Your SlideShare is downloading. ×
72 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่7_ความน่าจะเป็น2
72 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่7_ความน่าจะเป็น2
72 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่7_ความน่าจะเป็น2
72 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่7_ความน่าจะเป็น2
72 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่7_ความน่าจะเป็น2
72 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่7_ความน่าจะเป็น2
72 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่7_ความน่าจะเป็น2
72 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่7_ความน่าจะเป็น2
72 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่7_ความน่าจะเป็น2
72 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่7_ความน่าจะเป็น2
72 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่7_ความน่าจะเป็น2
72 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่7_ความน่าจะเป็น2
72 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่7_ความน่าจะเป็น2
72 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่7_ความน่าจะเป็น2
72 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่7_ความน่าจะเป็น2
72 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่7_ความน่าจะเป็น2
72 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่7_ความน่าจะเป็น2
72 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่7_ความน่าจะเป็น2
72 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่7_ความน่าจะเป็น2
72 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่7_ความน่าจะเป็น2
72 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่7_ความน่าจะเป็น2
72 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่7_ความน่าจะเป็น2
72 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่7_ความน่าจะเป็น2
72 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่7_ความน่าจะเป็น2
72 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่7_ความน่าจะเป็น2
72 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่7_ความน่าจะเป็น2
72 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่7_ความน่าจะเป็น2
72 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่7_ความน่าจะเป็น2
72 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่7_ความน่าจะเป็น2
72 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่7_ความน่าจะเป็น2
72 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่7_ความน่าจะเป็น2
72 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่7_ความน่าจะเป็น2
72 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่7_ความน่าจะเป็น2
72 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่7_ความน่าจะเป็น2
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×
Saving this for later? Get the SlideShare app to save on your phone or tablet. Read anywhere, anytime – even offline.
Text the download link to your phone
Standard text messaging rates apply

72 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่7_ความน่าจะเป็น2

1,394

Published on

0 Comments
3 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total Views
1,394
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
121
Comments
0
Likes
3
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. คูมือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร เรื่อง การนับและความนาจะเปน (เนือหาตอนที่ 7) ้ ความนาจะเปน 2 โดย ผูชวยศาสตราจารย ดร.ณัฐกาญจน ใจดี สื่อการสอนชุดนี้ เปนความรวมมือระหวาง คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย กับสํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.) กระทรวงศึกษาธิการ
  • 2. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย สื่อการสอน เรื่อง การนับและความนาจะเปน สื่อการสอน เรื่อง การนับและความนาจะเปน มีจํานวนตอนทั้งหมดรวม 16 ตอน ซึ่งประกอบดวย 1. บทนํา เรื่อง การนับและความนาจะเปน 2. เนื้อหาตอนที่ 1 การนับเบื้องตน - กฎเกณฑเบื้องตนเกียวกับการนับ ่ - วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน(สิ่งของแตกตางกันทั้งหมด) 3. เนื้อหาตอนที่ 2 การเรียงสับเปลี่ยน - วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน (สิ่งของไมแตกตางกันทั้งหมด) - วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม 4. เนื้อหาตอนที่ 3 การจัดหมู - วิธีจัดหมู 5. เนื้อหาตอนที่ 4 ทฤษฎีบททวินาม - ทฤษฎีบททวินาม - ทฤษฎีบทอเนกนาม 6. เนื้อหาตอนที่ 5 การทดลองสุม - การทดลองสุม - ปริภูมิตัวอยาง - เหตุการณและความนาจะเปน 7. เนื้อหาตอนที่ 6 ความนาจะเปน 1 - สมบัติพื้นฐานของความนาจะเปน - การหาความนาจะเปนแบบงาย 8. เนื้อหาตอนที่ 7 ความนาจะเปน 2 - การหาความนาจะเปนโดยใชกฎการนับ - การหาความนาจะเปนโดยแผนภาพเวนน-ออยเลอร 9. แบบฝกหัด (พื้นฐาน 1)10. แบบฝกหัด (พื้นฐาน 2)11. แบบฝกหัด (ขันสูง) ้12. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง หลักการบวกและหลักการคูณสําหรับการนับ13. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง การเรียงสับเปลี่ยน 1
  • 3. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย14. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง ทฤษฎีบททวินาม15. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง ความนาจะเปน16. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง การใสบอลลงกลอง คณะผูจัดทําหวังเปนอยางยิ่งวา สื่อการสอนชุดนี้จะเปนประโยชนตอการเรียนการสอนสําหรับ ครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใชสื่อชุดนี้รวมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร เรื่อง การนับและ ความนาจะเปน นอกจากนี้หากทานสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตรในเรื่องอื่นๆที่คณะผูจัดทําได ดําเนินการไปแลว ทานสามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนไดจากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตรทั้งหมด ในตอนทายของคูมือฉบับนี้ 2
  • 4. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัยเรื่อง การนับและความนาจะเปน (ความนาจะเปน 2)หมวด เนื้อหาตอนที่ 7 (7/7)หัวขอยอย 1. การหาความนาจะเปนโดยใชกฎการนับ 2. การหาความนาจะเปนโดยแผนภาพเวนน-ออยเลอรจุดประสงคการเรียนรู เพื่อใหผูเรียน 1. สามารถหาความนาจะเปนของเหตุการณโดยใชกฎการนับได 2. สามารถหาความนาจะเปนของเหตุการณโดยใชแผนภาพเวนน-ออยเลอรไดผลการเรียนรูที่คาดหวัง  ผูเรียนสามารถ 1. อธิบายวิธีการหาและหาความนาจะเปนของเหตุการณโดยใชกฎการนับได 2. อธิบายวิธีการหาและหาความนาจะเปนของเหตุการณโดยใชแผนภาพเวนน-ออยเลอรได 3
  • 5. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวางสํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย เนื้อหาในสื่อการสอน เนื้อหาทั้งหมด 4
  • 6. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวางสํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย 1. การหาความนาจะเปนโดยใชกฎการนับ 5
  • 7. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย 1. การหาความนาจะเปนโดยใชกฎการนับ ในหัวขอนี้เริ่มดวยการทบทวนการหาความนาจะเปนของเหตุการณในกรณีที่ปริภูมิตวอยางประกอบ ัดวยสมาชิกทีมีโอกาสเกิดขึนไดเทา ๆ กัน ซึ่งในการหาความนาจะเปนของเหตุการณดังกลาว เราตองทราบ ่ ้จํานวนสมาชิกของปริภูมิตวอยางและจํานวนสมาชิกของเหตุการณทเี่ ราสนใจ ดังนั้นในสื่อการสอนตอนนี้ เราจะ ัเนนที่การหาจํานวนสมาชิกดังกลาว โดยใช 1. กฎการนับ 2. แผนภาพเวนน-ออยเลอร สําหรับในหัวขอนี้ เราจะศึกษาการหาความนาจะเปนโดยใชกฎการนับควบคูกับสมบัติของความนาจะเปน ซึ่งจะทําใหเราสามารถหาความนาจะเปนไดสะดวกและรวดเร็วยิ่งขึ้น 6
  • 8. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย เมื่อผูเรียนไดชมตัวอยางการหาความนาจะเปนโดยใชกฎการนับจากสื่อการสอนแลว ผูสอนควรใหผูเรียนทําตัวอยางตอไปนี้เพิมเติมเพื่อเปนการฝกทักษะ ่ตัวอยาง สุมหยิบเสื้อ 3 ตัวจากตูเสื้อผาซึ่งมีเสื้อสีแดง 3 ตัว สีขาว 2 ตัว และสีน้ําเงิน 5 ตัว จงหาความนาจะเปนที่สุมไดเสื้อครบทุกสีวิธีทํา ให S แทนปริภูมิตัวอยาง และ E แทนเหตุการณทสุมไดเสื้อครบทุกสี ี่ ดังนั้น  3  2   5     n( E )  1   1   1  30 1 P( E ) = = = = n( S ) 10  120 4   3 7
  • 9. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัยตัวอยาง พจนานุกรมครบชุดมี 10 เลม มีหมายเลข 1 – 10 กํากับไว สุมหยิบหนังสือทีละเลมเรียงไวบนชั้นยาวตามลําดับที่หยิบได จนครบทั้งสิบเลม จงหาความนาจะเปนที่หนังสือหมายเลขตอเนื่องกันจะอยูติดกัน วิธีทํา ให S แทนปริภูมิตัวอยาง และ E แทนเหตุการณทหนังสือหมายเลขตอเนื่องกันจะอยูตดกัน ี่ ิ ดังนั้น หมายเลขจากนอยไปมาก และ หมายเลขจากมากไปนอย n( E ) 2 P( E ) = = n( S ) 10!ตัวอยาง จัดคน 8 คน ซึ่งมีสายชล นทีและวารีรวมอยูดวย นั่งรับประทานอาหารรอบโตะกลม 8 ทีนั่ง จงหา  ่ความนาจะเปนที่ทั้งสามคนไดนั่งติดกันวิธีทํา ให S แทนปริภูมิตัวอยาง และ E แทนเหตุการณที่สายชล นทีและวารีไดนั่งติดกัน ดังนั้น n( E ) (6 − 1)!3! 1 P( E ) = = = n( S ) (8 − 1)! 7ตัวอยาง ในการเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษรจากคําวา “MODEL” จงหาความนาจะเปนทีจะไดคาที่ข้นตนดวยสระ ่ ํ ึวิธีทํา ให S แทนปริภูมิตัวอยาง และ E แทนเหตุการณทไดคําที่ขึ้นตนดวยสระ ี่ 2 × 4! O หรือ E จัด 4 ตัวที่เหลือ ดังนัน ้ n( E ) 2!4! 2 P( E ) = = = n( S ) 5! 5 สําหรับตัวอยางตอไปนี้เปนเรื่องเกี่ยวกับยาเสพติด ซึ่งผูสอนควรสอดแทรกใหผูเรียนเห็นโทษของยาเสพติดและแนะนําผูเรียนใหอยูหางจากยาเสพติด  8
  • 10. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย หลังจากผูเรียนไดชม “ปญหาชวนคิด” ในสื่อการสอนแลว ผูสอนอาจใหผูเรียนชวยกันคิดหาคําตอบจากนั้นผูสอนจึงแสดงใหผูเรียนดูปญหาชวนคิด นักทองเที่ยวคนหนึ่งไดนายาเสพติด 4 เม็ด ใสไวในขวดที่มวิตามินอยู 20 เม็ด ถาเจาหนาทีดาน ํ ี ่ศุลกากรสุมหยิบมาตรวจ 3 เม็ด แลวนําไปวิเคราะห จงหาความนาจะเปนที่นักทองเที่ยวคนนี้จะถูกจับดวยขอหามียาเสพติดไวในครอบครองวิธีทํา แบบที่ 1 P(ถูกจับขอหามียาเสพติด) = P(สุมไดยาเสพติด 1 เม็ด หรือ สุมไดยาเสพติด 2 เม็ด หรือ สุมไดยาเสพติด 3 เม็ด) = P(สุมไดยาเสพติด 1 เม็ด) + P( สุมไดยาเสพติด 2 เม็ด) + P( สุมไดยาเสพติด 3 เม็ด) 9
  • 11. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย  4   20   4  20   4   20             1 2 2 1 3 0 =     +    +      24   24   24        3 3 3 760 120 4 884 221 = + + = = 2024 2024 2024 2024 506 แบบที่ 2 P(ถูกจับขอหามียาเสพติด) = 1− P(ไมถูกจับขอหามียาเสพติด) = 1 − P(สุมไดวิตามินทังหมด) ้  4   20     0 3 = 1−      24    3 1140 884 221 = 1− = = 2024 2024 506ขอสังเกต จากปญหาชวนคิดขางตน จะพบวาเมื่อเรานําสมบัติของความนาจะเปนทีวา สําหรับเหตุการณ E ใด ๆ ่ P( E ′) = 1 − P( E )มาชวยในการหาคําตอบ ทําใหการคํานวณมีความสะดวกและรวดเร็วยิ่งขึ้น 10
  • 12. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย แบบฝกหัดเพิ่มเติม เรื่อง การหาความนาจะเปนโดยใชกฎการนับ1. ในการเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษรจากคําวา “GEOMETRY” จงหาความนาจะเปนที่ “E” ไมอยูตดกัน ิ2. สุมนักเรียน 3 คนจากนักเรียนทั้งหมด 8 คนที่มีสวนสูงตาง ๆ กัน จงหาความนาจะเปนที่จะสุมได นักเรียนที่มสวนสูงมากที่สุดรวมอยูดวย ี  3. ในการประกวดรองเพลงรอบสุดทาย มีผูเขารอบ 5 คน ผูเขารอบแตละคนตองรองเพลงเพียง 1 เพลง โดยเลือกจากเพลงทั้งหมด 8 เพลงที่กองประกวดจัดไว จงหาความนาจะเปนทีมีผูเขารอบอยางนอย 2 คน ่ เลือกรองเพลงเดียวกัน4. สลากชุดหนึ่งมี 10 ใบ ซึ่งมีหมายเลขกํากับไวโดยไมซ้ํากัน เริ่มจาก 1 – 10 จงหาความนาจะเปนทีจะ ่ หยิบสลากพรอมกัน 3 ใบ โดยใหมแตมรวมกันเปน 9 และไมมีสลากใบใดมีหมายเลขสูงกวา 5 ี5. เรือนรับรองหลังหนึ่งมี 3 หอง หองแรกพักได 3 คน สวนอีก 2 หอง พักไดหองละ 2 คน ถามีแขก 7 คน เปนหญิง 3 คน ชาย 4 คน จะเดินทางมาพักโดยไมแจงเพศใหทราบลวงหนา จงหาความนาจะเปนที่ เจาภาพจะจัดใหหญิง 3 คนไดพกอยูหองเดียวกัน ั 6. นักทองเที่ยวคนหนึ่งไดนํายาเสพติด 4 เม็ด ใสไวในขวดทีมีวิตามินอยู 8 เม็ด ถาเจาหนาที่ดานศุลกากร ่ สุมหยิบมาตรวจ 5 เม็ด แลวนําไปวิเคราะห จงหาความนาจะเปนที่นกทองเที่ยวคนนี้จะถูกจับดวยขอหา ั มียาเสพติดไวในครอบครอง7. กลองใบหนึ่งบรรจุสลาก 10 ใบ มีหมายเลขกํากับไวโดยไมซ้ํากัน เริ่มจาก 0 – 9 สุมสลาก 3 ใบจากกลอง ใบนี้พรอมกัน จงหาความนาจะเปนทีจะไดสลากทั้งหมายเลขคูและสลากหมายเลขคี่ ่8. นักเรียนกลุมหนึ่งประกอบดวยนักเรียนชาย 5 คนและนักเรียนหญิง 6 คน สุมนักเรียนกลุมนี้ 3 คนเพื่อ ตอบคําถามในชั้นเรียน จงหาความนาจะเปนทีจะสุมไดนักเรียนชายเพียง 1 คน ่ 11
  • 13. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย2. การหาความนาจะเปนโดยแผนภาพเวนน-ออยเลอร 12
  • 14. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย 2. การหาความนาจะเปนโดยแผนภาพเวนน-ออยเลอร ในหัวขอนี้ ผูเรียนจะไดศกษาเรื่อง “การหาความนาจะเปนโดยใชแผนภาพเวนน-ออยเลอร” โดยในสื่อ ึการสอน จะเริมดวยการทบทวนการหาจํานวนสมาชิกของเซตโดยใชแผนภาพเวนน-ออยเลอร ซึ่งเอกภพสัมพัทธ ่ในเรื่องของเซตก็เปรียบไดกบปริภูมิตวอยางในเรื่องความนาจะเปนนันเอง และเซตใด ๆ ซึ่งเปนสับเซตของ ั ั ่เอกภพสัมพัทธก็เปรียบไดกบเหตุการณซึ่งเปนสับเซตของปริภูมิตัวอยางในเรื่องความนาจะเปนไดเชนกัน ดังนัน ั ้ในหัวขอนี้ เราจะนําแผนภาพเวนน-ออยเลอรมาชวยในการหาจํานวนสมาชิกของเหตุการณที่สนใจ เพื่อนําไปสูการหาความนาจะเปนของเหตุการณนน ๆ ั้ 13
  • 15. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย เพื่อใหผูเรียนเขาใจเรื่องการหาความนาจะเปนโดยใชแผนภาพเวนน-ออยเลอรไดดยิ่งขึ้น ผูสอนควรให ีผูเรียนฝกทําตัวอยางตอไปนีเ้ พิ่มเติมตัวอยาง นักเรียนกลุมหนึ่งมี 150 คน ในจํานวนนี้พบวา มีนกเรียนที่ชอบเลนดนตรี 60 คน มีนกเรียนที่ชอบเลน ั ักีฬา 70 คน และมีนักเรียนทีชอบเลนดนตรีและชอบเลนกีฬา 25 คน ถาสุมเลือกนักเรียนจากกลุมนี้มา 1 คน แลว ่จงหาความนาจะเปนทีนกเรียนคนที่เลือกมาจะ ่ ั 1. ชอบเลนดนตรีหรือชอบเลนกีฬา 2. ไมชอบเลนทั้งดนตรีและกีฬา 3. ชอบเลนดนตรีแตไมชอบเลนกีฬาวิธีทํา นําขอมูลที่โจทยกําหนดใหมาเขียนแผนภาพเวนน-ออยเลอร ไดดังนี้ ดนตรี กีฬา 35 25 45 45 ดังนั้น 1. P(ชอบเลนกีฬา หรือ ชอบเลนดนตรี) = 35 + 25 + 45 = 105 = 7 150 150 10 14
  • 16. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย 45 3 2. P(ไมชอบเลนทั้งดนตรีและกีฬา) = = 150 10 3. P(ชอบเลนดนตรีแตไมชอบเลนกีฬา) = 35 = 7 150 30ตัวอยาง จากการสํารวจผูฟงเพลงของรายการวิทยุสถานีหนึ่งจํานวน 80 คน ปรากฏวา มีผูชอบฟงเพลงลูกทุง 30 คน มีผูชอบฟงเพลงไทยสากล 45 คน และมีผูชอบฟงเพลงลูกทุงหรือเพลงไทยสากล 60 คน 1. ถาสุมผูฟงเพลงกลุมนี้มาหนึงคน จงหาความนาจะเปนที่ผฟงที่สุมมา  ่ ู 1.1 ชอบฟงทั้งเพลงลูกทุงและเพลงไทยสากล 1.2 ไมชอบฟงทั้งเพลงลูกทุงและเพลงไทยสากล 2. ถาสุมผูฟงเพลงกลุมนี้ซึ่งชอบฟงเพลงลูกทุงมา 1 คน จงหาความนาจะเปนที่ผูฟงที่สุมมาไมชอบฟง  เพลงไทยสากลวิธีทา ให x แทนจํานวนผูฟงเพลงที่ชอบฟงทั้งเพลงลูกทุงและเพลงไทยสากล ํ เพลงลูกทุง เพลงไทยสากล 30 − x x 45 − x 20 1. เนื่องจากมีผูชอบฟงเพลงลูกทุงหรือเพลงไทยสากลจํานวน 60 คน ดังนั้น (30 − x) + x + (45 − x) = 60 x = 15 1.1 P(ชอบฟงทั้งเพลงลูกทุงและเพลงไทยสากล) = 15 = 3 80 16 1.2 P(ไมชอบฟงทั้งเพลงลูกทุงและเพลงไทยสากล) = 20 = 1 80 4 15
  • 17. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย จํานวนคนที่ชอบฟงเพลง ลูกทุงแตไมชอบฟงเพลง ไทยสากล 2. P(ไมชอบฟงเพลงไทยสากล) = 15 = 1 30 2 จํานวนคนที่ชอบ ฟงเพลงลูกทุง จากนั้น ในสื่อการสอนไดยกตัวอยางการหาความนาจะเปนโดยใชแผนภาพเวนน-ออยเลอร ซึ่งมีความซับซอนยิ่งขึ้น ดังนี้ จากนั้นผูสอนอาจใหผูเรียนฝกทําตัวอยางตอไปนี้เพิ่มเติม 16
  • 18. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัยตัวอยาง จากการสํารวจผูชมการถายทอดการแขงขันกีฬาซีเกมสจานวน 200 คน ปรากฏวา มี 120 คนชอบชม ํฟุตบอล มี 80 คนชอบชมวายน้ํา มี 70 คนชอบชมมวยสากล มี 30 คนที่ชอบชมกีฬาทั้งสามประเภท มี 50 คนที่ชอบชมฟุตบอลและวายน้ํา มี 40 คนที่ชอบชมวายน้ําและมวยสากล และมี 40 คนที่ไมชมกีฬาทั้งสามประเภทนี้ถาสุมผูชมกลุมนี้มา 1 คน จงหาความนาจะเปนที่ผูชมทีสุมไดชอบชมฟุตบอลและมวยสากล ่วิธีทํา นําขอมูลที่โจทยกําหนดใหมาเขียนแผนภาพเวนน – ออยเลอร ไดดังนี้ ฟุตบอล วายน้ํา 20 120-(20+30+x) 20 30 x 10 70 – (x+30+10) มวยสากล 40เนื่องจากมี 40 คนที่ไมชมกีฬาทั้งสามประเภท ทําใหไดวา มี 160 คนที่ชมฟุตบอลหรือวายน้ําหรือมวยสากล ดังนั้น 120 − (20 + 30 + x) + 20 + 20 + x + 30 + 10 + 70 − (x + 30 + 10) = 160 x = 20ทําใหไดวา  P(ผูชมที่สุมไดชอบชมฟุตบอลและมวยสากล) = 20 = 1 200 10 สําหรับการหาความนาจะเปนโดยใชแผนภาพเวนน-ออยเลอร นอกจากเราจะใสจํานวนสมาชิกลงในอาณาบริเวณตาง ๆ ของแผนภาพเวนน-ออยเลอรดังที่ผูเรียนไดเห็นตัวอยางในสื่อการสอนแลวนั้น สมบัติของความนาจะเปนที่วา  ถา A∩ B = ∅ แลว P( A ∪ B) = P( A) + P( B)เมื่อ A และ B คือ เหตุการณใด ๆ 17
  • 19. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัยทําใหเราสามารถใสคาความนาจะเปนลงในแผนภาพเวนน-ออยเลอรไดเชนกัน ซึ่งผูเรียนไดศึกษามาแลวในสื่อการสอนเรื่องการนับและความนาจะเปน เนื้อหาตอนที่ 6ตัวอยาง ให A และ B แทนเหตุการณใด ๆ โดยที่ P( A) = 0.5, P( B) = 0.3 และ P( A ∪ B) = 0.6 จงหาP( A ∩ B)วิธีทํา นําขอมูลที่โจทยกําหนดใหมาเขียนแผนภาพเวนน-ออยเลอร ไดดังนี้ A B 0.5 − x x 0.3 − xดังนั้น P( A ∪ B) = 0.6 (0.5 − x) + x + (0.3 − x) = 0.6 x = 0.2นั่นคือ P( A ∩ B) = 0.2 18
  • 20. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย แบบฝกหัดเพิ่มเติม เรื่อง การหาความนาจะเปนโดยแผนภาพเวนน-ออยเลอร1. สอบถามครอบครัว 500 ครอบครัว พบวา 280 ครอบครัวมีรถจักรยานยนต 320 ครอบครัวมีโทรทัศน และ 150 ครอบครัวมีทั้งสองอยางนี้ สุมครอบครัวมา 1 ครอบครัวจากทั้งหมดนี้ จงหาความนาจะเปน ที่ครอบครัวที่สุมไดไมมทั้งสองอยางนี้ ี2. จากการสํารวจนักเรียนจํานวน 200 คนเกียวกับกีฬาที่นกเรียนชอบ ปรากฏผลดังนี้ ่ ั กีฬา จํานวนนักเรียน(คน) ฟุตบอล 50 วายน้ํา 60 ปงปอง 75 ฟุตบอลและวายน้ํา 15 ฟุตบอลและปงปอง 20 วายน้ําและปงปอง 15 ฟุตบอล วายน้าและปงปอง ํ 10 2.1 ถาสุมนักเรียนจากกลุมนี้มา 1 คน จงหาความนาจะเปนที่นักเรียนที่สุมไดชอบกีฬาวายน้ําและ ปงปองแตไมชอบฟุตบอล 2.2 ถาสุมนักเรียนจากกลุมนี้มา 1 คน จงหาความนาจะเปนที่นักเรียนที่สุมไดไมชอบกีฬาทั้งสาม ประเภทนี้เลย 2.3 ถาสุมนักเรียนจากกลุมนี้ซึ่งชอบวายน้ํามา 1 คน จงหาความนาจะเปนที่นกเรียนที่สมไดไมชอบทัง ั ุ ้ ฟุตบอลและไมชอบทั้งปงปอง3. ในการสอบถามนักเรียนจํานวน 50 คน ปรากฏวามีนักเรียนที่ ชอบวิชาเคมี 25 คน ชอบวิชาฟสิกส 20 คน ชอบวิชาภาษาอังกฤษ 20 คน ชอบทั้งสามวิชา 10 คน ชอบวิชาฟสิกสและภาษาอังกฤษ 12 คน ชอบวิชาเคมีและฟสิกสแตไมชอบวิชาภาษาอังกฤษ 5 คน และ ไมมีนักเรียนคนใดชอบวิชาเคมีและภาษาอังกฤษโดยไมชอบวิชาฟสิกส ถาสุมนักเรียนจากกลุมนี้มา 1 คน จงหาความนาจะเปนที่นักเรียนที่สมไดไมชอบวิชาใดวิชาหนึ่งเลยใน ุ สามวิชานี้ 19
  • 21. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย4. ให A และ B แทนเหตุการณใด ๆ โดยที่ P( A − B) = 0.2, P( B − A) = 0.3 และ P( A′ ∩ B′) = 0.3 จงหา 4.1 P( A ∩ B) 4.2 P( A) 4.3 P( B′)5. ให A และ B แทนเหตุการณไมเกิดรวมกัน โดยที่ P( A′) = 0.7 และ P( A ∪ B) = 0.5 จงหา 5.1 P( A′ ∪ B′) 5.2 P( A′ ∪ B) 5.3 P( A′ ∩ B) 20
  • 22. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวางสํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย สรุปสาระสําคัญประจําตอน 21
  • 23. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวางสํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย สรุปสาระสําคัญประจําตอน 22
  • 24. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย เอกสารอางอิง1. สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี. (2552). หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร เลม 2 ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 – 6 กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้น พื้นฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ: สถาบันฯ.2. สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี. (2552). หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร เลม 4 ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 – 6 กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้น พื้นฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ: สถาบันฯ. 23
  • 25. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวางสํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย ภาคผนวกที่ 1 แบบฝกหัด/เนื้อหาเพิ่มเติม 24
  • 26. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย แบบฝกหัดระคน1. กลองใบหนึ่งมีบัตร n ใบ ซึ่งมีหมายเลขกํากับไวโดยไมซ้ํากัน เริ่มจาก 1 จนถึง n (n ≥ 5) สุมหยิบบัตร 3 ใบ จากกลองใบนี้พรอมกัน ความนาจะเปนที่ไดบัตรใบหนึ่งเปนบัตรหมายเลข 5 และอีกสองใบเปนบัตร หมายเลขต่ากวา 5 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ ํ  6 12 1. 2. n(n − 1)(n − 2) n(n − 1)(n − 2) 18 36 3. 4. n(n − 1)(n − 2) n(n − 1)(n − 2)2. มีลูกแกวสีแดง สีขาว สีเหลือง สีน้ําเงินและสีดําอยางละ 1 ลูก ถานําลูกแกวทั้ง 5 ลูกนี้มาเรียงอยางสุมเปน วงกลม ความนาจะเปนทีจะไดลูกแกวสีขาวอยูระหวางลูกแกวสีแดงและลูกแกวสีเหลืองมีคาเทากับขอใด ่ ตอไปนี้ 1 1 1. 2. 24 12 1 1 3. 4. 6 33. กําหนดใหเซต A มีสมาชิก 4 ตัว และเซต B มีสมาชิก 5 ตัว ถาสรางฟงกชันจาก A ไป B แลวความนาจะ เปนที่จะไดฟงกชนหนึ่งตอหนึ่งเทากับขอใดตอไปนี้ ั 24 120 1. 2. 625 625 24 120 3. 4. 196 1964. กลองใบหนึ่งมีลูกบอลอยู 5 สี สีละ 4 ลูก สุมหยิบลูกบอล 3 ลูกพรอมกัน จงหาความนาจะเปนที่จะได ลูกบอลสีเหมือนกัน 2 ลูกเทานั้นเทากับขอใดตอไปนี้ 8 9 1. 2. 19 19 10 11 3. 4. 19 19 25
  • 27. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย5. เรือนรับรองหลังหนึ่งซึ่งมี 4 หอง ถามี 1 หองที่พักได 3 คน มี 2 หองที่พักไดหองละ 2 คน และมี 1 หองที่พก ั ได 1 คน ในการจัดหญิง 8 คน ซึ่งมีเอและออยรวมอยูดวย ใหพักที่เรือนรับรองหลังนี้ ความนาจะเปนทีเ่ อและ  ออยไดพกหองเดียวกันโดยไมมีผูอื่นพักดวยเทากับขอใดตอไปนี้ ั 1 1 1. 2. 28 14 5 1 3. 4. 28 46. สลาก 20 ใบ มีหมายเลขกํากับไวโดยไมซ้ํากัน เริ่มจาก 1 – 20 สลากหมายเลข 1, 2, 3 และ 4 มีรางวัล 1000, 500, 300 และ 200 บาท ตามลําดับ ชายคนหนึ่งสุมหยิบสลาก 2 ใบจากสลากทั้งหมด ความนาจะเปนที่เขาจะ ไดรับรางวัล 500 บาท มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 17 16 1. 2. 190 190 2 1 3. 4. 190 1907. สุมจํานวนเต็มซึ่งหารดวย 3 ลงตัวซึ่งมีคาอยูระหวาง 10 ถึง 200 มาหนึ่งจํานวน ความนาจะเปนทีจํานวนที่สุม ่ มานี้จะหารดวย 7 ลงตัว เทากับขอใดตอไปนี้ 1 2 1. 2. 7 7 3 4 3. 4. 7 78. ถาเขียนพจนทุกพจนของการกระจาย (a + b)10 เมื่อ a และ b เปนจํานวนจริง ซึง a ≠ b ลงบนสลากขนาด ่ เทากัน สลากละหนึ่งพจน ใสสลากทั้งหมดนี้ลงในกลอง แลวสุมหยิบสลาก 1 ใบจากกลองใบนี้ ความนาจะ เปนที่จะไดสลากที่มีพจนซ่งมีสัมประสิทธิ์ทวินามเปน 252 เทากับขอใดตอไปนี้ ึ 1 1. 0 2. 11 1 2 3. 4. 10 11 26
  • 28. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย9. จากการสํารวจนักเรียนหองหนึ่ง ซึ่งแตละคนตองเรียนพิมพดด วายน้ํา หรือดนตรีอยางนอย 1 วิชา ปรากฏผล ี ดังนี้ วิชา จํานวนนักเรียน(คน) พิมพดีด 30 วายน้ํา 25 ดนตรี 20 พิมพดีดและวายน้ํา 12 พิมพดีดและดนตรี 8 วายน้ําและดนตรี 10 พิมพดีด วายน้าและดนตรี ํ 5 ถาสุมเลือกนักเรียน 1 คนจากนักเรียนหองนี้ ความนาจะเปนทีนักเรียนที่สุมไดจะเรียนวายน้ําหรือดนตรีแตไม ่ เรียนพิมพดดมีคาเทากับขอใดตอไปนี้ ี 1 2 1. 2. 11 11 1 2 3. 4. 5 510. ให A และ B เปนเหตุการณใด ๆ โดยที่ P( A′ ∪ B) = 0.4, P( A ∩ B) = 0.2 และ P( B − A) = 0.1 ขอใดตอไปนี้ถูกตอง 1. P ( A − B) = 0.9 2. P ( B′) = 0.3 3. P ( A′) = P( B) − P( A ∩ B) 4. 6 P(( A ∪ B)′) = P( A − B) 27
  • 29. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวางสํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย ภาคผนวกที่ 2 เฉลยแบบฝกหัด 28
  • 30. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย เฉลยแบบฝกหัด เรื่อง การหาความนาจะเปนโดยใชกฎการนับ 3 3 4071. 2. 3. 4 8 512 1 1 924. 5. 6. 60 35 99 5 57. 8. 6 11 เฉลยแบบฝกหัด เรื่อง การหาความนาจะเปนโดยใชแผนภาพเวนน-ออยเลอร 11. 10 1 11 22. 2.1 2.2 2.3 40 40 3 63. 254. 4.1 0.2 4.2 0.4 4.3 0.55. 5.1 1 5.2 0.7 5.3 0.2 เฉลยแบบฝกหัดระคน 1. 4 2. 3 3. 2 4. 1 5. 2 6. 1 7. 1 8. 29. 4 10. 4 29
  • 31. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวางสํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร จํานวน 92 ตอน 30
  • 32. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร จํานวน 92 ตอน เรื่อง ตอนเซต บทนํา เรื่อง เซต ความหมายของเซต เซตกําลังและการดําเนินการบนเซต เอกลักษณของการดําเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร สื่อปฏิสัมพันธเรื่องแผนภาพเวนน-ออยเลอรการใหเหตุผลและตรรกศาสตร บทนํา เรื่อง การใหเหตุผลและตรรกศาสตร การใหเหตุผล ประพจนและการสมมูล สัจนิรันดรและการอางเหตุผล ประโยคเปดและวลีบงปริมาณ สื่อปฏิสัมพันธเรื่องหอคอยฮานอย สื่อปฏิสัมพันธเรื่องตารางคาความจริงจํานวนจริง บทนํา เรื่อง จํานวนจริง สมบัติของจํานวนจริง การแยกตัวประกอบ ทฤษฏีบทตัวประกอบ สมการพหุนาม อสมการ เทคนิคการแกอสมการ คาสัมบูรณ การแกอสมการคาสัมบูรณ กราฟคาสัมบูรณ สื่อปฏิสัมพันธเรื่องชวงบนเสนจํานวน สื่อปฏิสัมพันธเรื่องสมการและอสมการพหุนาม สื่อปฏิสัมพันธเรื่องกราฟคาสัมบูรณทฤษฎีจํานวนเบื้องตน บทนํา เรื่อง ทฤษฎีจํานวนเบื้องตน การหารลงตัวและจํานวนเฉพาะ ตัวหารรวมมากและตัวคูณรวมนอยความสัมพันธและฟงกชัน บทนํา เรื่อง ความสัมพันธและฟงกชน ั ความสัมพันธ 31
  • 33. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย เรื่อง ตอนความสัมพันธและฟงกชัน โดเมนและเรนจ อินเวอรสของความสัมพันธและบทนิยามของฟงกชัน ฟงกชันเบื้องตน พีชคณิตของฟงกชน ั อินเวอรสของฟงกชันและฟงกชันอินเวอรส ฟงกชันประกอบฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม บทนํา เรื่อง ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชนลอการิทม ั ึ เลขยกกําลัง ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม ลอการิทึม อสมการเลขชี้กําลัง อสมการลอการิทึมตรีโกณมิติ บทนํา เรื่อง ตรีโกณมิติ อัตราสวนตรีโกณมิติ เอกลักษณของอัตราสวนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหนวย ฟงกชันตรีโกณมิติ 1 ฟงกชันตรีโกณมิติ 2 ฟงกชันตรีโกณมิติ 3 กฎของไซนและโคไซน กราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ ฟงกชันตรีโกณมิติผกผัน สื่อปฏิสัมพันธเรื่องมุมบนวงกลมหนึ่งหนวย สื่อปฏิสัมพันธเรื่องกราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ สื่อปฏิสัมพันธเรื่องกฎของไซนและกฎของโคไซนกําหนดการเชิงเสน บทนํา เรื่อง กําหนดการเชิงเสน การสรางแบบจําลองทางคณิตศาสตร การหาคาสุดขีดลําดับและอนุกรม บทนํา เรื่อง ลําดับและอนุกรม ลําดับ การประยุกตลําดับเลขคณิตและเรขาคณิต ลิมิตของลําดับ ผลบวกยอย อนุกรม ทฤษฎีบทการลูเขาของอนุกรม 32
  • 34. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย เรื่อง ตอนการนับและความนาจะเปน บทนํา เรื่อง การนับและความนาจะเปน . การนับเบื้องตน การเรียงสับเปลี่ยน การจัดหมู ทฤษฎีบททวินาม การทดลองสุม ความนาจะเปน 1 ความนาจะเปน 2สถิติและการวิเคราะหขอมูล บทนํา เรื่อง สถิติและการวิเคราะหขอมูล บทนํา เนื้อหา แนวโนมเขาสูสวนกลาง 1 แนวโนมเขาสูสวนกลาง 2 แนวโนมเขาสูสวนกลาง 3 การกระจายของขอมูล การกระจายสัมบูรณ 1 การกระจายสัมบูรณ 2 การกระจายสัมบูรณ 3 การกระจายสัมพัทธ คะแนนมาตรฐาน ความสัมพันธระหวางขอมูล 1 ความสัมพันธระหวางขอมูล 2 โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 1 โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 2โครงงานคณิตศาสตร การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย ปญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส การถอดรากที่สาม เสนตรงลอมเสนโคง กระเบื้องที่ยืดหดได 33

×