใน
ุ
สามวิชานี้
19
21. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
4. ให A และ B แทนเหตุการณใด ๆ โดยที่ P( A − B) = 0.2, P( B − A) = 0.3 และ P( A′ ∩ B′) = 0.3
จงหา
4.1 P( A ∩ B)
4.2 P( A)
4.3 P( B′)
5. ให A และ B แทนเหตุการณไมเกิดรวมกัน โดยที่ P( A′) = 0.7 และ P( A ∪ B) = 0.5 จงหา
5.1 P( A′ ∪ B′)
5.2 P( A′ ∪ B)
5.3 P( A′ ∩ B)
20
24. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เอกสารอางอิง
1. สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี. (2552). หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร
เลม 2 ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 – 6 กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้น
พื้นฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ: สถาบันฯ.
2. สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี. (2552). หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร
เลม 4 ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 – 6 กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้น
พื้นฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ: สถาบันฯ.
23
26. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
แบบฝกหัดระคน
1. กลองใบหนึ่งมีบัตร n ใบ ซึ่งมีหมายเลขกํากับไวโดยไมซ้ํากัน เริ่มจาก 1 จนถึง n (n ≥ 5) สุมหยิบบัตร 3 ใบ
จากกลองใบนี้พรอมกัน ความนาจะเปนที่ไดบัตรใบหนึ่งเปนบัตรหมายเลข 5 และอีกสองใบเปนบัตร
หมายเลขต่ากวา 5 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
ํ
6 12
1. 2.
n(n − 1)(n − 2) n(n − 1)(n − 2)
18 36
3. 4.
n(n − 1)(n − 2) n(n − 1)(n − 2)
2. มีลูกแกวสีแดง สีขาว สีเหลือง สีน้ําเงินและสีดําอยางละ 1 ลูก ถานําลูกแกวทั้ง 5 ลูกนี้มาเรียงอยางสุมเปน
วงกลม ความนาจะเปนทีจะไดลูกแกวสีขาวอยูระหวางลูกแกวสีแดงและลูกแกวสีเหลืองมีคาเทากับขอใด
่
ตอไปนี้
1 1
1. 2.
24 12
1 1
3. 4.
6 3
3. กําหนดใหเซต A มีสมาชิก 4 ตัว และเซต B มีสมาชิก 5 ตัว ถาสรางฟงกชันจาก A ไป B แลวความนาจะ
เปนที่จะไดฟงกชนหนึ่งตอหนึ่งเทากับขอใดตอไปนี้
ั
24 120
1. 2.
625 625
24 120
3. 4.
196 196
4. กลองใบหนึ่งมีลูกบอลอยู 5 สี สีละ 4 ลูก สุมหยิบลูกบอล 3 ลูกพรอมกัน จงหาความนาจะเปนที่จะได
ลูกบอลสีเหมือนกัน 2 ลูกเทานั้นเทากับขอใดตอไปนี้
8 9
1. 2.
19 19
10 11
3. 4.
19 19
25
27. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
5. เรือนรับรองหลังหนึ่งซึ่งมี 4 หอง ถามี 1 หองที่พักได 3 คน มี 2 หองที่พักไดหองละ 2 คน และมี 1 หองที่พก
ั
ได 1 คน ในการจัดหญิง 8 คน ซึ่งมีเอและออยรวมอยูดวย ใหพักที่เรือนรับรองหลังนี้ ความนาจะเปนทีเ่ อและ
ออยไดพกหองเดียวกันโดยไมมีผูอื่นพักดวยเทากับขอใดตอไปนี้
ั
1 1
1. 2.
28 14
5 1
3. 4.
28 4
6. สลาก 20 ใบ มีหมายเลขกํากับไวโดยไมซ้ํากัน เริ่มจาก 1 – 20 สลากหมายเลข 1, 2, 3 และ 4 มีรางวัล 1000,
500, 300 และ 200 บาท ตามลําดับ ชายคนหนึ่งสุมหยิบสลาก 2 ใบจากสลากทั้งหมด ความนาจะเปนที่เขาจะ
ไดรับรางวัล 500 บาท มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
17 16
1. 2.
190 190
2 1
3. 4.
190 190
7. สุมจํานวนเต็มซึ่งหารดวย 3 ลงตัวซึ่งมีคาอยูระหวาง 10 ถึง 200 มาหนึ่งจํานวน ความนาจะเปนทีจํานวนที่สุม
่
มานี้จะหารดวย 7 ลงตัว เทากับขอใดตอไปนี้
1 2
1. 2.
7 7
3 4
3. 4.
7 7
8. ถาเขียนพจนทุกพจนของการกระจาย (a + b)10 เมื่อ a และ b เปนจํานวนจริง ซึง a ≠ b ลงบนสลากขนาด
่
เทากัน สลากละหนึ่งพจน ใสสลากทั้งหมดนี้ลงในกลอง แลวสุมหยิบสลาก 1 ใบจากกลองใบนี้ ความนาจะ
เปนที่จะไดสลากที่มีพจนซ่งมีสัมประสิทธิ์ทวินามเปน 252 เทากับขอใดตอไปนี้
ึ
1
1. 0 2.
11
1 2
3. 4.
10 11
26
28. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
9. จากการสํารวจนักเรียนหองหนึ่ง ซึ่งแตละคนตองเรียนพิมพดด วายน้ํา หรือดนตรีอยางนอย 1 วิชา ปรากฏผล
ี
ดังนี้
วิชา จํานวนนักเรียน(คน)
พิมพดีด 30
วายน้ํา 25
ดนตรี 20
พิมพดีดและวายน้ํา 12
พิมพดีดและดนตรี 8
วายน้ําและดนตรี 10
พิมพดีด วายน้าและดนตรี
ํ 5
ถาสุมเลือกนักเรียน 1 คนจากนักเรียนหองนี้ ความนาจะเปนทีนักเรียนที่สุมไดจะเรียนวายน้ําหรือดนตรีแตไม
่
เรียนพิมพดดมีคาเทากับขอใดตอไปนี้
ี
1 2
1. 2.
11 11
1 2
3. 4.
5 5
10. ให A และ B เปนเหตุการณใด ๆ โดยที่ P( A′ ∪ B) = 0.4, P( A ∩ B) = 0.2 และ P( B − A) = 0.1
ขอใดตอไปนี้ถูกตอง
1. P ( A − B) = 0.9 2. P ( B′) = 0.3
3. P ( A′) = P( B) − P( A ∩ B) 4. 6 P(( A ∪ B)′) = P( A − B)
27
30. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เฉลยแบบฝกหัด
เรื่อง การหาความนาจะเปนโดยใชกฎการนับ
3 3 407
1. 2. 3.
4 8 512
1 1 92
4. 5. 6.
60 35 99
5 5
7. 8.
6 11
เฉลยแบบฝกหัด
เรื่อง การหาความนาจะเปนโดยใชแผนภาพเวนน-ออยเลอร
1
1.
10
1 11 2
2. 2.1 2.2 2.3
40 40 3
6
3.
25
4. 4.1 0.2 4.2 0.4 4.3 0.5
5. 5.1 1 5.2 0.7 5.3 0.2
เฉลยแบบฝกหัดระคน
1. 4 2. 3 3. 2 4. 1
5. 2 6. 1 7. 1 8. 2
9. 4 10. 4
29
32. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร จํานวน 92 ตอน
เรื่อง ตอน
เซต บทนํา เรื่อง เซต
ความหมายของเซต
เซตกําลังและการดําเนินการบนเซต
เอกลักษณของการดําเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องแผนภาพเวนน-ออยเลอร
การใหเหตุผลและตรรกศาสตร บทนํา เรื่อง การใหเหตุผลและตรรกศาสตร
การใหเหตุผล
ประพจนและการสมมูล
สัจนิรันดรและการอางเหตุผล
ประโยคเปดและวลีบงปริมาณ
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องหอคอยฮานอย
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องตารางคาความจริง
จํานวนจริง บทนํา เรื่อง จํานวนจริง
สมบัติของจํานวนจริง
การแยกตัวประกอบ
ทฤษฏีบทตัวประกอบ
สมการพหุนาม
อสมการ
เทคนิคการแกอสมการ
คาสัมบูรณ
การแกอสมการคาสัมบูรณ
กราฟคาสัมบูรณ
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องชวงบนเสนจํานวน
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องสมการและอสมการพหุนาม
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องกราฟคาสัมบูรณ
ทฤษฎีจํานวนเบื้องตน บทนํา เรื่อง ทฤษฎีจํานวนเบื้องตน
การหารลงตัวและจํานวนเฉพาะ
ตัวหารรวมมากและตัวคูณรวมนอย
ความสัมพันธและฟงกชัน บทนํา เรื่อง ความสัมพันธและฟงกชน ั
ความสัมพันธ
31
33. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
ความสัมพันธและฟงกชัน โดเมนและเรนจ
อินเวอรสของความสัมพันธและบทนิยามของฟงกชัน
ฟงกชันเบื้องตน
พีชคณิตของฟงกชน ั
อินเวอรสของฟงกชันและฟงกชันอินเวอรส
ฟงกชันประกอบ
ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม บทนํา เรื่อง ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชนลอการิทม
ั ึ
เลขยกกําลัง
ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม
ลอการิทึม
อสมการเลขชี้กําลัง
อสมการลอการิทึม
ตรีโกณมิติ บทนํา เรื่อง ตรีโกณมิติ
อัตราสวนตรีโกณมิติ
เอกลักษณของอัตราสวนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหนวย
ฟงกชันตรีโกณมิติ 1
ฟงกชันตรีโกณมิติ 2
ฟงกชันตรีโกณมิติ 3
กฎของไซนและโคไซน
กราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ
ฟงกชันตรีโกณมิติผกผัน
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องมุมบนวงกลมหนึ่งหนวย
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องกราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องกฎของไซนและกฎของโคไซน
กําหนดการเชิงเสน บทนํา เรื่อง กําหนดการเชิงเสน
การสรางแบบจําลองทางคณิตศาสตร
การหาคาสุดขีด
ลําดับและอนุกรม บทนํา เรื่อง ลําดับและอนุกรม
ลําดับ
การประยุกตลําดับเลขคณิตและเรขาคณิต
ลิมิตของลําดับ
ผลบวกยอย
อนุกรม
ทฤษฎีบทการลูเขาของอนุกรม
32
34. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
การนับและความนาจะเปน บทนํา เรื่อง การนับและความนาจะเปน
. การนับเบื้องตน
การเรียงสับเปลี่ยน
การจัดหมู
ทฤษฎีบททวินาม
การทดลองสุม
ความนาจะเปน 1
ความนาจะเปน 2
สถิติและการวิเคราะหขอมูล บทนํา เรื่อง สถิติและการวิเคราะหขอมูล
บทนํา เนื้อหา
แนวโนมเขาสูสวนกลาง 1
แนวโนมเขาสูสวนกลาง 2
แนวโนมเขาสูสวนกลาง 3
การกระจายของขอมูล
การกระจายสัมบูรณ 1
การกระจายสัมบูรณ 2
การกระจายสัมบูรณ 3
การกระจายสัมพัทธ
คะแนนมาตรฐาน
ความสัมพันธระหวางขอมูล 1
ความสัมพันธระหวางขอมูล 2
โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 1
โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 2
โครงงานคณิตศาสตร การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย
ปญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
การถอดรากที่สาม
เสนตรงลอมเสนโคง
กระเบื้องที่ยืดหดได
33